第 2 课时 正、余弦函数的单调性与最值
—— (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求函数的值域和最值.
2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性并能利用单调性比较大小,会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.
(一)正弦函数、余弦函数的单调性
1.正弦函数的单调性
在每一个闭区间(k∈Z)上都________,其值从-1增大到1;在每一个闭区间(k∈Z)上都________,其值从1减小到-1.
2.余弦函数的单调性
在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都________,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都________,其值从1减小到-1.
|微|点|助|解|
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间,不能针对象限;
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间;
(3)利用单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
(二)正弦函数、余弦函数的最值
1.正弦函数的最值
当且仅当x=________(k∈Z)时取得最大值1;当且仅当x=________(k∈Z)时取得最小值-1.
2.余弦函数的最值
当且仅当x=______(k∈Z)时取得最大值1;当且仅当x=______(k∈Z)时取得最小值-1.
|微|点|助|解|
(1)若函数的定义域不是R,则一定要在给定区间内结合单调性求值域与最值.
(2)利用函数y=sin x和y=cos x的值域和最值,可以求它们复合而成的函数的值域和最值.
(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值.
基础落实训练
1.在下列区间中,使y=sin x单调递增的是( )
A.[0,π] B.
C. D.[π,2π]
2.y=2cos的值域是( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.[-1,1]
3.函数y=2+2cos x的单调递增区间是____________________.
4.函数y=sin x的值域为________.
题型(一) 正、余弦函数的单调区间
[例1] 求函数f(x)=2sin的单调区间.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件增加x∈[0,2π],求f(x)的单调区间.
2.若本例中函数f(x)=2sin变为f(x)=2sin,求f(x)的单调递增区间.
|思|维|建|模|
求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.
[针对训练]
1.求下列函数的单调区间:
(1)y=-cos;
(2)y=3sin.
题型(二) 比较三角函数值的大小
[例2] 比较下列各组数的大小.
(1)sin 194°与cos 160°;
(2)cos,sin,-cos;
(3)sin与sin.
听课记录:
|思|维|建|模|
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
[针对训练]
2.下列结论正确的是( )
A.sin 400°>sin 50° B.sin 220°
C.cos 130°>cos 200° D.cos(-40°)3.不求值,指出下列各式大于零还是小于零.
(1)sin 25°-sin 72°;
(2)sin-sin.
题型(三) 正、余弦函数的值域与最值
[例3] 求下列函数的值域.
(1)y=2sin,x∈;
(2)y=cos2x-4cos x+5.
听课记录:
|思|维|建|模|
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x)型,可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性,注意对A正、负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin x(或y=Acos x)型的函数求值.
[针对训练]
4.函数y=+sin x-sin2x,x∈的最小值是( )
A.1 B.
C.- D.不存在
5.求函数y=3-4cos,x∈的最值.
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
课前预知教材
(一)1.单调递增 单调递减 2.单调递增 单调递减
(二)1.+2kπ -+2kπ 2.2kπ 2kπ+π
[基础落实训练] 1.C 2.A
3.[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z) 4.
课堂题点研究
[例1] 解:令z=x-,则y=2sin z.
因为z=x-是增函数,
所以y=2sin z单调递增时,
函数f(x)=2sin也单调递增.
由z∈(k∈Z),
得x-∈(k∈Z),
即x∈(k∈Z),
故函数f(x)=2sin的单调递增区间为(k∈Z).
同理可求函数f(x)=2sin的单调递减区间为(k∈Z).
[变式拓展]
1.解:由例题知f(x)=2sin的单调递增区间为,k∈Z,
又x∈[0,2π],得0≤x≤或≤x≤2π,
同理函数f(x)=2sin,x∈[0,2π]的单调递减区间为.
所以函数f(x)=2sin,x∈[0,2π]的单调递增区间为,,单调递减区间为.
2.解:f(x)=sin=-sin,
令z=x-,而y=-sin z的单调递增区间是,k∈Z,
令+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以函数f(x)=2sin的单调递增区间为,k∈Z.
[针对训练]
1.解:(1)要求y=-cos的单调递增区间,只需2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z),
解得4kπ≤x≤2π+4kπ(k∈Z);
要求y=-cos的单调递减区间,
只需-π+2kπ≤≤2kπ(k∈Z),
解得-2π+4kπ≤x≤4kπ(k∈Z);
所以y=-cos的单调递增区间为[4kπ,2π+4kπ](k∈Z);
单调递减区间为[-2π+4kπ,4kπ](k∈Z).
(2)要求y=3sin的单调递增区间,
只需-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);
要求y=3sin的单调递减区间,
只需+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);
所以y=3sin的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z);单调递减区间为(k∈Z).
[例2] 解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°,函数y=sin x在0°~90°内单调递增,∴sin 14°∴-sin 14°>-sin 70°.∴sin 194°>cos 160°.
(2)sin=cos,-cos=cos,∵0<π-<-<<π,函数y=cos x在(0,π)上单调递减,
∴cos>cos>cos.
即-cos>sin>cos.
(3)cos=cos=sin.∵0<<<,函数y=sin x在内单调递增,∴sin[针对训练]
2.选C 由cos 130°=cos(180°-50°)=-cos 50°,cos 200°=cos(180°+20°)=-cos 20°,因为当0°-cos 20°.即cos 130°>cos 200°.
3.解:(1)因为0°<25°<72°<90°,又f(x)=sin x在x∈上单调递增,所以sin 25°(2)因为sin=-sin
=-sin=-sin=sin,
sin=-sin=-sin=sin,因为0<<<,由f(x)=sin x在x∈上单调递增,所以sinsin.
即sin-sin>0.
[例3] 解:(1)∵x∈,
∴2x+∈.
令u=2x+,又y=sin u在上单调递增,在上单调递减,∴-≤sin≤1.∴-≤2sin≤2.
∴函数的值域为[-,2].
(2)令t=cos x,则-1≤t≤1.
∴y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
∴当t=-1时,y取得最大值10,
当t=1时,y取得最小值2.
∴y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
[针对训练]
4.选A 令t=sin x∈,则y=-t2+t+=-+2.当t=-时,y有最小值1.
5.解:∵x∈,
∴2x+∈.
从而-≤cos≤1.
∴当cos=1,2x+=0,即x=-时,ymin=3-4=-1;
当cos=-,2x+=,即x=时,ymax=3-4×=5.(共69张PPT)
正、余弦函数的单调性与最值
—— (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求函数的值域和最值.
2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性并能利用单调性比较大小,会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)正弦函数、余弦函数的单调性
1.正弦函数的单调性
单调递增
单调递减
2.余弦函数的单调性
在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都__________,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都__________,其值从1减小到-1.
单调递增
单调递减
|微|点|助|解|
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间,不能针对象限;
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间;
(3)利用单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
(二)正弦函数、余弦函数的最值
1.正弦函数的最值
2kπ
2kπ+π
|微|点|助|解|
(1)若函数的定义域不是R,则一定要在给定区间内结合单调性求值域与最值.
(2)利用函数y=sin x和y=cos x的值域和最值,可以求它们复合而成的函数的值域和最值.
(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值.
基础落实训练
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3.函数y=2+2cos x的单调递增区间是________________________.
解析:函数的单调递增区间为[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z).
[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 正、余弦函数的单调区间
[变式拓展]
1.若本例条件增加x∈[0,2π],求f(x)的单调区间.
|思|维|建|模|
求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.
针对训练
[例2] 比较下列各组数的大小.
(1)sin 194°与cos 160°;
题型(二) 比较三角函数值的大小
解:sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°,函数y=sin x在0°~90°内单调递增,∴sin 14°-sin 70°.∴sin 194°>cos 160°.
|思|维|建|模|
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
针对训练
2.下列结论正确的是( )
A.sin 400°>sin 50° B.sin 220°C.cos 130°>cos 200° D.cos(-40°)解析:由cos 130°=cos(180°-50°)=-cos 50°,cos 200°=cos(180°+20°)=-cos 20°,因为当0°-cos 20°.即cos 130°>cos 200°.
√
3.不求值,指出下列各式大于零还是小于零.
(1)sin 25°-sin 72°;
题型(三) 正、余弦函数的值域与最值
(2)y=cos2x-4cos x+5.
解:令t=cos x,则-1≤t≤1.
∴y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
∴当t=-1时,y取得最大值10,
当t=1时,y取得最小值2.
∴y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
|思|维|建|模|
三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x)型,可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性,注意对A正、负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin x(或y=Acos x)型的函数求值.
针对训练
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.y=2cos x2的值域是( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.R
解析:因为x∈R,所以x2≥0,所以y=2cos x2∈[-2,2].
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3.下列关系式正确的是( )
A.sin 11°<cos 10°<sin 168°
B.sin 168°<sin 11°<cos 10°
C.sin 11°<sin 168°<cos 10°
D.sin 168°<cos 10°<sin 11°
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解析:由诱导公式,得cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°.因为当0°≤x≤90°时,正弦函数y=sin x是单调递增的,所以sin 11°<sin 12°<sin 80°,即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.
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6.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是_________________.(用“>”连接)
解析:∵0<1<2<3<π,而y=cos x在[0,π]上单调递减,
∴cos 1>cos 2>cos 3.
cos 1>cos 2>cos 3
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8.已知函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是__________.
解析:因为y=cos x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以只有-π(-π,0]
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(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
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B级——重点培优
11.函数y=cos2x+sin x的最大值为( )
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14.(12分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-3,-2]上单调递减,α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f(sin α)>f(cos β).
证明:由f(x+1)=-f(x),
得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
因为函数f(x)是偶函数且在[-3,-2]上单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.
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12课时跟踪检测(五十二) 正、余弦函数的单调性与最值
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.y=2cos x2的值域是 ( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.R
2.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是 ( )
A. B.
C. D.
3.下列关系式正确的是 ( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°4.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin有 ( )
A.最大值为1,最小值为-1
B.最大值为1,最小值为-
C.最大值为2,最小值为-2
D.最大值为2,最小值为-1
5.(多选)已知函数f(x)=2sin,下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在区间上单调递减
D.为f(x)的一个零点
6.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是 .(用“>”连接)
7.设函数y=2cos+3,则函数的最小正周期是 ,y取最大值时x的集合为 .
8.已知函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是 .
9.(8分)已知函数f(x)=2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
10.(10分)已知函数f(x)=sin 2x.
(1)若g(x)=f,求函数g(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,函数y=2af(x)+b(a>0)的最大值为1,最小值为-5,求实数a,b的值.
B级——重点培优
11.函数y=cos2x+sin x的最大值为 ( )
A.2 B.
C.1 D.0
12.已知函数f(x)=πsin,如果存在实数x1,x2,使x∈R时,f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最小值是 ( )
A.4π B.π
C.8π D.2π
13.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为 .
14.(12分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-3,-2]上单调递减,α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f(sin α)>f(cos β).
15.(12分)已知ω是正数,函数f(x)=2sin ωx在区间上单调递增,求ω的取值范围.
课时跟踪检测(五十二)
1.选A 因为x∈R,所以x2≥0,所以y=2cos x2∈[-2,2].
2.选C 函数y=|cos x|=
图象如图所示.
单调递减区间有,,….故选C.
3.选C 由诱导公式,得cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°.因为当0°≤x≤90°时,正弦函数y=sin x是单调递增的,所以sin 11°4.选D 因为-≤x≤,所以-≤x+≤.所以-≤sin≤1.所以-1≤2sin≤2.即f(x)的最大值为2,最小值为-1.
5.选ABC f(x)的最小正周期为2π,故A正确;当sin=1时,f(x)的最大值为2,故B正确;因为x∈,所以x+∈ .所以f(x)在区间上单调递减.故C正确;f=2sin=2sin=,所以不是f(x)的一个零点.故D错误.
6.解析:∵0<1<2<3<π,而y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos 1>cos 2>cos 3.
答案:cos 1>cos 2>cos 3
7.解析:最小正周期T==4π.当y取最大值时,x-=2kπ,k∈Z,即x=+4kπ,k∈Z.
答案:4π
8.解析:因为y=cos x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以只有-π答案:(-π,0]
9.解:(1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),
解得-≤x≤-(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.即x=-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
10.解:(1)∵g(x)=f=sin=-sin,令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵-≤x≤,∴-≤2x≤.
∴-1≤sin 2x≤1.又y=2asin 2x+b(a>0),
∴ymax=2a+b=1,ymin=-2a+b=-5.
即解得
11.选B y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x,令t=sin x,t∈[-1,1],则y=-t2+t+1=+,所以当t=时,ymax=.
12.选A 因为f(x)=πsin对任意x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2),故f(x1)为f(x)的最小值,f(x2)为f(x)的最大值,从而|x1-x2|的最小值为半个周期,因为T==8π,所以|x1-x2|的最小值为4π.
13.解析:由诱导公式知sin=cos,所以函数y=2cos-cos=cos,最小值为-1.
答案:-1
14.证明:由f(x+1)=-f(x),
得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
因为函数f(x)是偶函数且在[-3,-2]上单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.
又α,β是锐角三角形的两个内角,则有α+β>,即>α>-β>0,
因为y=sin x在上单调递增,
所以sin α>sin=cos β,
且sin α∈(0,1),cos β∈(0,1),
所以f(sin α)>f(cos β).
15.解:法一 ∵ω>0,
∴x∈时,ωx∈.
∵y=sin x在上单调递增,
∴ .
∴
∴0<ω≤.故ω的取值范围是.
法二 由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),
得-+≤x≤+,∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
根据题意,得
(k∈Z).
从而有(k∈Z),
即当k=0时,得0<ω≤.故ω的取值范围是.