5.5.2 简单的三角恒等变换
第 1 课时 简单的三角恒等变换—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.
3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.
(一)半角公式
三角函数 半角公式
正弦 sin＝____________
余弦 cos＝____________
正切 tan＝± ， tan＝＝________
|微|点|助|解|
(1)理解半角的含义：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角．
(2)半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号．
(二)积化和差、和差化积
1．积化和差公式
(1)sin αcos β＝________________；
(2)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]；
(3)cos αcos β＝________________；
(4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
2．和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sincos；
(2)sin θ－sin φ＝________________；
(3)cos θ＋cos φ＝2coscos；
(4)cos θ－cos φ＝________________.
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin 15°＝± .( )
(2)cos 15°＝ .( )
(3)tan＝.( )
(4)对于任意的α∈R，sin＝sin α都不成立．( )
2．cos2－的值为( )
A. B. C. D.
3．若cos α＝，且α∈(0，π)，则sin＝________.
4．sin 75°－sin 15°的值为( )
A. B. C. D．－
题型(一) 利用半角公式求值
[例1] 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin，cos，tan.
听课记录：
|思|维|建|模| 利用半角公式求值的思路
[针对训练]
1．已知sin α＝，cos α＝，则tan等于( )
A．2－ B．2＋
C.－2 D．±(－2)
2．已知sin α＝－且π＜α＜，则sin＝________.
题型(二) 积化和差、和差化积公式的应用
[例2] (1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°；
(2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．积化和差公式的功能与关键
(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)．
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质．
(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
2．和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项．
[针对训练]
3．求下列各式的值：
(1)cos 29°cos 31°－cos 2°；
(2)cos＋cos －2sin cos .
题型(三) 三角恒等式的证明问题
[例3] 求证：＋＝ .
听课记录：
|思|维|建|模|
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
[针对训练]
4．在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos.
第1课时 简单的三角恒等变换
课前预知教材
(一)± ±
(二)1.(1)[sin(α+β)+sin(α-β)]
(3)[cos(α+β)+cos(α-β)]
2.(2)2cossin
(4)-2sinsin
[基础落实训练] 1.(1)× (2)× (3)× (4)× 2.B 3. 4.B
课堂题点研究
[例1] 解:∵α为第四象限角,∴为第二、四象限角.
当为第二象限角时,sin==,cos=-=-,tan=-=-;
当为第四象限角时,sin=-=-,cos==,tan=-=-.
[针对训练]
1.选C 法一 ∵sin α=,cos α=,∴tan==-2.
法二 ∵sin α=>0,cos α=>0,∴α的终边落在第一象限,的终边落在第一或第三象限,所以tan >0,故tan===-2.
2.解析:因为sin α=-,π<α<,所以cos α=-.又<<,所以sin===.
答案:
[例2] 解:(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.
(2)∵cos α-cos β=,
∴-2sinsin=①.
又∵sin α-sin β=-,
∴2cossin=-②.∵sin≠0,
∴由①②,得-tan=-,
即tan=.
∴sin(α+β)=
===.
[针对训练]
3.解:(1)cos 29°cos 31°-cos 2°
=[cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2°
=cos 60°+cos(-2°)-cos 2°=.
(2)cos+cos -2sin cos
=2cos·cos-cos
=2coscos-cos=cos-cos =0.
[例3] 证明:法一
左边=
+
=+===右边.所以原式成立.
法二
左边=
====右边.所以原式成立.
[针对训练]
4.证明:∵左边=sin(B+C)+2sin·cos
=2sincos+2sincos
=2cos
=4sinsincos=右边,
∴原等式成立.(共63张PPT)
5.5.2
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.
3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)半角公式
(二)积化和差、和差化积
1．积化和差公式
2．和差化积公式
基础落实训练
×
×
×
×
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 利用半角公式求值
|思|维|建|模| 利用半角公式求值的思路
针对训练
√
题型(二) 积化和差、和差化积公式的应用
[例2] (1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°；
|思|维|建|模|
1．积化和差公式的功能与关键
(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)．
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
2．和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.
针对训练
题型(三) 三角恒等式的证明问题
|思|维|建|模|
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
针对训练
课时跟踪检测
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A级——达标评价
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B级——重点培优
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2课时跟踪检测(五十九) 简单的三角恒等变换
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.化简:= ( )
A.tan α B.cos α
C.sin α D.cos 2α
2.函数y=sincos x的最大值为 ( )
A. B.
C.1 D.
3.设π<α<3π,cos α=m,cos =n,cos =p,下列各式正确的是 ( )
A.n=- B.n=
C.p= D.p=-
4.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan 的可能取值为 ( )
A. B.1
C.2 D.不存在
5.在△ABC中,若B=30°,则cos Asin C的取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.
C. D.
6.sin= .
7.设α∈(π,2π),则 等于 .
8.sincos化为和差的结果是 .
9.(10分)化简下列各式:
(1);
(2).
10.(10分)化简下列各式:
(1) - ;
(2)-2cos(α+β).
B级——重点培优
11.已知锐角α,β满足sin α-sin β=-,cos α-cos β=,则cos(α-β)= ( )
A. B.-
C.- D.
12.(多选)下列各式正确的是 ( )
A.(1+tan 1°)(1+tan 44°)=2
B.-=2
C.=2
D.tan 70°cos 10°(tan 20°-1)=2
13.若=,则sin α+cos α的值为 .
14.化简:··= .
15.(16分)已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tan +,若任意交换两个角的位置,y的值是否变化 并证明你的结论.
课时跟踪检测(五十九)
1.选B ==cos2-sin2=cos α.
2.选B ∵y=sincos x===sin-.∴函数y的最大值为.
3.选A ∵<<,∴cos =-,即n=-,此外由于<<,因此cos 的符号不能确定.
4.选AD 由题意知4sincos =1+2cos2-1,故有2sin cos -cos2=0,若2sin -cos =0,则tan =;
若cos =0,则tan 不存在.
5.选C cos Asin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=-sin(A-C),∵-1≤sin(A-C)≤1,∴cos Asin C∈.
6.解析:sin===.
答案:
7.解析:===,∵α∈(π,2π),∴∈.
∴sin>0.故原式=sin .
答案:sin
8.解析:sincos==[cos(A+B)+sin(A-B)].
答案:[cos(A+B)+sin(A-B)]
9.解:(1)原式=
==
=tan.
(2)原式=
=
==.
10.解:(1)原式
=-.
因为<θ<2π,所以<<π,
所以0从而sin+cos<0,sin-cos>0.
所以原式=--=-2sin .
(2)因为2α+β=α+(α+β),所以原式
=
=
==.
11.选D 由sin α-sin β=-得sin2α-2sin αsin β+sin2β= ①.由cos α-cos β=得cos2α-2cos αcos β+cos2β= ②.
①+②得sin2α+cos2α-2(sin αsin β+cos αcos β)+sin2β+cos2β=+,即1-2cos(α-β)+1=,解得cos(α-β)=.故选D.
12.选AC 因为tan 45°=tan(1°+44°),1=,tan 1°+tan 44°=1-tan 1°·tan 44°,所以(1+tan 1°)(1+tan 44°)=1+tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°=1+1-tan 1°tan 44°+tan 1°tan 44°=2,所以A正确.因为-=
=
==4·=4·=4,所以B错误.因为===2,所以C正确.
因为tan 70°·cos 10°(tan 20°-1)=·cos 10°·=·cos 10°·
=·cos 10°
===-1,所以D错误.故选AC.
13.解析:∵=tan=,
∴sin α+cos α=+==.
答案:
14.解析:原式=··=·=·==tan.
答案:tan
15.证明:∵A,B,C是△ABC的三个内角,
∴A+B+C=π,=-.
∴y=tan +=tan +=tan +tan +tan .∴任意交换两个角的位置,y的值不变.
