第 2 课时 正、余弦函数的单调性与最值
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求函数的值域和最值．
2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小，会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
(一)正弦函数、余弦函数的单调性
1．正弦函数的单调性
在每一个闭区间(k∈Z)上都________，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都________，其值从1减小到－1.
2．余弦函数的单调性
在每一个闭区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上都________，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上都________，其值从1减小到－1.
|微|点|助|解|
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限；
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间；
(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小．
(二)正弦函数、余弦函数的最值
1．正弦函数的最值
当且仅当x＝________(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝________(k∈Z)时取得最小值－1.
2．余弦函数的最值
当且仅当x＝______(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝______(k∈Z)时取得最小值－1.
|微|点|助|解|
(1)若函数的定义域不是R，则一定要在给定区间内结合单调性求值域与最值．
(2)利用函数y＝sin x和y＝cos x的值域和最值，可以求它们复合而成的函数的值域和最值．
(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值．
基础落实训练
1．在下列区间中，使y＝sin x单调递增的是( )
A．[0，π] B．
C． D．[π，2π]
2．y＝2cos的值域是( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．[－1,1]
3．函数y＝2＋2cos x的单调递增区间是____________________．
4．函数y＝sin x的值域为________．
题型(一) 正、余弦函数的单调区间
[例1] 求函数f(x)＝2sin的单调区间．
听课记录：
[变式拓展]
1．若本例条件增加x∈[0,2π]，求f(x)的单调区间．
2．若本例中函数f(x)＝2sin变为f(x)＝2sin，求f(x)的单调递增区间．
|思|维|建|模|
求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．
[针对训练]
1．求下列函数的单调区间：
(1)y＝－cos；
(2)y＝3sin.
题型(二) 比较三角函数值的大小
[例2] 比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°与cos 160°；
(2)cos，sin，－cos；
(3)sin与sin.
听课记录：
|思|维|建|模|
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
[针对训练]
2．下列结论正确的是( )
A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°
C．cos 130°>cos 200° D．cos(－40°)3．不求值，指出下列各式大于零还是小于零．
(1)sin 25°－sin 72°；
(2)sin－sin.
题型(三) 正、余弦函数的值域与最值
[例3] 求下列函数的值域．
(1)y＝2sin，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos x＋5.
听课记录：
|思|维|建|模|
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对A正、负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函数求值．
[针对训练]
4．函数y＝＋sin x－sin2x，x∈的最小值是( )
A．1 B.
C．－ D．不存在
5．求函数y＝3－4cos，x∈的最值．
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
课前预知教材
(一)1.单调递增 单调递减 2.单调递增 单调递减
(二)1.+2kπ -+2kπ 2.2kπ 2kπ+π
[基础落实训练] 1.C 2.A
3.[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z) 4.
课堂题点研究
[例1] 解:令z=x-,则y=2sin z.
因为z=x-是增函数,
所以y=2sin z单调递增时,
函数f(x)=2sin也单调递增.
由z∈(k∈Z),
得x-∈(k∈Z),
即x∈(k∈Z),
故函数f(x)=2sin的单调递增区间为(k∈Z).
同理可求函数f(x)=2sin的单调递减区间为(k∈Z).
[变式拓展]
1.解:由例题知f(x)=2sin的单调递增区间为,k∈Z,
又x∈[0,2π],得0≤x≤或≤x≤2π,
同理函数f(x)=2sin,x∈[0,2π]的单调递减区间为.
所以函数f(x)=2sin,x∈[0,2π]的单调递增区间为,,单调递减区间为.
2.解:f(x)=sin=-sin,
令z=x-,而y=-sin z的单调递增区间是,k∈Z,
令+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以函数f(x)=2sin的单调递增区间为,k∈Z.
[针对训练]
1.解:(1)要求y=-cos的单调递增区间,只需2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z),
解得4kπ≤x≤2π+4kπ(k∈Z);
要求y=-cos的单调递减区间,
只需-π+2kπ≤≤2kπ(k∈Z),
解得-2π+4kπ≤x≤4kπ(k∈Z);
所以y=-cos的单调递增区间为[4kπ,2π+4kπ](k∈Z);
单调递减区间为[-2π+4kπ,4kπ](k∈Z).
(2)要求y=3sin的单调递增区间,
只需-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);
要求y=3sin的单调递减区间,
只需+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);
所以y=3sin的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z);单调递减区间为(k∈Z).
[例2] 解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°,函数y=sin x在0°~90°内单调递增,∴sin 14°∴-sin 14°>-sin 70°.∴sin 194°>cos 160°.
(2)sin=cos,-cos=cos,∵0<π-<-<<π,函数y=cos x在(0,π)上单调递减,
∴cos>cos>cos.
即-cos>sin>cos.
(3)cos=cos=sin.∵0<<<,函数y=sin x在内单调递增,∴sin[针对训练]
2.选C 由cos 130°=cos(180°-50°)=-cos 50°,cos 200°=cos(180°+20°)=-cos 20°,因为当0°-cos 20°.即cos 130°>cos 200°.
3.解:(1)因为0°<25°<72°<90°,又f(x)=sin x在x∈上单调递增,所以sin 25°(2)因为sin=-sin
=-sin=-sin=sin,
sin=-sin=-sin=sin,因为0<<<,由f(x)=sin x在x∈上单调递增,所以sinsin.
即sin-sin>0.
[例3] 解:(1)∵x∈,
∴2x+∈.
令u=2x+,又y=sin u在上单调递增,在上单调递减,∴-≤sin≤1.∴-≤2sin≤2.
∴函数的值域为[-,2].
(2)令t=cos x,则-1≤t≤1.
∴y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
∴当t=-1时,y取得最大值10,
当t=1时,y取得最小值2.
∴y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
[针对训练]
4.选A 令t=sin x∈,则y=-t2+t+=-+2.当t=-时,y有最小值1.
5.解:∵x∈,
∴2x+∈.
从而-≤cos≤1.
∴当cos=1,2x+=0,即x=-时,ymin=3-4=-1;
当cos=-,2x+=,即x=时,ymax=3-4×=5.(共69张PPT)
正、余弦函数的单调性与最值
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求函数的值域和最值．
2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小，会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)正弦函数、余弦函数的单调性
1．正弦函数的单调性
单调递增
单调递减
2．余弦函数的单调性
在每一个闭区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上都__________，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上都__________，其值从1减小到－1.
单调递增
单调递减
|微|点|助|解|
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限；
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间；
(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小．
(二)正弦函数、余弦函数的最值
1．正弦函数的最值
2kπ
2kπ＋π
|微|点|助|解|
(1)若函数的定义域不是R，则一定要在给定区间内结合单调性求值域与最值．
(2)利用函数y＝sin x和y＝cos x的值域和最值，可以求它们复合而成的函数的值域和最值．
(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值．
基础落实训练
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√
3．函数y＝2＋2cos x的单调递增区间是________________________．
解析：函数的单调递增区间为[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)．
[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 正、余弦函数的单调区间
[变式拓展]
1．若本例条件增加x∈[0,2π]，求f(x)的单调区间．
|思|维|建|模|
求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．
针对训练
[例2] 比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°与cos 160°；
题型(二) 比较三角函数值的大小
解：sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在0°～90°内单调递增，∴sin 14°－sin 70°.∴sin 194°>cos 160°.
|思|维|建|模|
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
针对训练
2．下列结论正确的是( )
A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°C．cos 130°>cos 200° D．cos(－40°)解析：由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当0°－cos 20°.即cos 130°>cos 200°.
√
3．不求值，指出下列各式大于零还是小于零．
(1)sin 25°－sin 72°；
题型(三) 正、余弦函数的值域与最值
(2)y＝cos2x－4cos x＋5.
解：令t＝cos x，则－1≤t≤1.
∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.
∴当t＝－1时，y取得最大值10，
当t＝1时，y取得最小值2.
∴y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2,10]．
|思|维|建|模|
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对A正、负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函数求值．
针对训练
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．y＝2cos x2的值域是( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
解析：因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cos x2∈[－2,2]．
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3．下列关系式正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
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解析：由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°.因为当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝sin x是单调递增的，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.故选C.
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6．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是_________________.(用“>”连接)
解析：∵0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
∴cos 1>cos 2>cos 3.
cos 1>cos 2>cos 3
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8．已知函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是__________．
解析：因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π(－π，0]
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(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
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B级——重点培优
11．函数y＝cos2x＋sin x的最大值为( )
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14．(12分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－3，－2]上单调递减，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β)．
证明：由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－3，－2]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增．
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12课时跟踪检测(五十二) 正、余弦函数的单调性与最值
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.y=2cos x2的值域是 ( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.R
2.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是 ( )
A. B.
C. D.
3.下列关系式正确的是 ( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°4.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin有 ( )
A.最大值为1,最小值为-1
B.最大值为1,最小值为-
C.最大值为2,最小值为-2
D.最大值为2,最小值为-1
5.(多选)已知函数f(x)=2sin,下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在区间上单调递减
D.为f(x)的一个零点
6.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是 .(用“>”连接)
7.设函数y=2cos+3,则函数的最小正周期是 ,y取最大值时x的集合为 .
8.已知函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是 .
9.(8分)已知函数f(x)=2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
10.(10分)已知函数f(x)=sin 2x.
(1)若g(x)=f,求函数g(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,函数y=2af(x)+b(a>0)的最大值为1,最小值为-5,求实数a,b的值.
B级——重点培优
11.函数y=cos2x+sin x的最大值为 ( )
A.2 B.
C.1 D.0
12.已知函数f(x)=πsin,如果存在实数x1,x2,使x∈R时,f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最小值是 ( )
A.4π B.π
C.8π D.2π
13.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为 .
14.(12分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-3,-2]上单调递减,α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f(sin α)>f(cos β).
15.(12分)已知ω是正数,函数f(x)=2sin ωx在区间上单调递增,求ω的取值范围.
课时跟踪检测(五十二)
1.选A 因为x∈R,所以x2≥0,所以y=2cos x2∈[-2,2].
2.选C 函数y=|cos x|=
图象如图所示.
单调递减区间有,,….故选C.
3.选C 由诱导公式,得cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°.因为当0°≤x≤90°时,正弦函数y=sin x是单调递增的,所以sin 11°4.选D 因为-≤x≤,所以-≤x+≤.所以-≤sin≤1.所以-1≤2sin≤2.即f(x)的最大值为2,最小值为-1.
5.选ABC f(x)的最小正周期为2π,故A正确;当sin=1时,f(x)的最大值为2,故B正确;因为x∈,所以x+∈ .所以f(x)在区间上单调递减.故C正确;f=2sin=2sin=,所以不是f(x)的一个零点.故D错误.
6.解析:∵0<1<2<3<π,而y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos 1>cos 2>cos 3.
答案:cos 1>cos 2>cos 3
7.解析:最小正周期T==4π.当y取最大值时,x-=2kπ,k∈Z,即x=+4kπ,k∈Z.
答案:4π
8.解析:因为y=cos x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以只有-π答案:(-π,0]
9.解:(1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),
解得-≤x≤-(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.即x=-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
10.解:(1)∵g(x)=f=sin=-sin,令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵-≤x≤,∴-≤2x≤.
∴-1≤sin 2x≤1.又y=2asin 2x+b(a>0),
∴ymax=2a+b=1,ymin=-2a+b=-5.
即解得
11.选B y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x,令t=sin x,t∈[-1,1],则y=-t2+t+1=+,所以当t=时,ymax=.
12.选A 因为f(x)=πsin对任意x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2),故f(x1)为f(x)的最小值,f(x2)为f(x)的最大值,从而|x1-x2|的最小值为半个周期,因为T==8π,所以|x1-x2|的最小值为4π.
13.解析:由诱导公式知sin=cos,所以函数y=2cos-cos=cos,最小值为-1.
答案:-1
14.证明:由f(x+1)=-f(x),
得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
因为函数f(x)是偶函数且在[-3,-2]上单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.
又α,β是锐角三角形的两个内角,则有α+β>,即>α>-β>0,
因为y=sin x在上单调递增,
所以sin α>sin=cos β,
且sin α∈(0,1),cos β∈(0,1),
所以f(sin α)>f(cos β).
15.解:法一 ∵ω>0,
∴x∈时,ωx∈.
∵y=sin x在上单调递增,
∴ .
∴
∴0<ω≤.故ω的取值范围是.
法二 由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),
得-+≤x≤+,∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
根据题意,得
(k∈Z).
从而有(k∈Z),
即当k=0时,得0<ω≤.故ω的取值范围是.