5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第 1 课时 两角差的余弦公式—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.经历推导两角差余弦公式的过程，掌握余弦公式的结构特征.
2.知道两角差余弦公式的意义，掌握两角差的余弦公式的应用.
公式 cos(α－β)＝________________
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β为任意角
|微|点|助|解|
(1)公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号相反．
(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的α，“”相当于公式中的β.
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.( )
(2)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.( )
(3)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( )
2．cos 25°＝( )
A．cos 30°cos 5°－sin 30°sin 5°
B．cos 30°cos 5°＋sin 30°sin 5°
C．sin 30°cos 5°－cos 30°sin 5°
D．cos 30°sin 5°－sin 30°cos 5°
3．cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝( )
A．－ B. C．－ D.
题型(一) 给角求值问题
[例1] 求下列各式的值：
(1)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°；
(2)sin 100°sin(－160°) ＋cos 200°cos(－280°)．
听课记录：
|思|维|建|模|
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
[针对训练]
1.cos 15°＋sin 15°的值是( )
A. B．－
C. D．－
2．化简下列三角函数的值．
(1)cos 75°＋sin 75°；
(2)coscos θ＋sinsin θ.
题型(二) 给值(式)求值问题
[例2] 已知cos α＝，α∈，则cos＝________.
听课记录：
[例3] 已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
听课记录：
|思|维|建|模|
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[针对训练]
3．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．
4．若α，β都是锐角，sin α＝，sin(α－β)＝，求cos β的值．
题型(三) 给值求角问题
[例4] 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
听课记录：
|思|维|建|模|
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
[针对训练]
5．已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，求β的值．
第1课时 两角差的余弦公式
课前预知教材
cos αcos β+sin αsin β
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)× 2.B 3.B
课堂题点研究
[例1] 解:(1)原式=cos 80°cos 35°+sin 80°·sin 35°=cos(80°-35°)=cos 45°=.
(2)原式=sin(180°-80°)sin(-180°+20°)+cos(20°+180°)cos(80°-360°)=sin 80°·(-sin 20°)+(-cos 20°)cos 80°=-(cos 20°·cos 80°+sin 20°sin 80°)=-cos(20°-80°)=-.
[针对训练]
1.选A 原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=.
2.解:(1)cos 75°+sin 75°
=cos 30°cos 75°+sin 30°sin 75°
=cos(30°-75°)=cos(-45°)=.
(2)coscos θ+sinsin θ
=cos=cos=.
[例2] 解析:因为cos α=,α∈,
所以sin α=-,
所以cos=cos αcos +sin αsin =×+×=.
答案:
[例3] 解:因为α,β∈,所以α+β∈(0,π).
则sin(α+β)>0,sin(α+β)==,cos α==,所以cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.
[针对训练]
3.解析:∵sin α=,α∈,∴cos α=-=-=-.
∴cos=coscos α+sinsin α=×+×=.
答案:
4.解:因为α,β∈,所以α-β∈.又sin(α-β)=>0,所以α-β∈.
所以cos α==,cos(α-β)==.
则cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.
[例4] 解:∵α,β均为锐角,∴sin α=,
sin β=.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
又sin α∴-<α-β<0.故α-β=-.
[针对训练]
5.解:因为α为锐角,且cos α=,
所以sin α==.
又α,β为锐角,sin(α+β)=<=sin α,所以α+β∈.
所以cos(α+β)=-=-.
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
又β为锐角,故β=.(共54张PPT)
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角差的余弦公式
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.经历推导两角差余弦公式的过程，掌握余弦公式的结构特征.
2.知道两角差余弦公式的意义，掌握两角差的余弦公式的应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
公式 cos(α－β)＝______________________
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β为任意角
cos αcos β＋sin αsin β
|微|点|助|解|
(1)公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号相反．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β. ( )
(2)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β. ( )
(3)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. ( )
√
×
×
2．cos 25°＝( )
A．cos 30°cos 5°－sin 30°sin 5°
B．cos 30°cos 5°＋sin 30°sin 5°
C．sin 30°cos 5°－cos 30°sin 5°
D．cos 30°sin 5°－sin 30°cos 5°
解析：cos 25°＝cos(30°－5°)＝cos 30°cos 5°＋sin 30°sin 5°.
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 给角求值问题
[例1] 求下列各式的值：
(1)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°；
(2)sin 100°sin(－160°) ＋cos 200°cos(－280°)．
|思|维|建|模|
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
针对训练
√
题型(二) 给值(式)求值问题
|思|维|建|模|
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
针对训练
题型(三) 给值求角问题
|思|维|建|模|
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
针对训练
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1．化简sin(x＋y)sin(y－x)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为( )
A．sin 2y B．cos 2y C．－cos 2y D．－sin 2y
解析：原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y，故选C.
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
2
3
4
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6．计算：sin 39°cos 21°＋sin 51°cos 69°＝________.
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(10分)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——重点培优
11．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
解析：由sin αsin β＝1，可知sin α＝1，sin β＝1或sin α＝－1，sin β＝－1，此时均有cos α＝cos β＝0，从而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9课时跟踪检测(五十五) 两角差的余弦公式
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.化简sin(x+y)sin(y-x)-cos(x+y)cos(x-y)的结果为 ( )
A.sin 2y B.cos 2y
C.-cos 2y D.-sin 2y
2.已知sin α=,α∈,则cos等于 ( )
A. B.
C.- D.-
3.(多选)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是 ( )
A.- B.-
C. D.
4.已知点P(1,)是角α终边上一点,则cos等于 ( )
A. B.
C.- D.
5.(多选)若cos 5xcos(-2x)-sin(-5x)sin 2x=0,则x的值可能是 ( )
A. B.
C. D.
6.计算:sin 39°cos 21°+sin 51°cos 69°= .
7.= .
8.满足cos αcos β=-sin αsin β的一组α,β的值是 .
9.(8分)已知sin=,且<α<,求cos α的值.
10.(10分)如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.
(1)如果A,B两点的纵坐标分别为,,求cos α和sin β;
(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.
B级——重点培优
11.若sin αsin β=1,则cos(α-β)= ( )
A.0 B.1
C.±1 D.-1
12.(多选)已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是 ( )
A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=-
C.β-α= D.β-α=-
13.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,则sin B= ,cos A= .
14.(12分)已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈,f=-,
f=,求cos(α-β)的值.
15.(12分)已知A(cos α,sin α),B(cos β,sin β),其中α,β为锐角,且AB=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若cos α=,求cos β的值.
课时跟踪检测(五十五)
1.选C 原式=-cos[(x+y)-(x-y)]=-cos 2y,故选C.
2.选B 由题意可知cos α=,cos=cos=cos=cos αcos +sin αsin =×+×=.
3.选AC 化简得,cos=cos(x+φ),所以φ=-+2kπ,k∈Z.故φ=-,都合适.
4.选A 由题意可得sin α=,cos α=,cos=coscos α+sinsin α=×+×=.
5.选BC 因为cos 5xcos(-2x)-sin(-5x)sin 2x=cos 5xcos 2x+sin 5xsin 2x=cos(5x-2x)=cos 3x=0,所以3x=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z,所以当k=0时,x=,当k=1时,x=.
6.解析:sin 39°cos 21°+sin 51°cos 69°=cos 51°cos 21°+sin 51°sin 21°=cos(51°-21°)=cos 30°=.
答案:
7.解析:
=
==.
答案:
8.解析:由cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=,得α-β=2kπ+,k∈Z或α-β=2kπ-,k∈Z.当α=,β=时,α-β=-=,满足要求.
答案:α=,β=(答案不唯一)
9.解:∵sin=,且<α<,
∴<α+<π.∴cos=-=-.∴cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=.
10.解:(1)因为☉O为单位圆,且点A,B的纵坐标分别为,,所以sin α=,sin β=.因为α为锐角,所以cos α=.
(2)因为β为钝角,且结合(1)知cos β=-,
所以cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=-×+×=.
11.选B 由sin αsin β=1,可知sin α=1,sin β=1或sin α=-1,sin β=-1,此时均有cos α=cos β=0,从而cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1.
12.选AC 由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β.两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1.∴-2cos(β-α)=-1.∴cos(β-α)=.∴A正确,B错误.
∵sin γ=sin β-sin α>0,∴β>α.∴β-α=.∴C正确,D错误.故选AC.
13.解析:在△ABC中,因为cos B=-<0,所以B为钝角,则sin B=,
所以A+B∈.
由sin(A+B)=,得cos(A+B)=-,
所以cos A=cos[(A+B)-B]=cos(A+B)·cos B+sin(A+B)sin B
=-×+×=.
答案:
14.解:(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π,所以10π=,所以ω=.
(2)因为f=-,
所以2cos
=2cos=-,
所以sin α=.又因为f=,
所以2cos=2cos β=.
所以cos β=.因为α,β∈,
所以cos α=,sin β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
15.解:(1)由AB=,
得 =,
所以2-2(cos αcos β+sin αsin β)=,
所以cos(α-β)=.
(2)因为cos α=,cos(α-β)=,α,β为锐角,所以sin α=,sin(α-β)=±.
当sin(α-β)=时,cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=;
当sin(α-β)=-时,cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=0.
因为β为锐角,所以cos β=.
