1-7 电场中能的性质 学案

第7讲　习题课　电场中能的性质
[目标定位]　1.会分析带电粒子在电场中的运动特点.2.能求解电场力做的功和电场中的电势、电势能的变化.3.会用等分法确定等势点，从而确定电场强度的方向.
1.物体做曲线运动的条件：物体运动的速度方向与受力方向不共线.
2.电势是反映电场性质的物理量，其大小与零电势点的选取有关.电势差是电场中两点间电势的差值，其大小与零电势点的选取无关.
3.电势能是电荷在电场中具有的能量，其大小由电场和电荷决定.电场力做功要引起电势能的变化，其关系式为W＝ΔEp.
4.电场力做功与电势差的关系式为WAB＝qUAB或者简单的写成W＝qU.
5.匀强电场中电场强度与电势差的关系式为U＝Ed.
一、电场线、等势线和运动轨迹
1.已知等势面的形状分布，根据电场线与等势面相互垂直可以绘制电场线.
2.在电场线(等势面)密处电荷所受电场力大，加速度也大.
3.电荷的速度方向沿轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧.
例1　如图1所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知(　　)
图1
A.带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B.带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C.带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D.带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
答案　A
解析　根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右.假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大所以A项正确，B项错误.
例2　(双选)如图2所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅受电场力的作用下沿图中实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处.由此可知(　　)
图2
A.O为负电荷
B.在整个过程中q的电势能先变小后变大
C.在整个过程中q的加速度先变大后变小
D.在整个过程中，电场力做功为零
答案　CD
解析　由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正电荷，A错；从a到b的过程q受到逐渐变大的库仑斥力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大；而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑斥力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，B错，C对；由于a、c两点在同一等势面上，整个过程中，电场力做功为零，D对.
借题发挥　根据所给的等势面，明确电场线分布情况，画出电场线，再根据轨迹弯曲方向找电荷的受力方向、受力大小变化；根据运动轨迹或路径，判断功的正负、动能及电势能的变化.
二、电场强度和电势的理解
1.关于场强E的几个表达式的比较
(1)E＝是电场强度的定义式，适用于任意电场；
(2)E＝是真空中点电荷电场强度的决定式，只适用于真空中点电荷形成的电场；
(3)E＝是匀强电场中电场强度和电势差的关系式
，只适用于匀强电场.
2.电场强度的大小和电势高低没有直接关系.电场强度为零，电势不一定为零.电势为零，电场强度也不一定为零.电场强度大的地方，电势不一定高.
3.沿电场线方向电势降低，若两点不在同一电场线上，应通过等势面，化为同一电场线上的两点.
4.电场线和等势面垂直，且由电势较高的等势面指向电势较低的等势面.
例3　下列公式中，F、q、E、U、r和d分别表示电场力、电荷量、场强、电势差及距离，①F＝k，②E＝k，③E＝，④U＝Ed，以下说法中正确的是(　　)
A.它们都只对点电荷或点电荷的电场成立
B.①②③只对点电荷或点电荷电场成立，④对任何电场都成立
C.①②只对点电荷形成的电场成立，③对任何电场都成立，④只对匀强电场成立
D.①②只对点电荷形成的电场成立，③④对任何电场都成立
答案　C
解析　①F＝k，②E＝k，只适用于真空中的点电荷形成的电场，③E＝是电场强度定义式，适用于任意电场，④U＝Ed是匀强电场中电势差和电场强度的关系式，只对匀强电场成立.
例4　在静电场中，关于场强和电势的说法正确的是(　　)
A.电场强度大的地方电势一定高
B.电势为零的地方场强也一定为零
C.场强为零的地方电势也一定为零
D.场强大小相同的点电势不一定相同
答案　D
解析　沿着电场线的方向电势逐渐降低，电场线密的地方，电场强度大，电场线疏的地方电场强度小.电势高的地方电场强度不一定大，电场强度大的地方，电势不一定高.故A错误.电势为零是人为选取的，则电势为零的地方场强可以不为零.故B错误.场强为零的地方电势不一定为零，电势为零是人为选取的.故C错误.在匀强电场中，场强处处相等，但沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以场强大小相同的点电势不一定相同，故D正确.
三、等分法确定等势点
1.在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等.
2.在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点的电势差相等.
例5　如图3所示，虚线方框内有一方向平行于虚线框的匀强电场，A、B、C为该电场中三点，已知：φA＝12
V，φB＝6
V，φC＝－6
V，试在该虚线框内作出该电场的示意图，画出几条电场线，并要求保留作图时所用的辅助线.
图3
答案　见解析图
解析　要画电场线，先找等势面(线).在图中连AC、BC，依题意知BC的中点D点电势必为零，AC上距C为的F点电势必为零.连FD即为等势线，由电场线与等势面(线)垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示.
借题发挥　“等分法”关键在于能找到“等分”线段的等势点.画出等势线，然后根据等势线与电场线处处垂直，画出电场线.
四、电场力做功与电势、电势差、电势能的综合问题
1.
电势由电场本身决定，与试探电荷无关，其大小与参考点的选取有关，有相对性.
2.电势差是电场中两点电势的差值，其计算公式有：UAB＝φA－φB，UAB＝.
3.计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：(1)利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB.(2)利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场.(3)利用公式WAB＝qUAB求解.(4)利用动能定理求解.
例6　如图4所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点.现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑.已知重力加速度为g，A点距C点所在水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
图4
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为参考点(零电势点)，试确定A点的电势.
答案　(1)　(2)
解析　(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B运动到C的过程中电场力做的总功为零.
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝－
解得vC＝.
(2)小球从A运动到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝，又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)，
又因为φC＝0，
可得φA＝.
等势线和运动轨迹
1.(双选)如图5所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻两等势面间的电势差相等，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　)
图5
A.三个等势面中，a的电势最高
B.带电质点通过P点时电势能较大
C.带电质点通过P点时动能较大
D.带电质点通过P点时加速度较大
答案　BD
解析　由三个等势面可以确定电场线方向，由轨迹QP可以确定质点的受力方向，由于该质点带正电，所以可以判断P点电势高.由Q到P，电场力做负功，电势能增加，故P点电势能较大，由于P处等势面密集，所以带电质点通过P点时加速度较大.
电场强度和电势的理解
2.由如图6所示的电场线，可判定(　　)
图6
A.该电场一定是匀强电场
B.A点的电势一定低于B点的电势
C.负电荷放在B点的电势能比A点的电势能大
D.负电荷放在B点所受电场力方向向右
答案　C
解析　由题图知，该电场线为直线，在我们常接触的电场中，匀强电场的电场线是直线，但点电荷电场的电场线也是直线，故也可能是正电荷放在左端或负电荷放在右端时产生电场的电场线，另外也可能是正负电荷之间的一条电场线，故A项错.电势的高低可根据电场线由高电势指向低电势判断，则φA＞φB，故B项错.由于φA＞φB，故正电荷在A点的电势能大，而负电荷在B点的电势能大，故C项正确，也可假设负电荷由A移到B，则该过程中电场力方向向左，与运动方向相反，故电场力做负功，电势能增加.负电荷在电场中所受电场力的方向与该点场强的方向相反.故D项错.
等分法确定等势点
3.a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点.电场线与矩形所在平面平行.已知a点的电势为20
V，b点的电势为24
V，d点的电势为4
V，如图7所示.由此可知c点的电势为(　　)
图7
A.4
V
B.8
V
C.12
V
D.24
V
答案　B
解析　解法一：连接bd，因Ubd＝20
V，可将bd等分为5份，找到4个等分点e、f、g、h，由图可知φe＝20
V，则a、e等势，由对称关系可知h点与c点电势相等，即φc＝8
V.也可根据bc与ad平行且相等，由匀强电场特点可得：φb－φc＝φa－φd，解得φc＝8
V.
解法二：对顶点两角电势之和相等，φb＋φd＝φc＋φa，解得φc＝8
V.
电场力做功与电热、电势差、电势能的综合问题
4.如图8所示，光滑绝缘半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E.在与环心等高处放有一质量为m、带电荷量＋q的小球，由静止开始沿轨道运动，下列说法正确的是(　　)
图8
A.小球在运动过程中机械能恒定
B.小球经过环的最低点时速度最大
C.小球电势能增加EqR
D.小球由静止释放到达最低点，动能的增量等于mgR
答案　B
解析　小球在运动过程中除重力做功外，还有电场力做功，所以机械能不守恒，A错误；小球运动到最低点的过程中，重力与电场力均做正功，重力势能减少mgR，电势能减少EqR，而动能增加mgR＋EqR，到达最低点时动能最大，所以速度最大，因此B正确，C、D错误.
(时间：60分钟)
题组一　电场线和等势面的应用
1.某静电场中的电场线如图1所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法错误的是(　　)
图1
A.粒子必定带正电荷
B.由于M点没有电场线，粒子在M点不受电场力的作用
C.粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D.粒子在M点的动能小于在N点的动能
答案　B
解析　根据带电粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定带电粒子受电场力的方向沿电场线方向，故此带电粒子带正电，A选项正确.由于电场线越密，电场强度越大，带电粒子受到的电场力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此带电粒子在N点加速度大，B选项错误，C选项正确.粒子从M点运动到N点，电场力做正功，根据动能定理得此带电粒子在N点的动能大，故D选项正确.
2.一带电粒子沿图2中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则(　　)
图2
A.粒子一定带正电
B.粒子的运动是匀变速运动
C.粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D.粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案　B
解析　由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小.
3.(双选)图3中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷.一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点.则该粒子(　　)
图3
A.带负电
B.在c点受力最大
C.在b点的电势能大于在c点的电势能
D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
答案　CD
解析　根据轨迹弯曲方向判断出，粒子在a→b→c的过程中，一直受静电斥力作用，根据同性电荷相互排斥，故粒子带正电荷，故A错误；点电荷的电场强度的特点是离场源电荷距离越大，场强越小，粒子在c点受到的电场力最小，故B错误；根据动能定理，粒子由b到c，电场力做正功，电势能减小，动能增加，故粒子在b点的电势能一定大于在c点的电势能，故C正确；a点到b点和b点到c点相比，由于点电荷的电场强度的特点是离场源电荷距离越大，场强越小，故a到b电场力做功为多，动能变化也大，故D正确.
题组二　电场强度和电势
4.(双选)等量异号点电荷的连线和中垂线如图4所示，现将一个带负电的试探电荷先从图中的a点沿直线移动到b点，再从b点沿直线移动到c点，则试探电荷在此全过程中(　　)
图4
A.所受电场力的方向不变
B.所受电场力的大小恒定
C.电势能一直减小
D.电势能先不变后减小
答案　AD
解析　ab线是等量异号点电荷形成电场的等势线，而合电场的场强方向都是垂直ab线向下的，试探电荷在a→b过程中电场力方向始终竖直向上，与在c点相同，A对；沿ab方向越靠近两点电荷的连线，电场线越密，场强越大，所受电场力越大，B错；从a→b电场力不做功，从b→c电场力做正功，电势能先不变后减小，C错，D对.
5.(双选)带电粒子仅在电场力作用下以初速度v0从t＝0时刻开始运动，其v－t图象如图5所示.若粒子在2t0时刻运动到A点，5t0时刻运动到B点.以下说法中正确的是(　　)
图5
A.A、B两点的电场强度大小关系为EA＝EB
B.A、B两点的电势关系为φA＜φB
C.粒子从A点运动到B点时，电场力做的总功为正
D.粒子从A点运动到B点时，电势能先减少后增加
答案　AC
解析　由v－t图象可知粒子整个运动过程中，加速度相同，即所受的电场力相同，故A、B两点的电场强度大小相等，A项正确.因为粒子的电性不确定，所以无法判断A、B两点的电势高低，B项错误.由v－t图象可知粒子在A点速度为零，在B点时速度大于零，故粒子从A点运动到B点的过程，电场力做正功，电势能减少，C项正确，D项错误.
6.两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，能正确描述电势φ随位置x变化规律的图是(　　)
答案　A
解析　等量异种点电荷电场线如图所示，因为沿着电场线方向电势降低，所以，以正电荷为参考点，左右两侧电势都是降低的；因为逆着电场线方向电势升高，所以负电荷为参考点，左右两侧电势都是升高的.可见，在整个电场中，正电荷所在位置电势最高，负电荷所在位置电势最低，符合这种电势变化的情况只有A选项.
题组三　找等势点，定电场方向
7.如图6所示，匀强电场中有一平行四边形abcd，且平行四边形所在平面与场强方向平行.其中φa＝10
V，φb＝6
V，φd＝8
V，则c点电势为
(　　)
图6
A.10
V
B.4
V
C.7
V
D.8
V
答案　B
解析　因为bc与ad平行且相等，由匀强电场特点可得：
φb－φc＝φa－φd，解得φc＝4
V.故选B.
8.下列图中，a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势φa＝10
V，φb＝2
V，φc＝6
V，a、b、c三点在同一平面内，图中电场强度的方向表示正确的是(　　)
答案　D
解析　直线ab的中点的电势为6
V，与c点等电势，故应按C、D图求解.又电场的方向由电势高处指向电势低处.故D图正确.
9.如图7所示，A、B、C是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点，已知电场方向平行于三角形所在平面A、B、C三点的电势分别为φA＝15
V，φB＝3
V，φC＝－3
V，试确定场强的方向，并画出电场线.
图7
答案　见解析
解析　根据A、B、C三点电势的特点，在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图所示，尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等，
由U＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝＝
V＝6
V.由此可知，φN＝3
V，φM＝9
V，B、N两点等电势，BN连线即为等势线，那么电场线与BN垂直.电场强度的方向为电势降低的方向：斜向下.
题组四　电场力做功与电势、电势差、电势能的综合问题
10.如图8所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面.现将电荷量为10－8
C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6
J，将另一电荷量为10－8
C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6
J.若AB边长为2
cm，则电场强度的大小为________，方向为________.
图8
答案　104
V/m　垂直B、C连线由A指向BC
解析　正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可求得：
UAB＝＝
V＝300
V.
负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功，同理可判断A点电势高于C点，可求得：
UAC＝＝
V＝300
V.
因此B、C两点电势相等，UBC＝0，由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线.因此，BC为一等势线，故电场线方向垂直于BC.设D为直线BC的中点，则电场方向为由A指向D.AB在电场方向的长度d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得：
E＝＝
V/m＝104
V/m.
11.如图9所示，a、b、c、d为匀强电场中四个等势面，相邻等势面间距离均为2
cm，已知UAC＝60
V，求：
图9
(1)设B点电势为零，求A、C、D、P点的电势；
(2)将q＝－1.0×10－10
C的点电荷由A移到D，电场力所做的功WAD；
(3)将q＝1.0×10－10
C的点电荷由B移到C，再经过D最后回到P，电场力所做的功WBCDP.
答案　(1)30
V　－30
V　－60
V　0
(2)－9.0×10－9
J　(3)0
解析　(1)由题意可知φP＝φB＝0
UAC＝60
V，
UAB＝UBC，
所以UAB＝φA－0＝30
V
则φA＝30
V，
同理φC＝－30
V，φD＝－60
V
(2)WAD＝qUAD＝q(φA－φD)＝－9.0×10－9
J
(3)由于电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关，所以做功为WBCDP＝qUBP＝0.
12.如图10所示的电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0，方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动.问：
图10
(1)小球应带何种电荷？电荷量是多少；
(2)在入射方向上小球最大位移是多少.(电场足够大)
答案　(1)正电荷　　(2)
解析　(1)做电场线如图(a)所示，由题意，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示，只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动.所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动.由(b)知qE＝mg.相邻等势面间的电势差用U表示，所以E＝，所以q＝＝.
(2)由图(b)知，
F合＝＝mg(因为qE＝mg)
由动能定理得－F合
sm＝0－mv
所以sm＝＝.