1.6 电磁感应规律的应用 学案

学案6　电磁感应规律的应用
[目标定位]1.知道法拉第电机的原理.2.掌握转动切割磁感线产生感应电动势的计算.3.掌握电磁感应中电路问题的分析方法和解题基本思路.4.理解电磁感应中的能量转化，并会应用能量观点分析电磁感应问题．
一、法拉第电机
[问题设计]
1．参考课本法拉第圆盘发电机的构造图，简单说明法拉第圆盘发电机产生电流的原因．
答案　法拉第电机的圆盘是由无数根辐条组成的，每根辐条做切割磁感线运动，产生感应电动势，电路闭合时产生感应电流．
2．法拉第圆盘发电机的工作原理可以等效为一根导体棒在磁场中转动，如图1所示：当将导体棒和电阻组成闭合电路时，电路的哪部分相当于电源？电源的正极和负极在电路的哪个位置？电源内部电流方向如何？
图1
答案　ab导体棒相当于电源，a是电源正极，b是电源负极，电源内部电流由负极流向正极．
[要点提炼]
导体棒绕一端为轴转动切割磁感线：由v＝ωr可知各点线速度随半径按线性规律变化，切割速度用中点的线速度替代，即v＝ω或v＝.感应电动势E＝Bl2ω.
二、电磁感应中的能量转化
[问题设计]
如图2所示，ab在拉力F的作用下以速度v匀速向右运动，已知导体棒ab的长度为L，磁感应强度为B，电路中的总电阻为R.ab中的电流是多少？ab所受的安培力为多大？当导体棒匀速向右运动s距离时，拉力F做功和棒克服安培力做功分别是多少？
图2
答案　电路的感应电动势E＝BLv
电流I＝＝
所以ab棒所受安培力F安＝BIL＝
由于导体棒做匀速运动，所以F＝F安＝
拉力做功WF＝Fs＝
导体棒克服安培力做功W安＝F安s＝
[要点提炼]
1．电磁感应现象中产生的电能是克服安培力做功转化而来的，克服安培力做多少功，就产生多少电能，电磁感应过程遵循能量守恒定律．
2．求解电磁感应现象中能量守恒问题的一般思路
(1)分析回路，分清电源和外电路．
(2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．如：
①有摩擦力做功，必有内能产生；
②有重力做功，重力势能必然发生变化；
③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；
(3)列有关能量的关系式．
3．焦耳热的计算技巧
(1)感应电路中电流恒定时，焦耳热Q＝I2Rt.
(2)感应电路中电流变化时，可用以下方法分析：
①利用动能定理先求克服安培力做的功，而产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安．
②利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少量，即Q＝ΔE其他．
三、电磁感应中的电路问题
[问题设计]
在图2中，ab的电阻为r，导轨电阻不计．当ab在外力作用下向右以速度v匀速运动时，ab两端的电压为多大？哪端电势高？
答案　ab产生感应电动势，等效成电源，由右手定则可知，感应电流的方向从b指向a，在电源内部电动势方向从负极指向正极，即a端电势高．电源电动势为BLv，由闭合电路欧姆定律可得ab两端的电压为BLv.
[要点提炼]
在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势．若回路闭合，则产生感应电流，所以电磁感应问题常与电路知识综合考查．
解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法：
1．明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路就是电源，其他部分是外电路．
2．画等效电路图．分清内、外电路，画出等效电路图是解决此类问题的关键．
3．感应电动势的大小由法拉第电磁感应定律E＝BLv或E＝n确定，感应电动势的方向由楞次定律或右手定则确定，在等效电源内部从负极指向正极．
4．运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解．
一、转动切割产生感应电动势的计算
例1　长为L的金属棒ab以a点为轴在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω做匀速转动，如图3所示，磁感应强度为B.求：
图3
(1)ab棒各点速率的平均值．
(2)ab两端的电势差．
(3)经时间Δt金属棒ab所扫过面积中磁通量为多少？此过程中平均感应电动势多大？
解析　(1)ab棒各点速率的平均值＝＝＝ωL
(2)ab两端的电势差：E＝BL＝BL2ω
(3)经时间Δt金属棒ab所扫过的扇形面积为ΔS，则：
ΔS＝L2θ＝L2ωΔt，
ΔΦ＝BΔS＝BL2ωΔt.
由法拉第电磁感应定律得：
E＝＝＝BL2ω.
答案　(1)ωL　(2)BL2ω　(3)BL2ωΔt　BL2ω
二、电磁感应中的能量问题
例2　如图4所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L＝0.5m，框的电阻不计，匀强磁场的磁感应强度B＝1T，方向与框面垂直，金属棒MN的质量为100g，有效电阻为1Ω，现将MN无初速度释放并与框保持接触良好地竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一截面的电荷量为2C，求此过程回路中产生的电能为多少？(空气阻力不计，g＝10m/s2)
图4
解析　金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得
mg＝
在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E，由能量守恒定律得mgh＝mv＋E
通过金属棒某一横截面的电荷量为q＝
解得：E＝mgh－mv＝－＝J－J＝3.2J
答案　3.2J
三、电磁感应中的电路问题
例3　用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图5所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是(　　)
图5
A．UaC．Ua＝Ub解析　Ua＝BLv，Ub＝BLv，Uc＝·B·2Lv＝BLv，Ud＝B·2L·v＝BLv，故选B.
答案　B
例4　如图6所示，有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度B＝0.2T，磁场方向垂直纸面向里．在磁场中有一半径r＝0.4m的金属圆环，磁场与圆环面垂直，圆环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R0＝2Ω.一金属棒MN与圆环接触良好，棒与圆环的电阻均忽略不计．
图6
(1)若棒以v0＝5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径的瞬时MN中的电动势和流过灯L1的电流；
(2)撤去金属棒MN，若此时磁场随时间均匀变化，磁感应强度的变化率为＝T/s，求回路中的电动势和灯L1的电功率．
解析　(1)等效电路如图所示．
MN中的电动势E1＝B·2r·v0＝0.8 V
MN中的电流I＝＝0.8 A
流过灯L1的电流I1＝＝0.4 A
(2)
等效电路如图所示
回路中的电动势E2＝·πr2
＝0.64 V
回路中的电流I′＝＝0.16 A
灯L1的电功率P1＝I′2R0＝5.12×10－2 W
答案　(1)0.8 V　0.4 A　(2)0.64 V　5.12×10－2W
电磁感应规律的应用
1．(转动切割产生感应电动势的计算)
如图7所示，导体棒AB的长为2R，绕O点以角速度ω匀速转动，OB长为R，且O、B、A三点在一条直线上，有一磁感应强度为B的匀强磁场充满转动平面且与转动平面垂直，那么AB两端的电势差为 (　　)
图7
A.BωR2 B．2BωR2
C．4BωR2 D．6BωR2
答案　C
解析　A点线速度vA＝ω·3R，B点线速度vB＝ωR，AB棒切割磁感线的平均速度＝＝2ωR，由E＝BLv得，AB两端的电势差为E＝B·2R·＝4BωR2，C正确．
2.(电磁感应中的能量问题)如图8所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面且与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，且上升的高度为h，在这一过程中 (　　)
图8
A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零
B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和
C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
答案　AD
解析　金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对金属棒做功，恒力F做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿斜面向下，做负功．匀速运动时，所受合力为零，故合力做功为零，A正确；克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于R上产生的焦耳热，故外力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，D正确．
3．(电磁感应中的电路问题)粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a、b两点间的电势差绝对值最大的是(　　)
答案　B
解析　四个选项中的感应电动势大小均相等，回路电阻也相等，因此电路中的电流相等，B中a、b两点间电势差为路端电压，为电动势的，而其他选项则为电动势的.故B正确.
题组一　转动切割产生感应电动势的计算
1.一直升机停在南半球上空．该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B.直升机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动，螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图1所示，如果忽略a到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则(　　)
图1
A．E＝πfl2B，且a点电势低于b点电势
B．E＝2πfl2B，且a点电势低于b点电势
C．E＝πfl2B，且a点电势高于b点电势
D．E＝2πfl2B，且a点电势高于b点电势
答案　A
解析　解这道题要考虑两个问题：一是感应电动势大小，E＝Blv＝Blω×＝Bl×2πf×＝πfl2B；二是感应电动势的方向，由右手定则可以判断出感应电动势的方向是由a→b，因此a点电势低．
2.如图2所示，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0.使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率的大小应为(　　)
图2
A. B.
C. D.
答案　C
解析　当线框绕过圆心O的转动轴以角速度ω匀速转动时，由于面积的变化产生感应电动势，从而产生感应电流．设半圆的半径为r，导线框的电阻为R，即I1＝＝＝＝＝.当线框不动，磁感应强度变化时，I2＝＝＝＝，因I1＝I2，可得＝，C选项正确．
3．如图3所示，一个半径为r的铜盘，在磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω绕中心轴OO′匀速转动，磁场方向与盘面垂直，在盘的中心轴与边缘处分别安装电刷．设整个回路电阻为R，当铜盘匀速转动角速度为ω时，通过电阻的电流为________．
图3
答案　
解析　当铜盘转动时，产生的感应电动势相当于一根导体棒绕其一个端点在磁场中做切割磁感线的圆周运动，产生的电动势为E＝Br2ω，所以通过电阻的电流为.
题组二　电磁感应中的能量问题
4．如图4所示，位于一水平面内的两根平行的光滑金属导轨，处在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在的平面，导轨的一端与一电阻相连；具有一定质量的金属杆ab放在导轨上并与导轨垂直．现用一平行于导轨的恒力F拉杆ab，使它由静止开始向右运动．杆和导轨的电阻、感应电流产生的磁场均可不计．用E表示回路中的感应电动势，i表示回路中的感应电流，在i随时间增大的过程中，电阻消耗的功率等于 (　　)
图4
A．F的功率
B．安培力的功率的绝对值
C．F与安培力的合力的功率
D．iE
答案　BD
5.如图5所示，边长为L的正方形导线框质量为m，由距磁场H高处自由下落，其下边ab进入匀强磁场后，线圈开始做减速运动，直到其上边dc刚刚穿出磁场时，速度减为ab边刚进入磁场时的一半，磁场的宽度也为L，则线框穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热为(　　)
图5
A．2mgL
B．2mgL＋mgH
C．2mgL＋mgH
D．2mgL＋mgH
答案　C
解析　设线框刚进入磁场时的速度为v1，刚穿出磁场时的速度v2＝①
线框自开始进入磁场到完全穿出磁场共下落高度为2L.由题意得mv＝mgH②
mv＋mg·2L＝mv＋Q③
由①②③得Q＝2mgL＋mgH.C选项正确．
6．如图6所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面积的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则 (　　)
图6
A．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2
C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2
答案　A
解析　根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1Lbc＝Lbc＝Lab
同理Q2＝Lbc，又Lab＞Lbc，故Q1＞Q2；
因q＝t＝t＝，
故q1＝q2.因此A正确．
7．如图7所示，矩形线圈长为L，宽为h，电阻为R，质量为m，线圈在空气中竖直下落一段距离后(空气阻力不计)，进入一宽度也为h、磁感应强度为B的匀强磁场中．线圈进入磁场时的动能为Ek1，线圈刚穿出磁场时的动能为Ek2，从线圈刚进入磁场到线圈刚穿出磁场的过程中产生的热量为Q，线圈克服安培力做的功为W1，重力做的功为W2，则以下关系中正确的是 (　　)
图7
A．Q＝Ek1－Ek2 B．Q＝W2－W1
C．Q＝W1 D．W2＝Ek2－Ek1
答案　C
解析　线圈进入磁场和离开磁场的过程中，产生的感应电流受到安培力的作用，线圈克服安培力所做的功等于产生的热量，故选项C正确．根据功能的转化关系得，线圈减少的机械能等于产生的热量，即Q＝W2＋Ek1－Ek2，故选项A、B错误．根据动能定理得W2－W1＝Ek2－Ek1，故选项D错误．
题组三　电磁感应中的电路问题
8．如图8所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L和2L的两只闭合正方形线框a和b，以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，不考虑线框的重力，若闭合线框的电流分别为Ia、Ib，则Ia∶Ib为 (　　)
图8
A．1∶4B．1∶2C．1∶1D．不能确定
答案　C
解析　产生的电动势为E＝BLv，由闭合电路欧姆定律得I＝，又Lb＝2La，由电阻定律知Rb＝2Ra，故Ia∶Ib＝1∶1.
9.如图9所示，两个相同导线制成的开口圆环，大环半径为小环半径的2倍，现用电阻不计的导线将两环连接在一起，若将大环放入一均匀变化的磁场中，小环处在磁场外，a、b两点间电压为U1，若将小环放入这个磁场中，大环在磁场外，a、b两点间电压为U2，则 (　　)
图9
A.＝1 B.＝2
C.＝4 D.＝
答案　B
解析　根据题意设小环的电阻为R，则大环的电阻为2R，小环的面积为S，则大环的面积为4S，当大环放入一均匀变化的磁场中时，设＝k，大环相当于电源，小环相当于外电路，所以E1＝4kS，U1＝R＝kS；当小环放入磁场中时，同理可得U2＝2R＝kS，故＝2，选项B正确．
10.如图10所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，环的最高点用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为(　　)
图10
A.B.C.D．Bav
答案　A
解析　摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E′＝B·2a·(v)＝Bav.由闭合电路欧姆定律有UAB＝·＝Bav，故选A.
11．如图11所示，半径为R且左端开口的圆形导轨处在垂直于圆平面的匀强磁场中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里．一根长度略大于导轨直径的导体棒MN以恒定速率v在圆形导轨上从左端滑到右端，电路中的定值电阻为r，其余电阻不计．导体棒与圆形导轨接触良好．求：
图11
(1)在滑动过程中通过电阻r的电流的平均值；
(2)MN从左端到右端的整个过程中，通过r的电荷量；
(3)当MN通过圆形导轨中心时，通过r的电流是多少？
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)计算平均电流，应该用法拉第电磁感应定律先求出平均感应电动势．整个过程磁通量的变化为ΔΦ＝BS＝BπR2，所用的时间Δt＝，代入公式＝＝，平均电流为＝＝.
(2)电荷量的计算应该用平均电流，q＝Δt＝.
(3)当MN通过圆形导轨中心时，切割磁感线的有效长度最大，L＝2R，根据导体切割磁感线产生的感应电动势公式E＝BLv，得E＝B·2Rv，此时通过r的电流为I＝＝.
12.把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图12所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求：
图12
(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN；
(2)圆环消耗的热功率和在圆环及金属棒上消耗的总热功率．
答案　(1)　N→M　Bav
(2)　
解析　(1)金属棒MN切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv＝2Bav.
外电路的总电阻为R外＝＝R
金属棒上电流的大小为
I＝＝＝，电流方向从N到M
金属棒两端的电压为电源的路端电压UMN＝IR外＝Bav.
(2)圆环消耗的热功率为外电路的总功率P外＝I2R外＝
圆环和金属棒上消耗的总热功率为电路的总功率
P总＝IE＝.