第 3 课时 两角和与差的正切公式
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．
3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
|微|点|助|解|
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
(3)T(α±β)可变形为如下形式：
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)或②1 tan αtan β＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②.
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两角和与差的正切公式对tan是适用的．( )
(2)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(3)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )
2．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B．－
C．3 D．－3
3．已知tan α＝2，则tan＝________.
4.＝________.
题型(一) 两角和与差正切公式的简单应用
[例1] 若tan＝，则tan α＝_______.
[例2] 已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|
利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
[针对训练]
1．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为______．
2．已知tan α＝2，tan β＝－，其中0<α<，<β<π，求α＋β的值．
题型(二) 两角和与差正切公式的逆用
[例3] 计算：＝( )
A．－ B. C．－ D.
听课记录：
|思|维|建|模|
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan＝1，tan＝，tan＝等．要特别注意tan＝，tan＝.
[针对训练]
3．与相等的是( )
A．tan 66° B．tan 24°
C．tan 42° D．tan 21°
4．化简求值：.
题型(三) 两角和与差正切公式的变形用
[例4] 若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于( )
A. B．2
C．1＋ D．不确定
听课记录：
|思|维|建|模|
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．
[针对训练]
5.tan 87°tan 33°－tan 87°－tan 33°＝( )
A. B．－ C. D．－
6．(1＋tan 19°)(1＋tan 20°)…(1＋tan 25°)(1＋tan 26°)的值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
第3课时 两角和与差的正切公式
课前预知教材
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)× 2.A 3.-3 4.
课堂题点研究
[例1] 解析:法一 ∵tan=
==,
∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1),∴tan α=.
法二 tan α=tan
===.
答案:
[例2] 解析:∵tan α=,tan β=,
∴tan(α+β)===1.
∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π).∴α+β=.
答案:
[针对训练]
1.解析:tan β=tan[(α+β)-α]===3.
答案:3
2.解:把tan α=2,tan β=-代入,
得tan(α+β)==
=1.
因为0<α<,<β<π.
所以<α+β<.所以α+β=.
[例3] 选A 原式====-=-=-.故选A.
[针对训练]
3.选B 原式==tan(45°-21°)=tan 24°.
4.解:原式=
=tan(45°-15°)=tan 30°=.
[例4] 选B ∵α+β=π,∴tan(α+β)==-1,∴tan α+tan β=tan αtan β-1,∴(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2.
[针对训练]
5.选A tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=tan 87°tan 33°-tan(87°+33°)(1-tan 87°·tan 33°)=tan 87°tan 33°+(1-tan 87°tan 33°)=.故选A.
6.选A 由于19°+26°=45°,20°+25°=45°,…,利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan 19°)(1+tan 26°)=2,(1+tan 20°)(1+tan 25°)=2,…,故(1+tan 19°)(1+tan 20°)…(1+tan 25°)(1+tan 26°)=2×2×2×2=16.(共53张PPT)
两角和与差的正切公式
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第3课时
课时目标
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
|微|点|助|解|
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
基础落实训练
×
√
×
√
－3
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 两角和与差正切公式的简单应用
|思|维|建|模|
利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
针对训练
3
题型(二) 两角和与差正切公式的逆用
√
针对训练
√
题型(三) 两角和与差正切公式的变形用
√
|思|维|建|模|
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．
针对训练
√
6．(1＋tan 19°)(1＋tan 20°)…(1＋tan 25°)(1＋tan 26°)的值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
解析：由于19°＋26°＝45°，20°＋25°＝45°，…，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 19°)·(1＋tan 26°)＝2，(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝2，…，故(1＋tan 19°)(1＋tan 20°)…(1＋tan 25°)(1＋tan 26°)＝2×2×2×2＝16.
√
课时跟踪检测
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A级——达标评价
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4．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
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8．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝，且β∈(0，π)，则β的值为_______.
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13．如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝_______.
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15．(16分)如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
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2课时跟踪检测(五十七) 两角和与差的正切公式
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.tan 255°等于 ( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
2.的值等于 ( )
A.tan 42° B.tan 3°
C.1 D.tan 24°
3.已知2tan θ-tan=7,则tan θ= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是 ( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
5.(多选)已知tan α=4,tan β=-,则 ( )
A.tan(-α)tan β=1 B.α为锐角
C.tan= D.tan 2α=tan 2β
6.= .
7.已知cos=2cos(π-α),则tan= .
8.已知tan(α+β)=7,tan α=,且β∈(0,π),则β的值为 .
9.(8分)已知tan=2,tan β=,
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
10.(12分)在△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,tan A+tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC的形状.
B级——重点培优
11.已知tan 110°=a,求tan 50°的值(用a表示),王老师得到的结果是,叶老师得到的结果是,对此你的判断是 ( )
A.王老师对、叶老师错 B.两人都对
C.叶老师对、王老师错 D.两人都错
12.已知α,β∈(0,π),cos α=,tan(α-β)=-,则β的值为 ( )
A. B.
C. D.
13.如图是由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ= .
14.若ω≠0,函数f(x)=图象的相邻两个对称中心之间的距离是,则ω= .
15.(16分)如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan∠APD的值.
课时跟踪检测(五十七)
1.选D tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)===2+.
2.选A ∵tan 60°=,∴原式==tan(60°-18°)=tan 42°.
3.选D 由已知得2tan θ-=7,解得tan θ=2.
4.选A ∵tan A+tan B=,tan A·tan B=,∴tan(A+B)=.∴tan C=-tan(A+B)=-.∴C为钝角,即△ABC为钝角三角形.
5.选ACD ∵tan α=4,tan β=-,∴tan(-α)tan β=-tan αtan β=1,故A正确;∵tan α=4>0,∴α为第一象限角或第三象限角,故B错误;∵tan β=-,
∴tan==,故C正确;∵tan α=4,tan β=-,∴tan 2α===-,tan 2β==-,故D正确.
6.解析:==
=tan(15°-45°)
=tan(-30°)=-.
答案:-
7.解析:因为cos=2cos(π-α),所以-sin α=-2cos α tan α=2,
所以tan===-.
答案:-
8.解析:由已知得tan β=tan[(α+β)-α]===1,
∵β∈(0,π),∴β=.
答案:
9.解:(1)∵tan=2,
∴=2.
∴=2.解得tan α=.
(2)原式
=
===tan(β-α)===.
10.解:∵tan B+tan C+tan Btan C=,∴tan(B+C)==
=,
又0
∵tan A+tan B+1=tan Atan B,∴tan(A+B)===-.
又0由①②及A+B+C=π,解得B=,C=,A=.∴△ABC为等腰三角形.
11.选B ∵tan 50°=tan(110°-60°)=,故王老师正确.∵tan 110°=tan(90°+20°)==-=a,
∴tan 50°===,故叶老师正确.
12.选D 因为α∈(0,π),cos α=,所以sin α==,所以tan α==.所以tan β=tan[α-(α-β)]===1.
因为β∈(0,π),所以β=.
13.解析:由题图易知tan α=,tan β=,
γ=,∴tan(α+β)==1.
∴由题意知α+β=.∴α+β+γ=.
答案:
14.解析:因为ω≠0,函数f(x)===tan图象的相邻两个对称中心之间的距离是,所以=2·=π,所以ω=±1.
答案:±1
15.解:由AB+BP=PD,得a+BP
= ,
解得BP=a.设∠APB=α,∠DPC=β,则tan α==,tan β==,∴tan(α+β)==-18,又∠APD+α+β=π,∴tan∠APD=18.