1-6电场强度与电势差的关系 学案

第6讲　电场强度与电势差的关系
[目标定位]　1.知道匀强电场中电势差与电场强度的定量关系，会用E＝进行计算.2.记住电场线与等势面的关系，并能利用其关系解决相关问题.
一、探究场强与电势差的关系
1.匀强电场中场强与电势差的关系：U＝Ed.沿着电场强度的方向，任意两点之间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积.
2.在匀强电场中，电场强度E＝在数值上等于沿场强方向距离为单位长度的两点间的电势差.场强的另一个单位为：V/m.
想一想　匀强电场中A、B两点间的电势差大，那么两点间场强一定大吗？
答案　场强在数值上等于沿电场线方向每单位长度上的电势差，A、B两点间的距离不清楚，所以两点间场强大小不能确定.
二、电场线与等势面的关系
1.电场线跟等势面垂直.
2.沿着电场线的方向各等势面上的电势减小，逆着电场线的方向各等势面上的电势增大.
3.电场线密的区域等势面密，电场线疏的区域等势面疏.
想一想　同一个等势面上各点场强大小是否一定相等？
答案　不一定，等势面的疏密程度反映了场强的大小，同一个等势面上，不能确定其疏密程度，所以不能确定场强的大小关系.
一、关于U＝Ed和E＝的进一步理解
1.关于公式的几点注意
(1)公式
U＝Ed和E＝只适用于匀强电场的定量计算.
d为顺着电场线方向的距离.
(2)根据U＝Ed可以得出：匀强电场中电势差与d成正比，但不能由E＝而说E与d成反比.
2.在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大，如图1甲所示.如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方场强越大，故Uab甲　　　　　　　　　　　　　　乙　
图1
例1　如图2所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1
m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100
V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
图2
A.UOP＝－10sin
θ
(V)
B.UOP＝10sin
θ
(V)
C.UOP＝－10cos
θ
(V)
D.UOP＝10cos
θ
(V)
答案　A
解析　在匀强电场中，UOP＝－E·Rsin
θ＝－10sin
θ(V)，故A对.
借题发挥　正确理解公式U＝Ed或E＝中各量的物理含义，特别是d的物理意义，是分析场强与电势差关系的关键.
例2　(双选)如图3所示，A、B两板间电压为600
V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12
cm，C点离A板4
cm，下列说法正确的是(　　)
图3
A.板间场强E＝2
000
V/m，φC＝200
V
B.板间场强E＝5
000
V/m，φC＝－200
V
C.电子在C点具有的电势能为－200
eV
D.电子在C点具有的电势能为200
eV
答案　BD
解析　A板接地带正电，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600
V，则B板电势为－600
V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝＝＝50
V/cm＝5000
V/m，φC＝E×dC＝50
V/cm×(－4
cm)＝－200
V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200
eV，故C错误，D正确.
二、电场线与等势面的关系
1.等势面的特点及与电场线的关系
(1)电场线跟等势面垂直.
(2)沿着电场线的方向各等势面上的电势减小，逆着电场线的方向各等势面上的电势增大.
(3)电场线密的区域等势面密，电场线疏的区域等势面疏.
(4)两电场线不相交，两等势面也不相交.
2.熟记常见的几种等势面
例3　图4中虚线表示某一电场的等势面，cd为过O点的等势面的切线，现用非电场力将负电荷q从a点沿着aOb匀速移到b点，当电荷通过O点时，关于外力的方向，下列说法正确的是(忽略重力)(　　)
图4
A.Od方向
B.Oc方向
C.Oa方向
D.以上说法都不对
答案　D
解析　负电荷受力方向与该点场强方向相反，根据等势面的性质可知负电荷在O点受到的电场力方向应垂直于cd向左，由q匀速运动可知负电荷q受到的外力方向应垂直于cd向右，故选D.
例4　(双选)如图5所示，真空中等量异种点电荷放置在M、N两点，在MN的连线上有关于O点的对称点a、c，MN连线的中垂线上有关于O点的对称点b、d，则下列说法正确的是(　　)
图5
A.a点场强与c点场强一定相同
B.a点电势一定低于c点电势
C.负电荷在c点电势能一定大于在a点电势能
D.正电荷从d点移到b点电场力不做功
答案　AD
解析　根据真空中等量异种点电荷电场线分布特点，在MN的连线上关于O点的对称点a、c场强一定相同，故A正确；因沿着电场线方向电势逐渐降低，但电场方向未知，则a点电势不一定低于c点电势，故B错误；电荷从a点移到c点，电场力做功正负未知，则不能判断电势能增减，负电荷在c点电势能不一定大于在a点电势能，故C错误；而MN连线的中垂线是等势线，其上的点b、d电势相等，则正电荷从d点移到b点电场力不做功，故D正确.
借题发挥　等势面的应用
(1)利用等势面和电场线垂直以及沿电场线的方向电势降低的特点可判断电场线的方向.(2)利用等势面的密集程度也可以比较场强大小，密大疏小.(3)在等势面上移动电荷时，或者带电粒子从一个等势面运动又返回到这个等势面上时，电场力均不做功.
对公式U＝Ed和E＝的理解与应用
1.如图6所示，匀强电场的电场强度E＝100
V/m，A、B两点相距0.1
m，A、B连线与电场线的夹角θ＝60°，则A、B两点的电势差为________.
图6
答案　5
V
解析　AB沿电场强度方向上的投影的长度
d＝AB
cos
θ＝0.1×cos
60°
m＝0.05
m，
UAB＝Ed＝100×0.05
V＝5
V.
2.如图7所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a至c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以断定(　　)
图7
A.Ea＞Eb＞Ec
B.φa＞φb＞φc
C.φa－φb＝φb－φc
D.Ea＝Eb＝Ec
答案　B
解析　由“沿着电场线的方向，电势降低”知：φa＞φb＞φc，断定选项B对；因这一电场线不能肯定就是匀强电场中的电场线，故选项C、D不能断定是否正确；这一电场线也不能断定就是正点电荷形成的电场中的一条电场线，故选项A不能断定是否正确.正确答案为选项B.
3.如图8所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50
V，φc＝20
V，则a、c连线中点b的电势φb(　　)
图8
A.等于35
V
B.大于35
V
C.小于35
V
D.等于15
V
答案　C
解析　从电场线疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由公式U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜＝35
V.
电场线与等势面的关系
4.位于A、B处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图9所示，图中实线表示等势线，则(　　)
图9
A.a点和b点的电场强度相同
B.正电荷从c点移到d点，电场力做正功
C.负电荷从a点移到c点，电场力做正功
D.正电荷在e点的电势能大于在f点的电势能
答案　C
解析　a、b两点场强方向不同，A错.c点电势低于d点，正电荷从c点移到d点，即正电荷向高电势处移动、电场力做负功，B错.a点电势低于c点，从a到c，负电荷向高电势处移动，电场力做正功，C对.因e和f等势，故电荷在两点电势能相等，D错.
(时间：60分钟)
题组一　对公式U＝Ed和
E＝的理解与应用
1.对公式E＝的理解，下列说法正确的是(　　)
A.此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B.a点和b点间距离越大，则这两点间的电势差也越大
C.公式中d是指a点和b点之间的距离
D.公式中的d是a、b两个等势面间的垂直距离
答案　D
解析　公式E＝只适用于匀强电场，A错；公式中的d是a、b两个等势面间的垂直距离，a点和b点之间距离大，等势面间的垂直距离不一定大，故B、C错，D正确.
2.如图1所示，A、B两点相距10
cm，E＝100
V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，则A、B两点间的电势差为(　　)
图1
A.5
V
　　　
B.－5
V
C.10
V
　　　
D.－10
V
答案　B
解析　A、B两点在场强方向上的距离d＝·cos
(180°－120°)＝10×
cm＝5
cm.由于φA＜φB，则根据U＝Ed得UAB＝－Ed＝－100×5×10－2
V＝－5
V.
3.如图2所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列.A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上.A、C两点的电势依次为φA＝10
V和φC＝2
V，则B点的电势是(　　)
图2
A.一定等于6
V
B.一定低于6
V
C.一定高于6
V
D.无法确定
答案　B
解析　由于EA＞EB＞EC，又AB＝BC由公式U＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6
V.
4.如图3所示，实线为电场线，虚线为等势线，且MN＝NP，电场中的M、N、P三点的电场强度分别为EM、EN、EP，电势分别为φM、φN、φP，MN、NP间的电势差分别为UMN、UNP，则下列关系中错误的有(　　)
图3
A.φM＞φN＞φP
B.EP＞EN＞EM
C.UMN＜UNP
D.UMN＝UNP
答案　D
解析　M、N、P三点处在同一电场线上，沿着电场线的方向电势降低，故φM＞φN＞φP，选项A正确；由电场线的密集程度可看出电场强度大小关系为EP＞EN＞EM，选项B正确；电场线密集的地方电势降落较快，故UMN＜UNP，选项C正确，选项D错误.
5.如图4所示，匀强电场的场强大小为1×103
N/C，ab、dc与电场方向平行，bc、ad与电场方向垂直，ab＝dc＝4
cm，bc＝ad＝3
cm，则下述计算结果正确的是(　　)
图4
A.a、b之间的电势差为4
000
V
B.a、c之间的电势差为50
V
C.将q＝－5×10－3
C的点电荷沿矩形路径abcda移动一周，电场力做的功为零
D.将q＝－5×10－3
C的点电荷沿abc或adc从a移动到c，电场力做的功都是－0.25
J
答案　C
解析　Uab＝E·＝1×103×0.04
V＝40
V，选项A错误；Uac＝Uab＝40
V，选项B错误；将带负电的点电荷移动一周，电势差为零，电场力做功为零，选项C正确；Wac＝qUac＝－5×10－3×40
J＝－0.2
J，选项D错误.
6.平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图5所示，两板间距离是5
cm，两板间的电压是60
V.
图5
(1)两板间的场强是________；
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5
cm，P2点离B板也是0.5
cm，P1和P2两点间的电势差U12＝________.
答案　(1)1.2×103
V/m　(2)48
V
解析　(1)两板间是匀强电场，由U＝Ed可得两板间的场强E＝＝＝1.2×103
V/m.
(2)P1、P2两点间沿场强方向的距离：d′＝4
cm.
所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2
V＝48
V.
题组二　等势面和电场线的关系
7.(双选)如图6所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则(　　)
图6
A.A点场强小于B点场强
B.A点场强方向指向x轴负方向
C.A点场强大于B点场强
D.A点电势高于B点电势
答案　AD
解析　由于电场线与等势面总是垂直，所以B点电场线比A点密，B点场强大于A点场强，故A正确，C错误.电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误.由图中数据可知D正确.
8.如图7所示的情况中，a、b两点的电场强度和电势均相同的是(　　)
图7
A.甲图：离点电荷等距的a、b两点
B.乙图：两个等量异种点电荷连线的中垂线上，与连线中点等距的a、b两点
C.丙图：两个等量同种点电荷连线上，与连线中点等距的a、b两点
D.丁图：带电平行金属板两板间分别靠近两板的a、b两点
答案　B
解析　电场强度是矢量，在甲图中，电势相同，电场强度大小相同，方向不同，A项错误；由等量异种电荷电场线的特点可知两点的电场强度的大小和方向相同，且a、b两点在同一等势面上，电势相等，B项正确；由等量同种电荷的电场特点可知：丙图中两点电场强度大小相同，但方向相反，C项错误；丁图中两极板为匀强电场，电场强度处处相等相同，沿电场线方向电势降低，所以a点的电势较高，D错项误.
9.两异种点电荷电场中的部分等势面如图8所示，已知A点电势高于B点电势.若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则(　　)
图8
A.a处为正电荷，qa＜qb
B.a处为正电荷，qa＞qb
C.a处为负电荷，qa＜qb
D.a处为负电荷，qa＞qb
答案　B
解析　若把该图与等量异种点电荷电场中的部分等势面图比较，可以得到：靠近正电荷的点，电势高，靠近负电荷的点，电势低.故a处为正电荷.等量异种点电荷电场中的等势面左右对称，无穷远处的电势为0.该图的左侧的等势线比较密，无穷远处的电势为0，所以无穷远处到两点之间的电势差相比，与a点之间的电势差比较大，所以a点的点电荷所带的电荷量就大.故选B.
10.(双选)一带电粒子射入一固定在O点的点电荷的电场中，粒子运动轨迹如图9中虚线ABC所示，图中实线是同心圆，表示电场的等势面，不计重力，可以判断(　　)
图9
A.此粒子先受到静电引力后受到静电斥力作用
B.粒子在A点和C点的速度大小一定相等
C.粒子在B点的动能一定大于在A点的动能
D.粒子在B点的电势能一定大于在C点的电势能
答案　BD
解析　如题图所示，轨迹向左弯曲，带电粒子所受的电场力方向向左，则带电粒子受到了排斥力作用，故A错误.
A、C两点处于同一等势面上，从A到C，电场力做功为零，则A、C两点动能相等，速度相等，故B正确.
从A到B过程中，电场力做负功，可知电势能增大，动能减小，粒子在B点的动能一定小于在A点的动能.故C错误.
从B到C过程中，电场力做正功，可知电势能减小，粒子在B点的电势能一定大于在C点的电势能，故D正确.故选：B、D
题组三　综合应用
11.如图10所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2
cm，两点的连线与场强方向成60°角.将一个电荷量为－2×10－5
C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1
J.问：
图10
(1)在此过程中，电场力对该电荷做了多少功；
(2)A、B两点的电势差UAB为多大；
(3)匀强电场的场强为多大.
答案　(1)－0.1
J　(2)5
000
V　(3)5×105
V/m
解析　(1)电势能增加多少，电场力就做多少负功，故电场力对电荷做了－0.1
J的功.
(2)由W＝qU，
得UAB＝＝
V＝5
000
V.
(3)由U＝Ed，
得E＝＝＝5×105
V/m.
12.如图11所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102
V/m，极板间距离d＝5
cm，电场中C点和D点分别到A、B两板的距离均为0.5
cm，B板接地，求：
图11
(1)C和D两点的电势、两点间电势差各为多少；
(2)用外力将点电荷q＝2×10－2
C从C点匀速移到D点时此外力做多少功.
答案　(1)－5.4
V　－0.6
V　－4.8
V　(2)9.6×10－2
J
解析　(1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，则UBD、UBC均大于零，由U＝Ed得
UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2
V＝0.6
V，
即φD＝－0.6
V.
由于dCB＝5
cm－0.5
cm＝4.5
cm＝4.5×10－2
m，
所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2
V＝
－5.4
V＝φC.
所以UCD＝φC－φD＝－5.4
V－(－0.6
V)＝－4.8
V.
(2)因为匀速移动，外力所做的功等于克服电场力所做的功W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8
J＝9.6×10－2
J.
13.把一个带正电荷q的小球用细线悬挂在两块面积很大的竖直平行板间的O点，小球质量m＝2
g，悬线长L＝6
cm，两板间距离d＝8
cm，当两板间加上U＝2×103
V的电压时，小球自悬线水平的A点由静止开始向下运动到达O点正下方的B点时的速度刚好为零，如图12所示，以后小球一直在A、B之间来回摆动.取g＝10
m/s2，求小球所带的电荷量.
图12
答案　8×10－7
C
解析　取小球为研究对象，可知重力mg竖直向下，电场力Eq水平向左，绳的拉力为FT，在小球由A向B运动的过程中，重力mg对小球做正功，电场力Eq对小球做负功，拉力FT不做功，根据动能定理mgL－qEL＝0，
又因为E＝，
由以上两式可得：q＝8×10－7
C.