1.7 习题课：电磁感应规律的应用 学案

学案7　习题课：电磁感应规律的应用
[目标定位]1.能综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图象问题.2.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法.3.能解决电磁感应中的动力学与能量结合的综合问题．
一、电磁感应中的图象问题
1．对于图象问题，搞清物理量之间的函数关系、变化范围、初始条件、斜率的物理意义等，往往是解题的关键．
2．解决图象问题的一般步骤
(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者是E－t图象、I－t图象等．
(2)分析电磁感应的具体过程．
(3)确定感应电动势(或感应电流)的大小和方向，有下列两种情况：
①若回路面积不变，磁感应强度变化时，用楞次定律确定感应电流的方向，用E＝n确定感应电动势大小的变化．
②若磁场不变，导体杆切割磁感线，用右手定则判断感应电流的方向，用E＝BLv确定感应电动势大小的变化．
(4)涉及受力问题，可由安培力公式F＝BIL和牛顿运动定律等规律写出有关函数关系式．
(5)画图象或判断图象．特别注意分析斜率的变化、截距等．
例1　在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一圆形导体环．规定导体环中电流的正方向如图1甲所示，磁场向上为正．当磁感应强度B随时间t按图乙变化时，下列能正确表示导体环中感应电流变化情况的是 (　　)
图1
解析　根据法拉第电磁感应定律有：E＝n＝nS，因此在面积、匝数不变的情况下，感应电动势与磁场的变化率成正比，即与B－t图象中的斜率成正比，由图象可知：0～2 s，斜率不变，故形成的感应电流不变，根据楞次定律可知感应电流方向顺时针即为正值，2～4 s斜率不变，电流方向为逆时针，整个过程中的斜率大小不变，所以感应电流大小不变，故A、B、D错误，C正确．
答案　C
例2　如图2所示，等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场，它的底边在x轴上且长为2L，高为L，纸面内一边长为L的正方形导线框沿x轴正方向做匀速直线运动穿过匀强磁场区域，在t＝0时刻恰好位于如图所示的位置，以顺时针方向为导线框中电流的正方向，在图中，能够正确表示导线框的电流－位移(I－s)关系的是(　　)
图2
解析　如图甲所示，线框运动距离s≤L时的感应电动势E＝Bvs；当L≤s≤L时几何关系如图乙所示，此时感应电动势为E＝Bv(2L－s)－Bv(s－L)＝Bv(3L－2s)，此时图线斜率的绝对值为s≤L时的2倍，由右手定则可知电流方向沿顺时针方向，由对称性可知A正确．
答案　A
二、电磁感应中的动力学问题
1．电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．
(2)求回路中的感应电流的大小和方向．
(3)分析研究导体受力情况(包括安培力)．
(4)列动力学方程或平衡方程求解．
2．电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题，关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析；
周而复始地循环，加速度等于零时，导体达到稳定运动状态．
3．两种状态处理
导体匀速运动，应根据平衡条件列式分析；导体做匀速直线运动之前，往往做变加速运动，处于非平衡状态，应根据牛顿第二定律或结合功能关系分析．
例3　如图3甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略不计，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．
图3
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图．
(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小．
(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度的最大值．
解析　(1)如图所示，
ab杆受：重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直于斜面向上；安培力F安，沿斜面向上．
(2)当ab杆速度大小为v时，感应电动势E＝BLv，此时
电路中电流I＝＝
ab杆受到安培力F安＝BIL＝
根据牛顿第二定律，有
ma＝mgsinθ－F安＝mgsinθ－
a＝gsinθ－.
(3)当a＝0时，ab杆有最大速度：vm＝.
答案　(1)见解析图　(2)　gsinθ－　(3)
针对训练　
如图4所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象不可能是(　　)
图4
答案　B
解析　S闭合时，若>mg，先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，匀速，A项有可能；若三、电磁感应中的动力学和能量综合问题
例4　如图5所示，足够长的U形框架宽度是L＝0.5m，电阻忽略不计，其所在平面与水平面成θ＝37°角，磁感应强度B＝0.8T的匀强磁场方向垂直于导体框平面，一根质量为m＝0.2kg、有效电阻R＝2Ω的导体棒MN垂直跨放在U形框架上，该导体棒与框架间的动摩擦因数μ＝0.5，导体棒由静止开始沿框架下滑到刚开始匀速运动时，通过导体棒横截面的电荷量为Q＝2C．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：
图5
(1)导体棒匀速运动的速度；
(2)导体棒从静止开始下滑到刚开始匀速运动，这一过程中导体棒的有效电阻消耗的电功．
解析　(1)导体棒受力如图，匀速下滑时有
平行斜面方向：mgsinθ－f－F安＝0
垂直斜面方向：FN－mgcosθ＝0
其中f＝μFN
安培力F安＝BIL
电流强度I＝
感应电动势E＝BLv
由以上各式得
v＝5 m/s
(2)通过导体棒的电荷量Q＝Δt
其中平均电流＝＝
设导体棒下滑位移为s，则
ΔΦ＝BsL
由以上各式得
s＝＝ m＝10 m
全程由动能定理得
mgssinθ－W安－μmgcosθ·s＝mv2
其中克服安培力做功W安等于电功W
则W＝mgs·sinθ－μmgscosθ－mv2
＝(12－8－2.5) J
＝1.5 J
答案　(1)5m/s　(2)1.5J
1．(电磁感应中的图象问题)
如图6所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为L，磁场方向垂直纸面向里，abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为L，t＝0时刻bc边与磁场区域边界重合．现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿abcda方向为感应电流正方向，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是 (　　)
图6
答案　B
解析　由于bc进入磁场时，根据右手定则判断出其感应电流的方向是沿adcba的方向，其方向与电流的正方向相反，故是负的，所以A、C错误；当逐渐向右移动时，线圈切割磁感线的有效长度在增加，故感应电流在增大；当bc边穿出磁场区域时，线圈中的感应电流方向变为abcda，是正方向，故其图象在时间轴的上方，所以B正确，D错误．
2．(电磁感应中的动力学问题)如图7所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落．如果线圈中受到的磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为 (　　)
图7
A．a1＞a2＞a3＞a4
B．a1＝a2＝a3＝a4
C．a1＝a3＞a2＞a4
D．a1＝a3＞a2＝a4
答案　C
解析　线圈自由下落时，加速度为a1＝g.线圈完全在磁场中时，磁通量不变，不产生感应电流，线圈不受安培力作用，只受重力，加速度为a3＝g.线圈进入和穿出磁场过程中，切割磁感线产生感应电流，将受到向上的安培力，根据牛顿第二定律得知，a2＜g，a4＜g.线圈完全在磁场中时做匀加速运动，到达4处的速度大于2处的速度，则线圈在4处所受的安培力大于在2处所受的安培力，又知，磁场力总小于重力，则a2＞a4，故a1＝a3＞a2＞a4.所以本题选C.
3．(电磁感应中的动力学问题)如图8所示，光滑金属直轨道MN和PQ固定在同一水平面内，MN、PQ平行且足够长，两轨道间的宽度L＝0.50m，轨道左端接一阻值R＝0.50Ω的电阻．轨道处于磁感应强度大小B＝0.40T、方向竖直向下的匀强磁场中．质量m＝0.50kg的导体棒ab垂直于轨道放置．在沿着轨道方向向右的力F作用下，导体棒由静止开始运动，导体棒与轨道始终接触良好并且相互垂直．不计轨道和导体棒的电阻，不计空气阻力．若力F的大小保持不变，且F＝1.0N，求：
图8
(1)导体棒能达到最大速度大小vm；
(2)导体棒的速度v＝5.0m/s时，导体棒的加速度大小a.
答案　(1)12.5m/s　(2)1.2 m/s2
解析　(1)导体棒达到最大速度vm时受力平衡，有F＝F安m，
此时F安m＝，解得vm＝12.5 m/s.
(2)导体棒的速度v＝5.0 m/s时，感应电动势E＝BLv＝1.0 V，
导体棒上通过的感应电流大小I＝＝2.0 A，
导体棒受到的安培力F安＝BIL＝0.4 N，
根据牛顿第二定律，
有F－F安＝ma，解得a＝1.2 m/s2.
4．(电磁感应中的动力学及能量综合问题)足够长的平行金属导轨MN和PK表面粗糙，与水平面之间的夹角为α，间距为L.垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度为B，MP间接有阻值为R的电阻，质量为m的金属杆ab垂直导轨放置，其他电阻不计．如图9所示，用恒力F沿导轨平面向下拉金属杆ab，使金属杆由静止开始运动，杆运动的最大速度为vm，ts末金属杆的速度为v1，前ts内金属杆的位移为s，重力加速度为g，求：
图9
(1)金属杆速度为v1时加速度的大小；
(2)整个系统在前ts内产生的热量．
答案　(1)　(2)－mv
解析　(1)设金属杆和导轨间的动摩擦因数为μ，当杆运动的速度为vm时，有：
F＋mgsinα－－μmgcosα＝0
当杆的速度为v1时，有：
F＋mgsinα－－μmgcosα＝ma
解得：a＝
(2)t s末金属杆的速度为v1，前t s内金属杆的位移为s，由能量守恒得：
焦耳热Q1＝Fs＋mgssinα－μmgscosα－mv
＝－mv
题组一　电磁感应中的图象问题
1．如图1甲所示，一个闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，设磁场方向向里为磁感应强度B的正方向，线圈中的箭头为电流I的正方向．线圈及线圈中感应电流I随时间变化的图线如图乙所示，则磁感应强度B随时间变化的图线可能是 (　　)
图1
答案　CD
2．如图2所示，在0≤x≤2L的区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于xy坐标系平面(纸面)向里．具有一定电阻的矩形线框abcd位于xy坐标系平面内，线框的ab边与y轴重合，bc边长为L.设线框从t＝0时刻起在外力作用下由静止开始沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流i(取逆时针方向的电流为正)随时间t变化的函数图象可能是图中的 (　　)
图2
答案　D
解析　线圈的ab边刚进入磁场时，产生逆时针方向的电流，随着速度的增加，感应电流逐渐增大；线圈全部进入磁场后，无感应电流；当线圈的ab边离开磁场时，此时cd边切割磁感线，产生顺时针方向的电流，且随速度的增加而增大．因为线圈此时的速度不为零，所以电流是从某一值增大．选项D正确．
3．如图3所示，宽度为d的有界匀强磁场，方向垂直于纸面向里．在纸面所在平面内有一对角线长也为d的正方形闭合导线ABCD，沿AC方向垂直磁场边界匀速穿过该磁场区域．规定逆时针方向为感应电流的正方向，t＝0时刻C点恰好进入磁场，则从C点进入磁场开始到A点离开磁场为止，闭合导线中感应电流随时间的变化图象正确的是 (　　)
图3
答案　A
解析　线圈在进磁场的过程中，根据楞次定律可知，感应电流的方向为CBADC方向，即为正值，在出磁场的过程中，根据楞次定律知，感应电流的方向为ABCDA，即为负值．
在线圈从开始进入磁场直到进入一半的过程中，切割的有效长度均匀增大，感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，在线圈继续运动至全部进入磁场的过程中，切割的有效长度均匀减小，感应电动势均匀减小，则感应电流均匀减小；在线圈从开始出磁场直到离开一半的过程中，切割的有效长度均匀增大，感应电流均匀增大，在线圈继续运动至全部出磁场的过程中，切割的有效长度均匀减小，感应电流均匀减小．故A正确，B、C、D错误．
4.如图4所示，一载流长直导线和一矩形线框固定在同一平面内，线框在长直导线右侧，且其长边与长直导线平行．已知在t＝0到t＝t1的时间间隔内，长直导线中电流i发生某种变化，而线框中的感应电流总是沿顺时针方向，线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右．设电流i的正方向与图中箭头所示方向相同，则i随时间t变化的图线可能是(　　)
图4
答案　A
解析　因通电导线周围的磁场离导线越近磁场越强，而线框中左右两边的电流大小相等，方向相反，所以其受到的安培力方向相反，线框的左边受到的安培力大于线框的右边受到的安培力，所以合力与线框的左边受力的方向相同．因为线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右，根据左手定则，线框处的磁场方向先垂直纸面向里，后垂直纸面向外，根据右手螺旋定则，导线中的电流先为正，后为负，所以选项A正确，B、C、D错误．
题组二　电磁感应中的动力学问题
5．如图5所示，金属棒ab置于水平放置的光滑框架cdef上，ab棒与框架接触良好，匀强磁场垂直于ab棒斜向下．从某时刻开始磁感应强度均匀减小，同时施加一个水平方向上的外力F使金属棒ab保持静止，则F(　　)
图5
A．方向向右，且为恒力
B．方向向右，且为变力
C．方向向左，且为变力
D．方向向左，且为恒力
答案　C
6.如图6所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，间距为l，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋于一个最大速度vm，则 (　　)
图6
A．如果B变大，vm将变大B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大D．如果m变小，vm将变大
答案　BC
解析　金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝，因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F安作用，F安＝BIl＝，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示．
根据牛顿第二定律，得mgsinα－＝ma，当a＝0时，v＝vm，解得vm＝，故选项B、C正确．
7.如图7所示，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边界d水平．在竖直面内有一矩形金属线圈，线圈上下边的距离很短，下边水平．线圈从水平面a开始下落．已知磁场上、下边界之间的距离大于水平面a、b之间的距离．若线圈下边刚通过水平面b、c(位于磁场中)和d时，线圈所受到的磁场力的大小分别为Fb、Fc和Fd，则(　　)
图7
A．Fd>Fc>Fb B．FcC．Fc>Fb>Fd D．Fc答案　D
解析　线圈从a到b做自由落体运动，在b处开始进入磁场切割磁感线，产生感应电流，受到安培力作用，由于线圈的上下边的距离很短，所以经历很短的变速运动而完全进入磁场，在c处线圈中磁通量不变，不产生感应电流，不受安培力作用，但线圈在重力作用下依然加速，因此线圈在d处离开磁场切割磁感线时，产生的感应电流较大，故该处所受安培力必然大于b处．综合分析可知，选项D正确．
题组三　电磁感应中的动力学及能量综合问题
8．如图8所示，长为L1、宽为L2的矩形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直，求将线圈以向右的速度v匀速拉出磁场的过程中，
图8
(1)拉力的大小F；
(2)线圈中产生的电热Q.
答案　(1)　(2)
解析　(1)线圈匀速拉出磁场时，由受力平衡条件知，
F＝BIL2
I＝
线圈中产生的感应电动势E＝BL2v
有：F＝
(2)方法一：线圈拉出磁场所需时间
t＝
由焦耳定律知，Q＝I2Rt＝
方法二：根据功能关系知，
Q＝W＝FL1＝
9．如图9甲所示，不计电阻的平行金属导轨竖直放置，导轨间距为L＝1m，上端接有电阻R＝3Ω，虚线OO′下方是垂直于导轨平面的匀强磁场．现将质量m＝0.1kg、电阻r＝1Ω的金属杆ab，从OO′上方某处垂直导轨由静止释放，杆下落过程中始终与导轨保持良好接触，杆下落过程中的v－t图象如图乙所示．(取g＝10m/s2)求：
图9
(1)磁感应强度B的大小；
(2)杆在磁场中下落0.1s的过程中，电阻R产生的热量．
答案　(1)2T　(2)0.075J
解析　(1)由题图乙可知，杆自由下落0.1s进入磁场后，以v＝1.0m/s做匀速运动，产生的电动势E＝BLv
杆中的电流I＝
杆所受安培力F安＝BIL
由平衡条件得mg＝F安
代入数据得B＝2T
(2)电阻R产生的热量Q＝I2Rt＝0.075J
10．如图10所示，倾角为θ的“U”型金属框架下端连接一阻值为R的电阻，相互平行的金属杆MN、PQ间距为L，与金属杆垂直的虚线a1b1、a2b2区域内有垂直框架平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，a1b1、a2b2间距离为d，一长为L、质量为m、电阻为R的导体棒在金属框架平面上与磁场上边界a2b2距离d处从静止开始释放，最后能匀速通过磁场下边界a1b1.重力加速度为g(金属框架摩擦及电阻不计)．求：
图10
(1)导体棒刚到达磁场上边界a2b2时速度大小v1；
(2)导体棒匀速通过磁场下边界a1b1时速度大小v2；
(3)导体棒穿越磁场过程中，回路产生的电能．
答案　(1)　(2)
(3)2mgdsinθ－
解析　(1)导体棒在磁场外沿斜面下滑，只有重力做功，
由机械能守恒定律得：mgdsinθ＝mv
解得：v1＝
(2)导体棒匀速通过匀强磁场下边界a1b1时，由平衡条件：
mgsinθ＝F安
F安＝BIL＝
解得：v2＝
(3)由能量守恒定律得：
mgdsinθ－Q＝mv－mv
解得：Q＝2mgdsin θ－.