1-2 动量　动量守恒定律 学案

学案4　动量　动量守恒定律(2)
[学习目标定位]
1.知道什么是系统，能正确区分内力和外力.2.知道动量守恒的条件，能正确书写动量守恒的关系式.3.能利用动量守恒定律解决简单的相互作用问题．
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1．动量是矢量，其表达式为p＝mv，动量的方向与速度v的方向相同．
2．动量的变化Δp＝p′－p，其方向与Δv的方向相同．
3．动量定理
(1)内容：物体所受合力的冲量等于物体动量的改变量．
(2)公式：F·Δt＝mv′－mv.
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4．系统、内力和外力
(1)系统：当研究两个物体相互碰撞时，可以把具有相互作用的两个物体称为系统．
(2)内力：系统内部物体间的相互作用力．
(3)外力：系统外部的其他物体对系统的作用力．
5．动量守恒定律
(1)内容：如果系统所受到的合外力为零，则系统的总动量保持不变．
(2)表达式：对于两个物体组成的系统，常写成：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′.
(3)适用条件：系统不受外力或者所受外力矢量和为零．
解决学生疑难点：　
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一、系统　内力和外力
[问题设计]
(1)马拉车前进，试分别分析马和车的受力．
(2)如果把马和车作为一个整体，哪些是整体内部物体间的相互作用力？哪些是外界对整体的作用力？
答案　(1)马受重力、地面的支持力、地面的摩擦力、车的拉力四个力的作用．车受重力、地面的支持力、地面的摩擦力、马的拉力四个力的作用．
(2)整体内部物体间的相互作用力有：马拉车的力和车拉马的力．外界对整体的作用力有：车受的重力、支持力、摩擦力和马受的重力、支持力、摩擦力．
[要点提炼]
1．在马与车相互作用时，可以把马与车看成一个整体，称做系统．
2．马拉车和车拉马的力是系统内物体间的相互作用力，称做内力．地面(地球)对马、车的作用力是系统外的物体对系统内物体的作用力，称做外力．
二、动量守恒定律
[问题设计]
如图1所示，在水平桌面上做匀速运动的两个小球，质量分别为m1和m2，沿着同一直线向相同的方向运动，速度分别是v1和v2，v2>v1.当第二个小球追上第一个小球时两球发生碰撞，碰撞后两球的速度分别为v1′和v2′.试用动量定理和牛顿第三定律推导两球碰前总动量m1v1＋m2v2与碰后总动量m1v1′＋m2v2′的关系．
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图1
答案　设碰撞过程中两球间的作用力分别为F1、F2，相互作用时间为t
根据动量定理：
F1t＝m1(v1′－v1)，F2t＝m2(v2′－v2)．
因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律，F1＝－F2，
则有：m1v1′－m1v1＝m2v2－m2v2′
即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
此式表明两球在相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量，这就是动量守恒定律的表达式．
[要点提炼]
1．动量守恒定律成立的条件：系统不受外力或者所受外力的合力为零．
2．动量守恒定律的表达式
(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等)．
(2)Δp＝0(系统动量的增量为零)．
(3)Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等，方向相反)．
[延伸思考]
(1)当系统所受外力的合力不为零，但系统外力远小于内力时，系统的动量是否近似守恒？
(2)当系统所受外力的合力不为零，但在某个方向上的分量为零时，系统在该方向上的动量是否守恒？
答案　(1)系统外力远小于内力时，外力的作用可以忽略，系统的动量守恒．
(2)系统在某个方向上的合力为零时，系统在该方向上动量守恒．
三、动量守恒定律的理解和简单应用
1．动量守恒定律的“五性”
(1)条件性：动量守恒定律的应用是有条件的，应用时一定要注意判断系统的动量是否守恒．
(2)矢量性：动量守恒定律的表达式是一个矢量式，解题时要规定正方向，将矢量运算转化为代数运算．
(3)相对性：动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量，必须相对于同一惯性系，各物体的速度通常为相对于地面的速度．
(4)同时性：动量守恒定律中初动量必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，末动量必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量．
(5)普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统．不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统．
2．应用动量守恒定律解题的基本思路
(1)找：找研究对象(系统包括哪几个物体)和研究过程；
(2)析：进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或在某一方向是否守恒)；
(3)定：规定正方向，确定初末状态动量正负号，画好分析图；
(4)列：由动量守恒定律列式；
(5)算：合理进行运算，得出最后的结果，并对结果进行讨论．
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一、动量守恒的条件判断
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例1
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　(双选)光滑水平面上A、B两小车间有一弹簧如图2所示，用手抓住小车并将弹簧压缩后使两小车均处于静止状态．将两小车及弹簧看做一个系统，下列说法正确的是(　　)
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图2
A．两手同时放开后，系统总动量始终为零
B．先放开左手，再放开右手后，动量不守恒
C．先放开左手，后放开右手，总动量向左
D．无论何时放手，两手放开后，在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，且系统的总动量为零
解析　A项，在两手同时放开后，水平方向无外力作用，只有弹簧的弹力(内力)，故动量守恒，即系统的总动量始终为零．B项，先放开左手，再放开右手后，两手对系统都无作用力之后的那一段时间，系统所受合外力也为零，即动量是守恒的．C项，先放开左手，系统在右手作用下，产生向左的冲量，故有向左的动量，再放开右手后，系统的动量仍守恒，即此后的总动量向左．D项，无论何时放开手，只要是两手都放开就满足动量守恒的条件，即系统的总动量保持不变．若同时放开，那么作用后系统的总动量就等于放手前的总动量，即为零；若两手先后放开，那么两手都放开后的总动量也是守恒的，但不为零．
答案　AC
二、动量守恒定律的应用
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例2
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　质量为3
kg的小球A在光滑水平面上以6
m/s
的速度向右运动，恰遇上质量为5
kg、以4
m/s的速度向左运动的小球B，碰撞后B球恰好静止，求碰撞后A球的速度．
解析　两球在光滑水平面上运动，碰撞过程中系统所受合外力为零，系统动量守恒．取A球初速度方向为正方向
初状态：vA＝6
m/s，vB＝－4
m/s
末状态：vB′＝0，vA′＝？(待求)
根据动量守恒定律，有
mAvA＋mBvB＝mAvA′＋mBvB′，
得vA′＝≈－0.67
m/s
答案　0.67
m/s，方向向左
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例3
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　(单选)质量M＝100
kg的小船静止在水面上，船首站着质量m甲＝40
kg的游泳者甲，船尾站着质量m乙＝60
kg的游泳者乙，船首指向左方，若甲、乙两游泳者同时在同一水平线上，甲朝左、乙朝右以3
m/s的速率跃入水中，则(　　)
A．小船向左运动，速率为1
m/s
B．小船向左运动，速率为0.6
m/s
C．小船向右运动，速率大于1
m/s
D．小船仍静止
解析　设水平向右为正方向，两游泳者同时跳离小船后小船的速度为v，根据甲、乙两游泳者和小船组成的系统动量守恒有：－m甲v甲＋m乙v乙＋Mv＝0，代入数据，可得v＝－0.6
m/s，其中负号表示小船向左运动，所以选项B正确．
答案　B
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动量守恒定律
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1．(单选)把一支枪水平固定在小车上，小车放在光滑的水平面上，枪发射出一颗子弹时，关于枪、子弹和车，下列说法中正确的是(　　)
A．枪和弹组成的系统动量守恒
B．枪和车组成的系统动量守恒
C．三者组成的系统因为枪弹和枪筒之间的摩擦力很小，使系统的动量变化很小，可忽略不计，故系统动量近似守恒
D．三者组成的系统动量守恒，因为系统只受重力和地面支持力这两个外力作用，这两个外力的合力为零
答案　D
解析　由于枪水平放置，故三者组成的系统除受重力和支持力(两外力平衡)外，不受其他外力，动量守恒．子弹和枪筒之间的力应为系统的内力，对系统的总动量没有影响，故选项C错误．分开枪和车，则枪和弹组成的系统受到车对其的外力作用，车和枪组成的系统受到子弹对其的外力作用，动量都不守恒，正确答案为D.
2．(单选)水平面上质量分别为0.1
kg和0.2
kg的物体相向运动，过一段时间则要相碰，它们与水平面的动摩擦因数分别为0.2和0.1.假定除碰撞外在水平方向这两个物体只受摩擦力作用，则碰撞过程中这两个物体组成的系统(　　)
A．动量不守恒
B．动量守恒
C．动量不一定守恒
D．以上都有可能
答案　B
解析　选取这两个相向运动的物体组成的系统为研究对象，这两个物体受到的重力与支持力平衡，受到的两个摩擦力方向相反，大小都是0.2
N，所以系统受到的外力之和为零，系统的动量守恒．所以本题选B.
3．(单选)如图3所示，质量为M的小车置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质量为m的木块以初速度v0水平地滑至车的上表面，若车足够长，则(　　)
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图3
A．木块的最终速度为v0
B．由于车表面粗糙，小车和木块所组成的系统动量不守恒
C．车表面越粗糙，木块减少的动量越多
D．车表面越粗糙，小车获得的动量越多
答案　A
解析　由m和M组成的系统水平方向动量守恒易得A正确；m和M动量的变化与小车上表面的粗糙程度无关，因为车足够长，最终各自的动量与摩擦力大小无关．
4．(单选)如图4所示，质量为M的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m的物体．从某一时刻起给m一个水平向右的初速度v0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后(　　)
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图4
A．两者的速度均为零
B．两者的速度总不会相等
C．物体的最终速度为mv0/M，向右
D．物体的最终速度为mv0/(M＋m)，向右
答案　D
解析　物体与盒子组成的系统所受合外力为零，物体与盒子前后壁多次往复碰撞后，以速度v共同运动，由动量守恒定律得：
mv0＝(M＋m)v，故v＝mv0/(M＋m)，方向向右．
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[概念规律题组]
1．(单选)关于牛顿运动定律和动量守恒定律的适用范围，下列说法正确的是(　　)
A．牛顿运动定律也适合解决高速运动的问题
B．牛顿运动定律也适合解决微观粒子的运动问题
C．动量守恒定律既适用于低速，也适用于高速运动的问题
D．动量守恒定律适用于宏观物体，不适用于微观粒子
答案　C
解析　牛顿运动定律只适合研究低速、宏观问题，动量守恒定律适用于目前为止物理学研究的各个领域．
2．(双选)木块a和b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a紧靠在墙壁上，在b上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图1所示，当撤去外力后，下列说法中正确的是(　　)
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图1
A．a尚未离开墙壁前，a和b组成的系统的动量守恒
B．a尚未离开墙壁前，a和b组成的系统的动量不守恒
C．a离开墙壁后，a和b组成的系统的动量守恒
D．a离开墙壁后，a和b组成的系统的动量不守恒
答案　BC
3．(单选)如图2所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则下列说法不正确的是(　　)
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图2
A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统的动量守恒
B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统的动量守恒
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统的动量守恒
D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统的动量守恒
答案　A
解析　如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，弹簧释放后A、B分别相对小车向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力fA向右、fB向左，由于mA∶mB＝3∶2，所以fA∶fB＝3∶2，则A、B组成的系统所受的合外力不为零，故其动量不守恒，A选项错；对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向的重力和支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，B、D选项均正确；若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成系统所受的合外力为零，故其动量守恒，C选项正确．
4．(单选)
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图3
如图3所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中(　　)
A．动量守恒、机械能守恒
B．动量不守恒、机械能不守恒
C．动量守恒、机械能不守恒
D．动量不守恒、机械能守恒
答案　B
解析　在子弹射入木块这一瞬间过程，取子弹与木块为系统则可认为动量守恒(此瞬间弹簧尚未形变)．子弹射入木块后木块压缩弹簧过程中，机械能守恒，但动量不守恒(墙壁对弹簧的作用力是系统外力，且外力不等于零)．若以子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短时，有摩擦力做功，机械能不守恒，弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用，因此动量不守恒，故正确选项为B.
5．(双选)如图4所示，水平面上有两个木块，两木块的质量分别为m1、m2，且m2＝2m1.开始两木块之间有一根用轻绳缚住的已压缩轻弹簧，烧断绳后，两木块分别向左、右运动．若两木块m1和m2与水平面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1＝2μ2，则在弹簧伸长的过程中，两木块(　　)
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图4
A．动量大小之比为1∶1
B．速度大小之比为2∶1
C．动量大小之比为2∶1
D．速度大小之比为1∶1
答案　AB
解析　以两木块及弹簧组成的系统为研究对象，绳断开后，弹簧将对两木块有推力作用，这可以看成是内力；水平面对两木块有方向相反的滑动摩擦力，且f1＝μ1m1g，f2＝μ2m2g.因此系统所受合外力F合＝μ1m1g－μ2m2g＝0，即满足动量守恒定律的条件．设弹簧伸长过程中某一时刻，两木块速度大小分别为v1、v2.由动量守恒定律有(以向右为正方向)：－m1v1＋m2v2＝0，即m1v1＝m2v2.即两物体的动量大小之比为1∶1，故A项正确．两物体的速度大小之比为＝＝，故B项正确．
[方法技巧题组]
6．(单选)在高速公路上发生了一起交通事故，一辆质量为1
500
kg向南行驶的长途客车迎面撞上了一辆质量为3
000
kg向北行驶的卡车，撞后两车连在一起，并向南滑行一段距离后静止．根据测速仪的测定，长途客车撞前以20
m/s的速度匀速行驶，由此可判断卡车撞前的行驶速度(　　)
A．小于10
m/s
B．大于10
m/s，小于20
m/s
C．大于20
m/s，小于30
m/s
D．大于30
m/s，小于40
m/s
答案　A
解析　两车碰撞过程中尽管受到地面的摩擦力作用，但远小于相互作用的内力(碰撞力)，所以动量守恒．依题意，碰撞后两车以共同速度向南滑行，即碰撞后系统的末动量方向向南．设长途客车和卡车的质量分别为m1、m2，撞前的速度大小分别为v1、v2，撞后共同速度为v，选定向南为正方向，根据动量守恒定律有：m1v1－m2v2＝(m1＋m2)v，又v>0，则m1v1－m2v2>0，代入数据解得v2m/s.
7．(单选)如图5所示，甲、乙两物体在光滑水平面上沿同一直线相向运动，甲、乙物体的速度大小分别为3
m/s和1
m/s；碰撞后甲、乙两物体都反向运动，速度大小均为2
m/s.则甲、乙两物体质量之比为(　　)
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图5
A．2∶3
B．2∶5
C．3∶5
D．5∶3
答案　C
解析　选取碰撞前甲物体的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有m甲v1－m乙v2＝－m甲v1′＋m乙v2′，代入数据，可得m甲∶m乙＝3∶5，选项C正确．
8．(双选)如图6所示，A、B两个小球在光滑水平面上沿同一直线相向运动，它们的动量大小分别为p1和p2，碰撞后A球继续向右运动，动量大小为p1′，此时B球的动量大小为p2′，则下列等式成立的是(　　)
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图6
A．p1＋p2＝p1′＋p2′
B．p1－p2＝p1′＋p2′
C．p1′－p1＝p2′＋p2
D．－p1′＋p1＝p2′＋p2
答案　BD
解析　因水平面光滑，所以A、B两球组成的系统在水平方向上动量守恒．以向右为正方向，由于p1、p2、p1′、p2′均表示动量的大小，所以碰前的动量为p1－p2，碰后的动量为p1′＋p2′，B对．经变形－p1′＋p1＝p2′＋p2，D对．
9．(单选)一炮艇总质量为M，以速度v0匀速行驶，从艇上以相对炮艇的水平速度v沿前进方向发射一质量为m的炮弹，射出炮弹后炮艇的速度为v′，若不计水的阻力，则下列各关系式中正确的是(　　)
A．Mv0＝Mv′＋mv
B．Mv0＝(M－m)v′＋mv
C．Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v0)
D．Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v′)
答案　D
解析　发射炮弹的过程，系统动量守恒，发射前，系统的总动量为Mv0，射出炮弹后，炮艇的质量变为M－m，速度为v′，炮弹质量为m，对地速度为v＋v′，所以系统总动量为(M－m)v′＋m(v＋v′)，本题答案为D.
10．一辆车在光滑水平路面上以速度v匀速行驶．车上的人每次以相同的速度4v(对地速度)向行驶的正前方抛出一个质量为m的沙包．抛出第一个沙包后，车速减为原来的，则抛出第四个沙包后，此车的运动情况如何？
答案　车以的速度向后退
解析　设车的总质量为M，抛出第四个沙包后车速为v1，由全过程动量守恒得Mv＝(M－4m)v1＋4m·4v①
对抛出第一个沙包前后列方程有：
Mv＝(M－m)v＋m·4v②
将②式所得M＝13m代入①式，解得抛出第四个沙包后车速为v1＝－，负号表示向后退．
[创新应用题组]
11．为了采集木星和火星之间星云的标本，将航天器制成勺形，星云物质彼此间相对静止．航天器质量为104
kg，正以10
km/s
的速度运行，星云物质速度为100
m/s，方向与航天器相同，航天器没有开启动力装置．如果每秒钟可搜集10
kg
星云物质，一个小时后航天器的速度变为多少？(以上速度均相对于同一惯性参考系)
答案　2
252
m/s
解析　这是一道结合天体运动使用动量守恒定律解答的题目，动量守恒定律中的速度不一定都以地面为参考系，只要相对于同一参考系就行．
由动量守恒定律有
m航v航＋Δmv云＝(m航＋Δm)v，代入数据解得v＝2
252
m/s.
12．质量为1
000
kg的轿车与质量为4
000
kg的货车迎面相撞．碰撞后两车绞在一起，并沿货车行驶方向运动一段路程后停止(如图7所示)．从事故现场测出，两车相撞前，货车的行驶速度为54
km/h，撞后两车的共同速度为18
km/h.该段公路对轿车的限速为100
km/h，试判断轿车是否超速行驶．
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图7
答案　轿车超速行驶
解析　碰撞中两车间的相互作用力很大，可忽略两车受到的其他作用力，近似认为两车在碰撞过程中动量守恒．
设轿车质量为m1，货车质量为m2；碰撞前轿车速度为v1，货车速度为v2；碰撞后两车的共同速度为v′.选轿车碰撞前的速度方向为正方向．碰撞前系统的总动量为m1v1＋m2v2，碰撞后系统的总动量为(m1＋m2)v′，由动量守恒定律得：
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v′
v1＝
＝
km/h＝126
km/h>100
km/h，故轿车在碰撞前超速行驶．