11.1.2 幂的乘方 课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 11.1.2 幂的乘方 课件(共25张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 12:03:49 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
11.1.2 幂的乘方
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第 10 章 数的开方章末复习方案
一、知识框架梳理
（一）平方根相关知识
定义：如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根。正数\(a\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{a}\) ，其中\(\sqrt{a}\)是算术平方根，\(0\)的平方根是\(0\)，负数没有平方根。
性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\) 。
计算方法：通过平方运算的逆运算来求平方根，例如求\(25\)的平方根，因为\((\pm5)^{2}=25\)，所以\(25\)的平方根是\(\pm5\)。
（二）立方根相关知识
定义：如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^{3}=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根，用\(\sqrt[3]{a}\)表示。
性质：任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。
计算方法：同样基于立方运算的逆运算，如求\(27\)的立方根，由于\(3^{3}=27\)，所以\(\sqrt[3]{27}=3\)。
（三）实数的概念与分类
概念：有理数和无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数）。
分类
按定义分类：实数分为有理数和无理数，有理数进一步分为整数和分数，无理数即无限不循环小数。
按正负性分类：实数可分为正实数、\(0\)、负实数，正实数包含正有理数和正无理数，负实数包含负有理数和负无理数。
（四）实数的运算
运算规则：实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算，其规则与有理数运算规则类似。加法满足交换律和结合律，乘法满足交换律、结合律和分配律；减法可转化为加法，除法可转化为乘法 。
混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。运算律在实数运算中同样适用，可用于简化运算。
（五）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系。利用这一关系，可直观比较实数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大。
二、重点知识精讲
（一）平方根与立方根的区别与联系
区别
个数不同：正数有两个平方根，而正数只有一个正的立方根；负数没有平方根，但负数有一个负的立方根。
表示方法不同：平方根用\(\pm\sqrt{a}\)表示，立方根用\(\sqrt[3]{a}\)表示。
被开方数的取值范围不同：平方根中被开方数\(a\geq0\)，立方根中被开方数\(a\)为任意实数。
联系：二者都是开方运算，是乘方运算的逆运算；\(0\)的平方根和立方根都是\(0\)。
（二）实数的分类与判断
无理数的判断：关键看是否为无限不循环小数，常见的无理数形式有开方开不尽的数（如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt[3]{3}\) ）、含\(\pi\)的数（如\(2\pi\)）、有规律但不循环的无限小数（如\(0.1010010001\cdots\) ）。
实数分类的要点：分类时要明确标准，按定义或正负性进行准确分类，注意区分有理数和无理数，避免混淆。
（三）实数的运算技巧
根式化简：对于平方根和立方根，要将能开得尽方的数或式子进行化简，如\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) ，\(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\times3}=2\sqrt[3]{3}\)。
运算律的运用：在实数混合运算中，灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，可简化计算过程，例如计算\((\sqrt{3}+1)\times2=\sqrt{3}\times2 + 1\times2=2\sqrt{3}+2\)。
三、易混易错点剖析
平方根与算术平方根混淆：误将平方根当成算术平方根，忽略平方根的正负性。例如，求\(9\)的平方根，错误地只得出\(3\)，而正确答案是\(\pm3\)；求\(9\)的算术平方根才是\(3\)。
对无理数概念理解不清：认为带根号的数就是无理数，实际上只有开方开不尽的数才是无理数，如\(\sqrt{4}=2\)是有理数，\(\sqrt{2}\)是无理数 。
实数运算中的符号错误：在实数混合运算中，尤其是涉及负数的乘方、开方运算时，容易出现符号错误。例如，计算\((-2)^{2}=4\)，而不是\(-4\)；\(\sqrt[3]{-8}=-2\) 。
运算顺序错误：在实数混合运算中，不按照先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的顺序进行计算，导致结果错误。
四、综合练习巩固
（一）选择题
下列说法正确的是（ ）
A. \(4\)的平方根是\(2\)
B. \(-8\)的立方根是\(-2\)
C. \(\sqrt{16}\)的算术平方根是\(4\)
D. \(0\)没有平方根
下列各数中，是无理数的是（ ）
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\sqrt{4}\)
C. \(\pi\)
D. \(0.121212\cdots\)
计算\(\sqrt{5}\times\sqrt{10}\)的结果是（ ）
A. \(5\sqrt{2}\)
B. \(10\sqrt{5}\)
C. \(2\sqrt{5}\)
D. \(5\sqrt{10}\)
（二）填空题
\(\sqrt{25}\)的平方根是______。
比较大小：\(\sqrt{7}\)______\(3\)（填 “\(>\)”“\(<\)” 或 “\(=\)”）。
若\(x^{2}=16\)，则\(x =\)；若\(x^{3}=-27\)，则\(x =\)。
（三）解答题
计算：
\(\sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\)
\(\sqrt[3]{-8}+\sqrt{0}-\sqrt{\frac{1}{4}}\)
已知\(x + 1\)的平方根是\(\pm2\)，\(2x + y - 2\)的立方根是\(2\)，求\(x^{2}+y^{2}\)的值。
五、总结提升
通过本章复习，学生应全面掌握数的开方相关知识，包括平方根、立方根的概念、性质与计算，实数的分类、运算以及与数轴的关系。针对易混易错点加强理解和练习，提高运算的准确性和对概念的辨析能力。鼓励学生在后续学习中，善于将数的开方知识与其他数学知识相结合，提升综合运用数学知识解决问题的能力。
这份复习方案涵盖第 10 章数的开方核心内容。你可对知识梳理详略、练习题难度等方面提出看法，我们共同完善，让复习更高效。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．理解并掌握幂的乘方的概念与意义；
2．熟练运用幂的乘方运算法则进行计算；
温故知新
am·an=am+n（m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂的乘法
公式：
文字描述：
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是10.
大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的10倍，太阳的半径是地球半径的102倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？
（球的体积公式为 ）
因此，木星的体积为V木星=
太阳的体积为V太阳=
知识点一 幂的乘方运算法则
（1）（a3）2
=a3·a3
（4）请同学们猜想并通过以上方法验证：
am·am·am am
n个am
…
· ·
…
= am+m+ +m
n个m
=am·am
（2）（am）2
=amn
（am）n=
=a3+3
=a6
=am+m
= a2m
(m是正整数)
（3）请你观察上述结果的底数与指数有何变化？
自主探究
试一试
根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空：
（1）（23）2
=23×23
=2×2×2×2×2×2
=26
2个23
am·an=am+n（m、n为正整数）
=3×2
（2）（52）3
（3）（a3）4
=52×52×52
=5×5×5×5×5×5
=56
3个52
=2×3
=a3·a3·a3·a3
4个a3
=a3×4
=a12
（am）n
=am+…+m+m
=amn
可得
n个am
=am·am·…·am
幂的乘方法则
符号语言：(am)n= amn (m，n都是正整数）
文字语言：幂的乘方，底数＿＿，指数＿＿.
不变
相乘
归纳总结
典例精析
【例1】下列计算中正确的是（ ）
A．(-an)2=an+2 B．(-a3)4=(-a4)3
C．(a4)4=a4·a4 D．(a4)4=(a2)8
【详解】解：A、(-an)2=a2n≠an+2，故计算错误；
B、(-a3)4=a12，(-a4)3=-a12 ， ∴(-a3)4≠(-a4)3，故计算错误；
C、(a4)4=a4·a4·a4·a4=a16≠a4·a4，故计算错误；
D、(a4)4=a16，(a2)8=a16，∴(a4)4=(a2)8，故计算正确.
故选：D．
【例2】若ax=4,ay=3，则ax+2y的值为 ．
【详解】解：∵ax=4,ay=3，
∴ax+2y=ax·(ay)2=4×32=36，
故答案为36．
练一练
1．已知3m=4，3n=，分别求：
(1)3m+n．
(2)32m+3n．
【详解】（1）解：∵3m=4，3n= ，
∴3m+n=3m×3n=4×=2；
（2）解：∵3m=4，3n= ，
∴32m+3n=32m×33n=(3m)2×(3n)3
=16×（）3=2．
1．若am=2，an=3．则a2m+3n的值为（ ）
A．13 B．31 C．100 D．108
【详解】解：∵am=2，an=3，
∴a2m+3n=(am)2(an)3=23×33=4×27=108.
故选：D．
1. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式中，计算结果等于 的是( )
A. B. C. D.
3. ［2025石家庄新华区月考］如果正方体的棱长是 ，
那么这个正方体的体积是( )
A. B. C. D.
√
√
√
返回
4. 下列算式：
； ；
； .其中正确的是
( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ②③
√
【点拨】 ，则原算式错误；
，则原算式正确；
，则原算式正确；
，则原算式错误.综上，正确的是
②③.
返回
5.若，，则 ____.
6.若，则 的值为____.
40
27
返回
7.计算.
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式
.
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘
方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项
式，也可以是多项式.
返回
8.若且，，是正整数，则 .利
用此结论解决下列问题：
（1）若，求 的值；
【解】 .
， ，解得
.
（2）若，求 的值.
.
，，解得 .
返回
9. 若，，则 等于( )
A. B. C. D.
【点拨】 ，
，，， .
设，则 ，
.
√
返回
10. ［2025上海普陀区期中］， 为正整数，若
成立，则( )
A. ，必同为奇数 B. ， 必同为偶数
C. 必为奇数 D. 必为奇数
11. 已知，，则 的值是
( )
A. 19 B. 18 C. 9 D. 7
√
√
返回
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m,n都是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
谢谢观看！
11.1.2 幂的乘方
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第 10 章 数的开方章末复习方案
一、知识框架梳理
（一）平方根相关知识
定义：如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根。正数\(a\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{a}\) ，其中\(\sqrt{a}\)是算术平方根，\(0\)的平方根是\(0\)，负数没有平方根。
性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\) 。
计算方法：通过平方运算的逆运算来求平方根，例如求\(25\)的平方根，因为\((\pm5)^{2}=25\)，所以\(25\)的平方根是\(\pm5\)。
（二）立方根相关知识
定义：如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^{3}=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根，用\(\sqrt[3]{a}\)表示。
性质：任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。
计算方法：同样基于立方运算的逆运算，如求\(27\)的立方根，由于\(3^{3}=27\)，所以\(\sqrt[3]{27}=3\)。
（三）实数的概念与分类
概念：有理数和无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数）。
分类
按定义分类：实数分为有理数和无理数，有理数进一步分为整数和分数，无理数即无限不循环小数。
按正负性分类：实数可分为正实数、\(0\)、负实数，正实数包含正有理数和正无理数，负实数包含负有理数和负无理数。
（四）实数的运算
运算规则：实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算，其规则与有理数运算规则类似。加法满足交换律和结合律，乘法满足交换律、结合律和分配律；减法可转化为加法，除法可转化为乘法 。
混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。运算律在实数运算中同样适用，可用于简化运算。
（五）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系。利用这一关系，可直观比较实数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大。
二、重点知识精讲
（一）平方根与立方根的区别与联系
区别
个数不同：正数有两个平方根，而正数只有一个正的立方根；负数没有平方根，但负数有一个负的立方根。
表示方法不同：平方根用\(\pm\sqrt{a}\)表示，立方根用\(\sqrt[3]{a}\)表示。
被开方数的取值范围不同：平方根中被开方数\(a\geq0\)，立方根中被开方数\(a\)为任意实数。
联系：二者都是开方运算，是乘方运算的逆运算；\(0\)的平方根和立方根都是\(0\)。
（二）实数的分类与判断
无理数的判断：关键看是否为无限不循环小数，常见的无理数形式有开方开不尽的数（如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt[3]{3}\) ）、含\(\pi\)的数（如\(2\pi\)）、有规律但不循环的无限小数（如\(0.1010010001\cdots\) ）。
实数分类的要点：分类时要明确标准，按定义或正负性进行准确分类，注意区分有理数和无理数，避免混淆。
（三）实数的运算技巧
根式化简：对于平方根和立方根，要将能开得尽方的数或式子进行化简，如\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) ，\(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\times3}=2\sqrt[3]{3}\)。
运算律的运用：在实数混合运算中，灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，可简化计算过程，例如计算\((\sqrt{3}+1)\times2=\sqrt{3}\times2 + 1\times2=2\sqrt{3}+2\)。
三、易混易错点剖析
平方根与算术平方根混淆：误将平方根当成算术平方根，忽略平方根的正负性。例如，求\(9\)的平方根，错误地只得出\(3\)，而正确答案是\(\pm3\)；求\(9\)的算术平方根才是\(3\)。
对无理数概念理解不清：认为带根号的数就是无理数，实际上只有开方开不尽的数才是无理数，如\(\sqrt{4}=2\)是有理数，\(\sqrt{2}\)是无理数 。
实数运算中的符号错误：在实数混合运算中，尤其是涉及负数的乘方、开方运算时，容易出现符号错误。例如，计算\((-2)^{2}=4\)，而不是\(-4\)；\(\sqrt[3]{-8}=-2\) 。
运算顺序错误：在实数混合运算中，不按照先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的顺序进行计算，导致结果错误。
四、综合练习巩固
（一）选择题
下列说法正确的是（ ）
A. \(4\)的平方根是\(2\)
B. \(-8\)的立方根是\(-2\)
C. \(\sqrt{16}\)的算术平方根是\(4\)
D. \(0\)没有平方根
下列各数中，是无理数的是（ ）
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\sqrt{4}\)
C. \(\pi\)
D. \(0.121212\cdots\)
计算\(\sqrt{5}\times\sqrt{10}\)的结果是（ ）
A. \(5\sqrt{2}\)
B. \(10\sqrt{5}\)
C. \(2\sqrt{5}\)
D. \(5\sqrt{10}\)
（二）填空题
\(\sqrt{25}\)的平方根是______。
比较大小：\(\sqrt{7}\)______\(3\)（填 “\(>\)”“\(<\)” 或 “\(=\)”）。
若\(x^{2}=16\)，则\(x =\)；若\(x^{3}=-27\)，则\(x =\)。
（三）解答题
计算：
\(\sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\)
\(\sqrt[3]{-8}+\sqrt{0}-\sqrt{\frac{1}{4}}\)
已知\(x + 1\)的平方根是\(\pm2\)，\(2x + y - 2\)的立方根是\(2\)，求\(x^{2}+y^{2}\)的值。
五、总结提升
通过本章复习，学生应全面掌握数的开方相关知识，包括平方根、立方根的概念、性质与计算，实数的分类、运算以及与数轴的关系。针对易混易错点加强理解和练习，提高运算的准确性和对概念的辨析能力。鼓励学生在后续学习中，善于将数的开方知识与其他数学知识相结合，提升综合运用数学知识解决问题的能力。
这份复习方案涵盖第 10 章数的开方核心内容。你可对知识梳理详略、练习题难度等方面提出看法，我们共同完善，让复习更高效。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．理解并掌握幂的乘方的概念与意义；
2．熟练运用幂的乘方运算法则进行计算；
温故知新
am·an=am+n（m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂的乘法
公式：
文字描述：
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是10.
大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的10倍，太阳的半径是地球半径的102倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？
（球的体积公式为 ）
因此，木星的体积为V木星=
太阳的体积为V太阳=
知识点一 幂的乘方运算法则
（1）（a3）2
=a3·a3
（4）请同学们猜想并通过以上方法验证：
am·am·am am
n个am
…
· ·
…
= am+m+ +m
n个m
=am·am
（2）（am）2
=amn
（am）n=
=a3+3
=a6
=am+m
= a2m
(m是正整数)
（3）请你观察上述结果的底数与指数有何变化？
自主探究
试一试
根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空：
（1）（23）2
=23×23
=2×2×2×2×2×2
=26
2个23
am·an=am+n（m、n为正整数）
=3×2
（2）（52）3
（3）（a3）4
=52×52×52
=5×5×5×5×5×5
=56
3个52
=2×3
=a3·a3·a3·a3
4个a3
=a3×4
=a12
（am）n
=am+…+m+m
=amn
可得
n个am
=am·am·…·am
幂的乘方法则
符号语言：(am)n= amn (m，n都是正整数）
文字语言：幂的乘方，底数＿＿，指数＿＿.
不变
相乘
归纳总结
典例精析
【例1】下列计算中正确的是（ ）
A．(-an)2=an+2 B．(-a3)4=(-a4)3
C．(a4)4=a4·a4 D．(a4)4=(a2)8
【详解】解：A、(-an)2=a2n≠an+2，故计算错误；
B、(-a3)4=a12，(-a4)3=-a12 ， ∴(-a3)4≠(-a4)3，故计算错误；
C、(a4)4=a4·a4·a4·a4=a16≠a4·a4，故计算错误；
D、(a4)4=a16，(a2)8=a16，∴(a4)4=(a2)8，故计算正确.
故选：D．
【例2】若ax=4,ay=3，则ax+2y的值为 ．
【详解】解：∵ax=4,ay=3，
∴ax+2y=ax·(ay)2=4×32=36，
故答案为36．
练一练
1．已知3m=4，3n=，分别求：
(1)3m+n．
(2)32m+3n．
【详解】（1）解：∵3m=4，3n= ，
∴3m+n=3m×3n=4×=2；
（2）解：∵3m=4，3n= ，
∴32m+3n=32m×33n=(3m)2×(3n)3
=16×（）3=2．
1．若am=2，an=3．则a2m+3n的值为（ ）
A．13 B．31 C．100 D．108
【详解】解：∵am=2，an=3，
∴a2m+3n=(am)2(an)3=23×33=4×27=108.
故选：D．
1. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式中，计算结果等于 的是( )
A. B. C. D.
3. ［2025石家庄新华区月考］如果正方体的棱长是 ，
那么这个正方体的体积是( )
A. B. C. D.
√
√
√
返回
4. 下列算式：
； ；
； .其中正确的是
( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ②③
√
【点拨】 ，则原算式错误；
，则原算式正确；
，则原算式正确；
，则原算式错误.综上，正确的是
②③.
返回
5.若，，则 ____.
6.若，则 的值为____.
40
27
返回
7.计算.
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式
.
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘
方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项
式，也可以是多项式.
返回
8.若且，，是正整数，则 .利
用此结论解决下列问题：
（1）若，求 的值；
【解】 .
， ，解得
.
（2）若，求 的值.
.
，，解得 .
返回
9. 若，，则 等于( )
A. B. C. D.
【点拨】 ，
，，， .
设，则 ，
.
√
返回
10. ［2025上海普陀区期中］， 为正整数，若
成立，则( )
A. ，必同为奇数 B. ， 必同为偶数
C. 必为奇数 D. 必为奇数
11. 已知，，则 的值是
( )
A. 19 B. 18 C. 9 D. 7
√
√
返回
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m,n都是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
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