河北省沧州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试卷（含解析）

河北省沧州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C．8 D．10
2．某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（ ）
A．42 B．50 C．126 D．150
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．已知事件A，B，C两两互斥，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知D在C的正东方向上，米，A在C的北偏东60°方向上，B在D的南偏西30°方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ）
A．40米 B．米 C．米 D．60米
7．在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，这是某地连续10天日平均气温（单位：℃）的折线图，则（ ）
A．该地这10天日平均气温的众数是33℃
B．该地这10天日平均气温的极差是11℃
C．该地这10天日平均气温的70%分位数是33℃
D．该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差
10．连续抛掷一枚硬币两次，事件A表示“第一次硬币正面朝上”，事件B表示“第二次硬币反面朝上”，事件C表示“两次硬币都正面朝上”，事件D表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ）
A．A与C相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
11．在正方体中，M，N分别为线段AB，的中点，P为正方形内（包含边界）的动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．不存在点P，使得平面平面CDP
C．存在唯一的点P，使得平面
D．直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为
三、填空题
12．已知复数是关于x的方程的根，则 ．
13．已知半径为2的球O与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为 ．
14．赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，O是正六边形ABCDEF的中心．若，则 ．
四、解答题
15．已知某校高一年级有1500名学生，为了解该校高一年级学生的课外阅读时间，研究人员从该校高一年级的学生中随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求频率分布直方图中a，b的值；
(2)试估计该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于8小时的人数；
(3)试估计该校高一年级学生该周课外阅读时间的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
16．如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，．
(1)证明：平面平面．
(2)求点A到平面的距离．
17．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局．已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，，，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求比赛3局结束的概率；
(2)求甲最终获胜的概率．
18．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，且．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求的取值范围．
19．定义两个多面体的相似度，其中是多面体重合部分的体积，分别是多面体的体积．如图，在三棱锥中，分别是棱PB，PC的中点，直线DF与直线AB交于点G，直线EF与直线AC交于点H．
(1)当时，求三棱锥与三棱锥的相似度K．
(2)是否存在，使得三棱锥与三棱锥的相似度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
河北省沧州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A B C A D ABD BD
题号 11
答案 ABD
1．B
【详解】由题意可得.
故选：B.
2．C
【详解】由题意可知样本量是.
故选：C
3．D
【详解】由题意可得，解得.
故选：D
4．A
【详解】由，设，
所以C是的最大内角．因为，
所以，所以C是锐角，则是锐角三角形．
故选：A.
5．B
【详解】因为事件A，B，C两两互斥，
则．
又因为，
可得，解得，
所以．
故选：B.
6．C
【详解】由题中数据可得， ，
在中,由正弦定理可得，，
，，即．
在中，米，米，，
由余弦定理可得，
则米．
故选：.
7．A
【详解】取棱AB的中点H，连接，则，
所以，
因为∥，所以四边形为平行四边形
所以．
因为E，F分别是棱的中点，所以，
则是异面直线与EF所成的角或其补角．
过作，垂足为G，则.
因为正四棱台的侧面积为，所以，
所以，则．
因为，所以，
即所求值为．
故选：A
8．D
【详解】因为是虚数，则，
所以．
因为是实数，所以，解得或．
因为，所以，
则．
因为，且，所以，所以，
所以，则，
即的取值范围是．
故选：D
9．ABD
【详解】对于A，由图中数据可知该地这10天日平均气温中，33出现2次，其他数据只出现一次，
则该地这10天日平均气温的众数是33℃，A正确；
对于B，该地这10天最高日平均气温为38℃，最低日平均气温为27℃，
则该地这10天日平均气温的极差是38－27＝11℃，B正确；
对于C，将该地这10天日平均气温从小到大排列为27，29，30，31，32，33，33，36，37，38，
因为10×70%＝7，所以该地这10天日平均气温的70%分位数是，C错误；
对于D，由图可知该地前5天日平均气温的波动小于后5天日平均气温的波动，
则该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差，D正确．
故选：ABD.
10．BD
【详解】由题意可得，，
则，，
故A与C不相互独立，A与D相互独立，B与C不相互独立，B与D相互独立．
故选：BD.
11．ABD
【详解】A选项，设，由正方体的性质可知平面平面，
因为平面，所以点P到平面的距离为定值．
因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，
即三棱锥的体积为定值，A正确；

B选项，连接，则，且，延长相交于，
因为是相交关系，所以不存在点P，使得平面平面CDP，B正确．
C选项，延长至点E，使得，连接，记，
连接BF．因为M，N分别为线段AB，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面，
当点P在线段BF上时，平面，则平面，
使得平面的点P有无数个．C错误；
D选项，作，垂足为H，连接MH，
则为直线PM与平面ABCD所成的角．
因为，平面平面ABCD，且平面平面，
所以平面ABCD，所以，则．
显然当点P在棱上时，，
当点H与点B重合时，，
即当P与重合时，此时点H与点B重合，，
则，D正确．
故选：ABD
12．26
【详解】由题意可知关于x的方程的另一个根为，
则．
故答案为：.
13．
【详解】如图，是该圆锥的轴截面，H为线段AB的中点，O为球O的球心，作，垂足为C，则．
因为为等边三角形，所以，所以，
所以4，所以，所以，
则该圆锥的表面积为．
故答案为：.
14．
【详解】连接CF，则O为线段CF的中点．
连接OB，易证四边形ABOF，ABCO均为平行四边形，则．
连接EM，则A，M，E三点共线，且，
所以．
由正六边形的性质可得，
则．
因为，结合平面向量基本定理，所以，则．
故答案为：
15．(1)
(2)450人
(3)6.64小时
【详解】（1）由频率分布直方图可得，则．
联立解得．
（2）由图可知样本中这周课外阅读时间不低于8小时的频率为
则该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于8小时的人数约为．
（3）由题意可得该校高一年级学生该周课外阅读时间的平均数的估计值为小时．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取棱的中点E，连接．
因为四边形是菱形，，所以．
因为E是棱AD的中点，所以，则．
因为为等边三角形，且，E是棱AD的中点，所以．
因为，所以，所以．
因为平面，平面，且，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）因为，所以的面积．
由（1）可知平面，且，则三棱锥的体积．
因为，所以的面积．
设点A到平面的距离为d，则三棱锥的体积．
因为，所以，
解得，即点A到平面的距离为．
17．(1)
(2)
【详解】（1）比赛3局结束的情况有以下两种：
第一种情况是前2局比赛中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜，其概率为；
第二种情况是前2局比赛中乙获胜1局，且第3局比赛乙获胜，其概率为．
故比赛3局结束的概率为；
（2）甲最终获胜的情况有以下三类：
第一类情况是甲连胜2局，比赛结束，其概率为；
第二类情况是前2局比赛中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜，其概率为；
第三类情况是4局比赛后甲最终获胜，包含①甲获胜1局，其他3局平局，②前3局比赛中甲获胜1局，其他2局平局，且第4局比赛甲获胜，③前3局比赛中甲获胜1局，乙获胜1局，其他1局平局，且第4局比赛甲获胜这三种情况，
甲获胜1局，其他3局平局的概率为，
前3局比赛中甲获胜1局，其他2局平局，且第4局比赛甲获胜的概率为，
前3局比赛中甲获胜1局，乙获胜1局，其他1局平局，且第4局比赛甲获胜的概率为，
故甲最终获胜的概率为．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，即，
所以．
因为，所以，
所以，所以．
因为，所以．
（2）因为，所以，
所以，所以，
所以．
因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，
则的面积，即面积的最大值为，
（3）由正弦定理可得，
则，
故．
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，
则，即的取值范围为．
19．(1)
(2)存在，
【详解】（1）设的面积为S，点P到平面ABC的距离为h，
则三棱锥P－ABC的体积．
取棱PA的中点M，连接DM．
因为D，M分别是棱PB，PA的中点，
所以，．
则．
因为，
所以F是线段PM的中点，
则．
因为E是线段PC的中点，
所以点C到平面PAB的距离是点E到平面PAB的距离的2倍，
则三棱锥E－PDF的体积，
所以三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH的重合部分的体积．
因为，且，
所以，即，
所以．
同理可得：，，且，
所以，即，
所以，
所以
则，
则，
所以．
因为，
所以点F到平面AGH的距离为，
则三棱锥F－AGH的体积，
故三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH的相似度．
（2）因为，
所以，
所以．
因为E是线段PC的中点，
所以点C到平面PAB的距离是点E到平面PAB的距离的2倍，
所以三棱锥E－PDF的体积，
则三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH的重合部分的体积．
因为，且，
所以，即，
所以．
同理可得：，，且，
所以，即，
所以，
所以
则，
则，
所以．
因为点P到平面ABC的距离为h，
所以点F到平面AGH的距离为，
则三棱锥F－AGH的体积，
故三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH的相似度
．
假设存在满足条件的，
则，
所以，
所以，解得或或．
因为，
所以，
即存在，使得三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH的相似度．