2024—2025学年第二学期高一期末调研考试
数 学 试 题
注意事项：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1. 已知z(1+i)=2,则|z|=
A. 2 B. 1 D.
2. 在一次知识竞赛中,某校8名同学的成绩(单位:分)分别为:80,82,84,90,92,94,96,98，则这组数据的上四分位数为
A.94 B.82 C. 95 D. 96
3. 已知直线a,b和平面α, β,满足(α⊥β,α∩β=b,则a⊥b是a⊥β的
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知 则
B. D.
5. 已知||=1,||=2,⊥(-2),.则向量在向量上的投影向量为
A. D.
6.抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为s ，s ，设事件A= 事件. 事件 ，则
A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A∩B=C D. A∪B=C
7. 已知三棱锥S-ABC,SA⊥平面ABC,SA=4,∠CAB=120°,BC=2,则此三棱锥外接球的表面积为
8.已知函数 的图象在(0，π)上恰好有2个最高点和1个最低点，且这三个点总可以组成一个锐角三角形，则ω的取值范围是
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是
且 则
B. 已知一组数据4,4,m,8,9的平均数为6,则m=6
C. 若样本数据x ,x ,…,x 的方差为5,则数据 的方差20
D.从5黑1白六个小球中不放回的进行随机抽取，每次抽取1个球，第二次抽到白球的概率为
10. 方程. 在复数集C的两个根分别为：z ,z ,则
11.已知圆锥SO的轴截面SAB的顶角为 ，底面半径为： 则
A.圆锥的侧面积为
B.过圆锥顶点的截面面积的最大值为
C. P是圆锥侧面上的一点，且到底面的距离为2，则三棱锥S—APB体积的最大值为9
D.球O'与圆锥的侧面和底面都相切，过圆锥的顶点S作与平面SAB成30°角且与AB平行的平面，则此平面截球O'所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分。
12.甲，乙两人独立解决同一道数学题，若甲和乙能正确解出此题的概率分别为 和 则此题被正确解出的概率是 .
13. 在△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠BAC=90°,且 AM与BN相交于点P,则cos∠MPN= .
14. 如图,二面角α—l—β大小等于120°,A,B是棱l上两点 ,BD,AC 分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,AB=AC=BD=2. 则CD= ,直线CD与平面β所成角的正弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知平面向量,,若||=1,||=2,|-2|= .
(1)求向量与的夹角；
(2)若=+t,=4t+,向量与向量共线且方向相反,求实数t的值.
16.(15分)
据网络平台数据，截止到2025年4月12日17时38分，2025年度我国电影大盘票房(含预售)突破250亿，居全球第一.《哪吒之魔童闹海》以60.8%的票房占比断层领跑.一调研团从一场去电影院观看该电影的观众中随机抽取100名作为样本，统计他们的年龄并分成五组:第一组[10,20),第二组[20,30),第三组[30,40),第四组[40,50),第五组[50，60]，绘制成了如图所示的频率分布直方图，把频率视为概率.
(1)求频率分布直方图中的a；
(2)估计该场观众年龄的中位数和平均数；
(3)用比例分配的分层随机抽样方法从此样本中[10,20)和[50,60]内共抽取5名观众,再从中任取2个人座谈，求抽到的2个人来自不同组的概率.
17.(15分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,
(1)求角B;
(2)若 的面积为 求a;
(3)若a+b=2c,求角C.
18.(17分)
在四棱锥 中,平面SAB⊥平面ABCD,SA=SB= 底面ABCD为菱形AB=2, E,F分别是SA,BC的中点.
(1)求证: EF//平面SCD
(2)求点B到平面SCD的距离；
(3)求二面角B—CD—S的余弦值.
19.(17分)
某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域. 分别种植牡丹，芍药，将区域 设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知. ,M,N在BC上且
(1)当 时，求护栏的长度；
(2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值.2024-2025 学年第二学期高一数学期末调研考试
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1.C 2. C 3.B 4．A 5.D 6.B 7.D 8.D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。（部分选对中如有
三个正确选项，选对一个得 2 分，选对两个得 4 分；如有两个正确选项，选对一个得 3
分.）
9.AC 10.BD 11.ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
11
12. 13 10． 14. 4, 3
12 10 4
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：
(1)因为 a 2b 21，
2 2 2 2 2则 a 2b a 4a b 4b a 4 a b cos a,b 4 b
1 8cos a,b 16 21,
1
解得 cos a,b ,又因为0 a,b π，
2
a,b 2π
2π
因此， ，即向量 a、3 b
的夹角为 .
3
(2) 因为向量 d与向量c共线，所以存在实数 使得 a tb 4ta b ，
即 a tb 4 ta b
1 4 t
因为向量 a与b 不共线，所以
t
1 1 2 2
解得 ，或
1t
1
t
2 2
因为向量c与d 方向相反，所以 0
1
所以t
2
1
16解：（1）
第二组的频率为1 0.018 0.032 0.014 0.012 10 0.24，
0.24
所以频率直方图的高 a 0.024
10
设中位数为 x，由频率分布直方图可知， 10,20 所占的面积
为0.018 10 0.18，
20，,30 所占的面积为 0.024 10 0.24， 30,40 所占的面
积为 0.032 10 0.32，
则中位数 x 30,40 ，由0.18 0.24 x 30 0.032 0.5
解得 x 32.5，
平均年龄为15 0.18 25 0.24 35 0.32 45 0.14 55 0.12 32.8，
所以年龄的中位数为32.5，平均年龄为32.8岁.
（2） 10,20 内的观众有100 0.18 18人， 50,60 内的观众有100 0.12 12人.
（3）用分层抽样的方法从 10,20 和 50,60 内抽取 5 名观众，则 10,20 内抽取 3 人， 40,50 内
抽取 2 人，记年龄在 10,20 的为 a,b,c，年龄在 40,50 为m,n，
从 5 名观众中中抽取 2 个人座谈，其样本空间
a,b , a,c , a,m , a,n , b,c , b,m , b,n , c,m , c,n ，即 n 10，记 A “抽到的 2 个人来
自不同组”，则 A a,m , a,n , b,m , b,n , c,m , c,n ，即 n A 6，
P A n A 6 3因此 ，
n 10 5
6 3
即抽到的 2 个人来自不同组的概率为 .
10 5
17解:
解：（1）由 2cos2 A C 1 cos 2B，得 cos A C cos 2B，
2
即 2cos2 B cosB 1 0，即 2cosB 1 cosB 1 0，
因为 cos B 1，所以 cosB
1
，
2
因为 B 0, ，所以 B .
3
2
1 1
（2）因为 S ABC ac sin B ac sin 2 3，2 2 3
所以 ac 8 ①，
2 2 2 2根据余弦定理，b a c 2ac cosB 2 3 ，
即 a2 c2 ac 12 ②
联立①和②得 a 2或 a 4 .
（3）法 1：因为 a b 2c，所以 sin A sin B 2sinC，
所以 sin
2
C sin 2sinC，
3 3
则 sin
2 cosC cos 2 sinC sin 2sinC，
3 3 3
1
化简得3sin C 3 cosC 3，即 sin C ，
6 2
因为0 C 2 2 ，所以 C ，
3 3 6 3
C 所以 ，所以C .
6 6 3
a2cos c
2 b2 1
法 2：由 B
2ab 2
a2 c2 b2 ac
a b
把已知c 带入上式
2
2
a b a b a2 b2 a
2 2
化简得 a b
所以 A B ，即C
3 3
18（1）证明：
法 1：取 SD的中点M ，连结ME，MC ，
因为 E,F分别为 SA,BC，且四边形 ABCD为菱形，
1 1
则 EM ∥ AD且 EM AD，FC∥ AD且 FC AD，
2 2
所以 EM ∥ FC且EM FC，
所以四边形 EFCM 是平行四边形，
3
则 EF ∥MC，
又MC 平面 SCD，EF 平面 SCD，
所以 EF ∥平面 SCD .
法 2：取 AD的中点 N ，
因为 E,F分别是 SA,BC的中点，且四边形 ABCD为菱形，
则 EN ∥ SD，又 EN 平面 SCD，则 EN ∥平面 SCD，
FN ∥CD，又 FN 平面 SCD，则 FN ∥平面 SCD，
又 EN FN N ，则平面 EFN ∥平面 SCD，
又 EF 平面 EFN ，所以 EF ∥平面 SCD .
（2）解：法 1：
取 AB的中点O，因为 SA SB 6 ，则 SO AB，
又因为底面 ABCD为菱形， ABC ，则 AB OC，又3 SO OC O
，
所以 AB 平面 SOC，
因为 AB∥CD，所以CD 平面 SOC
又CD 平面 SCD，所以平面 SOC 平面 SCD，
因为平面 SOC 平面 SCD SC，
过点O作OH SC 交 SC于H ，则OH 平面 SCD，
则OH 的长即为点O到平面 SCD的距离，
在 Rt SOC OS OC 5 3 30 中，OH ，
SC 2 2 4
因为 AB∥CD， AB 平面 SCD，CD 平面 SCD，
所以 AB∥平面 SCD，则 B到平面 SCD的距离即为O到平面 SCD的距离，
30
所以 B到平面 SCD的距离为 .
4
法 2：
因为平面 SAB 平面 ABCD，平面 SAB 平面 ABCD AB， SO 平面 SAB，
所以 SO 平面 ABCD，
因为 AB 2，则 SO 5，
4
又因为底面 ABCD为菱形， ABC ，所以
3 OC 3
，
OD OA2 OD2 2 2OA OD cos 7
3
在 Rt SOC 中， SC SO2 OC 2 2 2 ，
在 Rt SOD中， SD SO2 OD2 2 3，
在 SCD 2中，因为CD2 SC 2 22 2 2 12 SD2，
所以 SCD为直角三角形，
S 1 SCD SC CD 2 2
1
， S BCD BC
2
CD sin 3，
2 2 3
设点 B到平面 SCD的距离为 h，
1 1
根据VB SCD VS BCD，则 S h S3 SCD 3 SCD
SO，
30
解得 h ，
4
30
即 B到平面 SCD的距离为 .
4
（3）解：因为 SC CD，OC CD，OC 平面 BCD， SC 平面 SCD，
所以 SCO为二面角 B CD S 的平面角，
在 Rt SOC cos SOC OC 3 6中， ，
SC 2 2 4
即二面角 B CD S 6的余弦值为 .
4
19解:
解： （1）因为 CAB 90 ， AC 200m， AB 200 3m，
所以 BC 400m tan B AC 200 3 ， ，
AB 200 3 3
B 所以 ，C ，
6 3
AN 2 AB2 NB2 2AB NB cosB
2002 200 3 2 2 200 200 3 cos 2002
6
所以 AN 200m，
5
则 NAB为等腰三角形， NAB
，
6
CAM 所以 ，则 CMA ，
6 2
得 AM 100 3m，CM 100m，则MN 100m，
所以护栏的长度为 AM AN MN 300 100 3 m .
（2）设计使得 CAM 时人工湖面积最小。
12
（或设计 NAB ，或CM 100 4 3 都可）
4
法 1：设 NAB ， 0, ，则 CAM ，
3 3
AN AB AN 200 3
在 NAB中， ，即 5 ，
sin B sin ANB sin sin 6 6
AN 100 3
解得
sin 5
，
6
AM 200
AM AC
在 CAM 中， ，即 ，
sin C sin AMC sin sin 3 3
AM 100 3
解得 ，
sin
3
所以人工湖的面积
S 12 S MAN AM AN sin MAN
1 100 3 100 3
2 4 sin 5 sin
6 3
3 1002
1 3 4 cos sin 3 cos 1
2 2
sin
2 2
3 1002
3 1 4
，
sin 2
4 2
则当 2 即 时人工湖的面积最小，最小值为30000 2 3 m2 .
2 4
6
法 2：设 CAM ， 0, ，则 NAB ，
3 3
AM 200
AM AC
在 CAM 中， ，即 2 ，
sin C sin AMC sin sin 3 3
AM 100 3
解得 ，
sin 2
3
AN AB AN 200 3
在 NAB中， ，即
sin B sin ANB sin
sin 6 2
AN 100 3解得 ，
cos
S2 S
1
MAN AM AN
1 100 3 100 3
sin MAN
2 4 sin 2 cos
3
3 1002
4 3 cos 1
sin cos
2 2
，
3 1002 3 1002 3 1002
2 3 cos2 2sin cos 3 1 cos 2 sin 2 2sin 2 3
3
则当 2 即 时人工湖的面积最小，最小值为30000 2 3 m2 .
3 2 12
7
