第 4 课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．能从两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．了解它们的内在联系．
2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S2α sin 2α＝____________
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝________＝________
T2α tan 2α＝
2．余弦的二倍角公式的变形
|微|点|助|解|
(1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．
(2)二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．
(3)和角公式与二倍角公式之间的联系：
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)10α是5α的倍角，5α是的倍角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)要使T2α有意义，需要α≠±＋kπ且α≠＋kπ(k∈Z)．( )
2．(多选)下列各式中，一定成立的是( )
A．sin 8α＝2sin 4αcos 4α
B．1－sin2α＝(sin α－cos α)2
C．sin2α＝
D．tan 2α＝
3．已知cos α＝，则cos 2α＝________.
4．已知tan α＝，则tan 2α＝________.
题型(一) 给角求值问题
[例1] 求下列各式的值：
(1)sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)cos 20°cos 40°cos 80°.
听课记录：
[变式拓展]
将本例(3)变为sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°，如何求值？
|思|维|建|模|
解决给角求值问题的两种方法
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
[针对训练]
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
2．求下列各式的值：
(1)－＋cos215°；(2)tan－.
题型(二) 给值求值问题
[例2] 已知sin＝，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
[例3] 若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B. C．1 D.
听课记录：
|思|维|建|模|
解决给值求值问题的方法
解决给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
[针对训练]
3．已知tan＝3，则tan 2α＝( )
A．－4 B．－
C．4 D.
4．已知sin＝，0
题型(三) 倍角公式的综合应用
[例4] 已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cos Bsin2＋cos 2B－2cos B.
(1)若f(B)＝2，求B的大小；
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)倍角公式与三角函数的综合应用，要注意公式的灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断．
(2)三角形中的三角函数，注意题目中角的范围限制，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正．
[针对训练]
5．已知角A，B，C为△ABC的内角，若tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前预知教材
1.2sin αcos α 2cos2α-1 1-2sin2α 2.1-2sin2α 2cos2α-1
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√ 2.AC 3.- 4.-
课堂题点研究
[例1] 解:(1)原式===.
(2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=.
(3)原式=
==
==.
[变式拓展]
解:原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
=
===.
[针对训练]
1.选B 2sin 15°cos 15°=sin 30°=;cos215°-sin215°=cos 30°=;2sin215°=1-cos 30°=1-;sin215°+cos215°=1,故选B.
2.解:(1)原式=(2cos215°-1)
=cos 30°=.
(2)原式===(-2)×==-2.
[例2] 选D sin
=sin2+
=cos
=1-2sin2=.
[例3] 选A 原式=cos2α+4sin αcos α===.
[针对训练]
3.选A 已知tan==3,解得tan α=-,
则tan 2α==-4.
4.解析:∵0又sin=,∴cos=.
∵cos 2x=sin
=2sincos
=2coscos
=2coscos,
∴=2cos=.
答案:
[例4] 解:(1)f(B)=4cos B·+cos 2B-2cos B=2cos B(1+sin B)+cos 2B-2cos B=2cos Bsin B+cos 2B
=sin 2B+cos 2B=2sin.
因为f(B)=2,所以2sin=2,
即sin=1.所以2B+=+2kπ,k∈Z.又因为0(2)由题意知f(B)-m>2恒成立,
即2sin>2+m恒成立.
因为0所以2sin∈[-2,2],
所以2+m<-2,所以m<-4,故实数m的取值范围是(-∞,-4).
[针对训练]
5.选B 在△ABC中,0则0<<,∴sin>0.
又tan==sin C=sin(A+B)=2sincos,∴2cos2=1,
∴cos(A+B)=0,∴A+B=,则C=,∴△ABC为直角三角形.(共61张PPT)
二倍角的正弦、余弦、正切公式
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第4课时
课时目标
1.能从两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.了解它们的内在联系.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α
2cos2α－1
1－2sin2α
2．余弦的二倍角公式的变形
(3)和角公式与二倍角公式之间的联系：
基础落实训练
√
√
√
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 给角求值问题
(2)1－2sin2750°；
[变式拓展]
将本例(3)变为sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°，如何求值？
|思|维|建|模|
解决给角求值问题的两种方法
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
针对训练
√
题型(二) 给值求值问题
√
√
|思|维|建|模|
解决给值求值问题的方法
解决给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
针对训练
√
题型(三) 倍角公式的综合应用
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
|思|维|建|模|
(1)倍角公式与三角函数的综合应用，要注意公式的灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断．
(2)三角形中的三角函数，注意题目中角的范围限制，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正．
针对训练
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课时跟踪检测
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(2)若x∈[0,2π]，求函数f(x)的值域．课时跟踪检测(五十八) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若sin α=,则cos 2α= ( )
A. B.
C.- D.-
2.的值是 ( )
A. B.-
C. D.-
3.已知sin α=3cos α,那么tan 2α的值为 ( )
A.2 B.-2
C. D.-
4.log2sin+log2cos等于 ( )
A.-2 B.-1
C. D.1
5.(多选)下列各式的值等于的有 ( )
A.2sin 67.5°cos 67.5° B.2cos267.5°-1
C.1-2sin222.5° D.
6.化简:·= .
7.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是 .
8.若α为第三象限角,则-= .
9.(8分)求证:=tan.
10.(10分)已知<α<π,sin α=.
(1)求tan 2α的值;
(2)求cos的值.
B级——重点培优
11.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= ( )
A. B.
C.- D.-
12.黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cos 72°,则= ( )
A.2 B.1
C. D.
13.(多选)已知函数f(x)=2sin2x,下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的单调递增区间为,k∈Z
D.f(x)的图象关于点对称
14.(12分)已知cos x=,且x∈,求cos+sin2x的值.
15.(12分)已知函数f(x)=cossin+cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若x∈[0,2π],求函数f(x)的值域.
课时跟踪检测(五十八)
1.选B ∵sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.
2.选A 原式====.
3.选D 因为sin α=3cos α,所以tan α=3,
所以tan 2α===-.
4.选A log2sin+log2cos=log2=log2=log2=-2.
5.选AC 因为2sin 67.5°cos 67.5°=sin 135°=,故A的值等于;因为2cos267.5°-1=cos 135°=-,故B的值不等于;因为1-2sin222.5°=cos 45°=,故C的值等于;因为=tan 45°=1,故D的值不等于.
6.解析:原式=·=tan 2α.
答案:tan 2α
7.解析:∵sin 2α=-sin α,∴2sin αcos α=-sin α.由α∈知sin α≠0,∴cos α=-,∴α=,∴sin α=,tan α=-,∴tan 2α===.
答案:
8.解析:因为α为第三象限角,所以cos α<0,sin α<0,所以-=-=-=0.
答案:0
9.证明:
=
==tan.
10.解:(1)由题意得cos α=-,
所以tan α=-,
所以tan 2α===.
(2)因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-,又cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-.
所以cos=cos 2αcos+sin 2α·sin=×+×=-.
11.选B 因为
所以sin αcos β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=,故选B.
12.选C ======.
13.选ACD f(x)=2sin2x=1-cos 2x,T==π,故A正确;f(x)=2sin2x定义域为R,关于原点对称,f(-x)=1-cos 2(-x)=1-cos 2x=f(x),所以函数为偶函数,故B错误;由余弦函数的单调区间可得2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故C正确;2x=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,当k=0时,x=,所以f(x)=1-cos 2x的图象关于点对称,故D正确.
14.解:∵cos x=,x∈,
∴sin x=-=-.
∴sin 2x=2sin xcos x=-.∴cos+sin2x=+=-sin 2x=-×=.
15.解:(1)f(x)=sin+=+=sin+.
所以函数f(x)的最小正周期T==4π.
由2kπ-≤+≤2kπ+,得4kπ-≤x≤4kπ+,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为x∈[0,2π],所以+∈,sin∈,
从而sin+∈.
因此,函数f(x)的值域为.