1.5 电场强度与电势差的关系 学案

第五节　电场强度与电势差的关系
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电场
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1．匀强电场中，沿着电场强度的方向，任意两点间的电势差等于场强与两点沿电场线方向的距离的乘积，即U＝Ed.公式也可写成E＝.
注意：公式U＝Ed或E＝中d必须是沿电场线方向的距离，且公式只适用匀强电场，对于非匀强电场可作定性分析．
2．由公式E＝可以看出场强在数值上等于沿场强方向上每单位距离上的电势差．
3．电场中电势相等的点组成的面称为等势面，等势面具有以下特点：
(1)电场线与等势面垂直，在等势面上移动电荷时，电场力不做功．
(2)沿着电场线的方向各等势面上的电势减小，逆着电场线的方向各等势面上的电势增大．
(3)电场线密的区域等势面密，电场线疏的区域等势面疏．即场强大的地方等势面密，场强小的地方等势面疏．
4．对公式E＝的理解，下列说法正确的是(　　)
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B．a点和b点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中的d是指a点和b点之间的距离
D．公式中的d是a、b两个等势面间的垂直距离
答案　D
解析　公式E＝，仅适用于匀强电场，所以A错；公式中的d是指a、b两点沿电场线方向的距离，即a、b两等势面之间的垂直距离．所以B、C均错，D对．
5．(双选)如图1所示，实直线是某电场中的一条电场线，虚线是该电场中的三条等势线，由图可以得出的正确结论是(　　)
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图1
A．M点的电势一定高于N点的电势
B．M点的场强一定小于N点的场强
C．由M点向N点移动电荷时，电势能的改变量与零电势的选取无关
D．某电荷在M点或N点具有电势能与零电势的选取无关
答案　AC
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【概念规律练】
知识点一　对公式U＝Ed的理解
1．下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，说法正确的是(　　)
A．任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积
B．在任何方向上，若两点间距离相等，则它们之间电势差就相等
C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降落必定相等
D．电势降落的方向必定是电场强度的方向
答案　C
解析　匀强电场中电势差与场强的关系U＝Ed中的d是两点沿电场线方向的距离，并不是两点间的距离，A错．两点距离相等，两点沿电场线方向的距离不一定相等，B错．由U＝Ed＝ELcos
α，可知C正确．
点评　公式U＝Ed中d可理解为电场中两点等势面之间的垂直距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．
2.
如图2实线为某电场的电场线，虚线为等势线，已知c为线段ab的中点，过a、b的等势线的电势分别为30
V和10
V．则c点的电势(　　)
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图2
A．φc＝20
V
B．φc>20
V
C．φc<20
V
D．φc的范围无法确定
答案　C
解析　若该电场为匀强电场，则C点电势应为20
V，但该电场ac段的场强大，所以相同距离上的电势差也大，即ac段电势降落的多，所以φc<20
V，C正确．
点评　对于非匀强电场，用公式E＝可以定性分析某些问题．例如等差等势面E越大时，d越小．因此可以断定，等势面越密的地方电场强度也越大．
知识点二　公式U＝Ed的应用
3.
如图3所示，A、B两点相距10
cm，E＝100
V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，求A、B两点间的电势差．
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图3
答案　－5
V
解析　A、B两点在场强方向上的距离
d＝A·cos
(180°－120°)＝10×
cm＝5
cm.
由于φΑ<φB，则根据U＝Ed
得UAB＝－Ed＝－100×5×10－2
V＝－5
V.
4.
如图4所示为一个匀强电场的三个等势面A、B、C，相邻两等势面之间距离为10
cm，此电场的场强为3×103
V/m，若B为零电势，求A、C的电势．
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图4
答案　φA＝300
V，φC＝－300
V或φA＝－300
V，φC＝300
V
解析　由U＝Ed可知，相邻两等势面间的电势差的大小：|UAB|＝|UBC|＝E·d＝3×103×10×10－2
V＝300
V
那么有两种可能：
(1)φA＝300
V，φC＝－300
V；
(2)φA＝－300
V，φC＝300
V.
点评　求电场中某点电势，可用该点与零电势的电势差来确定．
知识点三　等势面
5．(双选)如图5所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在x轴上有A、B两点，则(　　)
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图5
A．A点场强小于B点场强
B．A点场强方向指向x轴负方向
C．A点场强大于B点场强
D．A点电势高于B点电势
答案　AD
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解析　由电场线与等势面的关系可知，电场线一定与等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面，作出相对应的电场线分布，如右图所示，则可知A、B两点处的场强方向应与x轴同向，由电场线的疏密可知，A点处的场强EA小于B点处的场强EB，故正确选项为A、D.
6．(双选)如图6所示，虚线a、b、c为三个同心圆面，圆心处为一个点电荷．现从c外面一点P以相同的速率发射两个电荷量、质量都相等的带电粒子，分别沿PM、PN运动到M、N，M、N两点都位于圆周c上，以下判断正确的是(　　)
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图6
A．两粒子带同种电荷
B．两粒子带异种电荷
C．到达M、N时两粒子速率仍相等
D．到达M、N时两粒子速率不相等
答案　BD
解析　由两个粒子轨迹的弯曲情况可看出，到达M的粒子受的是库仑斥力，到达N的粒子受的是库仑引力，所以两个粒子电性一定不同，A错误，B正确；因为P和M、N不在同一个等势面上，所以由P到M和由P到N时电场力都要做功，但因P到M的过程中是在斥力作用下靠近，电场力做负功，所以动能减少，故vMvP，因此到达M、N两点时速率vM【方法技巧练】
一、用作图法确定电场方向
7．下列图中，a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势φa＝10
V，φb＝2
V，φc＝6
V，a、b、c三点在同一平面上，图中电场强度的方向表示正确的是(　　)
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答案　D
解析　由题意可知：直线ab的中点的电势为6
V
，与c点等势，故应按D图进行求解，电场的方向则由电势高处指向电势低处，D图表示正确．
8.
如图7所示，A、B、C为匀强电场中的三个点，已知φA＝12
V，φB＝6
V，φC＝－6
V．试画出该电场的电场线，并保留作图时所用的辅助线(用虚线表示)．
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图7
答案　见解析
解析　连接A、C，将线AC三等分，等分点为D、E，则φD＝6
V，连接BD即为电场中的一个等势面，过A、E、C三点分别作BD的平行线得到另外三个等势面，过A、B、C三点分别作和等势面垂直的垂线，即为三条电场线，方向由高电势指向低电势，如图所示．
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方法总结　确定电场方向最关键的是抓住电场线与等势面相互垂直的特点，因此，确定等势点，画出等势面至关重要．
二、用等分法确定匀强电场的电势
9．图8中，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点．已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15
V，φB＝3
V，φC＝－3
V，求D点的电势φD.
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图8
答案　9
V
解析　由题意知A、C间电势差为18
V，连接A、C，并将AC线段等分为三等份，如下图，则有φE＝9
V，φF＝3
V，显然B、F两点等电势，D、E两点等电势，电势为9
V.
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方法总结　在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的两端点的电势差相等，因此同一直线上相等长度的线段的电势差亦相等．
10.
如图9所示，匀强电场中有一平行四边形abcd，且平行四边形所在平面与场强方向平行．其中φa＝10
V，φb＝6
V，φd＝8
V，则c点电势为(　　)
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图9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．10
V
B．4
V
C．7
V
D．8
V
答案　B
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1．下列静电学公式中，F、q、E、U、r和d分别表示电场力、电荷量、场强、电势差及距离，①F＝k，②E＝k，③E＝，④U＝Ed，有关四个公式的说法中正确的是(　　)
A．它们都只对点电荷或点电荷的电场成立
B．①②③只对点电荷或点电荷电场成立，④对任何电场都成立
C．①②只对点电荷成立，③对任何电场成立，④只对匀强电场成立
D．①②只对点电荷成立，③④对任何电场成立
答案　C
2．(双选)在一个匀强电场中有a、b两点，相距为d，电场强度为E，把一个电荷量为q
的负电荷由a移到b点时，电场力对电荷做正功W，以下说法正确的是(　　)
A．a点电势比b点电势低
B．a、b两点电势差大小为U＝Ed
C．a、b两点电势差大小为U＝
D．该电荷在b点电势能较a点大
答案　AC
3．(双选)
如图10所示，在电场中任意取一条电场线，电场线上的a、b两点相距为d，则(　　)
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图10
A．a点场强一定大于b点的场强
B．a点的电势一定高于b点的电势
C．a、b两点间的电势差一定等于E·d(E为a点的场强)
D．a、b两点间的电势差等于单位正电荷由a点沿任意路径移动到b点的过程中电场力所做的功
答案　BD
解析　沿场强方向电势降低，B项对；场强方向不能表示场强大小，A项错；C项错是因为此电场不一定是匀强电场；D项是电势差的定义，正确．
4.
如图11所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1
m
的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100
V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
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图11
A．UOP＝－10sin
θ
V
B．UOP＝10sin
θ
V
C．UOP＝－10cos
θ
V
D．UOP＝10cos
θ
V
答案　A
解析　在匀强电场中，UOP＝－E·Rsin
θ＝－10sin
θ
V，故A对．
5.
a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在的平面平行．已知a点的电势是20
V，b点的电势是24
V，d点的电势是4
V，如图12所示．由此可知，c点的电势为(　　)
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图12
A．4
V
B．8
V
C．12
V
D．24
V
答案　B
解析　
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第五节+习题课\\104.TIF"
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沿匀强电场中的直线，电势应均匀变化，如右图所示，连接b、d两点，并将连线五等分，则每一等份的两端点电势差为4
V，各点电势如图所示，连接a点与bd上20
V的点，连线为一条等势线，根据匀强电场的等势线相互平行的规律，过c点作等势线的平行线，线上所有点电势应与c点电势相等，用几何关系证明得：该线过电势为8
V的点，故c点的电势为8
V.
6.
如图13所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离为2
cm，A和P点间距离为1.5
cm，则该电场的场强E和P点的电势φP分别为(　　)
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第五节+习题课\\105.TIF"
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图13
A．500
V/m，－2.5
V
B．1
000
V/m，－2.5
V
C．500
V/m,2.5
V
D．1
000
V/m,2.5
V
答案　B
解析　匀强电场中电势均匀降落，根据U＝Ed可求得φP＝φA＝－2.5
V
E＝＝
V/m＝1
000
V/m.
7．如图14所示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ.取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴．设轴上任意点P到O点的距离为x，P点电场强度的大小为E.下面给出E的四个表达式(式中k为静电力常量)，其中只有一个是合理的．你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断．根据你的判断，E的合理表达式应为(　　)
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第五节+习题课\\V279.TIF"
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图14
A．E＝2πkσx
B．E＝2πkσx
C．E＝2πkσx
D．E＝2πkσx
答案　B
解析　圆环状均匀带电平面，由对称性可看做两个圆面的差．在P点的电场叠加形式应为相似的两部分之差，排除C、D选项．由场强单位及A、B两式中物理量单位可判断选项A错，B选项正确．
8．如图15所示，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远以初速度v0射入点电荷O的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN.a、b、c是以O为中心、Ra、Rb、Rc为半径画出的三个圆，Rc－Rb＝Rb－Ra.1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点．以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力做功的大小，|W34|表示由3到4的过程中电场力做功的大小，则(　　)
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第五节+习题课\\84.TIF"
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图15
A．|W12|＝2|W34|
B．|W12|＞2|W34|
C．P、O两电荷可能同号，也可能异号
D．P的初速度方向的延长线与O之间的距离可能为零
答案　B
解析　因为Rb－Ra＝Rc－Rb，且Ec2|U34|，故B项正确．从电荷P的弯曲运动轨道可知，P、O两电荷一定异号，故C项错．如果P的初速度方向的延长线与O之间的距离为零，则P电荷的轨迹为一直线，故D错．
9.
A、B、C为匀强电场中的三点，如图16所示，φA＝6
V，φB＝2
V，φC＝2
V，试画出匀强电场过A点的一条电场线．(作图过程要体现依据痕迹)
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第五节+习题课\\109.TIF"
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图16
答案　见解析
解析　由于φB＝φC＝2
V，所以B、C连线即为等势面，根据电场线与等势面垂直，过A点作BC的垂线，然后再依据电场线的方向指向电势降低的方向，便可最终确定过A点的电场线的位置及方向．如图所示．
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第五节+习题课\\110.TIF"
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10.
如图17所示，匀强电场中有A、B、C三点构成等边三角形，边长均为4
cm，将一带电荷量q＝1.0×10－10
C的正电荷(不计重力)，从A点移到C点，电场力做功为－×10－9
J，若把同一电荷从A点移到B点，电场力做功也为－×10－9
J，那么该电场的场强是多大？
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电场
第五节+习题课\\93.TIF"
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图17
答案　5×102
V/m
解析　如题图所示，把正电荷从电场中的A点分别移到C点或B点，电场力做的功相同，根据W＝qU可知，B、C两点电势相同，在同一等势面上，由于电场中的等势面与电场线垂直，可见A点与BC等势面在场强方向的距离
d＝AB
sin
60°＝4×10－2×
m＝2×10－2
m.
A、B两点的电势差UAB＝＝
V＝－10
V.
该电场的电场强度E＝＝
V/m＝5×102
V/m.
11．平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图18所示，两板间距离是5
cm，两板间的电压是60
V.
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第五节+习题课\\94.TIF"
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图18
(1)两板间的场强是多大？
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5
cm，P2点离B板也是0.5
cm，P1和P2两点间的电势差多大？
答案　(1)1.2×103
V/m　(2)48
V
解析　(1)两板间是匀强电场，由U＝Ed可得两板间的场强E＝＝＝1.2×103
V/m.
(2)P1、P2两点间沿场强方向的距离：d′＝4
cm
所以UP1P2＝Ed′＝1.2×103×4×10－2
V＝48
V.
12.
如图19所示．平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102
V/m，极板间距离d＝5
cm，电场中C和D点分别到A、B两板的距离均为0.5
cm，B板接地，则：
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电场
第五节+习题课\\112.TIF"
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图19
(1)C和D两点的电势、两点间电势差各为多少？
（2)将点电荷q＝2×10－2
C从C点匀速移到D点时外力做多少功？
答案　(1)－5.4
V　－0.6
V
　－4.8
V
(2)9.6×10－2
J
解析　(1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，则UBD、UBC均大于零，由U＝Ed得
UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2
V＝0.6
V，
即φD＝－0.6
V
由于
dCB＝5
cm－0.5
cm＝4.5
cm＝4.5×10－2
cm，
所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2
V＝－5.4
V＝φC
所以UCD＝φC－φD＝－5.4
V－(－0.6
V)＝－4.8
V.
(2)因为匀速移动，外力所做的功等于电场力所做的功
W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8
J＝9.6×10－2
J