5.4.3 正切函数的性质与图象—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．
2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
解析式 y＝tan x
图象
定义域 ________________
值域 ________
最小正周期 ________
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间________________上都单调递增
对称性 对称中心____________
|微|点|助|解|
(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内单调递增，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．
(2)画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指，(0,0)，，“两线”是指x＝－和x＝，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．
(3)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凹凸性．
(4)正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心．( )
(2)正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)．( )
(3)若x是第一象限角，则y＝tan x是增函数．( )
2．函数y＝tan的最小正周期是( )
A．π B．2π
C. D.
3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
4．函数y＝tan的定义域为________．
题型(一) 正切函数的定义域和值域
[例1] 函数y＝的值域是( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
听课记录：
[例2] 函数y＝tan的定义域是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
听课记录：
|思|维|建|模|
求正切函数定义域、值域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
(3)处理正切函数值域问题时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解．
[针对训练]
1．(1)求函数y＝3tan的定义域；
(2)求函数y＝tan2x－2tan x的值域．
题型(二) 正切函数的周期性、奇偶性及对称性
[例3] 函数f(x)＝tan的周期为________．
听课记录：
[例4] 已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，它的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
[提醒] y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z.
[针对训练]
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
3．函数y＝sin x＋tan x是______函数．(填“奇”或“偶”)
题型(三) 正切函数的单调性及其应用
[例5] (多选)下列选项是函数y＝tan的单调递增区间的有( )
A. B.
C. D.
听课记录：
[例6] tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________________________．
听课记录：
[变式拓展]
若例5中函数变为y＝tan，求该函数的单调区间．
|思|维|建|模|
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ＜ωx＋φ＜＋kπ(k∈Z)即可．当ω＜0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[针对训练]
4．已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则ω的取值范围为( )
A．(0,1] B．[－1,0)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
5．y＝的单调递增区间为________．
题型(四) 正切函数图象与性质的综合问题
[例7] 设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
听课记录：
|思|维|建|模|
确定函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)解析式的方法
(1)先确定函数的最小正周期，然后利用周期公式T＝确定ω；
(2)代入相关点确定出A和φ；
(3)确定f(x)的解析式．
[针对训练]
6．已知函数f(x)＝2tan(ω>0)的最小正周期为，
(1)求f(x)图象的对称中心；
(2)求不等式f(x)>－2在上的解集．
5.4.3 正切函数的性质与图象
课前预知教材
R π (k∈Z) (k∈Z)
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)×
2.C 3.(k∈Z) 4.
课堂题点研究
[例1] 选B 当-∴>1.即当x∈∪时,函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
[例2] 选A 函数y=tan中,-2x≠+kπ,k∈Z.
解得x≠--,k∈Z,
即定义域为,k∈Z.
[针对训练]
1.解:(1)令-≠+kπ,k∈Z,得x≠--4kπ,k∈Z,即函数的定义域为xx≠--4kπ,k∈Z.
(2)令u=tan x,因为|x|≤,所以由正切函数的图象(如图)知u∈[-,],
所以原函数可化为y=u2-2u,
u∈[-,],
因为该二次函数的图象开口向上,图象的对称轴方程为u=1,所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1,当u=-时,ymax=3+2,
所以原函数的值域为[-1,3+2].
[例3] 解析:法一:定义法 ∵tan=tan,即tan2+=tan,∴f(x)=tan的周期是.
法二:公式法 f(x)=tan的周期T=.
答案:
[例4] 解析:由x-=(k∈Z)得x=+(k∈Z),所以图象的对称中心坐标为(k∈Z).
答案:(k∈Z)
[针对训练]
2.选C 由题意可得f(x)的最小正周期为,则=,又ω>0,则ω=4.
3.解析:定义域为,关于原点对称,∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),∴函数是奇函数.
答案:奇
[例5] 选BC 令kπ-[例6] 解析:y=tan x在区间上单调递增,且tan 1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,所以tan 2答案:tan 2[变式拓展]
解:y=tan=-tan,
由kπ-得kπ-所以函数y=tan的单调递减区间是,k∈Z.
[针对训练]
4.选B 因为y=tan x在内单调递增,所以易知ω<0.又y=tan ωx(ω<0)在上是单调递减的,所以其最小正周期T=≥π,综上,ω的取值范围为[-1,0).
5.解析:对于函数y=,令kπ答案:,k∈Z
[例7] 解:(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=,即=,
因为ω>0,所以ω=2.从而f(x)=tan(2x+φ),
因为函数y=f(x)的图象关于点M对称,所以2×+φ=,k∈Z.
即φ=+,k∈Z.因为0<φ<,
所以φ=,故f(x)=tan.
令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,
得-+kπ<2x即-+(2)由(1)知,f(x)=tan.由-1≤tan≤,得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,即-+≤x≤+,k∈Z.所以不等式-1≤f(x)≤的解集为x-+≤x≤+,k∈Z.
[针对训练]
6.解:(1)由=,得ω=2.由2x+=
(k∈Z),得x=-+(k∈Z),
所以f(x)图象的对称中心为
(k∈Z).
(2)由x∈,
得2x+∈.
由f(x)=2tan>-2,
得tan>-1,
所以-<2x+<,解得-故不等式f(x)>-2在上的解集为.(共75张PPT)
5.4.3
正切函数的性质与图象
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．
2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
R
π
续
表
|微|点|助|解|
(3)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凹凸性．
基础落实训练
×
×
√
√
3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________________________．
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 正切函数的定义域和值域
√
√
(3)处理正切函数值域问题时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解．
针对训练
因为该二次函数的图象开口向上，图象的对称轴方程为u＝1，所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1，
题型(二) 正切函数的周期性、奇偶性及对称性
|思|维|建|模|
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
针对训练
√
3．函数y＝sin x＋tan x是______函数．(填“奇”或“偶”)
奇
题型(三) 正切函数的单调性及其应用
√
√
[例6] tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为
__________________________．
tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1
|思|维|建|模|
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
针对训练
√
题型(四) 正切函数图象与性质的综合问题
针对训练
课时跟踪检测
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A级——达标评价
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解析：∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1，1]上单调递增，∴tan(－1)≤tan x≤tan 1，即－tan 1≤tan x≤tan 1.
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8．若函数tan x＞1，则x的取值区间为_______________________.
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A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
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2课时跟踪检测(五十四) 正切函数的性质与图象
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数y=|tan 2x|是 ( )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
2.函数y=tan的一个对称中心是 ( )
A.(0,0) B.
C. D.(π,0)
3.函数y=tan(cos x)的值域是 ( )
A. B.
C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不对
4.(多选)关于y=tan,以下说法正确的是 ( )
A.在上单调递增
B.为奇函数
C.以π为最小正周期
D.定义域为
5.(多选)下列不等式成立的是 ( )
A.tanC.tan 1 320°6.若函数y=tan(a≠0)的最小正周期为,则a= .
7.函数y=tan x,x∈的值域为 .
8.若函数tan x>1,则x的取值区间为 .
9.(8分)求函数y=tan的定义域、单调区间及对称中心.
10.(10分)已知f(x)=tan.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x+φ)是奇函数,则φ应满足什么条件 并求出满足|φ|<的φ值.
B级——重点培优
11.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是 ( )
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
12.(多选)若函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=m的相邻交点的距离为,则以下说法错误的是 ( )
A.ω=
B.点是f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在区间上单调递增
13.直线y=与函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为π.若f(x)在(-m,m)(m∈N*)上单调递增,则m的最大值为 .
14.(12分)设函数y=10tan,k∈N*.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义,求k的最小正整数值.
15.(12分)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和,且过点(0,-3).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求满足f(x)≥ 的x的取值范围.
课时跟踪检测(五十四)
1.选D f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x),故为偶函数,T=.
2.选C 令x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是,k∈Z.令k=2,可得函数的一个对称中心为.
3.选C ∵-1≤cos x≤1,且函数y=tan x在[-1,1]上单调递增,∴tan(-1)≤tan x≤tan 1,即-tan 1≤tan x≤tan 1.
4.选AB 当x∈时,y=tan在上单调递增;tan=-tan,故y=tan为奇函数,因此A、B正确;T==2π,所以C不正确;由≠+kπ,k∈Z,得函数的定义域为,所以D不正确.
5.选ACD tan=tan=tan,tan=tan=tan,显然>>>0,正切函数在单调递增,∴tan>tan.A正确;tan 4=tan[π+(4-π)]=tan(4-π),∵0<4-π<1<,∴tan(4-π)tan 60°,即tan 1 320°∴sin<0,cos>0.
即cos>sin,D正确.
6.解析:因为=,所以|a|=.所以a=±.
答案:±
7.解析:由题知,根据函数图象性质可知,y=tan x在上单调递增,所以函数在上单调递增.因为tan=-,tan=1,所以该函数的值域为.
答案:
8.解析:由tan x>1,得+kπ答案:(k∈Z)
9.解:由5x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z.故函数的定义域为.由kπ-<5x+10.解:(1)因为函数f(x)=tan,所以函数f(x)的最小正周期为T=.
(2)f(x+φ)=tan=tan,若f(x+φ)是奇函数,则+2φ=(k∈Z),
解得φ=-(k∈Z),
令<,解得-11.选D y=tan(-x)=-tan x在上单调递减,只有图象d符合,即d对应③,故选D.
12.选ACD 因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=m的相邻交点的距离为,所以函数f(x)的最小正周期为T=.则ω==2.故A错误;因为f(x)=tan,由2x+=(k∈Z),可得x=-(k∈Z),当k=1时,x=,故点是f(x)图象的一个对称中心.故B正确;函数f(x)的图象无对称轴,故C错误;当13.解析:因为直线y=与函数f(x)的图象的相邻两个交点的距离为一个周期,∴=π.∴ω=.∴f(x)=tan.由kπ-答案:1
14.解:由题意可得,当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时,至少包含函数的2个周期,故函数的最小正周期T满足T≤,即≤,解得k≥,故k的最小正整数值为17.
15.解:(1)由题意可得f(x)的周期为T=-==,因为ω>0,所以ω=,
得f(x)=Atan,它的图象过点,所以tan=0,
即tan=0,
所以+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,于是f(x)=Atan.又因为它的图象过点(0,-3),所以Atan=-3,得A=3.所以f(x)=3tan.
(2)因为3tan≥,所以tan≥,得kπ+≤x-
