3.8带电粒子在组合场和叠加场中的运动 学案

第8讲　习题课　带电粒子在组合场和叠加场中的运动
[目标定位]　1.会计算洛伦兹力的大小，并能判断其方向.2.掌握带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，并能解决确定圆心、半径、运动轨迹、周期、运动时间等相关问题.3.能分析计算带电粒子在叠加场中的运动.4.能够解决速度选择器、磁流体发电机、质谱仪等磁场的实际应用问题.
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
质量为m、电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r＝，周期为T＝＝.
二、带电粒子在叠加场中的运动形式
1.静止或匀速直线运动
当带电粒子在叠加场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动.
2.匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.
三、带电粒子在组合场中的运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成.
一、带电粒子在磁场中的匀速圆周运动
1.解题步骤
(1)画轨迹：先确定圆心，再画出运动轨迹，然后用几何方法求半径.
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系.
(3)用规律：用牛顿第二定律列方程：qvB＝m，及圆周运动的规律的一些基本公式.
2.带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图1所示)
图1
(2)平行边界(存在临界条件，如图2所示)
图2
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图3所示)
图3
3.带电粒子在有界磁场中运动，还往往出现临界条件，可以通过对轨迹圆放大的方法找到相切点如图2(c)图.注意找临界条件，注意挖掘隐含条件.
例1　如图4所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面并指向纸里，磁感应强度为B.一带负电的粒子(质量为m、电荷量为q，重力不计)以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xOy平面内，与x轴正方向的夹角为θ.求：
图4
(1)该粒子射出磁场的位置；
(2)该粒子在磁场中运动的时间.
答案　(1)(－，0)　(2)
解析　(1)设从A点射出磁场，O、A间的距离为L，射出时速度的大小仍为v，射出方向与x轴的夹角仍为θ，由洛伦兹力公式和牛顿定律可得：qv0B＝m
式中R为轨迹圆的轨道半径，解得R＝
①
轨迹圆的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得
＝Rsin
θ
②
联立①②两式，得：L＝
所以粒子离开磁场的位置坐标为(－，0)
(2)因为T＝＝
所以粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝.
例2　如图5所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与CD边界间夹角为θ.已知电子的质量为m、电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少为多大？
图5
答案　
解析　本题考查圆周运动的边界问题的求解方法.当入射速率v0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰好不能从EF射出，如图所示，电子恰好射出时，由几何知识可得：
r＋rcos
θ＝d
①
又r＝
②
由①②得v0＝
③
故电子要射出磁场，速率至少应为.
例3　如图6所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板MN，圆顶点P有一速率为v0的带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m、电荷量为q，粒子的重力不计.
图6
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板MN上时速度的垂直分量.
答案　(1)　(2)v0
解析　(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，由牛顿第二定律得
Bqv0＝m
所以r＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如图所示.
t＝＝
(2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R，其运动轨迹如图所示.
由图可知∠PO2O＝∠OO2A＝30°
所以带电粒子离开磁场时偏向角为60°
粒子打到感光板上时速度的垂直分量为
v⊥＝vsin
60°＝v0
二、带电粒子在叠加场中的运动
处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路：
1.弄清叠加场的组成.
2.对带电粒子进行受力分析.
3.确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合.
4.画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律.
(1)当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解.
(2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿定律分别列方程求解.
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解.
例4　如图7所示，在地面附近有一个范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场.匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外，一质量为m、电荷量为－q的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动.(重力加速度为g)
图7
(1)求此区域内电场强度的大小和方向；
(2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°的角，如图所示.则该微粒至少需要经过多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？
答案　(1)　方向竖直向下
(2)　H＋
解析　(1)
要满足微粒做匀速圆周运动，则：
qE＝mg
得E＝，方向竖直向下.
(2)如图所示，当微粒第一次运动到最高点时，α＝135°，
则t＝T＝T＝
T＝
所以微粒到达距地面最高点的时间t＝
最高点距地面的高度H1＝R＋Rsin
45°＋H＝H＋
三、带电粒子在组合场中的运动
1.这类问题往往是粒子依次通过几个并列的场，如电场与磁场并列，其运动性质随区域场的变化而变化.
2.解题时要弄清楚场的性质、方向、强弱、范围等.
3.要进行正确的受力分析，确定带电粒子的运动状态.
4.分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹是解题的关键.
5.解题技巧：组合场中电场和磁场是各自独立的，计算时可以单独使用带电粒子在电场或磁场中的运动公式来列式处理.在电场中带电粒子常有两种运动方式：加速或偏转；在匀强磁场中，带电粒子常做匀速圆周运动.
例5　如图8所示，在直角坐标系xOy的第一象限中分布着沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限中分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场.一个质量为m、电荷量为＋q的微粒，在A点(0,3)以初速度v0＝120
m/s平行x轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，并且先后只通过x轴上的P点(6,0)和Q点(8,0)各一次.已知该微粒的荷质比为＝102
C/kg，微粒重力不计，求：
图8
(1)微粒从A运动到P所经历的时间和加速度的大小；
(2)求出微粒到达P点时速度方向与x轴正方向的夹角，并画出带电微粒在电场和磁场的组合场中由A至Q的运动轨迹；
(3)电场强度E和磁感应强度B的大小.
答案　见解析
解析　(1)微粒从A点沿平行x轴正方向射入电场区域，由A到P做类平抛运动，微粒在x轴上做匀速直线运动
由x＝v0t，得t＝＝0.05
s
微粒沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，由y＝at2
得a＝2.4×103
m/s2
(2)vy＝at，tan
α＝＝1，所以α＝45°
轨迹如图
(3)由qE＝ma，得
E＝24
N/C
设微粒从P点进入磁场以速度v做匀速圆周运动
v＝v0
由qvB＝m，得R＝
由几何关系R＝
m，所以可得B＝＝1.2
T.
带电粒子在有界磁场中的运动
1.半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出.∠AOB＝120°，如图9所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为(　　)
图9
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　从弧所对应的圆心角θ＝60°，知t＝T＝.但题中已知条件不够，没有此选项，另想办法找规律表示t.由匀速圆周运动t＝，从题图分析有R＝r，则＝R·θ＝r×＝πr，则t＝＝.D正确.
带电粒子在叠加场中的运动
2.一正电荷q在匀强磁场中，以速度v沿x轴正方向进入垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图10所示，为了使电荷能做直线运动，则必须加一个电场进去，不计重力，此电场的电场强度应该是(　　)
图10
A.沿y轴正方向，大小为
B.沿y轴负方向，大小为vB
C.沿y轴正方向，大小为
D.沿y轴负方向，大小为
答案　B
解析　要使电荷能做直线运动，必须用电场力抵消洛伦兹力，本题正电荷所受的洛伦兹力的方向沿y轴正方向，故电场力必须沿y轴负方向且qE＝qvB，即E＝vB.
3.如图11所示，直角坐标系位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直xOy平面向外，电场的方向平行于y轴，一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点以水平速度v0向右抛出，与x轴成45°角经x轴上M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从坐标原点第一次离开电场和磁场.不计空气阻力，重力加速度为g，求：
图11
(1)电场强度E的大小和方向；
(2)磁感应强度的大小.
答案　(1)　竖直向上　(2)
解析　
(1)小球在电场和磁场中恰好做匀速圆周运动，其所受电场力必须与重力平衡，有Eq＝mg
解得：E＝
由于小球带正电，故电场方向竖直向上.
(2)在M点有vy＝v0tan
45°，
又vy＝gt，OM＝v0t
联立解得OM＝
小球做匀速圆周运动的速度v＝v0
设小球做匀速圆周运动的半径为r，
由几何关系可知
2rsin
45°＝OM，
得r＝
洛伦兹力提供向心力，
qvB＝m，
得B＝.
带电粒子在组合场中的运动
4.如图12所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限存在沿y负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y＝h处的M点，以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上x＝2h处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向射出磁场.不计粒子重力.求：
图12
(1)电场强度的大小E；
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r；
(3)粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t.
答案　见解析
解析　粒子的运动轨迹如图所示.
(1)设粒子在电场中运动的时间为t1
则有2h＝v0t1，h＝at
根据牛顿第二定律知，qE＝ma
求得E＝.
(2)设粒子进入磁场时速度为v，
在电场中，由动能定理知，qEh＝mv2－mv
又qvB＝m，
解得r＝
(3)粒子在电场中运动的时间t1＝
粒子在磁场中运动的周期T＝＝
设粒子在磁场中运动的时间为t2，
t2＝T，求得t＝t1＋t2＝＋.
(时间：60分钟)
题组一　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1.(双选)运动电荷进入磁场(无其他场)中，可能做的运动是(　　)
A.匀速圆周运动
B.平抛运动
C.自由落体运动
D.匀速直线运动
答案　AD
解析　若运动电荷平行磁场方向进入磁场，则电荷做匀速直线运动，若运动电荷垂直磁场方向进入磁场，则电荷做匀速圆周运动，A、D正确；由于电荷的重力不计，故电荷不可能做平抛运动或自由落体运动，B、C错误.
2.(双选)如图1所示，在x>0，y>0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里、大小为B，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由x轴上的P点以不同的初速度平行于y轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则(　　)
图1
A.初速度最大的粒子是沿①方向射出的粒子
B.初速度最大的粒子是沿②方向射出的粒子
C.在磁场中运动时间最长的是沿③方向射出的粒子
D.在磁场中运动时间最长的是沿④方向射出的粒子
答案　AD
解析　显然图中四条圆弧中①对应的半径最大，由半径公式r＝可知，质量和电荷量相同的带电粒子在同一个磁场中做匀速圆周运动的速度越大，半径越大，A对，B错；根据周期公式T＝知，当圆弧对应的圆心角为θ时，带电粒子在磁场中运动的时间为t＝
，圆心角越大则运动时间越长，圆心均在x轴上，由半径大小关系可知④的圆心角为π，且最大，故在磁场中运动时间最长的是沿④方向射出的粒子，D对，C错.
3.(双选)如图2所示，带负电的粒子以速度v从粒子源P处竖直向下射出，若图中匀强磁场范围足够大(方向垂直纸面)，则带电粒子可能的轨迹是(　　)
图2
A.a
B.b
C.c
D.d
答案　BD
解析　粒子的出射方向必定与它的运动轨迹相切，故轨迹a、c均不可能，正确答案为B、D.
4.(双选)如图3所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里.一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是(　　)
图3
A.
B.
C.
D.
答案　BC
解析　粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由r＝知，粒子的入射速度v0越大，r越大，当粒子的径迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大.若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O点)，容易看出R1sin
45°＋d＝R1，将R1＝代入上式得v0＝，B项正确.若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O′点)，容易看出R2＋R2cos
45°＝d，将R2＝代入上式得v0＝，C项正确.
5.如图5所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里.一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角.(不计粒子的重力)求：
图5
(1)粒子做圆周运动的半径；
(2
)粒子的入射速度.
答案　(1)r　(2)
解析　(1)设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，如图所示，∠OO′A
＝
30°，由图可知，粒子做圆周运动的半径R＝O′A＝r
(2)根据牛顿运动定律，
有：qvB＝m
有：R＝
故粒子的入射速度v＝.
题组二　带电粒子的运动在科技中的应用
6.(双选)如图6所示是粒子速度选择器的原理图，如果粒子(重力不计)所具有的速率v＝，那么(　　)
图6
A.带正电粒子必须沿ab方向从左侧进入场区，才能沿直线通过
B.带负电粒子必须沿ba方向从右侧进入场区，才能沿直线通过
C.不论粒子电性如何，沿ab方向从左侧进入场区，都能沿直线通过
D.不论粒子电性如何，沿ba方向从右侧进入场区，都能沿直线通过
答案　AC
解析　按四个选项要求让粒子进入，洛伦兹力与电场力等大反向，粒子就能沿直线匀速通过磁场.
7.如图7所示是磁流体发电机原理示意图.A、B极板间的磁场方向垂直于纸面向里.等离子束从左向右进入板间.下列叙述正确的是(　　)
图7
A.A板电势高于B板，负载R中电流向上
B.B板电势高于A板，负载R中电流向上
C.A板电势高于B板，负载R中电流向下
D.B板电势高于A板，负载R中电流向下
答案　C
解析　等离子束指的是含有大量正、负离子，整体呈中性的离子流，进入磁场后，正离子受到向上的洛伦兹力向A板偏，负离子受到向下的洛伦兹力向B板偏.这样正离子聚集在A板，而负离子聚集在B板，A板电势高于B板，电流方向从A→R→B，故C正确.
题组三　带电粒子在叠加场中的运动
8.(双选)如图9所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，匀强电场的方向竖直向下，有一正离子恰能以速率v沿直线从左向右水平飞越此区域.下列说法正确的是(　　)
图9
A.若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子也沿直线运动
B.若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将向上偏转
C.若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将向下偏转
D.若一电子以速率v从左向右飞入，则该电子也沿直线运动
答案　BD
解析　若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以电子上偏，选项B正确，A、C错误；若电子从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下.由题意，对正电荷有qE＝qvB，会发现q被约去，说明等号的成立与q无关，包括q的大小和正负，所以一旦满足了E＝vB，对任意不计重力的带电粒子都有电场力大小等于洛伦兹力大小，显然对于电子两者也相等，所以电子从左向右飞入时，将做匀速直线运动，选项D正确.
10.一个带电微粒在如图10所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，求：
图10
(1)该带电微粒的电性？
(2)该带电微粒的旋转方向？
(3)若已知圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则带电微粒做圆周运动的线速度为多少？
答案　(1)负电荷　(2)逆时针　(3)
解析　(1)带电微粒在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故可知带电微粒带负电荷.
(2)磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断微粒的旋转方向为逆时针(四指所指的方向与带负电的微粒的运动方向相反).
(3)由微粒做匀速圆周运动，得知电场力和重力大小相等，得：mg＝qE
①
带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为：
r＝
②
①②联立得：v＝
题组四　带电粒子在电场和磁场组合场中的运动
11.如图11所示，在x轴上方有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为－q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L，求此粒子射出的速度v和运动的总路程s.(重力不计)
图11
答案　　＋
解析　由题意知第3次经过x轴的运动如图所示
由几何关系：L＝4R
设粒子初速度为v，则有：
qvB＝m
可得：v＝；
设粒子进入电场做减速运动的最大路程为L′，加速度为a，则有：v2＝2aL′，qE＝ma
则粒子在电场中做减速运动的路程：L′＝
粒子运动的总路程：s＝2πR＋2L′＝＋
12.如图12所示，平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点与y轴正方向成60°角射出磁场，不计粒子重力，求：
图12
(1)粒子在磁场中运动的轨道半径R；
(2)匀强电场的场强大小E.
答案　(1)　(2)
解析　(1)因为粒子在电场中做类平抛运动，设粒子过N点时的速度为v，把速度v分解如图甲所示.
甲
根据平抛运动的速度关系，粒子在N点进入磁场时的速度v＝＝＝2v0.
如图乙所示，
乙
分别过N、P点作速度方向的垂线，相交于Q点，
则Q是粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心.
根据牛顿第二定律qvB＝，
所以R＝，
代入v＝2v0得粒子的轨道半径，
R＝
(2)粒子在电场中做类平抛运动，
设加速度为a，运动时间为t，
由牛顿第二定律：qE＝ma
①
设沿电场方向的分速度为vy＝at
②
粒子在电场中x轴方向做匀速运动，由图根据粒子在磁场中的运动轨迹可以得出，粒子在x轴方向的位移：
Rsin
30°＋Rcos
30°＝v0t
③
又vy＝v0tan
60°
④
由①②③④可以解得E＝.