5.6.1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响，掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，通过函数的图象掌握A，ω，φ与图象的关系．
φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
|微|点|助|解|
1．φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)y＝sin(x＋φ)与y＝sin x的图象形状是完全一样的，y＝sin(x＋φ)的图象可以由y＝sin x的图象向左或向右平移得到．
(2)左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移．
2．ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)ω(ω>0)影响函数y＝sin(ωx＋φ)的周期．
(2)y＝sin(ωx＋φ)(ω≠1)与y＝sin(x＋φ)的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换．
3．A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)若A>0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A.
(2)|A|的大小反映了曲线y＝Asin(ωx＋φ)波动幅度的大小．
(3)y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin(ωx＋φ)的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由函数y＝sin x的图象得到函数y＝sin(x＋φ)的图象，需向左平移|φ|个单位长度．( )
(2)“五点法”只能作函数y＝sin x的图象，而不能作函数y＝sin(x＋φ)的图象．( )
(3)利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，“ωx＋φ”依次取0，，π，，2π五个值．( )
(4)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”，与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )
2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为( )
A．y＝3sin x B．y＝sin x
C．y＝sin 3x D．y＝sinx
3．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x
C．y＝1＋sin D．y＝cos 2x－1
题型(一) 三角函数图象的平移变换
[例1] 已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，怎样将f(x)的图象变换得到g(x)＝cos ωx的图象？
听课记录：
[变式拓展]
本例变为y＝cos的图象如何变换得到y＝sin x的图象？
|思|维|建|模|
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式，判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离．
[针对训练]
1．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
题型(二) 三角函数图象的伸缩变换
[例2] 说明y＝2sin＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
听课记录：
|思|维|建|模|
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
[针对训练]
3．将函数y＝sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin x
D．y＝sin 4x
4．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cos x＋3 D．f(x)＝sin 3x
题型(三) “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
[例3] 已知函数f(x)＝sin，x∈[0，π]，用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数f(x)的图象．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
第一步：列表
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
[针对训练]
5．已知函数y＝sin，x∈R.
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
5.6.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
课前预知教材
(1)左 右 (2)缩短 伸长 (3)伸长 缩短
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.A 3.B
课堂题点研究
[例1] 解:因为T==π,所以ω=2.
所以f(x)=sin,g(x)=cos 2x.
又sin=sin=cos 2x.
所以将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=cos 2x的图象.
[变式拓展]
解:因为cos
=cos=sin x,
所以将y=cos的图象向右平移个单位长度得到y=sin x的图象.
[针对训练]
1.选D 因为y=2sin=2sin,所以要得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin的图象上所有的点向右平移个单位长度.故选D.
2.选A 法一 y=sin 2x=cos=cos=cos
=cos.所以将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=cos的图象.
法二 根据诱导公式,得y=cos=sin=sin=sin 2,
所以将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=cos的图象.
[例2] 解:法一
y=sin x
y=2sin x
y=2sin
y=2sin
y=2sin+1.
法二 y=sin x
y=2sin x
y=2sin 2x
y=2sin
y=2sin+1.
[针对训练]
3.选A 将函数y=sin的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin=sin的图象.
4.选A y=2sin
y=3sin
y=3sin
y=3sin=3sin=3cos x.
[例3] 解:由题意,列表:
2x- - π
x 0 π
f(x) - 1 0 -1 -
根据五点,作图,
[针对训练]
5.解:(1)列表:
2x+ 0 π 2π
x -
y=sin 0 0 - 0
描点、连线,如图所示.
(2)函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,再保持纵坐标不变,把横坐标缩短为原来的,得到函数y=sin的图象,再保持横坐标不变,把纵坐标缩短为原来的,得到函数y=sin的图象.(共79张PPT)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
5.6.1
课时目标
1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响，掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，通过函数的图象掌握A，ω，φ与图象的关系．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
|微|点|助|解|
1．φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)y＝sin(x＋φ)与y＝sin x的图象形状是完全一样的，y＝sin(x＋φ)的图象可以由y＝sin x的图象向左或向右平移得到．
(2)左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移．
2．ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)ω(ω>0)影响函数y＝sin(ωx＋φ)的周期．
(2)y＝sin(ωx＋φ)(ω≠1)与y＝sin(x＋φ)的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换．
3．A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象影响的注意点
(1)若A>0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A.
(2)|A|的大小反映了曲线y＝Asin(ωx＋φ)波动幅度的大小．
(3)y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin(ωx＋φ)的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换．
基础落实训练
×
×
√
×
2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为( )
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 三角函数图象的平移变换
|思|维|建|模|
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式，判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离．
针对训练
√
√
题型(二) 三角函数图象的伸缩变换
|思|维|建|模|
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
针对训练
√
√
题型(三) “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
解：由题意，列表：
根据五点，作图，
|思|维|建|模|
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
第一步：列表
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
针对训练
解：列表：
描点、连线，如图所示．
(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
课时跟踪检测
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7．将函数y＝sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________________．
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(1)求ω和φ的值；
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(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
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描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
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描点，连线，画出f(x)在[0，π]上的大致图象如图：
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(2)指出函数f(x)的单调递增区间；
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(3)若将此函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，再向下平移2个单位长度得到g(x)的图象正好关于y轴对称，求m的最小正值．
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(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．
解：由图象可知，两个图象共有5个交点．
即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.课时跟踪检测(六十二) 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.用“五点法”作函数y=cos在一个周期内的图象时,第四个关键点的坐标是 ( )
A. B.
C. D.
2.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为 ( )
A.g(x)=2sin
B.g(x)=2sin
C.g(x)=2sin
D.g(x)=2sin
3.函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是 ( )
A. B.2
C.1 D.
4.(多选)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象时,得到如下表格:
x
ωx+φ 0 π 2π
y 0 4 0 -4 0
则下列说法正确的有 ( )
A.A的值为4 B.ω的值为1
C.φ的值为- D.φ的值为
5.(多选)下列四种变换方式,能将y=sin x的图象变为y=sin的图象的是 ( )
A.向左平移个单位长度,再将横坐标缩短为原来的
B.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度
C.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度,再将横坐标缩短为原来的
6.已知函数y=sin 2x的图象上每个点向左平移φ个单位长度得到函数y=sin的图象,则φ的值为 .
7.将函数y=sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为 .
8.(10分)设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.
9.(12分)已知函数f(x)=2sin.
(1)用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数f(x)在[0,π]上的大致图象,并写出y=f(x)图象的对称中心;
(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[0,π]上的值域.
B级——重点培优
10.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为 ( )
A. B.
C.0 D.-
11.将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f= .
12.将函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin的图象重合,则φ= .
13.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点P,且图象上与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)指出函数f(x)的单调递增区间;
(3)若将此函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,再向下平移2个单位长度得到g(x)的图象正好关于y轴对称,求m的最小正值.
14.(13分)将函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cos的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图象.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象;
(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.
课时跟踪检测(六十二)
1.选A 令4x-=,得x=.
∴该点坐标为.
2.选B 将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为g(x)=2sin=2sin.故选B.
3.选C 依题意,得函数f=sin(ω>0)的图象过点,于是有f=sin=sin ωπ=0(ω>0),所以ωπ=kπ,k∈N*,即ω=k,k∈N*,因此正数ω的最小值是1,故选C.
4.选AC 由题表可知,函数f(x)的最大值为4,因为A>0,所以A=4,所以A正确;又由函数的最小正周期T==2×=π,且ω>0,解得ω=2,所以B错误;由上述分析,可得函数f(x)=4sin(2x+φ).当x=时,2x+φ=2kπ,k∈Z,可得2×+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以C正确,D错误.故选AC.
5.选AB 将y=sin x的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin的图象,再将横坐标缩短为原来的,可得y=sin的图象,故A正确;将y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,可得y=sin 2x的图象,再向左平移个单位长度,可得y=sin的图象,故B正确;将y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,可得y=sin 2x的图象,再向左平移个单位长度,可得y=sin=cos 2x的图象,故C错误;将y=sin x的图象向左平移个单位长度,可得y=sin的图象,再将横坐标缩短为原来的,可得y=sin的图象,故D错误.
6.解析:由题意,得2φ=,则φ=.
答案:
7.解析:y=sin xy=3siny
=3sin=3sin.
答案:y=3sin
8.解:(1)因为T==π,所以ω=2.
又f=cos
=cos=-sin φ=,
且-<φ<0,所以φ=-.
(2)由(1)知f(x)=cos.
列表:
2x- - 0 π
x 0 π
f(x) 1 0 -1 0
描点,连线,可得函数f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
9.解:(1)列表:
x 0 π
2x+ π 2π
y 1 2 0 -2 0 1
描点,连线,画出f(x)在[0,π]上的大致图象如图:
由图可知函数y=f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,
得到y=2sin=2sin的图象,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,
所以g(x)=2sin,
当x∈[0,π]时,-≤x-≤,
函数g(x)单调递增,而g(0)=-1,
g(π)=,所以函数g(x)在[0,π]上的值域为[-1,].
10.选B 得到的偶函数解析式为y=
sin=sin,显然φ=符合题意.
11.解析:将y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,
可得y=sin的图象,
故f(x)=sin,所以f=sin=sin=.
答案:
12.解析:把函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,
得到y=cos(2x-π+φ)的图象,与函数y=sin的图象重合,则cos(2x-π+φ)=sin,即sin=sin.所以-+φ=-+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=.
答案:
13.解:(1)由已知可得A=5,=-=,∴T==π,即ω=2,
∴f(x)=5sin(2x+φ),
∵5sin=0,|φ|<,
∴+φ=0,即φ=-.
∴y=5sin.
(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数的单调递增区间是
,k∈Z.
(3)由题可得g(x)=5sin-2,
又g(x)的图象正好关于y轴对称,
则2m-=+kπ,k∈Z,
解得m=+,k∈Z.
当k=0时,m的最小正值为.
14.解:(1)函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度,
可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,记为图象C1;函数y=cos的图象向左平移个单位长度,
可得函数g(x)=cos=cos 2x的图象,记为图象C2.
画出C1和C2的图象如图所示.
(2)由图象可知,两个图象共有5个交点.
即方程f(x)=g(x)解的个数为5.
