第 2 课时 简单的三角恒等变换的应用
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
题型(一) 辅助角公式
[例1] 早在两千多年前，我国数学专著《九章算术》中，就提出了宛田(扇形面积)的计算方法，“以径乘周，四而一”(直径与弧长乘积的四分之一)．已知半径为r的扇形的弧长为2π，面积为π，若a2＋b2＝r2，则函数y＝acos2x＋bsin xcos x－－1的最小值为________．
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)可以由两角和的正弦公式推导．
(2)辅助角公式中tan φ＝，且辅助角θ的终边经过点(a，b)，一般地，辅助角θ的范围是(0,2π)．
(3)辅助角公式能够把形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(ab≠0)的函数，都可以化为asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋φ)的形式．
[针对训练]
1．计算cos＋sin的值是( )
A. B．2 C．2 D.
2．函数f(x)＝3sin＋4cos(x∈R)的最大值为( )
A．5 B. C. D．7
题型(二) 利用辅助角公式研究三角函数性质
[例2] 若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<.
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．
[针对训练]
3．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程；
(2)若f(α)＝，求sin的值．
题型(三) 三角恒等变换的实际应用问题
[例3] 如图，某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积．
听课记录：
|思|维|建|模|
应用三角函数解决实际问题的方法及注意事项
方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解
注意 在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响
[针对训练]
4．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
第2课时 简单的三角恒等变换的应用
[例1] 解析:由二倍角公式,得y=a+sin 2x--1=cos 2x+sin 2x-1.
由辅助角公式,得
cos 2x+sin 2x-1=·sin(2x+φ)-1=sin(2x+φ)-1,
其中sin φ=,cos φ=,设扇形弧长为l,又因为扇形的面积S=lr,解得r=1,
所以由正弦函数的图象可得函数
y=sin(2x+φ)-1的最小值为-.
答案:-
[针对训练]
1.选C cos+sin
=2
=2
=2sin=2sin=2.故选C.
2.选A 由辅助角公式,得f(x)=5sin,其中tan φ=.当+φ=+2kπ,k∈Z,即x=π-2φ+4kπ,k∈Z时,f(x)取最大值为5.
[例2] 解:(1)f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+sin x=2=2sin.
(2)因为0≤x<,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.所以当x=时,f(x)有最大值2.
[针对训练]
3.解:(1)f(x)=asin 2ωx+cos 2ωx=·sin(2ωx+φ).由题意知f(x)的最小正周期为π,由=π,知ω=1.由f(x)的最大值为2,得 =2,又a>0,∴a=1.∴f(x)=2sin.令2x+=+kπ(k∈Z),解得f(x)的对称轴为x=+(k∈Z).
(2)由f(α)=,知2sin=,
即sin=,∴sin
=sin=-cos2=-1+2sin2=-1+2×=-.
[例3] 解:
如图,连接OC,设∠COB=θ,则0°<θ<45°,OC=1.
因为AB=OB-OA=cos θ-AD=cos θ-sin θ,
所以S矩形ABCD=AB·BC=(cos θ-sin θ)·sin θ=-sin2θ+sin θcos θ=-(1-cos 2θ)+sin 2θ=(sin 2θ+cos 2θ)-=cos(2θ-45°)-.当2θ-45°=0°,即θ=22.5°时,Smax=(m2),所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
[针对训练]
4.解:
连接OB,如图所示,设∠AOB=θ,
则AB=OBsin θ=20sin θ,OA=OBcos θ=20cos θ,且θ∈.
因为A,D关于原点对称,所以AD=2OA=40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S,则S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ.
因为θ∈,所以当sin 2θ=1,即θ=时,Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当A,D距离圆心O为10 m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400 m2.(共51张PPT)
简单的三角恒等变换的应用
——(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 辅助角公式
题型(二) 利用辅助角公式研究
三角函数性质
题型(三) 三角恒等变换的
实际应用问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 辅助角公式
01
针对训练
√
√
题型(二) 利用辅助角公式研究三角函数性质
02
|思|维|建|模|
(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．
针对训练
题型(三) 三角恒等变换的
实际应用问题
03
[例3] 如图，某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积．
解：如图，连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
|思|维|建|模|
应用三角函数解决实际问题的方法及注意事项
方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解
注意 在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响
针对训练
4.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
解：连接OB，如图所示，
课时跟踪检测
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5.如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为1的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为( )
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8.如图是半径为1的半圆，且PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP＝α，则其值为________时，矩形的面积最大，最大面积的值为________．
45°
1
解析：∠SOP＝α，则SP＝sin α，OS＝cos α，故S矩形PQRS＝sin α
×2cos α＝sin 2α，故当α为45°时，S矩形PQRS的面积最大，最大值为1.
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9.(10分)如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按什么角度来截？
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解析：∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，∴b＞a＞c.
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13．已知函数f(x)＝2sin x＋3cos x，x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)的最大值是________．
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解：如图，过点B作BH⊥OA，垂足为H.
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2课时跟踪检测(六十) 简单的三角恒等变换的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数y=2sin x(sin x+cos x)的最大值是 ( )
A.1+ B.-1
C. D.2
2.等于 ( )
A. B.1
C. D.
3.(多选)下列各值中,函数y=2sin x+2cos x可能取得的是 ( )
A.3 B.3.5
C.4 D.4.5
4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin = ( )
A. B.
C. D.
5.如图,以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为1的等腰三角形,则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为 ( )
A.2-2 B.2+2
C.4 D.6
6.已知函数f(x)=sin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为2,则f(x)的最小正周期为 .
7.已知函数f(x)=2sin-2cos x,x∈,则函数f(x)的值域是 .
8.如图是半径为1的半圆,且PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,则其值为 时,矩形的面积最大,最大面积的值为 .
9.(10分)如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按什么角度来截
10.(12分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x.
(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值,以及此时x的取值.
B级——重点培优
11.设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有 ( )
A.b>a>c B.a>b>c
C.a>c>b D.c>b>a
12.(多选)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的最大值为2
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)关于直线x=-对称
D.f(x)在上单调递增
13.已知函数f(x)=2sin x+3cos x,x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)的最大值是 .
14.如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为弧上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于时,∠POQ的取值范围为 .
15.(14分)如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
课时跟踪检测(六十)
1.选A 原式=2sin2x+2sin x·cos x=1-cos 2x+sin 2x=1+sin,
∴ymax=1+.
2.选A
=
===.
3.选ABC 因为原式=4=4sin≤4,所以函数y=2sin x+2cos x不能取得的是4.5.
4.选D 由题意,cos α==1-2sin2,得sin2===,又α为锐角,所以sin>0,所以sin=,故选D.
5.选B 设等腰三角形的底角为θ,其中0<θ<,则等腰三角形的高为sin θ,其底边长为2cos θ,所以正方形与四个等腰三角形面积之和为S=4××2cos θsin θ+4cos2θ=2sin 2θ+2cos 2θ+2=2sin+2,因为0<θ<,所以<2θ+<,故当2θ+=,即当θ=时,S取得最大值2+2.
6.解析:∵f(x)=sin[(1-a)x+φ],由已知得=2,
∴a=3,∴f(x)=2sin(-2x+φ).
∴T==π.
答案:π
7.解析:∵f(x)=2sin-2cos x=sin x-cos x=2sin,又≤x≤π,∴≤x-≤.∴≤sin≤1.∴函数f(x)的值域为[1,2].
答案:[1,2]
8.解析:∠SOP=α,则SP=sin α,OS=cos α,故S矩形PQRS=sin α×2cos α=sin 2α,故当α为45°时,S矩形PQRS的面积最大,最大值为1.
答案:45° 1
9.解: 设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,=,
因为a=GC+CF=bsin x+bcos x,
所以sin x+cos x=.
所以sin=.
因为0即按x=或x=来截满足要求.
10.解:f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1.
(1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为=.
(2)∵x∈,
∴2x+∈.∴当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值为3;当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值为0.
11.选A ∵a=sin 37°,b=tan 38°,c=sin 36°,∴b>a>c.
12.选BCD ∵f(x)=sin 2x+=(sin 2x-cos 2x)+
=sin+,
∴f(x)max=+=,最小正周期T==π.当x=-时,sin=-1,∴直线x=-为对称轴.
当x∈时,2x-∈,
∴f(x)在上单调递增,综上有B、C、D正确,A不正确.
13.解析:因为f(x)=2sin x+3cos x=sin(x+φ),所以f(x)max=,f(x)min=-.因为x1,x2∈R,所以f(x1)-f(x2)的最大值为f(x)max-f(x)min=-(-)=2.
答案:2
14.解析:设∠POQ=θ,则PQ=sin θ,OQ=cos θ,∴S△POQ=sin θcos θ=sin 2θ,由sin 2θ>,得sin 2θ>.又2θ∈(0,π),∴<2θ<.则<θ<,∴∠POQ的取值范围为.
答案:
15.解:如图,过点B作BH⊥OA,垂足为H.
设∠OAD=θ,
则∠BAH=-θ,
OA=2cos θ,
BH=sin=cos θ,
AH=cos=sin θ,
∴B,
OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=7+6cos 2θ+2·sin 2θ=7+4sin.
由0<θ<,知<2θ+<,
∴当θ=时,OB2取得最大值为7+4.
