10.2.2实数的运算 课件(共17张PPT)

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10.2.2实数的运算
第10章 数的开方
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
实数的运算教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确理解实数运算的基本规则，包括加、减、乘、除、乘方和开方运算；熟练掌握实数的混合运算顺序，能正确运用运算律简化实数运算；能够运用实数运算解决实际问题和数学问题，如计算几何图形的边长、面积、体积，求解方程等。
过程与方法目标：通过回顾有理数运算知识，类比探究实数运算规则，培养学生的知识迁移能力和逻辑推理能力；在解决实数运算问题的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及运算的准确性和速度；引导学生体会类比、转化等数学思想方法在数学学习中的应用。
情感态度与价值观目标：激发学生对实数运算的学习兴趣，感受数学知识的实用性和连贯性；在探究活动中，培养学生严谨认真的学习态度和勇于克服困难的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解实数运算的基本规则和运算顺序，熟练掌握实数的混合运算；能够正确运用运算律进行实数运算的简便计算，这是本节课的核心知识，也是后续学习代数、几何等知识的重要基础。
教学难点：在实数混合运算中，准确处理符号和根式运算，避免计算错误；在实际问题和复杂的数学运算中，灵活运用实数运算知识和运算技巧解决问题，这对学生的综合运算能力和思维能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解实数运算的规则、运算顺序和运算律，确保学生理解核心概念和关键要点。
类比法：通过与有理数运算进行类比，引导学生自主探究实数运算的规律，培养学生的自主学习能力和知识迁移能力。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示实数运算的方法和技巧，让学生掌握解题思路和步骤。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨实数运算中遇到的问题，互相交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾有理数运算：提问学生有理数的加、减、乘、除、乘方运算的规则和运算顺序，让学生举例说明。例如，有理数加法的同号相加、异号相加规则，乘法的符号法则等，强化学生对有理数运算的记忆。
引入实数运算：教师指出，实数包括有理数和无理数，有理数的运算规则和运算顺序在实数范围内同样适用。那么，对于含有无理数的实数运算，又有哪些需要注意的地方呢？由此导入本节课的课题 —— 实数的运算。
（二）新课讲授
实数运算的基本规则（15 分钟）
加法与减法：教师讲解实数的加法和减法运算规则，类比有理数的加减法，说明实数的加法满足交换律和结合律。例如，\((\sqrt{2} + 3) + 5 = \sqrt{2} + (3 + 5)\)，\(\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}\)。对于减法运算，转化为加法运算，即\(a - b = a + (-b)\)，如\(5 - \sqrt{2} = 5 + (-\sqrt{2})\) 。通过具体例子让学生练习，如计算\((2 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5})\)，\(\sqrt{7} - \sqrt{7}\)等，加深学生对运算规则的理解。
乘法与除法：讲解实数的乘法和除法运算规则，强调乘法满足交换律、结合律和分配律。例如，\(\sqrt{2} \sqrt{3} = \sqrt{2 3} = \sqrt{6}\)，\((2\sqrt{3}) \sqrt{5} = 2 (\sqrt{3} \sqrt{5}) = 2\sqrt{15}\)，\((\sqrt{3} + 1) 2 = \sqrt{3} 2 + 1 2 = 2\sqrt{3} + 2\)。除法运算中，\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a 0\)，\(b > 0\)），如\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2\)。通过实例练习，如计算\(\sqrt{5} \sqrt{10}\)，\(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}\)等，让学生掌握运算方法。
乘方与开方：回顾乘方运算，如\((\sqrt{2})^2 = 2\)，\((-\sqrt{3})^2 = 3\)。对于开方运算，强调算术平方根和立方根的计算，如\(\sqrt{16} = 4\)，\(\sqrt[3]{-27} = -3\)。同时，说明开方运算与乘方运算的互逆关系。
实数的混合运算顺序（15 分钟）
讲解规则：教师讲解实数混合运算的顺序，与有理数混合运算顺序相同，即先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。例如，计算\(2\sqrt{3} + \sqrt{12} ·\sqrt{3} - (\sqrt{5})^2\)，先计算开方\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，\((\sqrt{5})^2 = 5\)，再算除法\(2\sqrt{3} ·\sqrt{3} = 2\)，最后算加减\(2\sqrt{3} + 2 - 5 = 2\sqrt{3} - 3\)。
例题讲解：教师通过例题，如计算\((\sqrt{8} - \sqrt{2}) \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{-8}\)，详细讲解运算过程和每一步的依据。先算括号内的\(\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}\)，再算乘法\(\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2}} = 1\)，最后算加法\(1 + (-2) = -1\)。强调在运算过程中要注意符号的处理和根式的化简。
练习巩固：教师出示练习题，如计算\(\sqrt{25} - \sqrt[3]{64} + \sqrt{(-3)^2}\)，\((\sqrt{3} + 1)^2 - 2\sqrt{3}\)等，让学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
运算律在实数运算中的应用（15 分钟）
回顾运算律：教师带领学生回顾加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律在有理数运算中的应用。
应用讲解：教师通过实例说明运算律在实数运算中同样适用，并且可以简化运算。例如，计算\((\sqrt{5} + \sqrt{2}) \sqrt{5} - \sqrt{2} (\sqrt{5} - 1)\)，利用分配律展开得到\((\sqrt{5})^2 + \sqrt{2} \sqrt{5} - \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} = 5 + \sqrt{2}\)。通过对比不使用运算律和使用运算律的计算过程，让学生体会运算律的优势。
练习巩固：教师出示练习题，如计算\(\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{3}) + \sqrt{18} ·\sqrt{2}\)，\((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2\)等，让学生运用运算律进行简便计算，然后进行小组交流和展示，教师进行点评和总结。
（三）课堂练习（15 分钟）
计算：
\(\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}}\)
\((\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)\)
\(\sqrt[3]{27} - \sqrt{0} + \sqrt{(-4)^2}\)
\(2\sqrt{5} 3\sqrt{10} ·\sqrt{2}\)
先化简，再求值：\((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2\)，其中\(a = 3\)，\(b = 2\)。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在运算顺序、符号处理、根式化简等方面出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对实数运算规则、运算顺序和运算律应用的理解和收获。
教师进行系统总结：强调实数运算的基本规则和运算顺序，再次明确运算律在实数运算中的重要作用；总结在实数运算过程中的常见错误和注意事项，如符号错误、根式化简不彻底等；鼓励学生在课后多做练习，提高实数运算的准确性和速度。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固实数运算的基础知识和运算技能。
选做题：计算\((\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(-\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})\)，让学有余力的学生进一步提升运用知识解决复杂运算问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕实数运算规划教学环节。你若对教学情境、例题难度、练习形式等方面有新想法，欢迎提出，我们进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1. 知道有理数的运算法则、运算律对于实数仍然成立;
2.知道学过的有关数、式、方程(组)的性质、法则、解法，对于实数仍然成立；
学生能清晰阐述单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则，并能准确运用这些法则进行运算。
熟练掌握整式乘法的运算技巧，能够对复杂的整式乘法式子进行化简和求值，确保计算结果的准确性。
（二）过程与方法目标
经历整式乘法运算法则的推导过程，培养学生观察、归纳、类比、推理的能力，提升逻辑思维水平。
引导学生在解决整式乘法问题的过程中，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想方法，增强分析和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
通过自主探究与合作交流，激发学生对数学的探索热情，培养学生勇于创新和团队协作的精神。
让学生感受整式乘法运算的简洁美和规律性，体会数学在实际生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣和自信心。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘运算法则的推导过程。
熟练运用整式乘法运算法则进行准确计算，包括单项式、多项式的乘法运算及混合运算。
（二）教学难点
理解多项式与多项式相乘时，乘法分配律的运用以及如何准确合并同类项。
灵活运用整式乘法运算法则解决复杂问题，避免在计算过程中出现符号错误和运算顺序错误。
探究新知
议一议
对于实数 a，它有几个平方根，几个立方根呢？
每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.
0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数a有且只有一个立方根.
方法（1）：对实数a、b，如果a-b>0，则a>b；反之，则a方法（2）：正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小； （定义与绝对值法）
方法（3）：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数要大. （数轴法）
原点
0
正实数
负实数
<
探究新知
思 考
两个实数是否可以比较大小？都有哪些比较大小的方法呢？
若 a > b，则 ，反过来也成立.
若 a > b，则 ，反过来也成立.
两个正实数 a，b：
比较下列各组数的大小.
（1）2.5 与 ；（2）3 与 ；（3）－3 与 .
解（1）2.52 = 6.25， ，又6.25<7，所以 2.5< .
（2）33 = 27， ，又27 > 25，所以 3 > .
（3）因为 |－3|=3， ，由（2）知 3 > ，
所以－3 < .
例题讲解
例1
若 a > b，则 ，反过来也成立.
若 a > b，则 ，反过来也成立.
两个正实数 a，b：
探究新知
思 考
不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间.
所以 应介于 10 和 11 之间，
即 10 < < 11.
由于 102 = 100 < 115，
，112 = 121 > 115，
由于 43 = 64 < 121，
，53 = 125 > 121，
所以 应介于 4 和 5 之间，
即 4 < < 5.
例题讲解
例3
用计算器计算：2× （结果精确到 0.01）.
解 依次按键：
显示结果：4.472 135 955.
所以 2× ≈ 4.47 .
1. ［2024自贡］在0，，， 四个数中，最大的数是
( )
A. B. 0 C. D.
2. ［2025成都新津区月考］在与 之间的整数是( )
A. ，，0，1，2，3 B. ， ，0，1，2
C. ，0，1，2 D. ，0，1，2，3
√
√
返回
3. 下列说法中，不正确的是( )
A. 的绝对值是
B. 的相反数是
C. 的立方根是2
D. 的倒数是
4. 数轴上表示， 的点分别为，，是线段 的中点，
则点 所表示的数是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
5.（1）已知，，，则，， 三个数的大
小关系为__________.
（2）已知，，则， 的大小关系为______.
6.已知有理数,满足，则 ___.
1
【点拨】,,
为有理数，，，， ，
.
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8. 已知实数， 在数轴上如图所示，
.化简 .
【解】由题图得， ，
， .
.
返回
9. 若一个数的绝对值是，则 的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
10. ［2025周口期中］已知实数，，，，，，且，
互为倒数，，互为相反数，的绝对值为， 的算术平方
根是8，则 的值是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
11. ［2025苏州期中］已知的整数部分为 ，小数部分
为，则 的值为( )
A. B. C. D. 5
√
返回
12. 如图，通过画边长为1的
正方形，就能准确地把 表示
在数轴上点处，记 右侧最
A. B. C. D.
近的整数点为，以点为圆心， 长为半径画半圆，交
数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点 为圆心，
长为半径画半圆，交数轴于点， ，如此继续，则
的长为( )
√
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