第 3 课时 正、余弦函数图象与性质的综合
(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
题型(一) 正、余弦函数的对称性
[例1] 设函数f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，则|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
听课记录：
[例2] (2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝( )
A．－ B．－ C. D.
听课记录：
|思|维|建|模|
对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
[针对训练]
1．(多选)若函数f(x)＝2sin，则( )
A．f(x)的最小正周期为10
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在上有最小值
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
2．若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f＝f.则其解析式可以是f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可)
题型(二) 利用正、余弦函数的性质求参数
[例3] 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
已知三角函数的单调性求参数的范围的步骤
(1)明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；
(2)要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；
(3)若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．
[针对训练]
3．已知函数f(x)＝cos(ω＞0)在区间上单调递减，则实数ω的取值范围为( )
A. B．(1,2]
C．(0,1] D.
4．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________．
题型(三) 正、余弦函数图象与性质的综合
[例4] (2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝( )
A．1 B．
C． D．3
听课记录：
|思|维|建|模|
研究三角函数的几个方面
整体研究三角函数的性质，我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑．
[针对训练]
5．(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且f(x)≤f恒成立．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[－π，π]上的单调递增区间．
第3课时 正、余弦函数图象与性质的综合
[例1] 选D 由题意,得2×+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=-+kπ(k∈Z),所以|φ|=(k∈Z).当k=1时,|φ|取得最小值为.
[例2] 选D 由题意得×=-,解得ω=2,易知x=是f(x)的最小值点,所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).
不妨取k=0,于是f(x)=sin,
f=sin-×2+=sin=,故选D.
[针对训练]
1.选AD 由题意得,最小正周期T==10,A正确.因为f=2sin≠0,所以f(x)的图象不关于点对称,B错误.因为f=2sin=2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.若x∈,则x-∈,由y=sin x的图象可知,f(x)在上有最大值,没有最小值,C错误.
2.解析:因为对于任意的x∈R,都有f=f,
所以函数的图象关于直线x=对称.又由于函数为偶函数,所以函数的解析式可以为f(x)=cos 3x.因为f(-x)=cos(-3x)=cos 3x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令3x=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称.
答案:cos 3x(答案不唯一)
[例3] 解析:由
0,得+<ωx+<ωπ+.又y=sin x的单调递减区间为2kπ+,2kπ+,k∈Z,所以k∈Z,解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈.
答案:
[针对训练]
3.选A 由题意有T=≥π,可得0<ω≤2,又由<+≤,必有+≤π,可得0<ω≤.
4.解析:因为f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=,因为f(T)=cos=cos(2π+φ)=cos φ=,又0<φ<π,所以φ=.即f(x)=cos.又x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ,k∈Z.解得ω=3+9k,k∈Z.因为ω>0,所以当k=0时ωmin=3.
答案:3
[例4] 选A 因为即sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),又2<ω<3,所以<ω+<,所以ω+=4π,解得ω=,
所以f(x)=sin+2,
所以f=sin+2=
sin +2=1.故选A.
[针对训练]
5.选B f(x)=sinx的最小正周期为=4,因为f(2)=sin π=0,所以函数f(x)=sinx的图象不关于直线x=2对称,故排除A;f(x)=cosx的最小正周期为=4,因为f(2)=cos π=-1,所以函数f(x)=cosx的图象关于直线x=2对称,故B符合题意;函数f(x)=sinx和f(x)=cosx的最小正周期均为=8,均不符合题意,故排除C、D.故选B.
6.解:(1)因为f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以T=π.而ω>0,解得ω=2.
因为f(x)=2sin(2x+φ),
且f(x)≤f恒成立,
所以f为f(x)的最大值,
即f=2sin=2,
则2×+φ=2kπ+,k∈Z,
所以φ=2kπ+,k∈Z.因为|φ|<,
所以φ=,所以f(x)=2sin.
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.因为x∈[-π,π],所以f(x)在[-π,π]上的单调递增区间是,-,,.(共64张PPT)
正、余弦函数图象与性质的综合
(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
第3课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 正、余弦函数的对称性
题型(二) 利用正、余弦函数的性质求参数
题型(三) 正、余弦函数图象与
性质的综合
4
课时跟踪检测
题型(一) 正、余弦函数的对称性
01
√
√
|思|维|建|模|
针对训练
√
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cos 3x(答案不唯一)
题型(二) 利用正、余弦函数
的性质求参数
02
|思|维|建|模|
已知三角函数的单调性求参数的范围的步骤
(1)明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；
(2)要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；
(3)若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．
针对训练
√
3
题型(三) 正、余弦函数图象与
性质的综合
03
√
|思|维|建|模|
研究三角函数的几个方面
整体研究三角函数的性质，我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑．
针对训练
5．(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为( )
√
(2)求函数f(x)在[－π，π]上的单调递增区间．
课时跟踪检测
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3．函数y＝xsin x|cos x|在[－π，π]上的图象大致是( )
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解析：易知f(x)是偶函数，排除B、C项；当0≤x≤π时，sin x≥0，所以y＝xsin x|cos x|≥0.排除A项．
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y＝sin πx(答案不唯一)
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(2)若f(x)在区间[－m，m]上单调递减，求m的最大值；
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(3)当m取最大值时，求函数g(x)＝cos(ωx＋φ)在区间(－m，m)上的值域．
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2课时跟踪检测(五十三) 正、余弦函数图象与性质的综合
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=-
2.若点(a,0)是函数y=sin图象的一个对称中心,则a的值可以是 ( )
A. B.
C.- D.-
3.函数y=xsin x|cos x|在[-π,π]上的图象大致是 ( )
4.(多选)已知函数f(x)=sin,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在区间[0,π]上单调递增
C.f(x)的图象关于点中心对称
D.f(x)的图象关于直线x=-对称
5.若f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为 ( )
A. B.
C. D.π
6.写出一个以x=为对称轴的奇函数 .
7.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f=f,则f= .
8.设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为 .
9.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
(2)求f(x)的单调递增区间.
10.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象经过点,且关于直线x=对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[-m,m]上单调递减,求m的最大值;
(3)当m取最大值时,求函数g(x)=cos(ωx+φ)在区间(-m,m)上的值域.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且f=f,则ω= ( )
A. B.
C. D.1
12.已知函数f(x)=3cos(x∈[0,π]),且f(x1)=f(x2)=(x1≠x2),则x1+x2= ( )
A. B.
C. D.
13.(多选)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|的结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
D.f(x)的最大值为2
14.(多选)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的一个最大值点为x=-,与之相邻的一个零点为x=,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为
B.f为奇函数
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上的值域为
15.(14分)已知函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在上有零点,求实数m的取值范围.
课时跟踪检测(五十三)
1.选B 函数f(x)=cos,令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),
当k=1时,x=,故选B.
2.选C 依题意可得a+=kπ,k∈Z,
所以a=kπ-,k∈Z.当k=0时,a=-.
3.选D 易知f(x)是偶函数,排除B、C项;当0≤x≤π时,sin x≥0,所以y=xsin x|cos x|≥0.排除A项.
4.选AD A选项,f(x)的最小正周期为=2π,故A正确;B选项,当x∈[0,π]时,x-∈,由正弦函数的单调性可知,y=sin z在上单调递增,在上单调递减,故B错误;C选项,f=sin≠0,所以f(x)的图象不关于点中心对称,故C错误;D选项,由f=sin=-,得f(x)的图象关于直线x=-对称,故D正确.
5.选A 易知将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)=cos的图象,则函数f(x)=cos的单调递增区间为(k∈Z),而函数又在[-a,a]上单调递增,所以 a≤,于是06.解析:易知y=sin ωx(ω≠0)是奇函数,ω=kπ+(k∈Z),ω=2kπ+π(k∈Z),取k=0得ω=π,从而函数式为y=sin πx.
答案:y=sin πx(答案不唯一)
7.解析:由题意,函数f(x)对任意实数x都有f=f,可得x=是函数f(x)=3sin(ωx+φ)的一条对称轴,根据三角函数的图象与性质,可得f=±3.
答案:±3
8.解析:∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,∴当x=时,f(x)取得最大值.即f=cos=1.∴ω-=2kπ,k∈Z,∴ω=8k+,k∈Z.∵ω>0,
∴当k=0时,ω取得最小值.
答案:
9.解:(1)依题意T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).∵f(x)的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ,k∈Z.得φ=+kπ,k∈Z.又|φ|≤,
∴φ=.∴f(x)=sin.
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
10.解:(1)因为f(x)的图象经过点,所以f(0)=sin φ=,又因为<φ<π,所以φ=.因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以+=+kπ,k∈Z,解得ω=3k-1,k∈Z,又因为0<ω<4,所以ω=2,所以f(x)=sin.
(2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)在上单调递减,所以[-m,m] ,故m的最大值为.
(3)当m取最大值时,区间(-m,m)
即,∴2x+∈,
∴g(x)=cos的值域为[-1,0).
11.选C 当x∈时,ωx+∈,∵f(x)在上单调递增,∴ω+≤,解得ω≤1,即0<ω≤1.∴<ω+≤,<ω+≤,则由f=f得+=π,解得ω=.故选C.
12.选B 由f(x)=3cos(x∈[0,π]),且f(x1)=f(x2)=(x1≠x2),则3cos=,即cos=,同理可得,cos=,又x1,x2∈[0,π],则2x1-∈,2x2-∈,因为0<<,所以2x1-+2x2-=2×π,解得x1+x2=.故选B.
13.选AD ∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)是偶函数,故A正确;当x∈时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,函数单调递减,故B错误;当x=0时,f(x)=0,当x∈(0,π]时,f(x)=2sin x,令f(x)=0,得x=π.又f(x)是偶函数,∴函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误;∵sin|x|≤|sin x|,∴f(x)≤2|sin x|≤2,当x=+2kπ,k∈Z或x=-+2kπ,k∈Z时,f(x)能取得最大值2,故D正确.
14.选BC 依题意,f(x)的最小正周期T=4=π,|ω|==2,当ω=2时,2+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,f(x)=cos,当ω=-2时,-2+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,f(x)=cos,因此f(x)=cos.函数f(x)的最小正周期为π,A错误;f=cos=-sin 2x,此函数为奇函数,B正确;当x∈时,2x+∈[π,2π],由余弦函数的性质知,函数f(x)在上单调递增,C正确;当x∈时,2x+∈,cos∈,D错误.
15.解:(1)因为函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π,所以T==π.由于ω<0,所以ω=-2.所以f(x)=2sin=-2sin,所以要求函数f(x)的单调递增区间,只需求函数y=2sin的单调递减区间,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为函数g(x)=f(x)-m在上有零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.因为x∈,2x-∈,故函数f(x)在区间上的值域为[-2,1].所以当m∈[-2,1]时,函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.所以当m∈[-2,1]时,函数g(x)=f(x)-m在上有零点.故实数m的取值范围为[-2,1].