10.1.1平方根 课件（共34张PPT）
文档属性
| 名称 | 10.1.1平方根 课件（共34张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 11:42:50 | ||
图片预览
文档简介
(共34张PPT)
10.1 .1.平方根
第10章 数的开方
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
10.1.1 平方根教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述平方根的定义、表示方法和性质；熟练掌握求一个非负数的平方根的方法，理解平方根与算术平方根的区别与联系；能够运用平方根的知识解决简单的实际问题和数学问题，如方程求解、几何图形的边长计算等。
过程与方法目标：通过实际问题情境引入，让学生经历从实际问题抽象出平方根概念的过程，培养学生的数学抽象能力；在探究平方根性质和计算方法的过程中，提高学生的逻辑推理能力和运算能力；引导学生体会类比、转化等数学思想方法在数学学习中的应用。
情感态度与价值观目标：激发学生对平方根知识的学习兴趣，感受数学与生活的紧密联系；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解平方根的概念和性质，熟练掌握求一个数的平方根的方法；准确区分平方根与算术平方根的概念，这是本节课的核心知识，也是后续学习立方根、实数等知识的重要基础。
教学难点：理解平方根的性质，尤其是一个正数有两个平方根且它们互为相反数；在实际问题和复杂的数学运算中，正确运用平方根的知识进行计算和求解，这对学生的抽象思维和运算能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解平方根的定义、性质、表示方法等基础知识，确保学生理解核心概念和关键要点。
探究法：引导学生通过实际问题和具体例子，自主探究平方根的概念和性质，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示平方根的计算方法和应用技巧，让学生掌握解题思路和步骤。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨平方根相关问题，互相交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
直观演示法：利用多媒体课件、数轴等直观教具，动态展示平方根的概念和性质，帮助学生直观理解抽象的数学知识，增强教学的直观性和趣味性。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
提出问题：教师展示实际问题：“学校要修建一个面积为\(25\)平方米的正方形花坛，那么这个花坛的边长应该是多少米？” 引导学生思考并列出方程\(x^{2}=25\)，让学生尝试求解\(x\)的值，激发学生的学习兴趣和探索欲望。
引入课题：教师指出，像这样已知一个数的平方，求这个数的问题，在数学中需要用到平方根的知识，从而引出本节课的课题 ——10.1.1 平方根。
（二）新课讲授
平方根的概念（15 分钟）
探究实例：教师引导学生继续分析上述方程\(x^{2}=25\)，除了\(x = 5\)满足方程外，\(x = - 5\)也满足方程。然后让学生思考还有哪些类似的例子，如\(x^{2}=9\)，\(x\)的值可以是\(3\)或\(-3\)。
给出定义：教师给出平方根的定义：如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的平方根或二次方根。例如，\(5\)和\(-5\)是\(25\)的平方根，\(3\)和\(-3\)是\(9\)的平方根。
表示方法：教师讲解平方根的表示方法，正数\(a\)的平方根用符号 “\(\pm\sqrt{a}\)” 表示，读作 “正、负根号\(a\)”，其中\(\sqrt{a}\)表示\(a\)的正平方根（算术平方根），\(-\sqrt{a}\)表示\(a\)的负平方根。例如，\(25\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{25}=\pm5\) 。
特殊情况：教师强调\(0\)的平方根是\(0\)，即\(\pm\sqrt{0}=0\)；负数没有平方根，因为任何数的平方都不可能是负数。
平方根的性质（15 分钟）
小组讨论：教师组织学生进行小组讨论，让学生观察不同数的平方根，总结平方根的性质。引导学生从正数、\(0\)、负数三个方面进行分析。
总结性质：教师请小组代表发言，然后进行总结归纳：
正数有两个平方根，它们互为相反数；
\(0\)的平方根是\(0\)；
负数没有平方根。
深入理解：教师通过具体例子帮助学生深入理解平方根的性质，如\(16\)的平方根是\(\pm\sqrt{16}=\pm4\)，\(4\)和\(-4\)互为相反数；再次强调负数如\(-9\)，不存在任何实数\(x\)使得\(x^{2}=-9\)，所以\(-9\)没有平方根。
平方根的计算（20 分钟）
例题讲解：
例 1：求下列各数的平方根：
① \(36\)；② \(\frac{16}{25}\)；③ \(0.09\)。
分析：教师引导学生根据平方根的定义进行求解。对于\(36\)，因为\((\pm6)^{2}=36\)，所以\(36\)的平方根是\(\pm6\)，即\(\pm\sqrt{36}=\pm6\)；对于\(\frac{16}{25}\)，因为\((\pm\frac{4}{5})^{2}=\frac{16}{25}\)，所以\(\frac{16}{25}\)的平方根是\(\pm\frac{4}{5}\)，即\(\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac{4}{5}\)；对于\(0.09\)，因为\((\pm0.3)^{2}=0.09\)，所以\(0.09\)的平方根是\(\pm0.3\)，即\(\pm\sqrt{0.09}=\pm0.3\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调解题步骤的规范性和逻辑性。
例 2：求下列各式的值：
① \(\sqrt{49}\)；② \(-\sqrt{0.16}\)；③ \(\pm\sqrt{\frac{9}{121}}\)。
分析：教师引导学生区分平方根和算术平方根的概念。\(\sqrt{49}\)表示\(49\)的算术平方根，因为\(7^{2}=49\)，所以\(\sqrt{49}=7\)；\(-\sqrt{0.16}\)表示\(0.16\)的负平方根，因为\(0.4^{2}=0.16\)，所以\(-\sqrt{0.16}=-0.4\)；\(\pm\sqrt{\frac{9}{121}}\)表示\(\frac{9}{121}\)的平方根，因为\((\pm\frac{3}{11})^{2}=\frac{9}{121}\)，所以\(\pm\sqrt{\frac{9}{121}}=\pm\frac{3}{11}\)。教师强调在计算时要准确判断是求平方根还是算术平方根，注意符号的处理。
练习巩固：
出示练习题：
① 求下列各数的平方根：\(49\)，\(0.0081\)，\(\frac{25}{36}\)。
② 求下列各式的值：\(\sqrt{81}\)，\(-\sqrt{1.44}\)，\(\pm\sqrt{\frac{1}{16}}\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调计算过程中的要点和注意事项，如符号的确定、计算的准确性等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下列说法正确的是（ ）
A. \( - 4\)的平方根是\(\pm2\)
B. \(0\)没有平方根
C. 平方根等于本身的数是\(0\)和\(1\)
D. \(1\)的平方根是\(\pm1\)
若一个数的平方根是\(\pm8\)，则这个数的立方是______。
求下列各式中\(x\)的值：
\(x^{2}=121\)；
\(4x^{2}=25\)；
\((x - 1)^{2}=9\)。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对平方根概念、性质和计算方法的理解和收获。
教师进行系统总结：强调平方根的定义、表示方法和性质，再次明确平方根与算术平方根的区别；总结在求平方根和计算过程中的常见错误和注意事项；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握平方根的知识，为后续学习打下坚实的基础。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固平方根的基础知识和计算方法。
选做题：已知\(2a - 1\)的平方根是\(\pm3\)，\(3a + b - 1\)的平方根是\(\pm4\)，求\(a + 2b\)的平方根。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕平方根知识设计教学流程。你若对教学情境、探究活动、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们一起优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一个数的平方根、算术平方根；
2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些非负数的算术平方根；
问题1：已知一幅正方形的油画的面积是36cm2，这幅油画的边长是多少？
( )2=25.
6
问题2：若正方形的面积如下，请填表：
正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36
正方形的边长/cm
1
2
3
4
5
6
思考：你能发现问题1与问题2有哪些共同的点吗？
上述问题的实质都是已知一个正数的平方，求这个正数.
知识点一 平方根的概念
概括
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
在问题1中，因为62=36，所以6是36的平方根.
36的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于36？
又因为(-6)2=36，所以-6也是36的一个平方根.
根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来求一个数的平方根.
因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3.
求法
根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.
1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
试一试
试
一
试
（1）144的平方根是什么？
（2）0的平方根是什么？
（3）-4有没有平方根？为什么？
±12
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
通过这些题目的解答，你能发现什么？
思考：正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
平方根的性质：
例1.求下列各数的平方根：
（1） ； （2）0.36； （3）324.
解：（1）因为 ，所以 ，因此 的平方根为 .
（2）因为(0.6)2=0.36，所以 ，因此0.36的平方根为 .
（3）因为(18)2=324，所以 ，因此324的平方根为 .
例1 . 求下列各数的平方根：
（1）81；（2） ； （3） ； （4）0.49;
解：(1)∵ (±9)2=81，
（2）
的平方根是 ，
（3）
的平方根是 ，
(4)∵(±0.7)2=0.49，
∴0.49的平方根为±0.7．
∴81的平方根为±9．
知识点二 算术平方根的概念
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个.
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即 .因此，正数a的平方根可以记作 ，其中a称为被开方数.
特殊：0的算术平方根是0. 记作 .
根号
被开方数
（a是非负数，a 0）
≥
典例精析
【例2】若|x|=5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（ ）
A．8 B．-8 C．-2 D．-2或8
【详解】解：∵|x|=5，y是9的算术平方根，
∴x=±5，y=3
∴x+y=8或x+y=-2，
故选D．
练一练
1．若x，y为实数，且满足=0，则的算术平方根为（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【详解】解：=0 ，
x-1=0，y-15=0，
x=1，y=15，
x+y=16，
∴=4，
的算术平方根为2，
故选C．
知识点三 开平方运算
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.
平方与开平方有什么关系？
平方与开平方互为逆运算
典例精析
【例3】将下列各数开平方：
（1）49；
（2） .
解：（1）因为72=49，所以 ，因此49的平方根为
.
（2）因为 ，所以 ，因此 的平方根为
知识点四 用计算器求算术平方根
例4 用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）．
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.
解：(1）在计算器上依次键入： ，
显示结果为23,所以529的算术平方根为：
5
2
9
=
4
4
.
8
1
=
（2）在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718 ，要求精确到0.01，可得
6.69
1．若2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根，则m为（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【详解】解：∵2m-4与3m-1是同一个数的两个不同的平方根，
∴2m-3+3m-1=0，
∴m=1，
故选：D．
1. ［2025成都双流区期中］ 的算术平方根是( )
A. 4 B. C. 2 D.
2. 一个数的平方根与它本身相等，这个数是( )
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
√
√
返回
3. 用计算器求 的值，按键顺序为( )
A.
B.
C.
D.
√
返回
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【点拨】A. ，故本选项运算错误，不
符合题意；B. ，故本选项运算错误，不符
合题意；C. ，故本选项运算正确，符合题意；D.
，故本选项运算错误，不符合题意.
√
返回
5. 和 是一个正数的两个平方根，则这个正数
为( )
A. 4 B. 64 C. 4或8 D. 4或64
【点拨】和 是一个正数的两个平方根，
，解得 .
， 这个正数是64.
√
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它
们的和为零.
返回
6. 如图，，，均为正方形，若 的面积
为10，的面积为1，则 的边长可以是_________________.
（写出一个即可）
2（答案不唯一）
返回
7.已知的算术平方根是3，， 满足
.
（1）求，， 的值；
【解】的算术平方根是3， ，
，满足 ，
，， .
（2）求 的平方根.
由（1）可知，， ，
， 的平方根
是 .
返回
8. 若与 的和是单项式，则
的平方根为( )
A. 4 B. 8 C. D.
9. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算
微观粒子的能量.已知某微观粒子的能量 可以用公式
表示，当，时，该微观粒子的能量
的值在( )
A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间
√
√
返回
10. 观察下列等式：
；
；
；
…
则 的值为____.
【点拨】因为 ，
， ，
所以 ，
，
， ，
.所以 .
返回
本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？
1.平方根的概念:
一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根.
2.平方根的性质:
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.
0的平方根还是0.
负数没有平方根.
3.平方根的表示法:
4.算术平方根的概念:
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
谢谢观看！
10.1 .1.平方根
第10章 数的开方
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
10.1.1 平方根教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述平方根的定义、表示方法和性质；熟练掌握求一个非负数的平方根的方法，理解平方根与算术平方根的区别与联系；能够运用平方根的知识解决简单的实际问题和数学问题，如方程求解、几何图形的边长计算等。
过程与方法目标：通过实际问题情境引入，让学生经历从实际问题抽象出平方根概念的过程，培养学生的数学抽象能力；在探究平方根性质和计算方法的过程中，提高学生的逻辑推理能力和运算能力；引导学生体会类比、转化等数学思想方法在数学学习中的应用。
情感态度与价值观目标：激发学生对平方根知识的学习兴趣，感受数学与生活的紧密联系；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解平方根的概念和性质，熟练掌握求一个数的平方根的方法；准确区分平方根与算术平方根的概念，这是本节课的核心知识，也是后续学习立方根、实数等知识的重要基础。
教学难点：理解平方根的性质，尤其是一个正数有两个平方根且它们互为相反数；在实际问题和复杂的数学运算中，正确运用平方根的知识进行计算和求解，这对学生的抽象思维和运算能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解平方根的定义、性质、表示方法等基础知识，确保学生理解核心概念和关键要点。
探究法：引导学生通过实际问题和具体例子，自主探究平方根的概念和性质，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示平方根的计算方法和应用技巧，让学生掌握解题思路和步骤。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨平方根相关问题，互相交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
直观演示法：利用多媒体课件、数轴等直观教具，动态展示平方根的概念和性质，帮助学生直观理解抽象的数学知识，增强教学的直观性和趣味性。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
提出问题：教师展示实际问题：“学校要修建一个面积为\(25\)平方米的正方形花坛，那么这个花坛的边长应该是多少米？” 引导学生思考并列出方程\(x^{2}=25\)，让学生尝试求解\(x\)的值，激发学生的学习兴趣和探索欲望。
引入课题：教师指出，像这样已知一个数的平方，求这个数的问题，在数学中需要用到平方根的知识，从而引出本节课的课题 ——10.1.1 平方根。
（二）新课讲授
平方根的概念（15 分钟）
探究实例：教师引导学生继续分析上述方程\(x^{2}=25\)，除了\(x = 5\)满足方程外，\(x = - 5\)也满足方程。然后让学生思考还有哪些类似的例子，如\(x^{2}=9\)，\(x\)的值可以是\(3\)或\(-3\)。
给出定义：教师给出平方根的定义：如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的平方根或二次方根。例如，\(5\)和\(-5\)是\(25\)的平方根，\(3\)和\(-3\)是\(9\)的平方根。
表示方法：教师讲解平方根的表示方法，正数\(a\)的平方根用符号 “\(\pm\sqrt{a}\)” 表示，读作 “正、负根号\(a\)”，其中\(\sqrt{a}\)表示\(a\)的正平方根（算术平方根），\(-\sqrt{a}\)表示\(a\)的负平方根。例如，\(25\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{25}=\pm5\) 。
特殊情况：教师强调\(0\)的平方根是\(0\)，即\(\pm\sqrt{0}=0\)；负数没有平方根，因为任何数的平方都不可能是负数。
平方根的性质（15 分钟）
小组讨论：教师组织学生进行小组讨论，让学生观察不同数的平方根，总结平方根的性质。引导学生从正数、\(0\)、负数三个方面进行分析。
总结性质：教师请小组代表发言，然后进行总结归纳：
正数有两个平方根，它们互为相反数；
\(0\)的平方根是\(0\)；
负数没有平方根。
深入理解：教师通过具体例子帮助学生深入理解平方根的性质，如\(16\)的平方根是\(\pm\sqrt{16}=\pm4\)，\(4\)和\(-4\)互为相反数；再次强调负数如\(-9\)，不存在任何实数\(x\)使得\(x^{2}=-9\)，所以\(-9\)没有平方根。
平方根的计算（20 分钟）
例题讲解：
例 1：求下列各数的平方根：
① \(36\)；② \(\frac{16}{25}\)；③ \(0.09\)。
分析：教师引导学生根据平方根的定义进行求解。对于\(36\)，因为\((\pm6)^{2}=36\)，所以\(36\)的平方根是\(\pm6\)，即\(\pm\sqrt{36}=\pm6\)；对于\(\frac{16}{25}\)，因为\((\pm\frac{4}{5})^{2}=\frac{16}{25}\)，所以\(\frac{16}{25}\)的平方根是\(\pm\frac{4}{5}\)，即\(\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac{4}{5}\)；对于\(0.09\)，因为\((\pm0.3)^{2}=0.09\)，所以\(0.09\)的平方根是\(\pm0.3\)，即\(\pm\sqrt{0.09}=\pm0.3\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调解题步骤的规范性和逻辑性。
例 2：求下列各式的值：
① \(\sqrt{49}\)；② \(-\sqrt{0.16}\)；③ \(\pm\sqrt{\frac{9}{121}}\)。
分析：教师引导学生区分平方根和算术平方根的概念。\(\sqrt{49}\)表示\(49\)的算术平方根，因为\(7^{2}=49\)，所以\(\sqrt{49}=7\)；\(-\sqrt{0.16}\)表示\(0.16\)的负平方根，因为\(0.4^{2}=0.16\)，所以\(-\sqrt{0.16}=-0.4\)；\(\pm\sqrt{\frac{9}{121}}\)表示\(\frac{9}{121}\)的平方根，因为\((\pm\frac{3}{11})^{2}=\frac{9}{121}\)，所以\(\pm\sqrt{\frac{9}{121}}=\pm\frac{3}{11}\)。教师强调在计算时要准确判断是求平方根还是算术平方根，注意符号的处理。
练习巩固：
出示练习题：
① 求下列各数的平方根：\(49\)，\(0.0081\)，\(\frac{25}{36}\)。
② 求下列各式的值：\(\sqrt{81}\)，\(-\sqrt{1.44}\)，\(\pm\sqrt{\frac{1}{16}}\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调计算过程中的要点和注意事项，如符号的确定、计算的准确性等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下列说法正确的是（ ）
A. \( - 4\)的平方根是\(\pm2\)
B. \(0\)没有平方根
C. 平方根等于本身的数是\(0\)和\(1\)
D. \(1\)的平方根是\(\pm1\)
若一个数的平方根是\(\pm8\)，则这个数的立方是______。
求下列各式中\(x\)的值：
\(x^{2}=121\)；
\(4x^{2}=25\)；
\((x - 1)^{2}=9\)。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对平方根概念、性质和计算方法的理解和收获。
教师进行系统总结：强调平方根的定义、表示方法和性质，再次明确平方根与算术平方根的区别；总结在求平方根和计算过程中的常见错误和注意事项；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握平方根的知识，为后续学习打下坚实的基础。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固平方根的基础知识和计算方法。
选做题：已知\(2a - 1\)的平方根是\(\pm3\)，\(3a + b - 1\)的平方根是\(\pm4\)，求\(a + 2b\)的平方根。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕平方根知识设计教学流程。你若对教学情境、探究活动、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们一起优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一个数的平方根、算术平方根；
2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些非负数的算术平方根；
问题1：已知一幅正方形的油画的面积是36cm2，这幅油画的边长是多少？
( )2=25.
6
问题2：若正方形的面积如下，请填表：
正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36
正方形的边长/cm
1
2
3
4
5
6
思考：你能发现问题1与问题2有哪些共同的点吗？
上述问题的实质都是已知一个正数的平方，求这个正数.
知识点一 平方根的概念
概括
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
在问题1中，因为62=36，所以6是36的平方根.
36的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于36？
又因为(-6)2=36，所以-6也是36的一个平方根.
根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来求一个数的平方根.
因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3.
求法
根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.
1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
试一试
试
一
试
（1）144的平方根是什么？
（2）0的平方根是什么？
（3）-4有没有平方根？为什么？
±12
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
通过这些题目的解答，你能发现什么？
思考：正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
平方根的性质：
例1.求下列各数的平方根：
（1） ； （2）0.36； （3）324.
解：（1）因为 ，所以 ，因此 的平方根为 .
（2）因为(0.6)2=0.36，所以 ，因此0.36的平方根为 .
（3）因为(18)2=324，所以 ，因此324的平方根为 .
例1 . 求下列各数的平方根：
（1）81；（2） ； （3） ； （4）0.49;
解：(1)∵ (±9)2=81，
（2）
的平方根是 ，
（3）
的平方根是 ，
(4)∵(±0.7)2=0.49，
∴0.49的平方根为±0.7．
∴81的平方根为±9．
知识点二 算术平方根的概念
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个.
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即 .因此，正数a的平方根可以记作 ，其中a称为被开方数.
特殊：0的算术平方根是0. 记作 .
根号
被开方数
（a是非负数，a 0）
≥
典例精析
【例2】若|x|=5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（ ）
A．8 B．-8 C．-2 D．-2或8
【详解】解：∵|x|=5，y是9的算术平方根，
∴x=±5，y=3
∴x+y=8或x+y=-2，
故选D．
练一练
1．若x，y为实数，且满足=0，则的算术平方根为（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【详解】解：=0 ，
x-1=0，y-15=0，
x=1，y=15，
x+y=16，
∴=4，
的算术平方根为2，
故选C．
知识点三 开平方运算
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.
平方与开平方有什么关系？
平方与开平方互为逆运算
典例精析
【例3】将下列各数开平方：
（1）49；
（2） .
解：（1）因为72=49，所以 ，因此49的平方根为
.
（2）因为 ，所以 ，因此 的平方根为
知识点四 用计算器求算术平方根
例4 用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）．
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.
解：(1）在计算器上依次键入： ，
显示结果为23,所以529的算术平方根为：
5
2
9
=
4
4
.
8
1
=
（2）在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718 ，要求精确到0.01，可得
6.69
1．若2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根，则m为（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【详解】解：∵2m-4与3m-1是同一个数的两个不同的平方根，
∴2m-3+3m-1=0，
∴m=1，
故选：D．
1. ［2025成都双流区期中］ 的算术平方根是( )
A. 4 B. C. 2 D.
2. 一个数的平方根与它本身相等，这个数是( )
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
√
√
返回
3. 用计算器求 的值，按键顺序为( )
A.
B.
C.
D.
√
返回
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【点拨】A. ，故本选项运算错误，不
符合题意；B. ，故本选项运算错误，不符
合题意；C. ，故本选项运算正确，符合题意；D.
，故本选项运算错误，不符合题意.
√
返回
5. 和 是一个正数的两个平方根，则这个正数
为( )
A. 4 B. 64 C. 4或8 D. 4或64
【点拨】和 是一个正数的两个平方根，
，解得 .
， 这个正数是64.
√
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它
们的和为零.
返回
6. 如图，，，均为正方形，若 的面积
为10，的面积为1，则 的边长可以是_________________.
（写出一个即可）
2（答案不唯一）
返回
7.已知的算术平方根是3，， 满足
.
（1）求，， 的值；
【解】的算术平方根是3， ，
，满足 ，
，， .
（2）求 的平方根.
由（1）可知，， ，
， 的平方根
是 .
返回
8. 若与 的和是单项式，则
的平方根为( )
A. 4 B. 8 C. D.
9. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算
微观粒子的能量.已知某微观粒子的能量 可以用公式
表示，当，时，该微观粒子的能量
的值在( )
A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间
√
√
返回
10. 观察下列等式：
；
；
；
…
则 的值为____.
【点拨】因为 ，
， ，
所以 ，
，
， ，
.所以 .
返回
本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？
1.平方根的概念:
一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根.
2.平方根的性质:
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.
0的平方根还是0.
负数没有平方根.
3.平方根的表示法:
4.算术平方根的概念:
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
谢谢观看！