课件42张PPT。第四章 三角形1 认识三角形新知1 三角形的有关概念(1) 三角形的概念.
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
说明：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接. 这三个条件缺一不可.(2) 构成三角形的基本元素 (如图4－1－1).
①顶点：三角形中，相邻两线段
的公共端点叫做三角形的顶点，
三角形有三个顶点，点A，点B，
点C.
②边：组成三角形的三条线段
叫做三角形的边，三角形有三条边，AB，BC，CA.
③角：三角形的内角：三角形中，每相邻两边所组成的角叫三角形的内角；三角形有三个内角，∠ABC，∠BAC，∠ACB.(3) 三角形的表示方法.
三角形可用符号“△”表示，三角形ABC可表示为“△ABC”，读作“三角形ABC”. 其中直角三角形用“Rt△”表示.【例1】如图4－1－2，图中有几个三角形？把它们表示出来，并写出∠B的对边.解 图中的三角形有：△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC；∠B的对边有DE，AD，AC.
点拨 此题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键.解析 根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案.举一反三1. 如图4－1－3所示的图形中共有三角形( )
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个2. 如图4－1－4所示，以AB为一边的三角形共有
个.D33. 如图4－1－5所示，在△ABE中，AE所对的角是 ，在△ADE中，AD是 的对边，在△ADC中，AD是 的对边.∠ABE∠AED∠ACD新知2 三角形的三边关系(1) 定理：三角形任意两边之和大于第三边.
如图4－1－6，上述内容可表示为a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.
理论根据：两点之间线段最短.(2) 推论：由a＋b>c，根据不等式的性质，得c－b
(3) 利用三角形三边的关系，可以确定在已知两边的三角形中的第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形.【例2】一个三角形的两边b＝4，c＝7，试确定第三边a的范围. 当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长各是多少？
解析 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边a的取值范围，即可得出结果.解 当一个三角形的两边b＝4，c＝7时，第三边a的范围为7－4＜a＜7＋4，即3＜a＜11.
当各边均为整数时，第三边可能为：4,5,6,7,8,9,10. 因此共有7个三角形.
当a＝4或a＝7时，这个三角形为等腰三角形.其各边长分别为：4,7,4；4,7,7.举一反三1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 2 cm,2 cm,4 cm B. 2 cm,6 cm,3 cm
C. 8 cm,6 cm,3 cm D. 11 cm,4 cm,6 cm
2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 4 cm,5 cm,6 cm B. 6 cm,8 cm,15 cm
C. 7 cm,5 cm,12 cm D. 3 cm,7 cm,13 cmCA3. 若三角形中的两边长分别为9和2，第三边长为偶数，求三角形的周长.解：设第三边长为x，则7因为x为偶数，所以x＝8或10.
当x＝8时，三角形周长为9＋2＋8＝19；
当x＝10时，三角形周长为9＋2＋10＝21.新知3 三角形的内角(1) 定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.
(2) 性质：三角形三个内角的和等于180°.注意：①三角形内角和定理的证明方法很多. 证明的基本思路是通过添加辅助线，把三角形的三个内角移到一处，组成一个平角. 通过构造平角 (如图4－1－7①所示)，构造邻补角 (如图4－1－7②所示)，构造同旁内角
(如图4－1－7③所示) 等方法，实现问题的转化；②三角形内角和定理的作用：一是已知三角形中任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；二是已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；三是求一个三角形中各角之间的关系.【例3】如图4－1－8，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.(1) 求∠BAE的度数；
(2) 求∠DAE的度数；
(3) 探究：小明认为如果只知道∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.解析 (1) 利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE.
(2) 先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数.
(3) 用∠B，∠C表示∠DAE即可.
解 (1) 因为∠B＝70°，∠C＝30°，
所以∠BAC＝180°－70°－30°＝80°.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝40°；
(2) 因为AD⊥BC，∠B＝70°，
所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
而∠BAE＝40°，所以∠DAE＝20°；(3) 可以. 理由如下：
因为AE为角平分线，若∠B－∠C＝40°，则∠DAE＝20°.举一反三如图4－1－9，∠α，∠β的度数分别为( )
A. 30°，50° B. 40°，80°
C. 50°，40° D. 60°，40°C2. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 90°
3. 下列说法中正确的是( )
A. 三角形的内角中至少有两个锐角
B. 三角形的内角中至少有两个钝角
C. 三角形的内角中至少有一个直角
D. 三角形的内角中至少有一个钝角CA新知4 三角形的分类三角形分类有两种方法：
(1) 按角分类分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
(2) 按边分类分为：不等边三角形、等腰三角形和等边三角形.【例4】下列说法正确的是( )
A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形
B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形解析 如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故A选项错误；如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故B选项错误；如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故C选项错误；一个等边三角形的三个角都是60°. 故D选项正确.
答案 D举一反三1. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则此三角形按角分类应为 .
2. 三角形中最大的内角不能小于( )
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°直角三角形A3. 下列说法正确的是( )
A. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B. 一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C. 一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形D新知5 三角形的三条重要线段(1) 三角形的中线.
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
说明：①三角形的中线是线段；②它在三角形内；③一个三角形有三条中线，它们交于一点，且这一点一定在三角形内，称为三角形的重心.(2) 三角形的角平分线.
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
说明：①三角形的角平分线不同于角的平分线，前者是线段，后者是射线；②三角形的角平分线在三角形内部；③一个三角形有三条角平分线，它们交于一点，这一点一定在三角形内.(3) 三角形的高.
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
说明：①三角形的高是线段；②它不一定在三角形的内部；③一个三角形有三条高； ④在锐角三角形中，三条高在三角形内，因而交点也在三角形内 (如图4－1－10①)；在直角三角形中，一条高在三角形内，另外两条高恰好在三角形的两条直角边上，因而交点为直角顶点 (如图4－1－10②)；在钝角三角形中，一条高在三角形内，另外两条高在三角形外，三条高的延长线交于三角形外一点 (如图4－1－10③).【例5】如图4－1－11，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( )
A.1 B. 2
C. 3 D. 4解析 本题需先分别求出S△ABD，S△ABE，再根据S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE即可求出结果.点拨 本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键.举一反三如图4－1－12，BD＝DE＝EF＝FC，那么△ABE的中线是( )
A. AD B. AE C. AF D. 以上都是A2. 如图4－1－13，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，图中相等的线段是 ，相等的角是 .3. 如图4－1－14，当 ＝ 时，AD是△ABC的中线；当 ＝ 时，AD是△ABC的角平分线.∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC＝90°BF＝CFBDCD∠BAD∠CAD2. (3分)如图KT4－1－1，若D，E为△ABC的边AC上除A，C以外的任意两点，则图中共有三角形 个.
( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7C5. (3分)如图KT4－1－2，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于( )
A. 110° B. 115° C. 120° D. 130°B6. (3分)如图KT4－1－3，在△ABC中，点D是BC上任意一点，点E，F分别是AD，CE的中点，且S△BEF＝4 cm2，则S△ABC的值为( )
A. 1 cm2 B. 2 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2D7. (6分)如图KT4－1－4，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°. 求∠BAE和∠DAE的度数.解：因为∠B＝70°，∠C＝30°，
所以∠BAC＝180°－70°－30°＝80°，
又因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝40°.
因为AD⊥BC，∠B＝70°，
所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.8. (6分)(1)在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，如图KT4－1－5①，小明经过探究发现：∠BOC＝90°＋ ∠A，请你说明理由；(2)当∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线相交于点O，如图KT4－1－5②，上面结论还成立吗？若成立说明为什么；若不成立，请你直接写出新的结论.课件19张PPT。第四章 三角形2 图形的全等新知1 全等图形的定义和性质(1) 全等图形的概念：两个能够完全重合的图形叫做全等图形.
(2) 全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同.
注意：全等图形是日常生活和生产实践中经常遇到的图形之一，从全等图形的定义中可以看出，两个全等图形的周长相等，面积相等. 在学习中，要注意从全等图形的概念出发，研究两个全等图形的性质.【例1】找出七巧板 (如图4－2－2) 中全等的图形.解 由图4－2－1知：
△ADE与△CDE，
△EHK与△JCF，△ADC与△ABC，四边形AGKE与四边形CFKE，四边形AGKD与四边形CFKD是全等的图形.解析 本题考查的是全等图形的概念，熟练掌握七巧板中各图形的特点是解答本题的关键.1. 请在图4－2－2中把等边三角形分成2个、3个、4个全等的三角形.举一反三2. 观察图4－2－3中的平面图形，将全等的图形找出来.解：②与④全等，③与⑥全等.3. 下列叙述错误的是( )
A. 能够完全重合的图形称为全等图形
B. 全等图形的形状和大小都相同
C. 所有正方形都是全等图形
D. 形状和大小都相同的两个图形是全等图形C新知2 全等三角形的定义及性质(1) 定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 相互重合的顶点是对应顶点；相互重合的边是对应边；相互重合的角是对应角.
(2) 性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
(3) 记法：
△ABC和△A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′(注意：通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).根据两个三角形的位置关系，通常有如下规律确定全等三角形的对应边和对应角.【例2】如图4－2－4所示，△ABD是△ABC沿AB边所在直线翻折得到的，已知∠C＝100°，∠ABC＝30°，则∠CAD＝ .解析 在△ABC中，∠C＝100°，∠ABC＝30°，
所以∠CAB＝180°－∠C－∠ABC＝180°－100°－30°＝50°，
由题意知∠DAB＝∠CAB，
所以∠CAD＝2∠CAB＝2×50°＝100°.
答案 100°举一反三1. 如图4－2－5，△ABC≌△CDA，并且BC＝DA，那么下列结论错误的是( )
A. ∠1＝∠2
B. AC＝CA
C. AB＝AD
D. ∠B＝∠DC2. 下列判断正确的个数是( )
①能够完全重合的两个图形全等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长、面积分别相等；④全等三角形对应边相等.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个D3. 如图4－2－6，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE. 你能得出哪些结论？(请写出三个以上的结论)解：因为△ABF≌△DCE，
所以∠BAF＝∠CDE，∠AFB＝∠DEC，
∠ABF＝∠DCE，AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE.
所以AF∥ED，AC＝BD，BF∥CE.3. (3分)如图KT4－2－1，△FAB≌△ECD，则将△FAB通过哪种基本运动可得△ECD？( )
A. 平移 B. 翻折 C. 旋转 D. 无论如何都不能A5. (3分)下列四个图形中，全等的图形是( )
A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ③和④D7. (6分)如图KT4－2－4，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案.8. (6分)找出全等图形.解：由图形可得出：(1)和(8)；(2)和(6)；(3)和(9)；(5)和(7)；(13)和(14)是全等图形.课件42张PPT。第四章 三角形3 探索三角形全等的条件新知1 三角形全等的条件—
“边边边” (SSS)及其应用(1) 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
(2) “SSS”的应用：说明两个三角形中的角相等或线平行等，常通过证明两个三角形全等来解决.
注意：应用“SSS”时，当图中有两组对应边而无对应角时，常在图中找第三边或构造第三边，达到应用“SSS”的目的.【例1】如图4－3－4，OA＝OB，AC＝BC.
那么∠AOC＝∠BOC，说明你的理由.
解：在△AOC和△BOC中，
OA＝ ，AC＝ ，
OC＝ ，
所以 ≌ (SSS).
所以∠AOC＝∠BOC ( ).解析 根据已知条件和隐含条件OC为公共边易得△AOC≌△BOC，即可得∠AOC＝∠BOC.
答案 OB BC OC △AOC △BOC
全等三角形的对应角相等举一反三1. 如图4－3－5，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，试说明：△ABC≌△DCB的理由.解：在△ABC和△DCB中，AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，所以△ABC≌△DCB (SSS).2. 如图4－3－6，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. ∠A与∠D相等吗？请说明理由.解：∠A与∠D相等.
因为BE＝CF，
所以BE＋EC＝CF＋EC，
即 BC＝EF.
在△ABC与△DEF中，
AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF (SSS). 所以∠A＝∠D.3. 如图4－3－7，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试说明理由.解：△ABC≌△AED.
因为BD＝CE，所以BD－CD＝CE－CD，所以BC＝ED.
在△ABC和△AED中，AB＝AE，AC＝AD，BC＝ED，
所以△ABC≌△AED.新知2 三角形全等的条件——
“边角边” (SAS)及其应用(1) 如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等(简写“边角边”或“SAS”).
(2) “SAS”的应用：说明分别属于两个三角形中的角相等或线段相等常通过证明两个三角形全等来解决.【例2】如图4－3－8，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，DF＝BE. 试说明△ADE≌△CBF.解析 利用平行线的性质得出∠AED＝∠CFB，由DF＝BE，根据等式的性质得出DE＝BF，利用“SAS”即得出结论.
解 因为AE∥CF，所以∠AED＝∠CFB.
因为DF＝BE，
所以DF＋EF＝BE＋EF，即DE＝BF.
在△ADE和△CBF中，
AE＝CF，∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
所以△ADE≌△CBF (SAS). 举一反三1. 如图4－3－9所示，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，试说明BC＝DE.解：因为∠BAD＝∠CAE，
所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
所以△ABC≌△ADE.
所以BC＝DE.2. 如图4－3－10，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，E在AB上，连接BD. 请找出一对全等三角形，并说明理由.解：△ACE≌△BCD，理由如下：
因为△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，
所以∠ECD＝∠ACB＝90°.
因为∠ACE＋∠BCE＝90°，
∠BCD＋∠BCE＝90°，
所以∠ACE＝∠BCD.
在△ACE和△BCD中，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD，CA＝CB，
所以△ACE≌△BCD (SAS).3. 如图4－3－11，AC与BD相交于点O，AO＝DO，∠1＝∠2，试说明△ABC≌△DCB的理由.解：因为∠1＝∠2，
所以OB＝OC.
因为AO＝DO，
所以AC＝BD.
在△ABC和△DCB中，
AC＝DB，∠1＝∠2，BC＝CB，
所以△ABC≌△DCB (SAS).新知3 三角形全等的条件——
“角边角” (ASA)及其应用(1) 如果两个三角形的两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等 (简写成“角边角”或“ASA”).
(2) “ASA”的应用：在说明两个三角形中的角相等或线段相等时常通过三角形全等来解决.【例3】如图4－3－12，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF. AB与CD相等吗？为什么？解析 由已知AB∥CD可知∠B＝∠C，由AF∥DE可知∠AFB＝∠DEC，由BE＝CF可得BF＝CE，由“ASA”即可说明两个三角形全等.解 AB与CD相等.
因为AB∥CD，所以∠B＝∠C.
因为AF∥DE，所以∠AFB＝∠DEC.
又因为BE＝CF，
所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∠B＝∠C，BF＝CE，∠AFB＝∠DEC，
所以△ABF≌△DCE (ASA). 所以AB＝CD.举一反三1. 如图4－3－13，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB. AC与DB相等吗？试说明理由.解：AC与DB相等.
在△ABC和△DCB中，
因为∠2＝∠1，BC为公共边，
∠ABC＝∠DCB，
所以 △ABC≌△DCB (ASA)，
所以 AC＝DB.2. 已知：如图4－3－14，∠AOD＝∠BOC，∠A＝∠C，O是AC的中点. △AOB与△COD全等吗？为什么？解：△AOB与△COD全等.
因为∠AOD＝∠BOC，
所以∠AOD＋∠DOB＝∠BOC＋∠BOD.
即∠AOB＝∠COD，
因为O是AC的中点，所以AO＝CO.
在△AOB与△COD中，
∠A＝∠C，AO＝CO，∠AOB＝∠COD，
所以△AOB≌△COD.3. 已知：如图4－3－15，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，ED＝AB，∠E＝∠CPD. △ABC与△DEF全等吗？请说明理由.解：△ABC与△DEF全等.
因为AB∥DF，所以∠B＝∠CPD，
∠A＝∠FDE.
因为∠E＝∠CPD，
所以∠E＝∠B.
在△ABC和△DEF中，∠E＝∠B，ED＝BA，
∠A＝∠FDE， 所以△ABC≌△DEF (ASA).新知4 三角形全等的条件——
“角角边” (AAS)及其应用(1) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
(2) “AAS”的应用：说明角相等或线段相等.【例4】如图4－3－16，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C. 那么AB与DC相等吗？为什么？解析 利用全等三角形的条件——“AAS”可得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的对应边相等可得AB＝DC.
解 AB与DC相等.
因为点E，F在BC上，BE＝CF，
所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
因为∠A＝∠D，∠B＝∠C，BF＝CE，
所以△ABF≌△DCE (AAS).
所以AB＝DC (全等三角形的对应边相等). 举一反三1. 如图4－3－17，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点F，且BD＝CE，问：AB与AC具有什么关系？并说明判断的理由.解：AB＝AC.
理由如下：因为CD⊥AB，BE⊥AC，
所以∠CEF＝∠BDF＝90°.
又因为∠1＝∠2，CE＝BD，
所以△CEF≌△BDF (AAS).
所以CF＝BF，EF＝DF.
所以CF＋FD＝BF＋FE，即CD＝BE.
在△ABE和△ACD中，
∠A＝∠A，∠BEA＝∠CDA＝90°，BE＝CD，
所以△ABE≌△ACD (AAS). 所以AB＝AC.2. 已知AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，请添加一个条件： ，使△ABC≌△ADE，并说明理由.∠C＝∠E(条件不唯一)理由：因为∠BAD＝∠CAE，
所以∠BAD＋∠CAD＝
∠CAE＋∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC与△ADE中，
∠C＝∠E，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
所以△ABC≌△ADE (AAS).3. 已知：如图4－3－19，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E＝∠B. 说明△ADE≌△ADC的理由.解：因为DA平分∠EDC，所以∠ADE＝∠ADC.
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
又因为∠E＝∠B，所以∠E＝∠C.
在△ADE和△ADC中，
∠E＝∠C，∠ADE＝∠ADC，AD＝AD，
所以△ADE≌△ADC (AAS)新知5 三角形的稳定性由于一个三角形的三边的长度确定了，那么这个三角形的形状和大小就确定了，故三角形具有稳定性，这是三角形所特有的性质.【例5】如图4－3－20，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条 (即AB，CD)，这样做的数学道理是什么？
解析 本题是三角形的稳定
性在生活中的具体应用，
实际生活中将多边形转化为
三角形都是为了利用三角形
的稳定性.
解 三角形具有稳定性. 举一反三如图4－3－21，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A. 两点之间线段最短
B. 三角形的稳定性
C. 两点确定一条直线
D. 四边形的不稳定性B2. 下列例子应用了三角形的稳定性的有( )
①自行车的三角车架；②长方形门框的斜拉条；③照相机的三脚架；④塔吊上部的三角形结构.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个D2. (3分)如图KT4－3－1，AB＝AC，AD＝AE，BE，CD交于点O，则图中全等三角形共有( )
A. 四对 B. 三对 C. 两对 D. 一对B3. (3分)如图KT4－3－2，已知AB，CD相交于O点，△AOC≌△BOD，E，F分别在OA，OB上，要使△EOC≌△FOD，添加的一个条件不可以是( )
A. CE＝DF B. ∠CEA＝∠DFB
C. ∠OCE＝∠ODF D. OE＝OFA4. (3分)如图KT4－3－3，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有( )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个A5. (3分)如图KT4－3－4，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E,BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组C6. (3分)如图KT4－3－5，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A. AB＝AC B. ∠BAC＝90°
C. BD＝AC D. ∠B＝45°A7. (6分)如图KT4－3－6，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.请说明：
(1)△AEF≌△CEB；解：(1)因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以∠BCE＋∠CFD＝90°，
∠BCE＋∠B＝90°，
所以∠CFD＝∠B，
因为∠CFD＝∠AFE，所以∠AFE＝∠B
在△AEF与△CEB中，
∠AFE＝∠B，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，
所以△AEF≌△CEB(AAS)；(2)AF＝2CD.解：因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以BC＝2CD，
因为△AEF≌△CEB，
所以AF＝BC，所以AF＝2CD.8. (6分)如图KT4－3－7，AB∥CD，AB＝CD，点B，E，F，D在一条直线上，∠BAE＝∠DCF.
(1) △ABE和△CDF全等吗？为什么？解：(1)△ABE和△CDF全等.
因为AB∥CD，
所以∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
所以△ABE≌△CDF；(2) AE与CF有何关系？说明理由；解：AE与CF平行且相等.理由如下：由△ABE≌△CDF，
可知AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，所以∠AED＝∠CFB，所以AE∥CF，所以AE与CF平行且相等；(3) △ADE和△CBF全等吗？为什么？解：△ADE与△CBF全等.
因为△ABE≌△CDF，所以AE＝CF，因为BE＝DF，
所以BE＋EF＝DF＋EF，即BF＝DE.
在△ADE和△CBF中，
BF＝DE，∠AED＝∠CFB，AE＝CF，
所以△ADE≌△CBF.课件13张PPT。第四章 三角形4 用尺规作三角形新知 作图的方法(1) 假设所求图形已作出，并在草稿纸上画出草图；
(2) 在草图上标出已知的边角的对应位置；
(3) 据 (2) 的草图写出“已知”，“求作”；
(4) 确定作图的步骤，作出图形.
作三角形的题型有以下几种情况：
①已知两边及夹角作三角形；
②已知两角及夹边作三角形；
③已知三边作三角形.【例】已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段a，b，c，如图4－4－1.
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.作法 (1) 如图4－4－2，作一条线段BC＝a；
(2) 分别以点B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于点A；
(3) 连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形.举一反三1. 如图4－4－3，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出( )
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个B2. 利用基本作图不可作的等腰三角形是( )
A. 已知底边及底边上的高
B. 已知底边及顶角
C. 已知底边上的高及腰
D. 已知两底角D3. 用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是( )
A. 作一个角等于已知角
B. 作已知直线的垂线
C. 作一条线段等于已知线段
D. 作角的平分线C1. (3分)如图KT4－4－1，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD.若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝( )
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°A2. (3分)如图KT4－4－2所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )
A. SAS B. SSS C. AAS D. ASAB4. (3分)如图KT4－4－3，已知∠AOB，按照以下步骤画图：(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
(3)作射线OC. 则判断△OMC≌△ONC的依据是( )
A. SAS B. SSS
C. ASA D. AASB7. (6分)如图KT4－4－4①所示，已知线段a，用尺规作出△ABC如图KT4－4－4②，使AB＝a，BC＝AC＝2a.
作法：(1)作一条线段AB＝ ；
(2)分别以 、 为圆心，
以 为半径画弧，两弧
交于C点；
(3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形.a 点A 点B 2a的长8. (6分)如图KT4－4－5，已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b.(要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹)
已知：
求作：解：已知：∠α，线段a，b，
求作：△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AC＝b，
如答图4－4－1所示，△ABC即为所求作的三角形.课件19张PPT。第四章 三角形5 利用三角形全等测距离新知1 利用三角形全等测距离当两点间的距离无法直接测量时，就可以想办法构造两个全等的三角形，利用三角形全等测出未知的距离.
(1) 利用三角形全等测距离，实际上仅是三角形全等在生活中应用的一个方面；(2) 利用三角形全等解决实际问题的步骤：①先明确实际问题应用哪些知识来解决；②根据实际问题抽象出几何图形；③结合图形和题意分析已知条件，由“已知”想“可知”；④找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚.【例】某铁路施工队在建设铁路的过程中要打通一座小山，需要测量隧道AB的长，恰好山的周围是宽阔的平地 (如图4－5－6). 请你利用三角形全等的知识帮助测量人员测量出AB的长，简要说明测量的方法，画出测量方案，说明方案合理的理由.解析 根据图形，通过作辅助线，结合全等三角形的相关知识解答.
解 (1) 如图4－5－7，找个能同时看见A点和B点的C点，然后连接AC并延长至D，使DC＝AC；(2) 连接BC并延长至点E，使EC＝BC，测量DE的长度，即为AB的距离.
因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
所以△ACB≌△DCE (SAS).
所以AB＝DE.举一反三1. 如图4－5－8，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝100 m，则A，B两点间的距离( )
A. 大于100 m B. 等于100 m
C. 小于100 m D. 无法确定B2. 如图4－5－9，将两根等长钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A. 边边边
B. 边角边
C. 角边角
D. 角角边B3. 如图4－5－10，要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C，D，使CD＝BC，再在过D的垂线上取点E，使A，C，E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE＝AB. 测得DE的长就是A，B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是( )
A. SAS B. ASA
C. AAS D. SSSB1. (3分)小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，如图KT4－5－1①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带( )
A. ① B. ② C. ③ D. ①和②C2. (3分)要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图KT4－5－2所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件( )
A. SSS B. SAS
C. ASA D. AASB3. (3分)茗茗用同种材料制成的金属框架如图KT4－5－3所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24 cm，CF＝3 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为( )
A. 51 cm B. 48 cm C. 45 cm D. 54 cmC4. (3分)我国的纸伞工艺十分巧妙. 如图KT4－5－4，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动. 为了证明这个结论，我们的依据是( )
A. SSS B. SAS
C. AAS D. ASAA5. (3分)如图KT4－5－5所示，A，B在一水池的两侧，若BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，CD＝10 m，则水池宽AB＝ m.106. (3分)如图KT4－5－6是标准跷跷板的示意图，横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动. 如果∠OCA＝90°，∠CAO＝25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为 .50°7. (6分)如图KT4－5－7，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根
长度相等的小木条AB，CD的
中点连在一起，木条可以绕
中点O自由转动，这样只要
测量A，C的距离，就可以
知道玻璃容器的内径，
你知道其中的道理吗？请说明理由.8. (6分)小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，如图KT4－5－8.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？解：因为∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
所以∠DCP＝∠APB＝54°，
在△CPD和△PAB中，
∠CDP＝∠PBA，DC＝BP，∠DCP＝∠BPA，
所以△CPD≌△PAB(ASA)，
所以DP＝AB，
因为DB＝36，PB＝10，
所以AB＝DP＝BD－BP＝36－10＝26(m)，
答：楼高AB是26米.课件9张PPT。第四章 三角形本章中考真题演练1. (2015广安)下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( )D2. (2015长沙)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )A7. (2015桂林)如图4－J－1，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是( )
A. 110° B. 120° C. 130° D. 140°B8. (2015莆田)如图4－J－2，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的( )
A.AB＝CD B. EC＝BF
C. ∠A＝∠D D. AB＝BCA9. (2015贵阳)如图4－J－3，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( )
∠A＝∠C B. ∠D＝∠B
C. AD∥BC D. DF∥BEB10. (2015菏泽)将一副直角三角尺如图4－J－4放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为( )
A. 140° B. 160° C. 170° D. 150°B11. (2015义乌)如图4－J－5，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，
这样就有∠QAE＝∠PAE.
则说明这两个三角形全等的
依据是( )
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSSD12. (2015云南)如图4－J－6，∠B＝∠D，请添加一个条件 (不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由.解：添加∠BAC＝∠DAC. 理由如下：
在△ABC与△ADC中，
∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，
AC＝AC，
所以△ABC≌△ADC (AAS).