课件21张PPT。第五章 生活中的轴对称1 轴对称现象新知1 轴对称图形与轴对称(1) 轴对称图形.
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的两部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 (如图5－1－3).(2) 轴对称.
对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴. 两个图形的对应点 (即两个图形重合时互相重合的点) 叫做对称点 (如图5－1－4).【例1】下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )解析 根据轴对称图形的概念，A. 不是轴对称图形；B. 是轴对称图形；C. 不是轴对称图形；D. 不是轴对称图形.
答案 B
点拨 本题考查了轴对称图形的概念. 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.举一反三1. 下列图案中，是轴对称图形的是( )D2. 下列四个交通标志中，轴对称图形是( )C3. 下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )B新知2 轴对称图形与成轴对称的区别与联系(1) 区别：
①定义不同：成轴对称是指若一个图形沿某条直线能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴. 而轴对称图形是指若一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；
②对象不同：成轴对称的对象是两个图形，而轴对称图形的对象是一个图形；③意义不同：成轴对称指的是两个图形的位置关系，而轴对称图形指的是一个具有特殊形状的图形，即“成轴对称”是指关系，“轴对称图形”是指图形；
④对称轴的位置不同：成轴对称的对称轴一般都在两个图形之间，而轴对称图形的对称轴一定是过图形中某线段的直线.(2) 联系：
①它们的定义中都有沿某条直线折叠，使图形重合；
②如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，如果把轴对称图形的两部分当成两个图形，那么这两个图形成轴对称. 如图5－1－5，整个图形是轴对称图形，若将两个半圆分开看，半圆形1和半圆形2成轴对称.
【例2】画出图5－1－6中图形的对称轴，和其他同学比较一下，你们画的对称轴一样吗？解析 轴对称图形不同，对称轴的条数也不同.
解 如图5－1－7，④⑤分别只有一条对称轴，①③分别有两条对称轴，②有无数条对称轴.举一反三1. 如下图所示，右边图形与左边图形成轴对称的是 ( )D2. 下列选项的右边图形与左边图形成轴对称的是( )D3. 观察图中的各种图形，指出哪些图形放在一起可形成轴对称.解：根据轴对称图形的性质得出： (1) 和 (6)，(2) 和 (4)，(9) 和 (10) 形成轴对称图形1. (3分)下列图形中，是轴对称图形的是( )2. (3分)下列轴对称图形中，对称轴最少的是( )CD3. (3分)如图KT5－1－1中，轴对称图形有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个4. (3分)下列手机锁屏图案中，不是轴对称图形的是
( )BA5. (3分)下列四个图形中，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为3的图形是( )6. (3分)下图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是( )DA7. (6分)如图KT5－1－2，在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形.8. (6分)如图KT5－1－3，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.解：所补画的图形如答图5－1－1所示：课件11张PPT。第五章 生活中的轴对称2 探索轴对称的性质新知 轴对称的性质关于某条直线对称的图形是全等图形.
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
两个图形关于某条直线对称，那么它们的对应线段相等、对应角相等.两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.【例】如图5－2－3，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称.(1) 结合图形指出对称点；
(2) 连接AA′，直线m与线段AA′
有什么关系？
(3) 延长线段AC与A′C′，它们的
交点与直线m有怎样的关系？
其他对应线段(或其延长线)的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流.解析 本题考查轴对称图形的性质，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形. 折痕所在的这条直线叫做对称轴.
解 (1) 对称点有A和A′，B和B′，C和C′；
(2) 连接AA′，直线m是线段AA′的垂直平分线；
(3) 延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线m上. 即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上.举一反三1. 如图5－2－4，已知△ABC是一个轴对称图形，EF是它的对称轴，B与C是一对对应点，∠B＝50°，求∠BAF的大小.解：因为△ABC是一个轴对称图形，B与C是一对对应点，
所以∠C＝∠B＝50°(对称图形的对应角相等)，
同理，∠CAF＝∠BAF.
在△ABC中，∠C＋∠B＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－50°－50°＝80°.
所以∠BAF＝40°.2. 如图5－2－5，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E，F，若△PEF的周长等于20 cm，求MN的长.解：因为M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，
所以ME＝PE，NF＝PF.
所以MN＝ME＋EF＋FN＝PE＋EF＋PF＝△PEF的周长.
因为△PEF的周长等于20 cm，
所以MN＝20 cm.6. (3分)如图KT5－2－4，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为( )
A.4.5 cm B.5.5 cm
C.6.5 cm D.7 cmA7. (3分)如图KT5－2－5，∠A＝90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数.解：因为A点和E点关于BD对称，
所以∠ABD＝∠EBD，
即∠ABC＝2∠ABD＝2∠EBD.
又B点、C点关于DE对称，
所以∠DBE＝∠C，∠ABC＝2∠C.
因为∠A＝90°，所以∠ABC＋∠C＝2∠C＋∠C＝3∠C＝90°. 所以∠C＝30°.
所以∠ABC＝2∠C＝60°.8. (3分)如图KT5－2－6，两个四边形关于直线l对称，∠C＝90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数.解：因为两个四边形关于直线l对称，
所以四边形ABCD≌四边形FEHG，
所以a＝5 cm，b＝4 cm；
所以∠H＝∠C＝90°，
∠A＝∠F＝80°，
∠E＝∠B＝135°，
所以∠G＝360°－∠H－∠A－∠F＝55°.课件31张PPT。第五章 生活中的轴对称3 简单的轴对称图形新知1 等腰三角形是轴对称图形(1) 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
(2) 等腰三角形是轴对称图形.
(3) 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合 (也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
(4) 等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角).【例1】如图5－3－2，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.
(1) △ABD是等腰三角形吗？请说明理由；
(2) 若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
(3) 若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长.解析 (1) 根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；(2) 首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；(3) 将△ABC的周长转化为AB＋AC＋BC的长即可求得.
解 (1) △ABC是等腰三角形，
因为AB的垂直平分线MN交AC于点D，
所以DB＝DA，所以△ABD是等腰三角形；(2) 因为△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，
所以∠ABD＝∠A＝40°，
∠ABC＝∠C＝(180°－40°)÷2＝70°.
所以∠BDC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°；
(3) 因为AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，
所以AB＝2AE＝12.
因为△CBD的周长为20，所以AC＋BC＝20.
所以△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.举一反三1. 如图5－3－3，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，D是BC的中点. DE与DF有什么关系？为什么？解：DE＝DF.
因为 AB＝AC，BD＝CD，所以△ABC是等腰三角形.
又因为D是BC的中点，
所以AD是∠BAC的平分线 (三线合一).
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BED＝∠CFD，∠B＝∠C，BD＝CD，
所以△BDE≌△CDF. 所以DE＝DF.2. 已知：如图5－3－4，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，两条高BD与CE相交于点O. OB与OC相等吗？为什么？解：OB与OC相等.
因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB.
因为BD，CE是△ABC的两条高线，
所以∠DBC＝∠ECB.
所以OB＝OC.新知2 线段是轴对称图形(1) 线段的垂直平分线 (中垂线)：垂直于这条线段并且平分它的直线叫做这条线段的垂直平分线.
(2) 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.【例2】如图5－3－5，在△ABC中，AB＝3 cm，AC＝5 cm，DE垂直平分BC交AC于点D，交BC于点E，则△ABD的周长为 .解析 本题主要考查线段垂直平分线的性质. 因为DE垂直平分BC，所以BD＝DC. 因为AB＝3 cm，AC＝5 cm，所以△ABD的周长为AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝3＋5＝8 (cm).
答案 8 cm举一反三1. 如图5－3－6，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC 于点D，则△BDC的周长是
( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11C2. 如图5－3－7，已知在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，连接BE，AC＝10 cm，△ABE的周长为18 cm，求AB的长.解：因为DE是线段BC的垂直平分线，所以BE＝CE.
因为△ABE的周长为AB＋AE＋BE＝18 cm，
所以AB＋AE＋CE＝18 cm，即AB＋AC＝18 cm.
又因为AC＝10 cm，所以AB＝8 cm.3. 如图5－3－8，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 请说明∠CBE＝∠BAD的理由.解：因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
所以∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD.
所以∠CBE＝∠BAD.新知3 角是轴对称图形(1) 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
(2) 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.例3】如图5－3－9，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
(1) 若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是多少？
(2) 若BC＝40，BD∶CD＝5∶3，则点D到AB的距离是多少？解析 (1) 可考虑作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE＝CD，又CD＝BC－BD，则DE可求；(2) 由 (1) 可得BD＋ED＝BC，列方程求解.
解 (1) 过点D作DE⊥AB于点E.
因为AD平分∠BAC，DC⊥AC，
所以DE＝DC＝BC－BD＝8－5＝3.
(2) 由 (1) 易得DE＝CD＝BC－BD，
设BD＝5k，则CD＝3k. 所以DE＝CD＝3k.
所以3k＝40－5k，解得k＝5.
所以CD＝15. 所以DE＝15.举一反三1. 如图5－3－10，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D， DE⊥AB，垂足为点E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为( )
A. 4 cm B. 6 cm
C. 8 cm D. 10 cmB2. 如图5－3－11，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB＝a，CD＝m，则AC的长为( )
A. 2m B. a－m C. a D. a＋mB3. 如图5－3－12，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6A1. (3分)如图KT5－3－1，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( )
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4C2. (3分)如图KT5－3－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝ BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24C3. (3分)如图KT5－3－3，Rt△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是( )
A. BD＋ED＝BC
B. DE平分∠ADB
C. AD平分∠EDC
D. ED＋AC＞ADB4. (3分)如图KT5－3－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E.当∠B＝30°时，图中不一定相等的线段有( )
A. AC＝AE＝BE
B. AD＝BD
C. AC＝BD
D. CD＝DEC5. 如图KT5－3－5，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长AC到D，使CD＝BC，点P是∠ABD和∠ADB的平分线的交点，则∠BPD的度数是( )
A. 105° B. 110° C. 130° D. 145°B6. (3分)如图KT5－3－6，△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数是( )
A. 22.5° B. 30° C. 36° D. 45°C7. (6分)如图KT5－3－7，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点F. AF与∠BAC有什么关系？请说明理由.解：AF平分∠BAC. 理由如下：
因为AB＝AC(已知)，
所以∠ABC＝∠ACB(等边对等角).
因为BD⊥AC，CE⊥AB，
所以∠CEB＝∠BDC＝90°.
所以∠ECB＝90°－∠ABC，∠DBC＝90°－∠ACB.
所以∠ECB＝∠DBC(等量代换).
所以FB＝FC(等角对等边)，
在△ABF和△ACF中，AB＝AC，AF＝AF，FB＝FC，
所以△ABF≌△ACF(SSS)，
所以∠BAF＝∠CAF(全等三角形对应角相等)，
所以AF平分∠BAC.8. (6分)如图KT5－3－8，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC的延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交底BC于G.GD与GE相等吗？为什么？解：GD与GE相等. 理由如下：
过E作EF∥AB交BC的延长线于F.
因为AB＝AC，
所以∠B＝∠ACB，
因为EF∥AB，
所以∠F＝∠B，
因为∠ACB＝∠FCE，
所以∠F＝∠FCE，所以CE＝EF.
因为BD＝CE，所以BD＝EF，
在△DBG与△GEF中，
∠DGB＝∠EGF，∠B＝∠F，BD＝FE，
所以△DGB≌△EGF(AAS)，所以GD＝GE.课件22张PPT。第五章 生活中的轴对称本章中考真题演练1. (2015天津)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )A2. (2015常州)下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中，为轴对称图形的是( )B3. (2015日照)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )D4. (2015鞍山)下列图形不是轴对称图形的是( ) B5. (2015重庆)下列图形是轴对称图形的是( ) B6. (2015绵阳)下列轴对称图形中，对称轴条数是四条的图形是( )A7. (2015凤山)下列图形中对称轴只有两条的是( ) C8. (2015黔南州)如图5－J－1，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A. 转化思想
B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的一个外角大于与它
不相邻的任意一个内角D9. (2015毕节)如图5－J－2，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处.若∠B＝65°，则∠BDF等于( )
A. 65° B. 50°
C. 60° D. 57.5°B12. (2015茂名)如图5－J－3，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3A13. (2015丹东)如图5－J－4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为( )
15° B. 17.5° C. 20° D. 22.5°A14. (2015南宁)如图5－J－5，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°A15. (2015内江)如图5－J－6，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E. 若∠E＝35°，则∠BAC的度数为( )
A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°A16. (2015德阳)如图5－J－7，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝( )
A. 150° B. 160° C. 130° D. 60°A17. (2015湘西州)如图5－J－8，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )
A. 36° B. 60° C. 72° D. 108°C18. (2015遂宁)如图5－J－9，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为( )
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cmC19. (2015苏州)如图5－J－10，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，∠C的度数为
( )
A. 35° B. 45° C. 55° D. 60°C20. (2015广西)如图5－J－11，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE＝( )
A. 80° B. 60° C. 50° D. 40°D21. (2015安徽)如图5－J－12，在边长为1单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点式网格线的交点).(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C2B2.解：(1) 如答图5－J－1所示. △A1B1C1即为所求；
(2) 如答图5－J－1所示. △A2B2C2即为所求.
