5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1.会通过函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
2.结合正弦函数的性质，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质,能构建三角函数模型解决实际问题．
题型(一) 由函数图象求解析式
[例1] 如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
听课记录：
|思|维|建|模| 由图象确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时，代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时，代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
[针对训练]
1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则( )
A．A＝4 B．ω＝1 C．φ＝ D．B＝4
2．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.
题型(二) 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
[例2] 已知函数f(x)＝cossin－(ω>0)，点A，B是函数f(x)的图象与直线y＝的两个交点．且AB的最小值为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对于 x∈都有f(x)≥m2－m－，求m的取值范围．
听课记录：
|思|维|建|模|
对于综合性问题，需要准备之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正、余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点．
[针对训练]
3．已知函数f(x)＝2sin＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)＝0，x∈，求x的值；
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．
若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求函数h(x)在的值域．
题型(三) 三角函数的实际应用问题
[例3] 如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
听课记录：
|思|维|建|模|
三角函数实际应用问题的解题步骤
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
[针对训练]
4．(多选)在一次气象调查中，发现某城市的温度y(单位：℃)的波动近似地遵循规律y＝25＋6sint，其中t(单位：h)是从某日9：00开始计算(即9：00时，t＝0)，且t≤24.则下列结论正确的是( )
A．15：00时，出现最高温度，且最高温度为 31 ℃
B．凌晨3：00时，出现最低温度，且最低温度为 19 ℃
C．温度为28 ℃时的时刻为11：00
D．温度为22 ℃时的时刻为凌晨7：00
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
[例1] 解:法一:逐一定参法 由题图知A=3,T=-=π,
∴ω==2.∴y=3sin(2x+φ).
∵点在函数图象上,
∴-×2+φ=2kπ,k∈Z.∴φ=+2kπ,k∈Z.
又|φ|<,∴φ=.∴y=3sin.
法二:待定系数法 由题图知A=3.
∵图象过点和,
∴解得
∴y=3sin.
法三:图象变换法 由题图知A=3,T=π.又点在图象上,∴函数图象由y=3sin 2x向左平移个单位长度而得到的.
∴y=3sin2,即y=3sin.
[针对训练]
1.选C 由题图可知,A=2,B=2,T=-=,得T=π,ω=2.因为2×+φ=,又|φ|<,所以φ=.故选C.
2.解析:设函数f(x)=2cos(ωx+φ)的周期为T.由题图,可知T=-,∴T=π.又T=,∴|ω|=2.不妨设ω>0,则f(x)=2cos(2x+φ).将代入f(x)中,可得f=2cos=2.
∴cos=1,∴+φ=2kπ(k∈Z).∴φ=2kπ-(k∈Z).取k=1,得φ=-.∴f(x)=2cos.
∴f=2cos=2cos=2×=-.
答案:-
[例2] 解:(1)f(x)=cossin-=cos- =sincos+cos2-
=sin ωx+
=sin ωx+cos ωx
=
=sin,
易知T=AB=π,ω==2,
故f(x)=sin.
当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
即x∈(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.
(2)∵当x∈ 时,2x+∈,∴f(x)min=f= .
原不等式等价于≥m2-m-,
即m2-m-2≤0,解得-1≤m≤2.
故m的取值范围是[-1,2] .
[针对训练]
3.解:(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由f(x)=0,得2sin+1=0,
∴sin=-.
又∵x∈,∴2x-∈,
∴2x-=-或2x-=-或2x-=,解得x=0或x=-或x=.
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,
可得函数图象的解析式为y=2sin2-+1=2sin+1=2cos 2x+1.
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cos x+1的图象.
又∵曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,
∴h(x)=g=2cos+1
=2sin x+1.
∵x∈,∴sin x∈,
∴2sin x+1∈(0,3].
∴函数h(x)在上的值域为(0,3].
[例3] 解:
建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边,OP为终边的角,OP在t min内转过的角为t,即πt,
∴以Ox为始边,OP为终边的角为πt+φ,
即P点纵坐标为40sin(πt+φ).
∴P点距地面的高度为z=50+40sin(πt+φ)(0≤φ≤2π).由题可知,φ=.
∴z=50+40sin=50+40cos πt.
(2)当50+40cos πt≥70时,解得2k-≤t≤2k+(k∈Z),持续时间为min.即在摩天轮转动一圈内,有 min P点距离地面超过70 m.
[针对训练]
4.选AB 由t=,得t=6,即15:00时,ymax=31(℃),则A正确;由t=,得t=18,即凌晨3:00时,ymin=19(℃),则B正确;由25+6sint=28,得sint=,则t=或t=,解得t=2或t=10,即对应的时刻为11:00和19:00,则C错误;由25+6sint=22,得sint=-,则t=或t=,解得t=14或t=22,即对应的时刻为23:00和7:00,则D错误.(共73张PPT)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
——(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
5.6.2
课时目标
1.会通过函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.
2.结合正弦函数的性质，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，能构建三角函数模型解决实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 由函数图象求解析式
题型(二) 函数y＝Asin(ωx＋φ)
图象与性质的综合应用
题型(三) 三角函数的实际应用问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 由函数图象求解析式
01
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
针对训练
√
题型(二)函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
02
|思|维|建|模|
对于综合性问题，需要准备之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正、余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点．
针对训练
题型(三) 三角函数的
实际应用问题
03
[例3] 如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
解：建立如图所示的平面直角坐标系．
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
|思|维|建|模|
三角函数实际应用问题的解题步骤
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
针对训练
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课时跟踪检测
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4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图所示，则它的A与最小正周期T分别是( )
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x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是_________________．
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(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
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解：观察题图知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)写出这段曲线的函数解析式．
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13．已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为________________________．
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解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称．
∴f(x)在x＝0时取得最值，
即sin φ＝1或sin φ＝－1.
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16．(10分)建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．如图是该市夏季一天的气温y(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，该曲线近似地满足函数关系y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)．
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(1)求函数y＝f(t)的解析式；
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(2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
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解得24k＋10令k＝0，得10故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭．
16课时跟踪检测(六十三) 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点,则ω等于 ( )
A.2 B.
C.1 D.
2.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于 ( )
A.3或0 B.-3或0
C.0 D.-3或3
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则φ的值为 ( )
A.- B.
C.- D.
4.已知函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图所示,则它的A与最小正周期T分别是 ( )
A.A=3,T= B.A=3,T=
C.A=,T= D.A=,T=
5.设函数f(x)=sin+k(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的一个可能取值为 ( )
A.4 B.5
C.7 D.8
6.若f(x)=cos是奇函数,则φ= .
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图,则f(x)的解析式为 .
8.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)的图象,列出的部分数据如表:
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 -1 -2
经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是 .
9.(8分)如果某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足y=Asin(ωx+φ)+b,如图所示.
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
10.(8分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示.
(1)求出函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象向右移动个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求出函数y=g(x)的单调递增区间及对称中心.
B级——重点培优
11.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),现有如下四个命题:
甲:该函数的最小值为-;
乙:该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π;
丙:该函数的一个零点为;
丁:该函数图象可以由y=sin的图象平移得到.
如果有且只有一个假命题,那么下列说法正确的是 ( )
A.乙一定是假命题
B.φ的值可唯一确定
C.函数f(x)图象的一条对称轴为x=
D.函数f(x)的图象可以由y=cos的图象伸缩变换得到
12.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f= ( )
A.- B.-
C. D.
13.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 .
14.将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x),x∈的最小值为 .
15.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上具有单调性,求φ和ω的值.
16.(10分)建设生态文明,是关系人民福祉,关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场,为响应节能减排的号召,在气温超过28 ℃时,才开放中央空调降温,否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温y(单位:℃)随时间t(0≤t≤24,单位:h)的大致变化曲线,该曲线近似地满足函数关系y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π).
(1)求函数y=f(t)的解析式;
(2)请根据(1)的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启 何时关闭
课时跟踪检测(六十三)
1.选A 由题意知=x2-x1=-=,所以T=π,ω=2.
2.选D 由f=f得,直线x=是函数图象的对称轴,所以f=±3.
3.选B 由题图可知A=1,=-,故T=π,ω=2,f(x)=sin(2x+φ).由题图可知当x=时,
sin=1,所以φ=.
4.选D 由题图可知最大值为3,最小值为0,故A为.半个周期为-=,故周期为.
5.选D ∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,故sin=1,则ω·-=+2mπ,m∈Z.故ω=2+6m,m∈Z.故当m=1时,ω的一个可能取值为8.故选D.
6.解析:由题意,可知+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z.又|φ|<,故当k=0时,φ=.
答案:
7.解析:由题图可知,A=,b=1,T=4,
∴ω==.∴f(x)=sin+1.将点代入解析式,
即有sin+1=.∵|φ|<,∴φ=0,∴f(x)=sinx+1.
答案:f(x)=sinx+1
8.解析:由题意可知(0,1),(2,1)关于对称轴对称,且对称轴x=1,可知第二组数据错误,函数在x=1处取得最大值;由(2,1),(3,-1)关于对称,可知函数的周期为T=4×=6,故ω=,A=2,φ=.所以y=2sin.
答案:y=2sin
9.解:(1)观察题图知8~14时这一段时间的最大用电量为50万度,最小用电量为30万度.
(2)观察题图可知,T=14-8=6,
∴T=12.∴ω==.
又b=×(50+30)=40,
A=×(50-30)=10,
∴y=10sin+40.将x=8,y=30代入上式,解得φ=+2kπ(k∈Z).
又|φ|<,∴φ=.
∴所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].
10.解:(1)由题图得
解得
又=2π,∴T=4π.∴ω==.
由f=6,得+φ=2kπ+,k∈Z,
即φ=+2kπ,k∈Z.又|φ|<,∴φ=.
综上,f(x)=4sin+2.
(2)根据题意可得g(x)=4sin+2.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得
函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z.
∴函数g(x)的对称中心为,k∈Z.
11.选BCD 若甲命题正确,则A=.若乙命题正确,则最小正周期T=2π=,因为ω>0,则ω=1.若丙命题正确,则Asin=0,即+φ=kπ,k∈Z.若丁命题正确,函数图象可以由y=sin的图象平移得到,则A=,ω=2.故命题乙与命题丁矛盾.由甲、乙、丙、丁有且只有一个假命题可知,命题甲与命题丙均为真命题,命题乙与命题丁一真一假.若命题乙为真命题,则ω=1,由+φ=kπ,k∈Z,0<φ<,可得φ=,此时f(x)=sin;若命题丁为真命题,则ω=2,由+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,又0<φ<,则不存在符合条件的φ,不合题意.综上,命题丁为假命题,命题甲、乙、丙均为真命题,所以f(x)=sin,故A错误,B正确.由x+=kπ+,k∈Z,得函数f(x)图象的对称轴为x=kπ+,k∈Z.当k=0时,x=,故C正确.由y=cos=sin可知,把y=cos 的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的倍,横坐标保持不变,可以得到f(x)=sin的图象,故D正确.故选BCD.
12.选D 由题意得×=-,解得ω=2,易知x=是f(x)的最小值点,所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).不妨取k=0,于是f(x)=sin,所以f=sin=sin=,故选D.
13.解析:由“五点法”作图知,解得ω=π,φ=,
所以f(x)=cos.令2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z,解得2k-≤x≤2k+,k∈Z.故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
答案:,k∈Z
14.解析:由题意得g(x)=sin.
∴y=f(x)+g(x)=sin x+sin=sin x+sin xcos-cos xsin=sin x-cos x=sin.∵x∈,∴x-∈.∴当x-=时,ymin=.
答案:
15.解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
即函数f(x)的图象关于y轴对称.
∴f(x)在x=0时取得最值,
即sin φ=1或sin φ=-1.
∵0≤φ<π,∴φ=.
由f(x)的图象关于点M对称,
可知sin=0,即ω+=kπ,k∈Z,解得ω=-,k∈Z.
又f(x)在上具有单调性,∴T≥π,即≥π.∴ω≤2.又ω>0,
∴当k=1时,ω=;当k=2时,ω=2.
故φ=,ω=2或ω=.
16.解:(1)由题图知,T=2×(14-2)=24.
所以T==24,解得ω=.
由题图知,b==24,A==8.
所以y=8sin+24.
将点(2,16)代入函数解析式得,
24+8sin=16,得+φ=2kπ-(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z).
又因为|φ|<π,所以φ=-.
所以y=24+8sin.
(2)依题意,令24+8sin>28,
可得sin>.所以2kπ+故中央空调应在上午10时开启,下午18时关闭.
