10.2.1实数及其分类 课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 10.2.1实数及其分类 课件(共33张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 12:10:29 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
10.2.1实数及其分类
第10章 数的开方
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
10.1.2 立方根教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够清晰阐述立方根的定义、表示方法和性质；熟练掌握求一个数的立方根的方法，理解立方根与平方根的区别与联系；能够运用立方根的知识解决简单的实际问题和数学问题，如方程求解、体积计算等。
过程与方法目标：通过实际问题情境创设，让学生经历从实际问题抽象出立方根概念的过程，培养学生的数学抽象能力；在探究立方根性质和计算方法的过程中，提升学生的逻辑推理能力和运算能力；引导学生体会类比、归纳等数学思想方法在数学学习中的应用，促进知识迁移。
情感态度与价值观目标：激发学生对立方根知识的学习兴趣，感受数学知识的系统性和连贯性；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极的学习氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解立方根的概念和性质，熟练掌握求一个数的立方根的方法；准确区分立方根与平方根的概念、性质及运算特点，这是本节课的核心知识，对完善学生数的开方知识体系至关重要。
教学难点：理解立方根的唯一性，尤其是负数有立方根且为负数这一性质；在复杂的数学运算和实际问题中，灵活运用立方根的知识进行计算和求解，这对学生的抽象思维和综合应用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解立方根的定义、性质、表示方法等基础知识，确保学生理解核心概念和关键要点，清晰把握知识脉络。
探究法：引导学生通过实际问题和具体例子，自主探究立方根的概念和性质，培养学生的自主学习能力和探究精神，让学生主动建构知识。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示立方根的计算方法和应用技巧，让学生掌握解题思路和步骤，提高解题能力。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨立方根相关问题，互相交流学习经验，促进学生思维的碰撞与提升，培养团队协作能力。
直观演示法：利用多媒体课件、几何模型等直观教具，动态展示立方根的概念和性质，帮助学生直观理解抽象的数学知识，增强教学的直观性和趣味性，降低学习难度。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
提出问题：教师展示实际问题：“一个正方体的体积是\(27cm^3\)，那么这个正方体的棱长是多少厘米？” 引导学生思考并列出方程\(x^3 = 27\)，让学生尝试求解\(x\)的值，引发学生对新知识的好奇心和探索欲望。
引入课题：教师指出，像这样已知一个数的立方，求这个数的问题，在数学中需要用到立方根的知识，从而引出本节课的课题 ——10.1.2 立方根。
（二）新课讲授
立方根的概念（15 分钟）
探究实例：教师引导学生继续分析上述方程\(x^3 = 27\)，学生容易得出\(x = 3\)满足方程。然后让学生思考其他类似的例子，如\(x^3 = 8\)，\(x\)的值为\(2\)；\(x^3 = -8\)，\(x\)的值为\(-2\)。
给出定义：教师给出立方根的定义：如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的立方根或三次方根。例如，\(3\)是\(27\)的立方根，\(2\)是\(8\)的立方根，\(-2\)是\(-8\)的立方根。
表示方法：教师讲解立方根的表示方法，数\(a\)的立方根用符号 “\(\sqrt[3]{a}\)” 表示，读作 “三次根号\(a\)”。例如，\(27\)的立方根表示为\(\sqrt[3]{27}=3\) 。
特殊情况：教师强调\(0\)的立方根是\(0\)，即\(\sqrt[3]{0}=0\)；任何实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
立方根的性质（15 分钟）
小组讨论：教师组织学生进行小组讨论，让学生观察不同数的立方根，总结立方根的性质。引导学生从正数、\(0\)、负数三个方面进行分析。
总结性质：教师请小组代表发言，然后进行总结归纳：
正数的立方根是正数；
\(0\)的立方根是\(0\)；
负数的立方根是负数，即任意实数都有唯一的立方根。
深入理解：教师通过具体例子帮助学生深入理解立方根的性质，如\(64\)的立方根是\(\sqrt[3]{64}=4\)，\(-125\)的立方根是\(\sqrt[3]{-125}=-5\)。通过对比平方根和立方根的性质，让学生明确两者的差异，如正数有两个平方根但只有一个立方根，负数没有平方根但有立方根等。
立方根的计算（20 分钟）
例题讲解：
例 1：求下列各数的立方根：
① \(125\)；② \(-\frac{8}{27}\)；③ \(0.001\)。
分析：教师引导学生根据立方根的定义进行求解。对于\(125\)，因为\(5^3 = 125\)，所以\(125\)的立方根是\(\sqrt[3]{125}=5\)；对于\(-\frac{8}{27}\)，因为\((-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}\)，所以\(-\frac{8}{27}\)的立方根是\(\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}\)；对于\(0.001\)，因为\(0.1^3 = 0.001\)，所以\(0.001\)的立方根是\(\sqrt[3]{0.001}=0.1\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调解题步骤的规范性和逻辑性。
例 2：求下列各式的值：
① \(\sqrt[3]{-216}\)；② \(-\sqrt[3]{0.064}\)；③ \(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)。
分析：教师引导学生根据立方根的性质进行计算。\(\sqrt[3]{-216}\)，因为\((-6)^3 = -216\)，所以\(\sqrt[3]{-216}=-6\)；\(-\sqrt[3]{0.064}\)，因为\(0.4^3 = 0.064\)，所以\(-\sqrt[3]{0.064}=-0.4\)；\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)，因为\((-\frac{1}{5})^3 = -\frac{1}{125}\)，所以\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}=-\frac{1}{5}\)。教师强调在计算时要准确判断数的正负性，注意符号的处理。
练习巩固：
出示练习题：
① 求下列各数的立方根：\(216\)，\(-1\)，\(\frac{1}{64}\)。
② 求下列各式的值：\(\sqrt[3]{-512}\)，\(-\sqrt[3]{343}\)，\(\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调计算过程中的要点和注意事项，如立方运算的准确性、符号的确定等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根与被开方数同号
若\(\sqrt[3]{x} = -2\)，则\(x =\)______。
求下列各式中\(x\)的值：
\(x^3 = 64\)；
\(8x^3 + 27 = 0\)；
\((x - 2)^3 = -125\)。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对立方根概念、性质和计算方法的理解和收获。
教师进行系统总结：强调立方根的定义、表示方法和性质，再次明确立方根与平方根的区别；总结在求立方根和计算过程中的常见错误和注意事项；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握立方根的知识，为后续学习实数等内容做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固立方根的基础知识和计算方法。
选做题：已知一个正方体的体积在数值上等于它的棱长的平方的\(4\)倍，求这个正方体的棱长。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕立方根知识进行设计。你若对教学环节安排、例题难度、互动形式等方面有新想法，欢迎提出，我们一同优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．掌握实数的概念，并且学会根据要求对实数进行分类；
2．掌握实数范围内相关概念的意义；
3、掌握数轴与实数的一一对应关系，能用数轴上的点表示无理数；
问题1：利用计算器，把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？
发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
思考：除了有限小数和无限循环小数，还有什么类型的数呢？
做
一
做
（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.
（1）用计算器求 ；
用计算器求 ，显示结果为1.414213562.再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.这说明计算器求得的只是2的近似值.
用计算机计算 ，你会发现：
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835…
不是一个有理数，它是一个无限不循环小数.
类似地数还有 、圆周率π等，它们都是无限不循环小数.
知识点一 无理数的概念
无限不循环的小数叫做无理数.
无理数也像有理数一样广泛存在着.
有理数和无理数统称实数.
你能举几个无理数的例子吗？
最典型的无理数是π
１．圆周率 及一些含有 的数
２．开方开不尽的数，如：
３．有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
无理数的特征
注：含根号的数不一定都是无理数，如
判定一个数是不是无理数:
(1)是看它是不是无限小数；
(2)看它是不是不循环小数；
(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能.
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数；
(2) 是无理数；
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数.
归纳总结
典例精析
【例1】在实数中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，0，是有理数，
无理数有：，,共2个．
故选：B．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
练一练
1．在，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：∵=3，
∴在中，无理数有，，，共3个，
故选：C.
讲授新课
知识点二 实数的分类
按概念分类
实数
有理数
分数
整数
正整数
0
负整数
自然数
正分数
负分数
无理数
正无理数
负无理数
有限小数及无限循环小数
无限不循环小数
（1）含π的数；
（2）开方开不尽的数；
（3）有规律但不循环的无限小数.
实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
按性质分类
讲授新课
典例精析
【例2】下列说法正确的个数是（ ）
①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③无理数与无理数的和一定是无理数；④无理数与有理数的和一定是无理数；⑤是分数；⑥无理数与有理数的积一定是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三 实数与数轴上点的关系
思考：每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？
无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
试
一
试
你能在数轴上找到表示 的点吗？
如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 .
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图所示.
发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
概括
实数与数轴上的点是一一对应的.
典例精析
【例3】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB=AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
知识点四 实数的计算
试一试：（1）分别写出 的相反数；
解： 的相反数是 ；π-3.14的相反数是3.14-π.
（2）指出 分别是什么数的相反数.
解： 是 的相反数； 是 的相反数.
试一试：（3）求 的绝对值；
解：
（4）已知一个数的绝对值是 ，求这个数.
解：绝对值为 的数是 或 .
涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行.
试比较 与π的大小.
解：用计算器求得
而π≈3.141592654，
因此
1.完成下列表格：
实数 π
相反数
绝对值
﹣π
π
1. 下列各数： ， ，
，， ，其中无理数有( )
C
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. ［2025驻马店模拟］已知下列结论：①在数轴上的点只能
表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③
实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有
有限个.其中正确的结论是( )
B
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
返回
3. 若无理数满足，则 可以为
_________________________.（写出两个）
4.如图，数轴上，两点表示的数分别为， ，且
，则点 所表示的数为_________.
，（答案不唯一）
返回
5.把下列各数分别填入相应的集合里：
，,,,,,,,
（每两个2之间依次增加一个1）,， .
正有理数集合：_____________ ；
负有理数集合：_________________________ ；
正无理数集合： ______________________________________
______________ ；
负无理数集合：______________ .
,
,
,, （每两个2之间依次增加一个1），
，，
返回
（第6题）
6. 如图，面积为
7的正方形的顶点 在数轴上，
且表示的数为1，若 ，则
数轴上点 所表示的数为( )
C
A. B. C. D.
返回
7.下列六个数：，，， ， ，
（相邻两个2之间0的个数逐次加1），若
其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为 ，
则 ___.
6
【点拨】无理数有： ， （相邻两个2
之间0的个数逐次加1），则；没有整数，则 ；非
负数有：，，，
（相邻两个2之间0的个数逐次加1），共4个，则 .故
.
常见的无理数有三类形式：第一类是开方开不尽的
数；第二类是化简后含有 的数；第三类是无限不循环的数，
根据其形式即可进行判断.
返回
8. 如图，数轴上点表示的实数是 ，直
径为1个单位长度的圆从点沿数轴滚动2 026周，圆上的点
到达点处，则点 表示的数是______________.
（第8题）
（第8题）
【点拨】 圆的直径为1个单位长度， 此圆
的周长 . 从点 沿数轴滚动2 026周到点
， . 点 表示的实数是
， 向右滚动，点 表示的数是
，向左滚动，点表示的数是 .
返回
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数与数轴上点的一一对应
实数的性质及运算
性质：实数的相反数、绝对值、倒数运算.
实数的大小比较与运算
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
谢谢观看！
10.2.1实数及其分类
第10章 数的开方
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
10.1.2 立方根教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够清晰阐述立方根的定义、表示方法和性质；熟练掌握求一个数的立方根的方法，理解立方根与平方根的区别与联系；能够运用立方根的知识解决简单的实际问题和数学问题，如方程求解、体积计算等。
过程与方法目标：通过实际问题情境创设，让学生经历从实际问题抽象出立方根概念的过程，培养学生的数学抽象能力；在探究立方根性质和计算方法的过程中，提升学生的逻辑推理能力和运算能力；引导学生体会类比、归纳等数学思想方法在数学学习中的应用，促进知识迁移。
情感态度与价值观目标：激发学生对立方根知识的学习兴趣，感受数学知识的系统性和连贯性；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极的学习氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解立方根的概念和性质，熟练掌握求一个数的立方根的方法；准确区分立方根与平方根的概念、性质及运算特点，这是本节课的核心知识，对完善学生数的开方知识体系至关重要。
教学难点：理解立方根的唯一性，尤其是负数有立方根且为负数这一性质；在复杂的数学运算和实际问题中，灵活运用立方根的知识进行计算和求解，这对学生的抽象思维和综合应用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解立方根的定义、性质、表示方法等基础知识，确保学生理解核心概念和关键要点，清晰把握知识脉络。
探究法：引导学生通过实际问题和具体例子，自主探究立方根的概念和性质，培养学生的自主学习能力和探究精神，让学生主动建构知识。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示立方根的计算方法和应用技巧，让学生掌握解题思路和步骤，提高解题能力。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨立方根相关问题，互相交流学习经验，促进学生思维的碰撞与提升，培养团队协作能力。
直观演示法：利用多媒体课件、几何模型等直观教具，动态展示立方根的概念和性质，帮助学生直观理解抽象的数学知识，增强教学的直观性和趣味性，降低学习难度。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
提出问题：教师展示实际问题：“一个正方体的体积是\(27cm^3\)，那么这个正方体的棱长是多少厘米？” 引导学生思考并列出方程\(x^3 = 27\)，让学生尝试求解\(x\)的值，引发学生对新知识的好奇心和探索欲望。
引入课题：教师指出，像这样已知一个数的立方，求这个数的问题，在数学中需要用到立方根的知识，从而引出本节课的课题 ——10.1.2 立方根。
（二）新课讲授
立方根的概念（15 分钟）
探究实例：教师引导学生继续分析上述方程\(x^3 = 27\)，学生容易得出\(x = 3\)满足方程。然后让学生思考其他类似的例子，如\(x^3 = 8\)，\(x\)的值为\(2\)；\(x^3 = -8\)，\(x\)的值为\(-2\)。
给出定义：教师给出立方根的定义：如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的立方根或三次方根。例如，\(3\)是\(27\)的立方根，\(2\)是\(8\)的立方根，\(-2\)是\(-8\)的立方根。
表示方法：教师讲解立方根的表示方法，数\(a\)的立方根用符号 “\(\sqrt[3]{a}\)” 表示，读作 “三次根号\(a\)”。例如，\(27\)的立方根表示为\(\sqrt[3]{27}=3\) 。
特殊情况：教师强调\(0\)的立方根是\(0\)，即\(\sqrt[3]{0}=0\)；任何实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
立方根的性质（15 分钟）
小组讨论：教师组织学生进行小组讨论，让学生观察不同数的立方根，总结立方根的性质。引导学生从正数、\(0\)、负数三个方面进行分析。
总结性质：教师请小组代表发言，然后进行总结归纳：
正数的立方根是正数；
\(0\)的立方根是\(0\)；
负数的立方根是负数，即任意实数都有唯一的立方根。
深入理解：教师通过具体例子帮助学生深入理解立方根的性质，如\(64\)的立方根是\(\sqrt[3]{64}=4\)，\(-125\)的立方根是\(\sqrt[3]{-125}=-5\)。通过对比平方根和立方根的性质，让学生明确两者的差异，如正数有两个平方根但只有一个立方根，负数没有平方根但有立方根等。
立方根的计算（20 分钟）
例题讲解：
例 1：求下列各数的立方根：
① \(125\)；② \(-\frac{8}{27}\)；③ \(0.001\)。
分析：教师引导学生根据立方根的定义进行求解。对于\(125\)，因为\(5^3 = 125\)，所以\(125\)的立方根是\(\sqrt[3]{125}=5\)；对于\(-\frac{8}{27}\)，因为\((-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}\)，所以\(-\frac{8}{27}\)的立方根是\(\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}\)；对于\(0.001\)，因为\(0.1^3 = 0.001\)，所以\(0.001\)的立方根是\(\sqrt[3]{0.001}=0.1\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调解题步骤的规范性和逻辑性。
例 2：求下列各式的值：
① \(\sqrt[3]{-216}\)；② \(-\sqrt[3]{0.064}\)；③ \(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)。
分析：教师引导学生根据立方根的性质进行计算。\(\sqrt[3]{-216}\)，因为\((-6)^3 = -216\)，所以\(\sqrt[3]{-216}=-6\)；\(-\sqrt[3]{0.064}\)，因为\(0.4^3 = 0.064\)，所以\(-\sqrt[3]{0.064}=-0.4\)；\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)，因为\((-\frac{1}{5})^3 = -\frac{1}{125}\)，所以\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}=-\frac{1}{5}\)。教师强调在计算时要准确判断数的正负性，注意符号的处理。
练习巩固：
出示练习题：
① 求下列各数的立方根：\(216\)，\(-1\)，\(\frac{1}{64}\)。
② 求下列各式的值：\(\sqrt[3]{-512}\)，\(-\sqrt[3]{343}\)，\(\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调计算过程中的要点和注意事项，如立方运算的准确性、符号的确定等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根与被开方数同号
若\(\sqrt[3]{x} = -2\)，则\(x =\)______。
求下列各式中\(x\)的值：
\(x^3 = 64\)；
\(8x^3 + 27 = 0\)；
\((x - 2)^3 = -125\)。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对立方根概念、性质和计算方法的理解和收获。
教师进行系统总结：强调立方根的定义、表示方法和性质，再次明确立方根与平方根的区别；总结在求立方根和计算过程中的常见错误和注意事项；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握立方根的知识，为后续学习实数等内容做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固立方根的基础知识和计算方法。
选做题：已知一个正方体的体积在数值上等于它的棱长的平方的\(4\)倍，求这个正方体的棱长。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕立方根知识进行设计。你若对教学环节安排、例题难度、互动形式等方面有新想法，欢迎提出，我们一同优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．掌握实数的概念，并且学会根据要求对实数进行分类；
2．掌握实数范围内相关概念的意义；
3、掌握数轴与实数的一一对应关系，能用数轴上的点表示无理数；
问题1：利用计算器，把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？
发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
思考：除了有限小数和无限循环小数，还有什么类型的数呢？
做
一
做
（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.
（1）用计算器求 ；
用计算器求 ，显示结果为1.414213562.再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.这说明计算器求得的只是2的近似值.
用计算机计算 ，你会发现：
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835…
不是一个有理数，它是一个无限不循环小数.
类似地数还有 、圆周率π等，它们都是无限不循环小数.
知识点一 无理数的概念
无限不循环的小数叫做无理数.
无理数也像有理数一样广泛存在着.
有理数和无理数统称实数.
你能举几个无理数的例子吗？
最典型的无理数是π
１．圆周率 及一些含有 的数
２．开方开不尽的数，如：
３．有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
无理数的特征
注：含根号的数不一定都是无理数，如
判定一个数是不是无理数:
(1)是看它是不是无限小数；
(2)看它是不是不循环小数；
(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能.
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数；
(2) 是无理数；
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数.
归纳总结
典例精析
【例1】在实数中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，0，是有理数，
无理数有：，,共2个．
故选：B．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
练一练
1．在，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：∵=3，
∴在中，无理数有，，，共3个，
故选：C.
讲授新课
知识点二 实数的分类
按概念分类
实数
有理数
分数
整数
正整数
0
负整数
自然数
正分数
负分数
无理数
正无理数
负无理数
有限小数及无限循环小数
无限不循环小数
（1）含π的数；
（2）开方开不尽的数；
（3）有规律但不循环的无限小数.
实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
按性质分类
讲授新课
典例精析
【例2】下列说法正确的个数是（ ）
①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③无理数与无理数的和一定是无理数；④无理数与有理数的和一定是无理数；⑤是分数；⑥无理数与有理数的积一定是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三 实数与数轴上点的关系
思考：每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？
无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
试
一
试
你能在数轴上找到表示 的点吗？
如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 .
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图所示.
发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
概括
实数与数轴上的点是一一对应的.
典例精析
【例3】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB=AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
知识点四 实数的计算
试一试：（1）分别写出 的相反数；
解： 的相反数是 ；π-3.14的相反数是3.14-π.
（2）指出 分别是什么数的相反数.
解： 是 的相反数； 是 的相反数.
试一试：（3）求 的绝对值；
解：
（4）已知一个数的绝对值是 ，求这个数.
解：绝对值为 的数是 或 .
涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行.
试比较 与π的大小.
解：用计算器求得
而π≈3.141592654，
因此
1.完成下列表格：
实数 π
相反数
绝对值
﹣π
π
1. 下列各数： ， ，
，， ，其中无理数有( )
C
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. ［2025驻马店模拟］已知下列结论：①在数轴上的点只能
表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③
实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有
有限个.其中正确的结论是( )
B
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
返回
3. 若无理数满足，则 可以为
_________________________.（写出两个）
4.如图，数轴上，两点表示的数分别为， ，且
，则点 所表示的数为_________.
，（答案不唯一）
返回
5.把下列各数分别填入相应的集合里：
，,,,,,,,
（每两个2之间依次增加一个1）,， .
正有理数集合：_____________ ；
负有理数集合：_________________________ ；
正无理数集合： ______________________________________
______________ ；
负无理数集合：______________ .
,
,
,, （每两个2之间依次增加一个1），
，，
返回
（第6题）
6. 如图，面积为
7的正方形的顶点 在数轴上，
且表示的数为1，若 ，则
数轴上点 所表示的数为( )
C
A. B. C. D.
返回
7.下列六个数：，，， ， ，
（相邻两个2之间0的个数逐次加1），若
其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为 ，
则 ___.
6
【点拨】无理数有： ， （相邻两个2
之间0的个数逐次加1），则；没有整数，则 ；非
负数有：，，，
（相邻两个2之间0的个数逐次加1），共4个，则 .故
.
常见的无理数有三类形式：第一类是开方开不尽的
数；第二类是化简后含有 的数；第三类是无限不循环的数，
根据其形式即可进行判断.
返回
8. 如图，数轴上点表示的实数是 ，直
径为1个单位长度的圆从点沿数轴滚动2 026周，圆上的点
到达点处，则点 表示的数是______________.
（第8题）
（第8题）
【点拨】 圆的直径为1个单位长度， 此圆
的周长 . 从点 沿数轴滚动2 026周到点
， . 点 表示的实数是
， 向右滚动，点 表示的数是
，向左滚动，点表示的数是 .
返回
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数与数轴上点的一一对应
实数的性质及运算
性质：实数的相反数、绝对值、倒数运算.
实数的大小比较与运算
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
谢谢观看！