第 2 课时 两角和与差的正弦、余弦公式
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系．
2．掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换．
(一)两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝______________ ______________________________ α，β∈R
|微|点|助|解|
(1)公式中的角α，β都是任意角．
(2)要学会正用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变形运用(移项变形)公式C(α＋β)．如：
①cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cos αcos(α＋β)－sin αsin(α＋β)；
②cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β；
③cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β；
④cos α－sin α＝cos 45°cos α－sin 45°sin α＝cos(α＋45°)．
(二)两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝_______________ ____________________________ α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝_________________ ____________________________ α，β∈R
|微|点|助|解|
(1)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin(α±β)≠sin α±sin β.
(2)注意公式的逆向运用和变形运用．
①公式的逆用：如sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α.
②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面， 一个是公式本身的变形运用，如sin(α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现．
基础落实训练
1．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( )
A. B．－
C．0 D．1
2．sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为( )
A．－ B．－
C. D.
3．cos 75°＝________.
4．化简sin(45°＋A)－sin(45°－A)＝________.
题型(一) 给角求值问题
[例1] cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为( )
A．－ B．－
C. D.
听课记录：
[例2] 化简：＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[针对训练]
1．已知角α的终边经过点P(sin 18°，cos 18°)，则sin(α－12°)＝( )
A. B.
C．－ D．－
2.的值是( )
A. B.
C．1 D.
题型(二) 给值(式)求值问题
[例3] 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
听课记录：
[变式拓展]
若本例的条件不变，如何求cos 2α与cos 2β 的值．
|思|维|建|模|
给值(式)求值的解题策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． [针对训练]
3．设α∈，若sin α＝，则cos的值为( )
A. B.
C. D.
4．已知α，β均为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝( )
A. B.或
C. D.
题型(三) 给值求角问题
[例4] 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
听课记录：
|思|维|建|模|
解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
[针对训练]
5．已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
课前预知教材
(一)cos αcos β-sin αsin β
(二)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β
[基础落实训练]
1.C 2.B 3. 4.sin A
课堂题点研究
[例1] 选B 法一 原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40°=-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°)=-cos 60°=-.
法二 原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40°=sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40°=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-.
[例2] 解析:
=
=
==sin 30°=.
答案:
[针对训练]
1.选B 由题意,角α的终边经过点P(sin 18°,cos 18°),根据三角函数的定义,可得sin α==cos 18°,cos α==sin 18°,所以sin(α-12°)=sin αcos 12°-cos αsin 12°=cos 18°cos 12°-sin 18°sin 12°=cos(18°+12°)=cos 30°=.
2.选A 原式=
=
=
==.
[例3] 解:∵cos(α-β)=>0,<β<α<,∴0<α-β<.∴sin(α-β)=.
又sin(α+β)=-,π<α+β<,
∴cos(α+β)=-.
∴sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)·cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-×-×=-.
[变式拓展]
解:因为<β<α<,所以0<α-β<,π<α+β<.所以sin(α-β)= = =,
cos(α+β)=-
=- =-.
所以cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=×-×=-,
cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+×=-.
[针对训练]
3.选B ∵α∈,sin α=,∴cos α=.∴cos=cos αcos -sin αsin =×-×=.故选B.
4.选A 因为α,β均为锐角,故α+β∈(0,π).因为cos α=,cos(α+β)=-,所以sin α==,sin(α+β)==.所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.
[例4] 解:∵α∈,β∈,
∴α-β∈(0,π).
∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
∵β∈,sin β=-,∴cos β=.
∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×+×=.又∵α∈,∴α=.
[针对训练]
5.解:因为α和β均为钝角,
所以cos α=-=-,
cos β=-=-.
由α和β均为钝角,得π<α+β<2π,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=.所以α+β=.(共62张PPT)
两角和与差的正弦、余弦公式
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1．能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系．
2．掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝____________________ α，β∈R
cos αcos β－sin αsin β
|微|点|助|解|
(1)公式中的角α，β都是任意角．
(2)要学会正用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变形运用(移项变形)公式C(α＋β)．如：
①cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cos αcos(α＋β)－sin αsin(α＋β)；
②cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β；
③cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β；
(二)两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝_____________________ α，β∈R
两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝____________________ α，β∈R
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
|微|点|助|解|
(1)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin(α±β)
≠sin α±sin β.
(2)注意公式的逆向运用和变形运用．
①公式的逆用：如sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α.
②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，如sin(α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现．
基础落实训练
√
√
3．cos 75°＝_____________.
4．化简sin(45°＋A)－sin(45°－A)＝__________.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 给角求值问题
√
|思|维|建|模|
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
针对训练
√
√
题型(二) 给值(式)求值问题
[变式拓展]
若本例的条件不变，如何求cos 2α与cos 2β 的值．
|思|维|建|模|
给值(式)求值的解题策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
针对训练
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题型(三) 给值求角问题
|思|维|建|模|
解决给值(式)求角问题的方法
针对训练
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．化简cos(x＋y)sin y－sin(x＋y)cos y等于( )
A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)
C．sin x D．－sin x
解析：cos(x＋y)sin y－sin(x＋y)cos y＝sin[y－(x＋y)]＝－sin x.
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6．sin 255°＝_______________.
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B级——重点培优
11．在锐角三角形ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x，y的大小关系是( )
A．x≤y B．xC．x≥y D．x>y
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13．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C＝________.
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14课时跟踪检测(五十六) 两角和与差的正弦、余弦公式
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.化简cos(x+y)sin y-sin(x+y)cos y等于 ( )
A.sin(x+2y) B.-sin(x+2y)
C.sin x D.-sin x
2.sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值是 ( )
A.- B.-
C. D.
3.(多选)cos α-sin α化简的结果可以是 ( )
A.cos B.2cos
C.sin D.2sin
4.(多选)下面各式中,正确的是 ( )
A.sin=sincos+cos
B.cos=sin-cos cos
C.cos=coscos+
D.cos=cos-cos
5.函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是 ( )
A.3π和 B.3π和2
C.6π和 D.6π和2
6.sin 255°= .
7.已知sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π),则θ= .
8.在锐角△ABC中,已知cos A=,sin B=,则角C的值为 .
9.(8分)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
10.(10分)化简下列各式:
(1)sin+2sin-cos;
(2)-2cos(α+β).
B级——重点培优
11.在锐角三角形ABC中,设x=sin Asin B,y=cos Acos B,则x,y的大小关系是 ( )
A.x≤y B.xC.x≥y D.x>y
12.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β= .
13.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C= .
14.(12分)阅读下面材料,根据两角和与差的正弦公式,有
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ①,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β ②,
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β ③.
令α+β=A,α-β=B,则α=,β=,代入③得sin A+sin B=2sincos.
(1)利用上述结论,试求sin 15°+sin 75°的值;
(2)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cos A-cos B=-2sinsin.
15.(12分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f.
课时跟踪检测(五十六)
1.选D cos(x+y)sin y-sin(x+y)cos y=sin[y-(x+y)]=-sin x.
2.选B 原式=-sin 65°sin 55°+sin 25°·sin 35°=-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35°=-cos(35°+25°)=-cos 60°=-.
3.选BD cos α-sin α=2=2=2cos=2sin.
4.选ABC 因为sin=,所以A正确;
因为cos=-cos=-cos,所以B正确;cos=cos,所以C正确;因为cos=cos≠cos-cos,所以D不正确.
5.选C 因为f(x)=sin +cos
=sin,所以最小正周期T==6π.因为≤1,
所以f(x)max=.故选C.
6.解析:sin 255°=-sin 75°=-sin(45°+30°)=-.
答案:-
7.解析:∵sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π),∴sin=cos(2x-θ).即cos=cos(2x-θ),
∴θ=.
答案:
8.解析:因为△ABC为锐角三角形,又cos A=,sin B=,所以sin A=,cos B=.则sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.又C∈,即C=.
答案:
9.解:∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α
=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=,
∴sin β=-.又β是第三象限角,
∴cos β=-=-.
∴sin=sin βcos+cos βsin
=×+×=-.
10.解:(1)原式=sin xcos+cos xsin+2-=sin x+cos x+2-=0.
(2)原式=-2cos(α+β)=
=
==.
11.选D ∵π>A+B>,∴cos(A+B)<0.即y-x=cos Acos B-sin Asin B<0,
∴x>y.
12.解析:依题设得=
sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.
∵0<β<α<,∴cos(α-β)=.又cos α=,∴sin α=,∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,∴β=.
答案:
13.解析:由题意知
①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37.
则sin(A+B)=.
∴在△ABC中,sin C=,
∴C=或C=.
若C=,则A+B=,
∵1-3cos A=4sin B>0,
∴cos A<.又<,∴A>,此时A+C>π,不符合题意,∴C≠,∴C=.
答案:
14.解:(1)sin 15°+sin 75°
=2sincos=.
(2)证明:根据两角和与差的余弦公式,有
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ①,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β ②,
由①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinα sin β ③.
令α+β=A,α-β=B,则α=,β=,代入③得cos A-cos B=-2sinsin.
15.解:(1)由f=Asin=Asin =A=,可得A=3.
(2)由(1)知,f(x)=3sin,
因为f(θ)-f(-θ)=,
所以3sin-3sin=.
即3-3=,
故sin θ=.因为θ∈,所以cos θ=.
所以f=3sin
=3sin=3cos θ=.
