板块综合 三角恒等变换中的“三变”策略(阶段小结课—习题讲评式教学)
1．浸润的核心素养
两角和与差的三角函数公式、二倍角公式是高考的必考点，是三角恒等变换的基础，试题一般难度不大，体现数学运算、逻辑推理的核心素养；三角恒等变换是高考考查的热点，解决相关问题时能利用“三统一”原则及模块化的解题思路进行三角函数式之间的转化，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养．
2．渗透的数学思想
化归的数学思想和方法在三角恒等变换中被多次运用，其中，既有从已知到未知的化归(如由余弦的差角公式，推出其余的和或差角公式等)，也有从一般到特殊的化归(如从和角公式推出倍角公式)．有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．
题型(一) 变角——角的变换
[例1] 已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
听课记录：
|思|维|建|模|
当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是先寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． [针对训练]
1．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝( )
A. B. C．－ D．－
2．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
题型(二) 变名——函数名称的变换
[例2] 已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
听课记录：
[例3] 化简：.
听课记录：
|思|维|建|模|
“变名”是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“弦切互化”．但实际上，诱导公式、倍角公式和平方关系也能进行名变换．
[针对训练]
3．已知α，β都是锐角，且tan β＝，求的值．
题型(三) 变幂——升幂与降幂变换
[例4] 化简：
(0<θ<π)．
听课记录：
|思|维|建|模|
分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到化简求解的目的．
[针对训练]
4．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
5．若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于( )
A. B. C. D.
板块综合 三角恒等变换中的“三变”策略
[例1] 解:∵0<α<,0<β<,
∴-<α-β<,
又tan(α-β)=-,∴-<α-β<0.
又∵cos α=,0<α<,∴sin α=.
又tan(α-β)=-=,
且sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,
∴sin(α-β)=-,cos(α-β)=.
从而cos β=cos[α-(α-β)]=cos α·cos(α-β)+sin α·sin(α-β)=×-×=.
[针对训练]
1.选A ∵sin α=-,α∈,
∴cos α=.又=2,∴sin(α+β)=2cos[(α+β)-α].展开并整理,得cos(α+β)=sin(α+β),∴tan(α+β)=.
2.解:∵α∈,β∈,∴α-∈,-β∈,∴sin===,cos===.∴cos=cos-=coscos+sinsin=-×+×=.
[例2] 解析:由sin α+2cos α=0可知,cos α≠0,则tan α=-2,故2sin αcos α-cos2α====-1.
答案:-1
[例3] 解:原式
=
=
=
=
==-1.
[针对训练]
3.解:显然cos α≠0,则tan β===tan.因为α,β都是锐角,所以β=α-.所以==.
[例4] 解:原式=
=
=.因为0<θ<π,所以0<<,所以cos>0.所以原式=-cos θ.
[针对训练]
4.选B ∵f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,∴f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.
5.选D 3sin α+2cos α
=
==2,
所以3tan +1-tan2=tan2+1,解得tan=0或tan=.又α∈(0,π),所以tan ≠0.所以tan=.故选D.(共58张PPT)
板块综合 三角恒等变换中的
“三变”策略
(阶段小结课—习题讲评式教学)
建构知识体系
融通学科素养
1．浸润的核心素养
两角和与差的三角函数公式、二倍角公式是高考的必考点，是三角恒等变换的基础，试题一般难度不大，体现数学运算、逻辑推理的核心素养；三角恒等变换是高考考查的热点，解决相关问题时能利用“三统一”原则及模块化的解题思路进行三角函数式之间的转化，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养．
2．渗透的数学思想
化归的数学思想和方法在三角恒等变换中被多次运用，其中，既有从已知到未知的化归(如由余弦的差角公式，推出其余的和或差角公式等)，也有从一般到特殊的化归(如从和角公式推出倍角公式).有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 变角——角的变换
题型(二) 变名——函数名称的变换
题型(三) 变幂——升幂与降幂变换
4
课时跟踪检测
题型(一) 变角——角的变换
01
|思|维|建|模|
当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是先寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．
针对训练
√
题型(二) 变名——函数名称
的变换
02
[例2] 已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是_______.
－1
|思|维|建|模|
“变名”是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“弦切互化”．但实际上，诱导公式、倍角公式和平方关系也能进行名变换．
针对训练
题型(三) 变幂——升幂与降幂变换
03
|思|维|建|模|
分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到化简求解的目的．
针对训练
4．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
√
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课时跟踪检测
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(2)求sin β的值；
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B级——重点培优
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2课时跟踪检测(六十一) 三角恒等变换中的“三变”策略
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.已知sin 2α=,则cos2= ( )
A.- B.-
C. D.
2.已知A+B=,则tan A+tan B+tan Atan B-的值等于 ( )
A.-2 B.2
C.0 D.1-
3.已知tan=3,则cos α= ( )
A. B.-
C.- D.
4.已知sin=,则sin的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
5.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于 ( )
A. B.
C. D.
6.设tan α=,tan(β-α)=-2,则tan β= .
7.若tan θ+=m,则sin 2θ= .
8.已知2sin x=1+cos x,则tan= .
9.(8分)已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+.
(1)化简函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间上的值域;
(3)设α∈,f=,求sin α的值.
10.(10分)已知0<α<,-<β<0,cos=,cos=.
(1)求cos的值;
(2)求sin β的值;
B级——重点培优
11.化简= ( )
A.1 B.-1
C.cos α D.-sin α
12.若角α满足cos=,则= .
13.已知α,β均为锐角,且α+β≠.若sin(2α+β)=sin β,则= .
14.(12分)化简:cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ.
15.(12分)已知f(x)=(sin x+cos x)2-cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)若θ∈,f=,
求sin的值.
课时跟踪检测(六十一)
1.选D cos2===.
2.选C 因为tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B)=(1-tan Atan B),
所以tan A+tan B+tan Atan B-=0.
3.选B cos α=cos2-sin2====-.
4.选A sin=sin=-cos=2sin2-1=2×-1=.故选A.
5.选C tan=tan===.
6.解析:∵tan α=,tan(β-α)=-2,
∴tan β=tan[(β-α)+α]
==-1.
答案:-1
7.解析:因为tan θ+=m,即=m,所以sin 2θ==.
答案:
8.解析:由2sin x=1+cos x,得===tan.
答案:
9.解:(1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.
(2)当x∈时,≤2x+≤,
则-≤2sin≤2,
所以函数f(x)在区间上的值域为[-,2].
(3)因为f=2sin=,
所以sin=,
因为α∈,所以<α+<,
所以cos=-,
则sin α=sin=
sincos-cossin=×-×=.
10.解:(1)∵0<α<,∴<α+<.
∵cos=,∴sin=.
∵-<β<0,∴<-<.
∵cos=,∴sin=.
∴cos=cos=coscos+sinsin=×+×=.
(2)sin β=sin
=cos=2cos2-1=-.
11.选A 原式=====1.故选A.
12.解析:∵cos=(cos α-sin α)=,∴cos α-sin α=.
∴2sin αcos α=,
∴==sin αcos α=.
答案:
13.解析:由sin(2α+β)=sin β,可得2sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],所以2[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]=3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α].整理得sin(α+β)cos α=5cos(α+β)sin α,所以tan(α+β)=5tan α,即=5.
答案:5
14.解:cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ
=+-cos 2θ=1+[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]-cos 2θ=1+(cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°+cos 2θcos 30°+sin 2θsin 30°)-cos 2θ=1+×2cos 2θcos 30°-cos 2θ
=1+cos 2θ-cos 2θ=1.
15.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)2-cos2x
=(1+2sin xcos x)-cos2x
=sin 2x-+
=sin+.
∴函数f(x)的最小正周期T=π.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)得f
=sin+
=sin+=cos θ+=,
∴cos θ=.∵θ∈,∴sin θ=-,∴sin 2θ=2sin θcos θ=-,cos 2θ=2cos2θ-1=-,∴sin=sin 2θcos -cos 2θsin=-.
