1-3 动量守恒定律在碰撞中的应用 学案

学案6　动量守恒定律在碰撞中的应用
[学习目标定位]
1.掌握应用动量守恒定律解题的一般步骤.2.进一步理解弹性碰撞和非弹性碰撞，会用动量和能量的观点综合分析解决一维碰撞问题．
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1．碰撞的特点
(1)经历的时间很短；
(2)相互作用力很大，物体速度变化明显．
2．碰撞的分类
(1)弹性碰撞：碰撞过程中总动能守恒；
(2)非弹性碰撞：碰撞过程中总动能减少；
(3)完全非弹性碰撞：碰撞后两物体粘在一起，此过程机械能损失最大．
3．动量守恒定律的表达式
(两个物体组成的系统)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，此式是矢量式，列方程时首先选取正方向．
4．动量守恒的条件
(1)系统不受外力或所受合外力为零；
(2)内力远大于外力；
(3)系统所受合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上的动量守恒.
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一、对三种碰撞的进一步认识
[问题设计]
碰撞过程有什么特点？若两物体在光滑水平面上相碰，动量是否守恒？若水平面不光滑，动量是否守恒？
答案　由于碰撞发生的时间很短，碰撞过程中内力往往远大于外力，系统所受的外力可以忽略不计，故无论碰撞发生时水平面是否光滑，动量都是守恒的．
[要点提炼]
三种碰撞类型及其遵守的规律
(1)弹性碰撞
动量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
机械能守恒：m1v12＋m2v22＝m1v1′2＋m2v2′2
(2)非弹性碰撞
动量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
机械能减少，损失的机械能转化为内能
|ΔEk|＝Ek初－Ek末＝Q
(3)完全非弹性碰撞
动量守恒：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共
碰撞中机械能损失最多
|ΔEk|＝m1v12＋m2v22－(m1＋m2)v共2
二、弹性正碰模型及拓展应用
[问题设计]
已知A、B两个弹性小球，质量分别为m1、m2，B小球静止在光滑的水平面上，如图1所示，A小球以初速度v0与B小球发生正碰，求碰后A小球速度v1和B小球速度v2的大小和方向．
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图1
答案　以v0方向为正方向，由碰撞中的动量守恒和机械能守恒得
m1v0＝m1v1＋m2v2①
m1v02＝m1v12＋m2v22②
由①②可以得出：v1＝v0，v2＝v0
(1)当m1＝m2时，v1＝0，v2＝v0，两小球交换速度；
(2)当m1>m2时，则v1>0，v2>0，即小球A、B同方向运动．因<，所以v1(3)当m10，即小球A、B反方向运动．
(其中，当m1 m2时，v1≈－v0，v2≈0.)
[要点提炼]
1．两质量分别为m1、m2的小球发生弹性正碰，v1≠0，v2＝0，则碰后两球速度分别为v1′＝v1，v2′＝v1.
(1)若m1＝m2的两球发生弹性正碰，v1≠0，v2＝0，则碰后v1′＝0，v2′＝v1，即二者碰后交换速度．
(2)若m1 m2，v1≠0，v2＝0，则二者弹性正碰后，v1′＝v1，v2′＝2v1.表明m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去．
(3)若m1 m2，v1≠0，v2＝0，则二者弹性正碰后，v1′＝－v1，v2′＝0.表明m1被反向以原速率弹回，而m2仍静止．
2．如果两个相互作用的物体，满足动量守恒的条件，且相互作用过程初、末状态的总机械能不变，广义上也可以看成是弹性碰撞．
三、碰撞需满足的三个条件
1．动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′.
2．动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋.
3．速度要符合情景：碰撞后，原来在前面的物体的速度一定增大，且原来在前面的物体的速度大于或等于原来在后面的物体的速度，即v前′≥v后′，否则碰撞不会结束．
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一、弹性碰撞模型及拓展分析
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例1
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　在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动．在小球的前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图2所示．小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动．小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比m1/m2.
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图2
解析　从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变，根据它们通过的路程，可知小球B和小球A在碰撞后的速度大小之比为4∶1
两球碰撞过程为弹性碰撞，有：m1v0＝m1v1＋m2v2
m1v02＝m1v12＋m2v22
解得＝2.
答案　2
二、非弹性碰撞模型分析
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例2
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　(单选)如图3所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为m＝1
kg的相同小球A、B、C，现让A球以v0＝2
m/s的速度向着B球运动，A、B两球碰撞后粘合在一起，两球继续向右运动并跟C球碰撞，C球的最终速度vC＝1
m/s.求：
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图3
(1)A、B两球跟C球相碰前的共同速度多大？
(2)两次碰撞过程中一共损失了多少动能？
解析　(1)以v0的方向为正方向，A、B相碰满足动量守恒：mv0＝2mv1
解得A、B两球跟C球相碰前的速度：
v1＝1
m/s.
(2)A、B两球与C碰撞，以vC的方向为正方向，由动量守恒定律得：
2mv1＝mvC＋2mv2
解得两球碰后的速度：v2＝0.5
m/s，
两次碰撞损失的动能：
ΔEk＝mv02－×2mv22－mvC2＝1.25
J
答案　(1)1
m/s　(2)1.25
J
三、碰撞满足的条件分析
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例3
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　(单选)质量为m、速度为v的A球跟质量为3m、静止的B球发生正碰．碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B球的速度允许有不同的值．请你论证：碰撞后B球的速度可能是以下值中的(　　)
A．0.6v
B．0.4v
C．0.2v
D．0.1v
解析　若发生弹性碰撞，设碰后A的速度为v1，B的速度为v2，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律：mv＝mv1＋3mv2
由机械能守恒定律：mv2＝mv12＋×3mv22
由以上两式得v1＝－，v2＝
若碰撞过程中损失机械能最大，则碰后两者速度相同，设为v′，由动量守恒定律：mv＝(m＋3m)v′
解得v′＝
所以在情况不明确时，B球速度vB应满足≤vB≤.因此选B.
答案　B
针对训练　在光滑水平长直轨道上，
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图4
放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各连结一个小球构成，如图4所示，两小球质量相等，现突然给左端小球一个向右的速度v，试分析从开始运动到弹簧第一次恢复原长这一过程中两球的运动情况并求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度大小．
答案　见解析
解析　刚开始，A向右运动，B静止，弹簧被压缩，对两球产生斥力，此时A动量减小，B动量增加．当两者速度相等时，两球间距离最小，弹簧形变量最大，弹簧要恢复原长，对两球产生斥力，A动量继续减小，B动量继续增加．所以，到弹簧第一次恢复原长时，A球动量最小，B球动量最大．整个过程相当于完全弹性碰撞．在整个过程中，系统动量守恒，且系统的动能不变，有mv＝mvA＋mvB，mv2＝mvA2＋mvB2
解得：vA＝0，vB＝v
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例4
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　(双选)A、B两个质量相等的球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是7
kg·m/s，B球的动量是5
kg·m/s，若A球追上B球发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是(　　)
A．pA′＝8
kg·m/s，pB′＝4
kg·m/s
B．pA′＝6
kg·m/s，pB′＝6
kg·m/s
C．pA′＝5
kg·m/s，pB′＝7
kg·m/s
D．pA′＝－2
kg·m/s，pB′＝14
kg·m/s
解析　从动量守恒的角度分析，四个选项都正确；从能量角度分析，A、B碰撞过程中没有其他形式的能量转化为它们的动能，所以碰撞后它们的总动能不能增加．碰前B在前，A在后，碰后如果二者同向，一定仍是B在前，A在后，A不可能超越B，所以碰后A的速度应小于B的速度．
A选项中，显然碰后A的速度大于B的速度，这是不符合实际情况的，所以A错．
碰前A、B的总动能Ek＝＋＝
碰后A、B的总动能，B选项中Ek′＝＋＝D选项中Ek′＝＋＝>Ek＝，所以D是不可能发生的．
综上所述，本题正确选项为B、C.
答案　BC
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\全书完整的word版文档\\自我检测区.TIF"
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1．(单选)为了模拟宇宙大爆炸的情况，科学家们使两个带正电的重离子被加速后，沿同一直线相向运动而发生猛烈碰撞．若要使碰撞前的动能尽可能多地转化为内能，应设法使离子在碰撞前的瞬间具有(　　)
A．相同的速率
B．相同的质量
C．相同的动能
D．大小相同的动量
答案　D
解析　当两重离子碰前动量等大反向时，碰后离子可能均静止，这时动能完全转化为内能．
2．(单选)如图5所示，质量为m的A小球以水平速度v与静止的质量为3m的B小球正碰后，A球的速率变为原来的，而碰后B球的速度是(以v方向为正方向)(　　)
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\全书完整的word版文档\\53.TIF"
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图5
A．v/6
B．－v
C．－v/3
D．v/2
答案　D
解析　碰后A的速率为v/2，可能有两种情况：v1＝v/2；v1′＝－v/2
根据动量守恒定律，当v1＝v/2时，有mv＝mv1＋3mv2，v2＝v/6；当v1′＝－v/2时，有mv＝mv1′＋3mv2′，v2′＝v/2.若它们同向，则A球速度不可能大于B球速度，因此只有D正确．
3．(双选)两个小球A、B在光滑的水平地面上相向运动，已知它们的质量分别是mA＝4
kg，mB＝2
kg，A的速度vA＝3
m/s
(设为正)，B的速度vB＝－3
m/s，则它们发生正碰后，其速度可能分别为(　　)
A．均为＋1
m/s
B．＋4
m/s和－5
m/s
C．＋2
m/s和－1
m/s
D．－1
m/s和＋5
m/s
答案　AD
解析　由动量守恒，可验证四个选项都满足要求．再看动能变化情况：
E前＝mAvA2＋mBvB2＝27
J
E后＝mAvA′2＋mBvB′2
由于碰撞过程中动能不可能增加，所以应有E前≥E后，据此可排除B；选项C虽满足E前≥E后，但A、B沿同一直线相向运动，发生碰撞后各自仍能保持原来的速度方向，这显然是不符合实际的，因此C选项错误．验证A、D均满足E前≥E后，且碰后状态符合实际，故正确选项为A、D.
4．(单选)如图6所示，在光滑水平面上有直径相同的a、b两球，在同一直线上运动，选定向右为正方向，两球的动量分别为pa＝6
kg·m/s、pb＝－4
kg·m/s.当两球相碰之后，两球的动量可能是(　　)
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\全书完整的word版文档\\54.TIF"
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图6
A．pa＝－6
kg·m/s、pb＝4
kg·m/s
B．pa＝－6
kg·m/s、pb＝8
kg·m/s
C．pa＝－4
kg·m/s、pb＝6
kg·m/s
D．pa＝2
kg·m/s、pb＝0
答案　C
解析　对于碰撞问题要遵循三个规律：动量守恒定律，碰后系统的机械能不增加和碰撞过程要符合实际情况．本题属于迎面对碰，碰撞前，系统的总动量为2
kg·m/s.选项A中，系统碰后的动量变为－2
kg·m/s，不满足动量守恒定律，选项A可排除；选项B中，系统碰后的动量变为2
kg·m/s，满足动量守恒定律，但碰后a球动量大小不变，b球动量增加，根据关系式Ek＝可知，a球的动能不变，b球动能增加，系统的机械能增大了，所以选项B可排除；选项D中，显然满足动量守恒，碰后系统的机械能也没增加，但是碰后a球运动方向不变，b球静止，这显然不符合实际情况，选项D可排除；经检验，选项C满足碰撞所遵循的三个规律，故选C.
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\全书完整的word版文档\\40分钟课时作业.TIF"
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[概念规律题组]
1．(双选)下面关于碰撞的理解正确的是(　　)
A．碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生显著变化的过程
B．在碰撞现象中，一般内力都远大于外力，所以可以认为碰撞时系统的总动量守恒
C．如果碰撞过程中机械能也守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞
D．微观粒子的碰撞由于不发生直接接触，所以不满足动量守恒的条件，不能应用动量守恒定律求解
答案　AB
解析　碰撞过程中机械能守恒的碰撞为弹性碰撞，C错．动量守恒定律是自然界普遍适用的规律之一，不仅低速、宏观物体的运动遵守这一规律，而且高速、微观物体的运动也遵守这一规律，D错．
2．(双选)在光滑水平面上，两球沿球心连线以相等速率相向而行，并发生碰撞，下列现象可能的是(　　)
A．若两球质量相同，碰后以某一相等速率互相分开
B．若两球质量相同，碰后以某一相等速率同向而行
C．若两球质量不同，碰后以某一相等速率互相分开
D．若两球质量不同，碰后以某一相等速率同向而行
答案　AD
解析　本题考查运用动量守恒定律定性分析碰撞问题．光滑水平面上两小球的对心碰撞符合动量守恒的条件，因此碰撞前、后两小球组成的系统总动量守恒．
A项，碰撞前两球总动量为零，碰撞后也为零，动量守恒，所以A项是可能的．
B项，若碰撞后两球以某一相等速率同向而行，则两球的总动量不为零，而碰撞前两球总动量为零，所以B项不可能．
C项，碰撞前、后系统的总动量的方向不同，所以动量不守恒，C项不可能．
D项，碰撞前总动量不为零，碰后也不为零，方向可能相同，所以，D项是可能的．
[方法技巧题组]
3．(单选)如图1所示，木块A和B质量均为2
kg，置于光滑水平面上．B与一轻质弹簧一端相连，弹簧另一端固定在竖直挡板上，当A以4
m/s的速度向B撞击时，由于有橡皮泥而粘在一起运动，那么弹簧被压缩到最短时，具有的弹性势能大小为(　　)
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\全书完整的word版文档\\56.TIF"
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图1
A．4
J
B．8
J
C．16
J
D．32
J
答案　B
解析　A与B碰撞过程动量守恒，有mAvA＝(mA＋mB)vAB，所以vAB＝＝2
m/s.当弹簧被压缩到最短时，A、B的动能完全转化成弹簧的弹性势能，所以Ep＝(mA＋mB)v＝8
J.
4．(单选)在光滑的水平面上有三个完全相同的小球，它们成一条直线，2、3小球静止，并靠在一起，1小球以速度v0射向它们，如图2所示．设碰撞中不损失机械能，则碰后三个小球的速度可能值是(　　)
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\全书完整的word版文档\\57.TIF"
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\57.TIF"
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图2
A．v1＝v2＝v3＝v0
B．v1＝0，v2＝v3＝v0
C．v1＝0，v2＝v3＝v0
D．v1＝v2＝0，v3＝v0
答案　D
解析　两个质量相等的小球发生弹性正碰，碰撞过程中动量守恒，动能守恒，碰撞后将交换速度，故D项正确．
5．(单选)如图3所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相同的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是(　　)
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\全书完整的word版文档\\58.TIF"
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\58.TIF"
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图3
A．A开始运动时
B．A的速度等于v时
C．B的速度等于零时
D．A和B的速度相等时
答案　D
解析　对A、B组成的系统由于水平面光滑，所以动量守恒．而对A、B、弹簧组成的系统机械能守恒，即A、B动能与弹簧弹性势能之和为定值．当A、B速度相等时，弹簧形变量最大，弹性势能最大，所以此时动能损失最大．
6．(单选)如图4所示，在光滑水平面上有A、B两小球沿同一条直线向右运动，并发生对心碰撞．设向右为正方向，碰前A、B两球的动量分别是pA＝10
kg·m/s、pB＝15
kg·m/s，碰后两小球的动量变化可能是(　　)
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\59.TIF"
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图4
A．ΔpA＝15
kg·m/s，ΔpB＝5
kg·m/s
B．ΔpA＝－5
kg·m/s，ΔpB＝5
kg·m/s
C．ΔpA＝5
kg·m/s，ΔpB＝－5
kg·m/s
D．ΔpA＝－20
kg·m/s，ΔpB＝20
kg·m/s
答案　B
解析　因碰撞过程动量守恒，故两个球的动量变化大小相等，方向相反，故选项A错误．B被碰后动量的变化向右，则A的动量变化向左，所以选项C错误．在碰撞过程中，动能不可能增加，故选项D错误．
7．(单选)现有甲、乙两滑块，质量分别为3m和m，以相同的速率v在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞．已知碰撞后，甲滑块静止不动，那么这次碰撞是(　　)
A．弹性碰撞
B．非弹性碰撞
C．完全非弹性碰撞
D．条件不足，无法确定
答案　A
解析　由动量守恒3m·v－mv＝0＋mv
′，所以v
′＝2v
碰前总动能Ek＝×3m·v2＋mv2＝2mv2
碰后总动能Ek′＝mv′2＝2mv2，Ek＝Ek′，所以A正确．
8．(2014·新课标Ⅰ·35(2))如图5所示，
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"D:\\杨营\\2014\\同步\\幻灯片\\物理\\粤教3-5\\全书完整的word版文档\\b85.TIF"
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图5
质量分别为mA、mB的两个弹性小球A、B静止在地面上方，B球距地面的高度h＝0.8
m，A球在B球的正上方．先将B球释放，经过一段时间后再将A球释放．当A球下落t＝0.3
s
时，刚好与B球在地面上方的P点处相碰．碰撞时间极短，碰后瞬间A球的速度恰为零．已知mB＝3mA，重力加速度大小g＝10
m/s2，忽略空气阻力及碰撞中的动能损失．求：
(ⅰ)B球第一次到达地面时的速度；
(ⅱ)P点距离地面的高度．
答案　(ⅰ)4
m/s　(ⅱ)0.75
m
解析　(ⅰ)设B球第一次到达地面时的速度大小为vB，由运动学公式有
vB＝①
将h＝0.8
m代入上式，得
vB＝4
m/s②
(ⅱ)设两球相碰前后，A球的速度大小分别为v1和v1′(v1′＝0)，B球的速度分别为v2和v2′.由运动学规律可知
v1＝gt③
由于碰撞时间极短，重力的作用可以忽略，两球相碰前后的动量守恒，总动能保持不变．规定向下的方向为正，有
mAv1＋mBv2＝mBv2′④
mAv＋mBv＝mBv2′2⑤
设B球与地面相碰后的速度大小为vB′，由运动学及碰撞的规律可得
vB′＝vB⑥
设P点距地面的高度为h′，由运动学规律可知
h′＝⑦
联立②③④⑤⑥⑦式，并代入已知条件可得
h′＝0.75
m
9.
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图6
如图6所示，两个质量m1＝20
g、m2＝80
g的小球，用等长的细线悬挂在O点．悬挂m2的细线处于竖直状态，悬挂m1的细线处于伸直状态且与竖直方向成37°角．现将m1由静止释放，m1与m2碰撞后粘在一起．若线长L＝1
m，重力加速度g＝10
m/s2，取sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，求：
(1)碰撞前瞬间m1的速度v0；
(2)碰撞中损失的机械能ΔE.
答案　(1)2
m/s　(2)0.032
J
解析　(1)由机械能守恒，得
m1gL(1－cos
37°)＝m1v02
解得v0＝2
m/s
(2)设碰后两球速度为v，由动量守恒得
m1v0＝(m1＋m2)v
ΔE＝m1gL(1－cos
37°)－(m1＋m2)v2
解得ΔE＝0.032
J
[创新应用题组]
10.
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图7
(2014·山东·39(2))如图7所示，光滑水平直轨道上两滑块A、B用橡皮筋连接，A的质量为m.开始时橡皮筋松弛，B静止，给A向左的初速度v0.一段时间后，B与A同向运动发生碰撞并粘在一起，碰撞后的共同速度是碰撞前瞬间A的速度的两倍，也是碰撞前瞬间B的速度的一半．求：
(ⅰ)B的质量；
(ⅱ)碰撞过程中A、B系统机械能的损失．
答案　(ⅰ)　(ⅱ)mv02
解析　(ⅰ)以初速度v0的方向为正方向，设B的质量为mB，A、B碰撞后的共同速度为v，由题意知：碰撞前瞬间A的速度为，碰撞前瞬间B的速度为2v，由动量守恒定律得
m·＋2mBv＝(m＋mB)v①
由①式得mB＝②
(ⅱ)从开始到碰撞后的全过程，由动量守恒定律得
mv0＝(m＋mB)v③
设碰撞过程A、B系统机械能的损失为ΔE，则
ΔE＝m()2＋mB(2v)2－(m＋mB)v2④
联立②③④式得
ΔE＝mv02