10.1.2 立方根 课件(共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 10.1.2 立方根 课件(共29张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 12:11:14 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
10.1 .2 立方根
第10章 数的开方
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
10.1.2 立方根教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够清晰阐述立方根的定义、表示方法和性质；熟练掌握求一个数的立方根的方法，理解立方根与平方根的区别与联系；能够运用立方根的知识解决简单的实际问题和数学问题，如方程求解、体积计算等。
过程与方法目标：通过实际问题情境创设，让学生经历从实际问题抽象出立方根概念的过程，培养学生的数学抽象能力；在探究立方根性质和计算方法的过程中，提升学生的逻辑推理能力和运算能力；引导学生体会类比、归纳等数学思想方法在数学学习中的应用，促进知识迁移。
情感态度与价值观目标：激发学生对立方根知识的学习兴趣，感受数学知识的系统性和连贯性；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极的学习氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解立方根的概念和性质，熟练掌握求一个数的立方根的方法；准确区分立方根与平方根的概念、性质及运算特点，这是本节课的核心知识，对完善学生数的开方知识体系至关重要。
教学难点：理解立方根的唯一性，尤其是负数有立方根且为负数这一性质；在复杂的数学运算和实际问题中，灵活运用立方根的知识进行计算和求解，这对学生的抽象思维和综合应用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解立方根的定义、性质、表示方法等基础知识，确保学生理解核心概念和关键要点，清晰把握知识脉络。
探究法：引导学生通过实际问题和具体例子，自主探究立方根的概念和性质，培养学生的自主学习能力和探究精神，让学生主动建构知识。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示立方根的计算方法和应用技巧，让学生掌握解题思路和步骤，提高解题能力。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨立方根相关问题，互相交流学习经验，促进学生思维的碰撞与提升，培养团队协作能力。
直观演示法：利用多媒体课件、几何模型等直观教具，动态展示立方根的概念和性质，帮助学生直观理解抽象的数学知识，增强教学的直观性和趣味性，降低学习难度。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
提出问题：教师展示实际问题：“一个正方体的体积是\(27cm^3\)，那么这个正方体的棱长是多少厘米？” 引导学生思考并列出方程\(x^3 = 27\)，让学生尝试求解\(x\)的值，引发学生对新知识的好奇心和探索欲望。
引入课题：教师指出，像这样已知一个数的立方，求这个数的问题，在数学中需要用到立方根的知识，从而引出本节课的课题 ——10.1.2 立方根。
（二）新课讲授
立方根的概念（15 分钟）
探究实例：教师引导学生继续分析上述方程\(x^3 = 27\)，学生容易得出\(x = 3\)满足方程。然后让学生思考其他类似的例子，如\(x^3 = 8\)，\(x\)的值为\(2\)；\(x^3 = -8\)，\(x\)的值为\(-2\)。
给出定义：教师给出立方根的定义：如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的立方根或三次方根。例如，\(3\)是\(27\)的立方根，\(2\)是\(8\)的立方根，\(-2\)是\(-8\)的立方根。
表示方法：教师讲解立方根的表示方法，数\(a\)的立方根用符号 “\(\sqrt[3]{a}\)” 表示，读作 “三次根号\(a\)”。例如，\(27\)的立方根表示为\(\sqrt[3]{27}=3\) 。
特殊情况：教师强调\(0\)的立方根是\(0\)，即\(\sqrt[3]{0}=0\)；任何实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
立方根的性质（15 分钟）
小组讨论：教师组织学生进行小组讨论，让学生观察不同数的立方根，总结立方根的性质。引导学生从正数、\(0\)、负数三个方面进行分析。
总结性质：教师请小组代表发言，然后进行总结归纳：
正数的立方根是正数；
\(0\)的立方根是\(0\)；
负数的立方根是负数，即任意实数都有唯一的立方根。
深入理解：教师通过具体例子帮助学生深入理解立方根的性质，如\(64\)的立方根是\(\sqrt[3]{64}=4\)，\(-125\)的立方根是\(\sqrt[3]{-125}=-5\)。通过对比平方根和立方根的性质，让学生明确两者的差异，如正数有两个平方根但只有一个立方根，负数没有平方根但有立方根等。
立方根的计算（20 分钟）
例题讲解：
例 1：求下列各数的立方根：
① \(125\)；② \(-\frac{8}{27}\)；③ \(0.001\)。
分析：教师引导学生根据立方根的定义进行求解。对于\(125\)，因为\(5^3 = 125\)，所以\(125\)的立方根是\(\sqrt[3]{125}=5\)；对于\(-\frac{8}{27}\)，因为\((-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}\)，所以\(-\frac{8}{27}\)的立方根是\(\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}\)；对于\(0.001\)，因为\(0.1^3 = 0.001\)，所以\(0.001\)的立方根是\(\sqrt[3]{0.001}=0.1\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调解题步骤的规范性和逻辑性。
例 2：求下列各式的值：
① \(\sqrt[3]{-216}\)；② \(-\sqrt[3]{0.064}\)；③ \(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)。
分析：教师引导学生根据立方根的性质进行计算。\(\sqrt[3]{-216}\)，因为\((-6)^3 = -216\)，所以\(\sqrt[3]{-216}=-6\)；\(-\sqrt[3]{0.064}\)，因为\(0.4^3 = 0.064\)，所以\(-\sqrt[3]{0.064}=-0.4\)；\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)，因为\((-\frac{1}{5})^3 = -\frac{1}{125}\)，所以\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}=-\frac{1}{5}\)。教师强调在计算时要准确判断数的正负性，注意符号的处理。
练习巩固：
出示练习题：
① 求下列各数的立方根：\(216\)，\(-1\)，\(\frac{1}{64}\)。
② 求下列各式的值：\(\sqrt[3]{-512}\)，\(-\sqrt[3]{343}\)，\(\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调计算过程中的要点和注意事项，如立方运算的准确性、符号的确定等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根与被开方数同号
若\(\sqrt[3]{x} = -2\)，则\(x =\)______。
求下列各式中\(x\)的值：
\(x^3 = 64\)；
\(8x^3 + 27 = 0\)；
\((x - 2)^3 = -125\)。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对立方根概念、性质和计算方法的理解和收获。
教师进行系统总结：强调立方根的定义、表示方法和性质，再次明确立方根与平方根的区别；总结在求立方根和计算过程中的常见错误和注意事项；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握立方根的知识，为后续学习实数等内容做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固立方根的基础知识和计算方法。
选做题：已知一个正方体的体积在数值上等于它的棱长的平方的\(4\)倍，求这个正方体的棱长。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕立方根知识进行设计。你若对教学环节安排、例题难度、互动形式等方面有新想法，欢迎提出，我们一同优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．掌握立方根的概念，学会对一个数进行开立方；
2．会用根号表示一个数的立方根；
3. 会使用计算器算立方根；
温故知新
1）
2）
正数a的平方根是：
正数a的算术平方根是：
3）
0的平方根是：
0的算术平方根是：
0
0
1.平方根的定义
2.我们把求平方根的运算称之为
开平方
开平方运算与乘方运算是
互逆运算
问题1
要做一只容积为125cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
思考：这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？
与“平方根”类似，试作一些讨论和研究.
解：设正方体的棱长为x cm，则
x3=125
这就是要求一个数，使它的立方等于125.
因为53=125，
所以x=5.
所以正方体的棱长为5 cm.
问题2
要做一只容积为10cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
思考：根据问题1的计算情况，这个正方体的棱长是多少呢？
知识点一 立方根的概念
概括
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记作
一个数a的立方根可以表示为：
根指数
被开方数
读作：三次根号a.
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
数a的立方根的表示方法：
数a的立方根，
读作“三次根号a”。
a称为被开方数，3称为根指数。
记作
试
一
试
（1）64的立方根是什么？
（2）-27的立方根是什么？
（3）0的立方根是什么
4
-3
0
所以
例1
求下列各数的立方根：
解：
(1) ; (2)-216; (3)-0.027
（1） 因为( )3= ，
所以
（2） 因为（ ）3＝－216，
（3）因为_______________________，
所以________________.
－6
－6
知识点二 立方根的性质
（1）27的立方根是什么？
（2）-27的立方根是什么？
（3）0的立方根是什么
3
-3
0
通过这些题目的解答，你能发现什么？
思考：正数有立方根吗？如果有，有几个？负数呢？零呢？
一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
探究
根据立方根的意义填空.
因为23=8，所以8的立方根是( )
因为( )3=0.125,所以0.125的立方根是( )
因为( )3＝－8，所以－8的立方根是( )
因为( )3 ＝ ，所以 的立方( )
2
-2
因为( )3 ＝0，所以0的立方根是( )
0
0
-2
被开方数 平方根 立方根
有两个互为相反数
有一个,是正数
无平方根
零
有一个,是负数
零
正数
负数
零
讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗
典例精析
【例2】已知，则的值为（ ）
A．5 B．-5 C．25 D．-25
【详解】∵，
∴=0，b-3=0
∴a=-125，b=3．
∴=-5
故选B．
知识点三 用计算器求一个数的立方根
例3、用计算器求下列各数的立方根：
（1）1331；
（2）9.263（精确到0.01）.
说明：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.
解：（1）在计算器上依次键入：
，
显示结果为11，所以
1
3
3
1
SHIFT
=
是键 的第二功能，启用第二功能，需先按 键.
SHIFT
解：（2）在计算器上依次键入：
，
显示结果为2.1001511606987 ，所以
9
.
2
6
SHIFT
3
=
（2）9.263（精确到0.01）.
1．立方根等于2的数是（ ）
A．8 B．4 C．±4 D．±8
【详解】解：∵23=8，
∴，
故选：A．
1. 下列说法正确的是( )
A. 的立方根是
B. 都是64的立方根
C. 27的立方根与9的平方根相同
D. 等于
√
返回
2. 利用计算器计算时，按
键 ，显示 ，
则按键
的计算结果约为（保留三位小数）( )
A. B. 144.225
C. 14.422 D. 1.442
√
返回
3. ［2025晋城期中］一个正方体由8个形状、大小完全相同
的小正方体组成.已知该几何体的体积为120（小正方体之间
的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长 的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
√
返回
4. 数轴上表示 的点一定在( )
A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段
5.计算： ___.
√
返回
6.若与是同类项，则 的立方根是
___.
2
【点拨】与 是同类项，
解得
的立方根是2.
返回
7. 我们规定：若一个实数的算术平方根等于它
的立方根，则称这样的实数为“最美实数”.若 是“最美
实数”，则 _____________；
或
【点拨】是“最美实数”， 或1，解得
或 .
返回
8.求下列各式中的 的值：
（1） ；
【解】，， .
（2） .
，，， .
返回
9.在做物理实验时，小明用一根细线将一个实心铁球拴住，
完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得排出的水
的体积为 .小明又将铁球从水中提起，量得烧杯中的
水位下降了 .请问烧杯内部的底面半径和铁球的半径各
是多少？（球的体积公式为， 为球的半径）
【解】设烧杯内部的底面半径为 ，
根据题意，得 ，所以 .
设铁球的半径为，根据题意，得 ，
解得 .
故烧杯内部的底面半径是，铁球的半径是 .
返回
10. ［2025天津和平区月考］若， 为实数，且
，则 的值为( )
A. B. 2 C. D. 3
11. 已知，则 的值为( )
A. 0或1 B. 0或2 C. 0或6 D. 0或2或6
【点拨】，.又 立方
根等于本身的数有0，，或 ，解得
或或， 的值为0或2.
√
√
返回
立方根的特征
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
任何一个数 a 都只有一个立方根
谢谢观看！
10.1 .2 立方根
第10章 数的开方
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
10.1.2 立方根教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够清晰阐述立方根的定义、表示方法和性质；熟练掌握求一个数的立方根的方法，理解立方根与平方根的区别与联系；能够运用立方根的知识解决简单的实际问题和数学问题，如方程求解、体积计算等。
过程与方法目标：通过实际问题情境创设，让学生经历从实际问题抽象出立方根概念的过程，培养学生的数学抽象能力；在探究立方根性质和计算方法的过程中，提升学生的逻辑推理能力和运算能力；引导学生体会类比、归纳等数学思想方法在数学学习中的应用，促进知识迁移。
情感态度与价值观目标：激发学生对立方根知识的学习兴趣，感受数学知识的系统性和连贯性；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极的学习氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解立方根的概念和性质，熟练掌握求一个数的立方根的方法；准确区分立方根与平方根的概念、性质及运算特点，这是本节课的核心知识，对完善学生数的开方知识体系至关重要。
教学难点：理解立方根的唯一性，尤其是负数有立方根且为负数这一性质；在复杂的数学运算和实际问题中，灵活运用立方根的知识进行计算和求解，这对学生的抽象思维和综合应用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解立方根的定义、性质、表示方法等基础知识，确保学生理解核心概念和关键要点，清晰把握知识脉络。
探究法：引导学生通过实际问题和具体例子，自主探究立方根的概念和性质，培养学生的自主学习能力和探究精神，让学生主动建构知识。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示立方根的计算方法和应用技巧，让学生掌握解题思路和步骤，提高解题能力。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨立方根相关问题，互相交流学习经验，促进学生思维的碰撞与提升，培养团队协作能力。
直观演示法：利用多媒体课件、几何模型等直观教具，动态展示立方根的概念和性质，帮助学生直观理解抽象的数学知识，增强教学的直观性和趣味性，降低学习难度。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
提出问题：教师展示实际问题：“一个正方体的体积是\(27cm^3\)，那么这个正方体的棱长是多少厘米？” 引导学生思考并列出方程\(x^3 = 27\)，让学生尝试求解\(x\)的值，引发学生对新知识的好奇心和探索欲望。
引入课题：教师指出，像这样已知一个数的立方，求这个数的问题，在数学中需要用到立方根的知识，从而引出本节课的课题 ——10.1.2 立方根。
（二）新课讲授
立方根的概念（15 分钟）
探究实例：教师引导学生继续分析上述方程\(x^3 = 27\)，学生容易得出\(x = 3\)满足方程。然后让学生思考其他类似的例子，如\(x^3 = 8\)，\(x\)的值为\(2\)；\(x^3 = -8\)，\(x\)的值为\(-2\)。
给出定义：教师给出立方根的定义：如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的立方根或三次方根。例如，\(3\)是\(27\)的立方根，\(2\)是\(8\)的立方根，\(-2\)是\(-8\)的立方根。
表示方法：教师讲解立方根的表示方法，数\(a\)的立方根用符号 “\(\sqrt[3]{a}\)” 表示，读作 “三次根号\(a\)”。例如，\(27\)的立方根表示为\(\sqrt[3]{27}=3\) 。
特殊情况：教师强调\(0\)的立方根是\(0\)，即\(\sqrt[3]{0}=0\)；任何实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
立方根的性质（15 分钟）
小组讨论：教师组织学生进行小组讨论，让学生观察不同数的立方根，总结立方根的性质。引导学生从正数、\(0\)、负数三个方面进行分析。
总结性质：教师请小组代表发言，然后进行总结归纳：
正数的立方根是正数；
\(0\)的立方根是\(0\)；
负数的立方根是负数，即任意实数都有唯一的立方根。
深入理解：教师通过具体例子帮助学生深入理解立方根的性质，如\(64\)的立方根是\(\sqrt[3]{64}=4\)，\(-125\)的立方根是\(\sqrt[3]{-125}=-5\)。通过对比平方根和立方根的性质，让学生明确两者的差异，如正数有两个平方根但只有一个立方根，负数没有平方根但有立方根等。
立方根的计算（20 分钟）
例题讲解：
例 1：求下列各数的立方根：
① \(125\)；② \(-\frac{8}{27}\)；③ \(0.001\)。
分析：教师引导学生根据立方根的定义进行求解。对于\(125\)，因为\(5^3 = 125\)，所以\(125\)的立方根是\(\sqrt[3]{125}=5\)；对于\(-\frac{8}{27}\)，因为\((-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}\)，所以\(-\frac{8}{27}\)的立方根是\(\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}\)；对于\(0.001\)，因为\(0.1^3 = 0.001\)，所以\(0.001\)的立方根是\(\sqrt[3]{0.001}=0.1\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调解题步骤的规范性和逻辑性。
例 2：求下列各式的值：
① \(\sqrt[3]{-216}\)；② \(-\sqrt[3]{0.064}\)；③ \(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)。
分析：教师引导学生根据立方根的性质进行计算。\(\sqrt[3]{-216}\)，因为\((-6)^3 = -216\)，所以\(\sqrt[3]{-216}=-6\)；\(-\sqrt[3]{0.064}\)，因为\(0.4^3 = 0.064\)，所以\(-\sqrt[3]{0.064}=-0.4\)；\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)，因为\((-\frac{1}{5})^3 = -\frac{1}{125}\)，所以\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}=-\frac{1}{5}\)。教师强调在计算时要准确判断数的正负性，注意符号的处理。
练习巩固：
出示练习题：
① 求下列各数的立方根：\(216\)，\(-1\)，\(\frac{1}{64}\)。
② 求下列各式的值：\(\sqrt[3]{-512}\)，\(-\sqrt[3]{343}\)，\(\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调计算过程中的要点和注意事项，如立方运算的准确性、符号的确定等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根与被开方数同号
若\(\sqrt[3]{x} = -2\)，则\(x =\)______。
求下列各式中\(x\)的值：
\(x^3 = 64\)；
\(8x^3 + 27 = 0\)；
\((x - 2)^3 = -125\)。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对立方根概念、性质和计算方法的理解和收获。
教师进行系统总结：强调立方根的定义、表示方法和性质，再次明确立方根与平方根的区别；总结在求立方根和计算过程中的常见错误和注意事项；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握立方根的知识，为后续学习实数等内容做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固立方根的基础知识和计算方法。
选做题：已知一个正方体的体积在数值上等于它的棱长的平方的\(4\)倍，求这个正方体的棱长。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕立方根知识进行设计。你若对教学环节安排、例题难度、互动形式等方面有新想法，欢迎提出，我们一同优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．掌握立方根的概念，学会对一个数进行开立方；
2．会用根号表示一个数的立方根；
3. 会使用计算器算立方根；
温故知新
1）
2）
正数a的平方根是：
正数a的算术平方根是：
3）
0的平方根是：
0的算术平方根是：
0
0
1.平方根的定义
2.我们把求平方根的运算称之为
开平方
开平方运算与乘方运算是
互逆运算
问题1
要做一只容积为125cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
思考：这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？
与“平方根”类似，试作一些讨论和研究.
解：设正方体的棱长为x cm，则
x3=125
这就是要求一个数，使它的立方等于125.
因为53=125，
所以x=5.
所以正方体的棱长为5 cm.
问题2
要做一只容积为10cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
思考：根据问题1的计算情况，这个正方体的棱长是多少呢？
知识点一 立方根的概念
概括
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记作
一个数a的立方根可以表示为：
根指数
被开方数
读作：三次根号a.
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
数a的立方根的表示方法：
数a的立方根，
读作“三次根号a”。
a称为被开方数，3称为根指数。
记作
试
一
试
（1）64的立方根是什么？
（2）-27的立方根是什么？
（3）0的立方根是什么
4
-3
0
所以
例1
求下列各数的立方根：
解：
(1) ; (2)-216; (3)-0.027
（1） 因为( )3= ，
所以
（2） 因为（ ）3＝－216，
（3）因为_______________________，
所以________________.
－6
－6
知识点二 立方根的性质
（1）27的立方根是什么？
（2）-27的立方根是什么？
（3）0的立方根是什么
3
-3
0
通过这些题目的解答，你能发现什么？
思考：正数有立方根吗？如果有，有几个？负数呢？零呢？
一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
探究
根据立方根的意义填空.
因为23=8，所以8的立方根是( )
因为( )3=0.125,所以0.125的立方根是( )
因为( )3＝－8，所以－8的立方根是( )
因为( )3 ＝ ，所以 的立方( )
2
-2
因为( )3 ＝0，所以0的立方根是( )
0
0
-2
被开方数 平方根 立方根
有两个互为相反数
有一个,是正数
无平方根
零
有一个,是负数
零
正数
负数
零
讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗
典例精析
【例2】已知，则的值为（ ）
A．5 B．-5 C．25 D．-25
【详解】∵，
∴=0，b-3=0
∴a=-125，b=3．
∴=-5
故选B．
知识点三 用计算器求一个数的立方根
例3、用计算器求下列各数的立方根：
（1）1331；
（2）9.263（精确到0.01）.
说明：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.
解：（1）在计算器上依次键入：
，
显示结果为11，所以
1
3
3
1
SHIFT
=
是键 的第二功能，启用第二功能，需先按 键.
SHIFT
解：（2）在计算器上依次键入：
，
显示结果为2.1001511606987 ，所以
9
.
2
6
SHIFT
3
=
（2）9.263（精确到0.01）.
1．立方根等于2的数是（ ）
A．8 B．4 C．±4 D．±8
【详解】解：∵23=8，
∴，
故选：A．
1. 下列说法正确的是( )
A. 的立方根是
B. 都是64的立方根
C. 27的立方根与9的平方根相同
D. 等于
√
返回
2. 利用计算器计算时，按
键 ，显示 ，
则按键
的计算结果约为（保留三位小数）( )
A. B. 144.225
C. 14.422 D. 1.442
√
返回
3. ［2025晋城期中］一个正方体由8个形状、大小完全相同
的小正方体组成.已知该几何体的体积为120（小正方体之间
的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长 的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
√
返回
4. 数轴上表示 的点一定在( )
A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段
5.计算： ___.
√
返回
6.若与是同类项，则 的立方根是
___.
2
【点拨】与 是同类项，
解得
的立方根是2.
返回
7. 我们规定：若一个实数的算术平方根等于它
的立方根，则称这样的实数为“最美实数”.若 是“最美
实数”，则 _____________；
或
【点拨】是“最美实数”， 或1，解得
或 .
返回
8.求下列各式中的 的值：
（1） ；
【解】，， .
（2） .
，，， .
返回
9.在做物理实验时，小明用一根细线将一个实心铁球拴住，
完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得排出的水
的体积为 .小明又将铁球从水中提起，量得烧杯中的
水位下降了 .请问烧杯内部的底面半径和铁球的半径各
是多少？（球的体积公式为， 为球的半径）
【解】设烧杯内部的底面半径为 ，
根据题意，得 ，所以 .
设铁球的半径为，根据题意，得 ，
解得 .
故烧杯内部的底面半径是，铁球的半径是 .
返回
10. ［2025天津和平区月考］若， 为实数，且
，则 的值为( )
A. B. 2 C. D. 3
11. 已知，则 的值为( )
A. 0或1 B. 0或2 C. 0或6 D. 0或2或6
【点拨】，.又 立方
根等于本身的数有0，，或 ，解得
或或， 的值为0或2.
√
√
返回
立方根的特征
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
任何一个数 a 都只有一个立方根
谢谢观看！