3.7洛伦兹力与现代技术 学案

第7讲　洛伦兹力与现代技术
[目标定位]　1.知道在洛伦兹力作用下，带电粒子垂直进入磁场做匀速圆周运动.2.会推导带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径和周期，并用它解答有关问题.3.知道回旋加速器和质谱仪的构造和原理以及基本用途.
一、带电粒子在磁场中的运动
(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动：垂直射入匀强磁场的带电粒子，洛伦兹力总是与速度垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，提供向心力.所以，沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动.
(2)圆周运动的半径和周期：质量为m、电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r＝，周期为T＝＝.
二、质谱仪
(1)结构如图1所示.
图1
(2)S1和S2之间存在着加速电场，P1和P2之间的区域存在着相互正交的匀强磁场和匀强电场.只有满足v＝的带电粒子才能做匀速直线运动通过S0上的狭缝.S0下方空间只存在磁场.带电粒子在该区域做匀速圆周运动，运动半径为r＝，消去v可得带电粒子的荷质比为＝.
三、回旋加速器
(1)回旋加速器的核心部件是两个D形盒.
(2)如果交变电场的周期正好与离子运动的周期相同，离子在每次经过间隙时都会被加速.随着速率的增加，离子做圆周运动的半径也将增大，当达到预期速率时被引出D形盒.
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1.匀速直线运动：若带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向平行(相同或相反)，此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动.
2.匀速圆周运动：若带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场，仅受洛伦兹力.
设粒子的速度为v、质量为m、电荷量为q，则有qvB＝m，即带电粒子做圆周运动的轨道半径r＝.
由轨道半径与周期的关系得T＝＝＝.带电粒子做圆周运动的周期T＝.
温馨提示　(1)由公式r＝知，轨道半径跟运动速率成正比；(2)由公式T＝知，周期跟轨道半径和运动速率均无关，而与荷质比成反比.
例1　质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的各物理量间的关系正确的是(　　)
A.速度之比为2∶1
B.周期之比为1∶2
C.半径之比为1∶2
D.角速度之比为1∶1
答案　B
解析　由qU＝mv2
①
qvB＝
②
由①②联立得R＝
而mα＝4mH，qα＝2qH，
故RH∶Rα＝1∶，
又T＝，
故TH∶Tα＝1∶2.
同理可求其他物理量之比，正确选项为B.
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1.着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法.
(1)圆心的确定方法：两线定一“心”
①圆心一定在垂直于速度的直线上.
如图2甲所示已知入射点P和出射点M的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心.
图2
②圆心一定在弦的中垂线上.
如图2乙所示，作P、M连线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心.
(2)“求半径”
方法①　由公式qvB＝m，得轨道半径r＝；
方法②　由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径r.
(3)“定时间”
方法①　粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间：t＝T(或t＝T).
方法②　t＝(其中s为粒子轨迹的长度，即弧长)，在周期T不可知时可考虑上式.
2.圆心角与偏向角、圆周角的关系
两个重要结论：①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫做偏向角，偏向角等于圆弧轨道对应的圆心角α，即α＝φ，如图3所示.
图3
②圆弧轨道所对圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图3所示.
例2　如图4所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B)并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°.求电子的质量和穿越磁场的时间.
图4
答案　　
解析　过M、N作电子入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N作OM的垂线，垂足为P，如图所示.由直角三角形OPN知，电子的轨道半径r＝＝d
①
由圆周运动知evB＝m
②
解①②得m＝.
电子在有界磁场中运动周期为T＝·＝.
电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t＝T＝×＝.
三、质谱仪
原理：利用磁场对带电粒子的偏转，由带电粒子的电荷量、轨道半径确定其质量.粒子由加速电场加速后进入速度选择器，若电场力和洛伦兹力平衡qE＝qvB1，速度为v＝的粒子做匀速直线运动通过速度选择器，然后进入偏转磁场B2做匀速圆周运动，轨道半径r＝，可得荷质比＝.
温馨提示　(1)速度选择器两极板间距离极小，粒子稍有偏转，即打到极板上.
(2)速度选择器对正负电荷均适用.
(3)速度选择器中的E、B1的方向具有确定的关系，仅改变其中一个方向，就不能对粒子的速度做出选择.
例3　质谱仪的构造如图5所示，离子从离子源出来经过板间电压为U的加速电场后进入磁感应强度为B的匀强磁场中，沿着半圆运动到记录它的照相底片上，测得图中PQ的距离为L，则该离子的荷质比为多大？
图5
答案　
解析　离子在电压为U的电场中加速时，根据动能定理得：
qU＝mv2
①
离子进入磁场后做圆周运动，根据牛顿第二定律有：
qvB＝m
②
r＝
③
解①②③得＝.
四、回旋加速器问题
1.周期：带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝，由此看出：带电粒子的周期与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场.
2.带电粒子的最大能量：由r＝得，当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Em＝.可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径R.
例4　回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的窄缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q、质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax.求：
(1)粒子在盒内做何种运动；
(2)所加交变电流频率及粒子角速度；
(3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能.
答案　(1)匀速圆周运动　(2)　
(3)　
解析　(1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大.
(2)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要符合粒子回旋频率，因为T＝，
回旋频率f＝＝，
角速度ω＝2πf＝.
(3)由牛顿第二定律知＝qBvmax
则vmax＝
最大动能Ekmax＝mv＝
借题发挥　(1)洛伦兹力永远不做功，磁场的作用是让带电粒子“转圈圈”，电场的作用是加速带电粒子.
(2)两D形盒窄缝所加的是与带电粒子做匀速圆周运动周期相同的交流电，且粒子每次过窄缝时均得到加速，每旋转一周被加速两次.
(3)粒子射出时的最大速度(动能)由磁感应强度和D形盒的半径决定，与加速电压无关.
带电粒子在磁场中的圆周运动
1.处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动.将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值(　　)
A.与粒子电荷量成正比
B.与粒子速率成正比
C.与粒子质量成正比
D.与磁感应强度成正比
答案　D
解析　假设带电粒子的电荷量为q，在磁场中做圆周运动的周期为T＝，则等效电流i＝＝，故答案选D.
带点粒子在有界磁场中的运动
2.如图6所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为(　　)
图6
A.1∶2
B.2∶1
C.1∶
D.1∶1
答案　B
解析　正、负电子在磁场中运动轨迹如图所示，正电子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负电子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1.
回旋加速器问题
3.(双选)回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底面的匀强磁场中，如图7所示，要增大带电粒子射出时的动能，下列说法中正确的是(　　)
图7
A.增加交流电的电压
B.增大磁感应强度
C.改变磁场方向
D.增大加速器半径
答案　BD
解析　当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由牛顿第二定律qvB＝m，得v＝.若D形盒的半径为R，则r＝R时，带电粒子的最终动能Ekm＝mv2＝.所以要提高加速粒子射出的动能，应尽可能增大磁感应强度B和加速器的半径R.
有关质谱仪的问题
4.A、B是两种同位素的原子核，它们具有相同的电荷量、不同的质量.为测定它们的质量比，使它们从质谱仪的同一加速电场由静止开始加速，然后沿着与磁场垂直的方向进入同一匀强磁场，打到照相底片上.如果从底片上获知A、B在磁场中运动轨迹的半径之比是1.08∶1，求A、B的质量比(结果保留两位有效数字).
答案　1.17∶1
解析　A、B是两种同位素的原子核，电荷量相同、质量不同.
其运动过程分为两步：
一是在电场中加速，二是在磁场中偏转.
设A、B的电荷量皆为q，质量分别为mA和mB，
则经电压为U的电场加速时：qU＝mv2
在磁感应强度为B的磁场中偏转时：r＝
联立解得：m＝
即＝()2＝()2≈1.17∶1.
(时间：60分钟)
题组一　带电粒子在磁场中的圆周运动
1.如图1所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，方向垂直纸面向里.有一束粒子对准a端射入弯管，粒子的质量、速度不同，但都是一价负粒子，则下列说法正确的是(　　)
图1
A.只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
B.只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
C.只有质量和速度乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
D.只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
答案　C
解析　由R＝可知，在相同的磁场、相同的电荷量的情况下，粒子做圆周运动的半径决定于粒子的质量和速度的乘积.
2.如图2所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　)
图2
A.沿路径a运动，轨迹是圆
B.沿路径a运动，轨道半径越来越大
C.沿路径a运动，轨道半径越来越小
D.沿路径b运动，轨道半径越来越小
答案　B
解析　由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲，又由r＝知，B减小，r增大，故电子的径迹是a，故选B.
3.(双选)在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场中做匀速圆周运动，则(　　)
A.粒子的速率加倍，周期减半
B.粒子的速率不变，轨道半径减半
C.粒子的速率减半，轨道半径变为原来的
D.粒子的速率不变，周期减半
答案　BD
解析　由r＝可知，磁感应强度加倍，粒子运动的轨道半径减半，洛伦兹力对粒子不做功，粒子的速率不变，由T＝可知，粒子运动的周期减半，故B、D选项正确.
4.(双选)如图3所示，一带电粒子(重力不计)在匀强磁场中沿图中轨道运动，中央是一薄绝缘板，粒子在穿过绝缘板时有动能损失，由图可知(　　)
图3
A.粒子的运动方向是abcde
B.粒子带正电
C.粒子的运动方向是edcba
D.粒子在下半周期比上半周期所用时间长
答案　BC
题组二　带电粒子在有界磁场中运动
5.(双选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图4中的正方形为其边界.一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射.这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其荷质比相同，且都包含不同速率的粒子.不计重力.下列说法正确的是(　　)
图4
A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
答案　BD
解析　由于粒子荷质比相同，由r＝可知速度相同的粒子的轨道半径相同，运动轨迹也必相同，B正确.对于入射速度不同的粒子在磁场中可能的运动轨迹如图所示，由图可知，粒子的轨道直径不超过磁场边界一半时转过的圆心角都相同，运动时间都为半个周期，而由T＝知所有粒子在磁场运动周期都相同，A、C错误.再由t＝T＝可知D正确，故选B、D.
6.如图5所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场.其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)(　　)
图5
A.1∶3
B.4∶3
C.1∶1
D.3∶2
答案　D
解析　如图所示，可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°.从b点射出的粒子对应的圆心角为60°.由t＝T，可得：t1∶t2＝3∶2，故选D.
7.(双选)如图6所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，荷质比相同的两个粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则(　　)
图6
A.从P射出的粒子速度大
B.从Q射出的粒子速度大
C.从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
答案　BD
解析　作出各自的轨迹如图所示，根据圆周运动特点知，分别从P、Q点射出时，与AC边夹角相同，故可判定从P、Q点射出时，半径R1＜R2，所以，从Q点射出的粒子速度大，B正确；根据图示，可知两个圆心角相等，所以，从P、Q点射出时，两粒子在磁场中的运动时间相等.正确选项应是B、D.
题组三　质谱仪和回旋加速器问题
8.(双选)如图7是质谱仪的工作原理示意图.带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器.速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场.下列表述正确的是(　　)
图7
A.质谱仪是分析同位素的重要工具
B.速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
C.能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的荷质比越小
答案　AC
解析　质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重
要工具，故A选项正确；速度选择器中电场力和洛伦兹力是一对平衡力，即qvB＝qE，故v＝，根据左手定则可以确定，速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外，故B选项错误，C选项正确；粒子在匀强磁场中运动的半径r＝，即粒子的荷质比＝，由此看出粒子的运动半径越小，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的荷质比越大，故D选项错误.
9.一个用于加速质子的回旋加速器，其核心部分如图8所示，D形盒半径为R，垂直D形盒底面的匀强磁场的磁感应强度为B，两盒分别与交流电源相连.下列说法正确的是(　　)
图8
A.质子被加速后的最大速度随B、R的增大而增大
B.质子被加速后的最大速度随加速电压的增大而增大
C.只要R足够大，质子的速度可以被加速到任意值
D.不需要改变任何量，这个装置也能用于加速α粒子
答案　A
解析　由r＝知，当r＝R时，质子有最大速度vm＝，即B、R越大，vm越大，vm与加速电压无关，A对、B错.随着质子速度v的增大、质量m会发生变化，据T＝知质子做圆周运动的周期也变化，所加交流电与其运动不再同步，即质子不可能一直被加速下去，C错.由周期公式T＝知α粒子与质子做圆周运动的周期不同，故此装置不能用于加速α粒子，D错.
10.(双选)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图9所示，离子源S产生各种不同的正离子束(速度可看为零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上，设离子在P上的位置到入口处S1的距离为s，可以判断(　　)
图9
A.若离子束是同位素，则s越大，离子质量越大
B.若离子束是同位素，则s越大，离子质量越小
C.只要s相同，则离子质量一定相同
D.只要s相同，则离子的荷质比一定相同
答案　AD
解析　由动能定理qU＝mv2.离子进入磁场后将在洛伦兹力的作用下发生偏转，由圆周运动的知识，s＝2r＝，故s＝
，分析四个选项，A、D正确，B、C错误.
题组四　综合应用
11.如图10所示，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入.已知两板之间距离为d.板长为d，O点是NP板的正中点，为使粒子能从两板之间射出，试求磁感应强度B应满足的条件(已知质子的电荷量为q、质量为m).
图10
答案　≤B≤
解析　如图所示，由于质子在O点的速度垂直于板NP，所以粒子在磁场中做圆周运动的圆心O′一定位于NP所在的直线上.如果直径小于ON，则轨迹将是圆心位于ON之间的一段半圆弧.
(1)如果质子恰好从N点射出，
R1＝，qv0B1＝.
所以B1＝.
(2)如果质子恰好从M点射出
R－d2＝2，qv0B2＝m，
得B2＝.
所以B应满足≤B≤.
12.如图11，一个质量为m、电荷量为－q、不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：
图11
(1)匀强磁场的磁感应强度B；
(2)穿过第一象限的时间.
答案　(1)　(2)
解析　(1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知：
Rcos
30°＝a，得R＝
Bqv＝m，得B＝＝.
(2)带电粒子在第一象限运动的时间：t＝·＝.