11.2.1单项式与单项式相乘 课件(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 11.2.1单项式与单项式相乘 课件(共30张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 12:21:02 | ||
图片预览
文档简介
(共30张PPT)
11.2.1单项式与单项式相乘
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
11.2.1 单项式与单项式相乘教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述单项式与单项式相乘的运算法则，深入理解法则的推导依据；熟练运用该法则进行单项式与单项式的乘法运算，包括系数、相同字母以及不同字母的运算处理；能够运用单项式乘法法则解决整式乘法相关的简单数学问题和实际应用问题，如计算矩形面积、代数式化简等。
过程与方法目标：通过从具体的乘法运算实例出发，引导学生经历观察、分析、归纳单项式与单项式相乘法则的过程，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；在运用法则进行计算的过程中，提高学生的运算能力和知识迁移能力，让学生体会从特殊到一般的数学思维方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对单项式与单项式相乘知识的学习兴趣，感受数学知识在实际生活中的应用价值；在探究法则的活动中，培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极活跃的课堂氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握单项式与单项式相乘的运算法则，能够准确运用法则进行计算；清晰把握在运算过程中系数、同底数幂以及只在一个单项式中出现的字母的运算方法，这是本节课的核心知识，对后续学习单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘等内容至关重要。
教学难点：在单项式的系数为负数、字母指数为复杂形式时，准确运用法则进行计算，避免符号和指数运算错误；在实际问题和综合运算中，灵活运用单项式与单项式相乘的法则，正确处理多种运算的先后顺序，这对学生的综合运算能力和思维的严谨性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解单项式与单项式相乘的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
探究法：引导学生通过计算具体的单项式乘法实例，自主探究运算规律，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示单项式与单项式相乘法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨单项式乘法运算中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾幂的运算性质：提问学生同底数幂乘法法则（\(a^m a^n = a^{m + n}\)）、幂的乘方法则（\((a^m)^n = a^{mn}\)）和积的乘方法则（\((ab)^n = a^nb^n\)），让学生举例说明，并进行简单的计算练习，如\(x^3 ·x^2\)，\((y^2)^3\)，\((2z)^4\)，强化学生对幂运算知识的理解和记忆，为学习单项式乘法做好知识铺垫。
回顾单项式的相关概念：请学生回顾单项式的定义、系数和次数的概念，例如指出单项式\(-3x^2y\)的系数是\(-3\)，次数是\(3\)。通过提问和举例，加深学生对单项式基本概念的掌握，为后续学习单项式乘法做准备。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了幂的运算和单项式的相关知识，那么单项式与单项式之间如何进行乘法运算呢？比如\(3x^2\)与\(2x^3\)相乘，结果是怎样的？这就是我们今天要学习的内容 —— 单项式与单项式相乘。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
单项式与单项式相乘法则的探究（15 分钟）
实例计算：教师给出具体的单项式乘法实例，引导学生计算：
① \(4x^2 ·3x^5=(4 3) ·(x^2 ·x^5)=12x^{2 + 5}=12x^7\)；
② \(-2xy ·5x^2y^3=[(-2) 5] ·(x ·x^2) ·(y ·y^3)= -10x^{1 + 2}y^{1 + 3}= -10x^3y^4\)。
让学生观察计算过程，思考在计算过程中系数、相同字母分别是如何进行运算的。
总结规律：组织学生进行小组讨论，尝试总结单项式与单项式相乘的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
推导法则：教师从乘法交换律、结合律以及同底数幂乘法法则的角度，对单项式与单项式相乘的法则进行理论推导，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。
单项式与单项式相乘法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \(5a^2b ·3ab^3\)；② \(( -2x^2y^3) ·( -3xy)\)。
分析：教师引导学生根据单项式与单项式相乘的法则进行计算。对于①，系数相乘\(5 3 = 15\)，相同字母\(a\)的指数相加\(2 + 1 = 3\)，\(b\)的指数相加\(1 + 3 = 4\)，所以\(5a^2b ·3ab^3 = 15a^3b^4\)；对于②，先确定系数\(( -2) ( -3)=6\)，再计算相同字母的指数，\(x\)的指数相加\(2 + 1 = 3\)，\(y\)的指数相加\(3 + 1 = 4\)，所以\(( -2x^2y^3) ·( -3xy)=6x^3y^4\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理。
例 2：计算
① \(3a^2b ·2ab^3 ·( -2a^2b^2)\)；② \(( -4x^2y) ·( -x^2y^2) ·(\frac{1}{2}y^3)\)。
分析：对于多个单项式相乘的情况，同样按照单项式与单项式相乘的法则，从左到右依次进行计算。以①为例，先计算\(3a^2b ·2ab^3 = 6a^3b^4\)，再计算\(6a^3b^4 ·( -2a^2b^2)= -12a^{3 + 2}b^{4 + 2}= -12a^5b^6\) 。通过这两个例题，让学生掌握在更复杂的单项式乘法运算中运用法则的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\(2x^3 ·( -3x^2)\)，\(4y ·( -2xy^2)\)。
② 计算\(( -3ab) ·( -a^2c) ·2ab^2\)，\(( -2x^2)^3 ·( -3x^3)^2\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如系数的乘法运算、同底数幂的指数相加、符号的确定以及多个单项式相乘的运算顺序等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\(3a^3 ·2a^2 = 6a^6\)；
\(2x^2 ·3x^2 = 6x^4\)；
\(3x^2 ·4x^2 = 12x^2\)；
\(5y^3 ·3y^5 = 15y^{15}\)。
计算：
\(( -5a^2b) ·( -3a)\)；
\(( -2x)^3 ·( -4xy^2)\)；
\(( -3ab) ·( -a^2c) ·2ab^2\)；
已知一个长方形的长为\(4 10^3\)厘米，宽为\(3 10^3\)厘米，求这个长方形的面积（用科学记数法表示）。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对单项式与单项式相乘法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调单项式与单项式相乘的运算法则，即系数、相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母连同其指数作为积的因式；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如符号错误、指数计算错误、遗漏只在一个单项式中出现的字母等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握单项式与单项式相乘的运算，为后续学习整式乘法的其他内容做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固单项式与单项式相乘的基础知识和运算技能。
选做题：已知\(( -2x^m y^3) ·( -3x^2 y^n)=6x^6 y^5\)，求\(m\)和\(n\)的值；计算\(( -2a^2b)^3 ·( -ab^2) ·[ -2(a^3b^2)^2]\)。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕单项式与单项式相乘构建教学框架。你若对教学情境、例题设计、练习形式等方面有新想法，欢迎提出，我们一同优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．掌握单项式与单项式相乘的运算法则；
2．熟练运用单项式与单项式相乘的运算法则，并且可以对有关的计算进行化简求值；
温故知新
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m，n都是正整数).
幂的乘方法则：(am)n=amn ( m，n都是正整数).
积的乘方法则：(ab)n=anbn ( m，n都是正整数).
同底数幂的除法法则：am ÷an=am-n(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n).
知识点一 单项式与单项式相乘
计算：
（1）(2×103)×(5×104)
=2×5×103×104
=10×103×104
=101+3+4
=108
（2）2x3·5x2
=2×5·(x3·x2)
=10x5
想一想： （1）怎样计算（3 ×103）×（5 ×104）？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2,怎样计算这个式子？
（2） ac5 ·bc2=（a ·b) ·(c5·c2) (乘法交换律、结合律）
=abc5+2 (同底数幂的乘法）
=abc7.
（1）利用乘法交换律和结合律有：
(3×103)×(5×104)=(2×5)×(103×104)=10×107.
这种书写规范吗？
不规范，应为1×108.
单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.
知识要点
单项式与单项式的乘法法则
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意：
典例精析
【例1】计算3a2b·(-2ab2)3的结果是（ ）
A．-18a5b5 B．-18a6b7 C．-24a5b7 D．24a6b7
【详解】解：原式=3a2b·(-8a3b6)=-24a5b7．
故选：C．
练一练
1．若5am+2b2与3an+1bn的积是15a8b4，则nm= .
【详解】解：∵5am+2b2×3an+1bn=15am+n+3b2+n=15a8b4，
∴，
解方程组得：，
nm=23=8，
故答案为8．
2．计算：
(1)2x3y2·(-2xy2z)2； (2)(-2x2)3+x2·x4-(-3x3)2．
【详解】（1）解：原式=2x3y2·4x2y4z2=8x5y6z2；
(2）解：原式=-8x6+x6-9x6=-16x6
知识点二 单项式与单项式相乘的几何意义
你能分别说出a·a、和a·ab的几何意
义吗？
a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎么理解呢？
a·ab可以看作是高为a，底面长和宽分别为a、b的长方体的体积！
你能分别说出a·b、3a·2a和3a·5ab的几何意义吗？
3a·2a可以看作是长为3a，宽为2a的长方形的面积.
3a·5ab可以看作是高为3a，底面长和宽分别为5a、b的长方体的体积！
典例精析
【例2】纳米是一种长度单位，1米=109纳米，试计算长为5米，宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？
5米=5×109纳米
4米=4×109纳米
3米=3×109纳米
V=5×109×4×109×3×109
=60×1027
=6×1028（立方纳米）
答：长方体体积是6×1028立方纳米.
1．计算a3b·(ab)2的结果是（ ）
A．a5b2 B．a4b3 C．a3b3 D．a5b3
【详解】解：a3b·(ab)2=a3b·a2b2=a5b3，
故选：D．
1. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 计算 的结果用科
学记数法表示正确的是( )
A. 180 000 000 B.
C. D.
3. 已知长方形的长为，宽为 ，则它的面积为( )
A. B. C. D.
√
√
√
返回
4. 如图，甲、乙、丙三人合作完成一道计
算题目，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行
一步计算，再将结果传递给下一人.自己负责的一步出现错误
的是( )
A. 只有甲 B. 乙和丙
C. 甲和丙 D. 甲、乙、丙
√
返回
5. 光的速度约为 ，以太阳系以外距
离地球最近的一颗恒星（比邻星）发出的光，需要4年的时
间才能到达地球.若一年以 计算，则这颗恒星到地球
的距离是__________ .
返回
6. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
（1）在计算时，应先进行符号运算，积的系数等
于各因式系数的积；（2）注意按顺序运算；（3）不要丢掉
只在一个单项式里含有的字母因式；（4）此性质对于多个
单项式相乘仍然成立.
返回
7.（1）先化简，再求值： ，
其中， ；
【解】原式 .
当， 时，原式
.
（2）已知有理数，， 满足
，求
的值.
因为 ，
所以，, ,
解得,， .
所以 .
返回
8. 若，则 的算
术平方根是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【点拨】 ，
，，解得， ，
， 的算术平方根为2.
√
掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，
列出二元一次方程组是解题关键.
返回
9. ［2025重庆北碚区月考］若单项式 与
是同类项，则这两个单项式的积是( )
A. B. C. D.
【点拨】由题意可得解得
这两个单项式分别是 ，
.
√
返回
10. 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位： ），则做这两个纸
盒共用料( )
长 宽 高
小纸盒
大纸盒
A. B.
C. D.
√
【点拨】由题意得 .
返回
11. “三角” 表示 ，“方框”
表示 ，则 × 的值为__________.
返回
12.王老师把家里的 密码设置成了数学问题.吴同学来王
老师家做客，看到 图片（如图），思索了一会儿，输入
密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密
码是__________.
返回
单项式与单项式相乘
单项式×单项式
实质上是转化为同底数幂的运算
注意
（1）不要出现漏乘现象
（2）有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
谢谢观看！
11.2.1单项式与单项式相乘
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
11.2.1 单项式与单项式相乘教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述单项式与单项式相乘的运算法则，深入理解法则的推导依据；熟练运用该法则进行单项式与单项式的乘法运算，包括系数、相同字母以及不同字母的运算处理；能够运用单项式乘法法则解决整式乘法相关的简单数学问题和实际应用问题，如计算矩形面积、代数式化简等。
过程与方法目标：通过从具体的乘法运算实例出发，引导学生经历观察、分析、归纳单项式与单项式相乘法则的过程，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；在运用法则进行计算的过程中，提高学生的运算能力和知识迁移能力，让学生体会从特殊到一般的数学思维方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对单项式与单项式相乘知识的学习兴趣，感受数学知识在实际生活中的应用价值；在探究法则的活动中，培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极活跃的课堂氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握单项式与单项式相乘的运算法则，能够准确运用法则进行计算；清晰把握在运算过程中系数、同底数幂以及只在一个单项式中出现的字母的运算方法，这是本节课的核心知识，对后续学习单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘等内容至关重要。
教学难点：在单项式的系数为负数、字母指数为复杂形式时，准确运用法则进行计算，避免符号和指数运算错误；在实际问题和综合运算中，灵活运用单项式与单项式相乘的法则，正确处理多种运算的先后顺序，这对学生的综合运算能力和思维的严谨性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解单项式与单项式相乘的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
探究法：引导学生通过计算具体的单项式乘法实例，自主探究运算规律，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示单项式与单项式相乘法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨单项式乘法运算中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾幂的运算性质：提问学生同底数幂乘法法则（\(a^m a^n = a^{m + n}\)）、幂的乘方法则（\((a^m)^n = a^{mn}\)）和积的乘方法则（\((ab)^n = a^nb^n\)），让学生举例说明，并进行简单的计算练习，如\(x^3 ·x^2\)，\((y^2)^3\)，\((2z)^4\)，强化学生对幂运算知识的理解和记忆，为学习单项式乘法做好知识铺垫。
回顾单项式的相关概念：请学生回顾单项式的定义、系数和次数的概念，例如指出单项式\(-3x^2y\)的系数是\(-3\)，次数是\(3\)。通过提问和举例，加深学生对单项式基本概念的掌握，为后续学习单项式乘法做准备。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了幂的运算和单项式的相关知识，那么单项式与单项式之间如何进行乘法运算呢？比如\(3x^2\)与\(2x^3\)相乘，结果是怎样的？这就是我们今天要学习的内容 —— 单项式与单项式相乘。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
单项式与单项式相乘法则的探究（15 分钟）
实例计算：教师给出具体的单项式乘法实例，引导学生计算：
① \(4x^2 ·3x^5=(4 3) ·(x^2 ·x^5)=12x^{2 + 5}=12x^7\)；
② \(-2xy ·5x^2y^3=[(-2) 5] ·(x ·x^2) ·(y ·y^3)= -10x^{1 + 2}y^{1 + 3}= -10x^3y^4\)。
让学生观察计算过程，思考在计算过程中系数、相同字母分别是如何进行运算的。
总结规律：组织学生进行小组讨论，尝试总结单项式与单项式相乘的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
推导法则：教师从乘法交换律、结合律以及同底数幂乘法法则的角度，对单项式与单项式相乘的法则进行理论推导，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。
单项式与单项式相乘法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \(5a^2b ·3ab^3\)；② \(( -2x^2y^3) ·( -3xy)\)。
分析：教师引导学生根据单项式与单项式相乘的法则进行计算。对于①，系数相乘\(5 3 = 15\)，相同字母\(a\)的指数相加\(2 + 1 = 3\)，\(b\)的指数相加\(1 + 3 = 4\)，所以\(5a^2b ·3ab^3 = 15a^3b^4\)；对于②，先确定系数\(( -2) ( -3)=6\)，再计算相同字母的指数，\(x\)的指数相加\(2 + 1 = 3\)，\(y\)的指数相加\(3 + 1 = 4\)，所以\(( -2x^2y^3) ·( -3xy)=6x^3y^4\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理。
例 2：计算
① \(3a^2b ·2ab^3 ·( -2a^2b^2)\)；② \(( -4x^2y) ·( -x^2y^2) ·(\frac{1}{2}y^3)\)。
分析：对于多个单项式相乘的情况，同样按照单项式与单项式相乘的法则，从左到右依次进行计算。以①为例，先计算\(3a^2b ·2ab^3 = 6a^3b^4\)，再计算\(6a^3b^4 ·( -2a^2b^2)= -12a^{3 + 2}b^{4 + 2}= -12a^5b^6\) 。通过这两个例题，让学生掌握在更复杂的单项式乘法运算中运用法则的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\(2x^3 ·( -3x^2)\)，\(4y ·( -2xy^2)\)。
② 计算\(( -3ab) ·( -a^2c) ·2ab^2\)，\(( -2x^2)^3 ·( -3x^3)^2\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如系数的乘法运算、同底数幂的指数相加、符号的确定以及多个单项式相乘的运算顺序等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\(3a^3 ·2a^2 = 6a^6\)；
\(2x^2 ·3x^2 = 6x^4\)；
\(3x^2 ·4x^2 = 12x^2\)；
\(5y^3 ·3y^5 = 15y^{15}\)。
计算：
\(( -5a^2b) ·( -3a)\)；
\(( -2x)^3 ·( -4xy^2)\)；
\(( -3ab) ·( -a^2c) ·2ab^2\)；
已知一个长方形的长为\(4 10^3\)厘米，宽为\(3 10^3\)厘米，求这个长方形的面积（用科学记数法表示）。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对单项式与单项式相乘法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调单项式与单项式相乘的运算法则，即系数、相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母连同其指数作为积的因式；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如符号错误、指数计算错误、遗漏只在一个单项式中出现的字母等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握单项式与单项式相乘的运算，为后续学习整式乘法的其他内容做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固单项式与单项式相乘的基础知识和运算技能。
选做题：已知\(( -2x^m y^3) ·( -3x^2 y^n)=6x^6 y^5\)，求\(m\)和\(n\)的值；计算\(( -2a^2b)^3 ·( -ab^2) ·[ -2(a^3b^2)^2]\)。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕单项式与单项式相乘构建教学框架。你若对教学情境、例题设计、练习形式等方面有新想法，欢迎提出，我们一同优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．掌握单项式与单项式相乘的运算法则；
2．熟练运用单项式与单项式相乘的运算法则，并且可以对有关的计算进行化简求值；
温故知新
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m，n都是正整数).
幂的乘方法则：(am)n=amn ( m，n都是正整数).
积的乘方法则：(ab)n=anbn ( m，n都是正整数).
同底数幂的除法法则：am ÷an=am-n(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n).
知识点一 单项式与单项式相乘
计算：
（1）(2×103)×(5×104)
=2×5×103×104
=10×103×104
=101+3+4
=108
（2）2x3·5x2
=2×5·(x3·x2)
=10x5
想一想： （1）怎样计算（3 ×103）×（5 ×104）？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2,怎样计算这个式子？
（2） ac5 ·bc2=（a ·b) ·(c5·c2) (乘法交换律、结合律）
=abc5+2 (同底数幂的乘法）
=abc7.
（1）利用乘法交换律和结合律有：
(3×103)×(5×104)=(2×5)×(103×104)=10×107.
这种书写规范吗？
不规范，应为1×108.
单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.
知识要点
单项式与单项式的乘法法则
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意：
典例精析
【例1】计算3a2b·(-2ab2)3的结果是（ ）
A．-18a5b5 B．-18a6b7 C．-24a5b7 D．24a6b7
【详解】解：原式=3a2b·(-8a3b6)=-24a5b7．
故选：C．
练一练
1．若5am+2b2与3an+1bn的积是15a8b4，则nm= .
【详解】解：∵5am+2b2×3an+1bn=15am+n+3b2+n=15a8b4，
∴，
解方程组得：，
nm=23=8，
故答案为8．
2．计算：
(1)2x3y2·(-2xy2z)2； (2)(-2x2)3+x2·x4-(-3x3)2．
【详解】（1）解：原式=2x3y2·4x2y4z2=8x5y6z2；
(2）解：原式=-8x6+x6-9x6=-16x6
知识点二 单项式与单项式相乘的几何意义
你能分别说出a·a、和a·ab的几何意
义吗？
a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎么理解呢？
a·ab可以看作是高为a，底面长和宽分别为a、b的长方体的体积！
你能分别说出a·b、3a·2a和3a·5ab的几何意义吗？
3a·2a可以看作是长为3a，宽为2a的长方形的面积.
3a·5ab可以看作是高为3a，底面长和宽分别为5a、b的长方体的体积！
典例精析
【例2】纳米是一种长度单位，1米=109纳米，试计算长为5米，宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？
5米=5×109纳米
4米=4×109纳米
3米=3×109纳米
V=5×109×4×109×3×109
=60×1027
=6×1028（立方纳米）
答：长方体体积是6×1028立方纳米.
1．计算a3b·(ab)2的结果是（ ）
A．a5b2 B．a4b3 C．a3b3 D．a5b3
【详解】解：a3b·(ab)2=a3b·a2b2=a5b3，
故选：D．
1. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 计算 的结果用科
学记数法表示正确的是( )
A. 180 000 000 B.
C. D.
3. 已知长方形的长为，宽为 ，则它的面积为( )
A. B. C. D.
√
√
√
返回
4. 如图，甲、乙、丙三人合作完成一道计
算题目，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行
一步计算，再将结果传递给下一人.自己负责的一步出现错误
的是( )
A. 只有甲 B. 乙和丙
C. 甲和丙 D. 甲、乙、丙
√
返回
5. 光的速度约为 ，以太阳系以外距
离地球最近的一颗恒星（比邻星）发出的光，需要4年的时
间才能到达地球.若一年以 计算，则这颗恒星到地球
的距离是__________ .
返回
6. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
（1）在计算时，应先进行符号运算，积的系数等
于各因式系数的积；（2）注意按顺序运算；（3）不要丢掉
只在一个单项式里含有的字母因式；（4）此性质对于多个
单项式相乘仍然成立.
返回
7.（1）先化简，再求值： ，
其中， ；
【解】原式 .
当， 时，原式
.
（2）已知有理数，， 满足
，求
的值.
因为 ，
所以，, ,
解得,， .
所以 .
返回
8. 若，则 的算
术平方根是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【点拨】 ，
，，解得， ，
， 的算术平方根为2.
√
掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，
列出二元一次方程组是解题关键.
返回
9. ［2025重庆北碚区月考］若单项式 与
是同类项，则这两个单项式的积是( )
A. B. C. D.
【点拨】由题意可得解得
这两个单项式分别是 ，
.
√
返回
10. 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位： ），则做这两个纸
盒共用料( )
长 宽 高
小纸盒
大纸盒
A. B.
C. D.
√
【点拨】由题意得 .
返回
11. “三角” 表示 ，“方框”
表示 ，则 × 的值为__________.
返回
12.王老师把家里的 密码设置成了数学问题.吴同学来王
老师家做客，看到 图片（如图），思索了一会儿，输入
密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密
码是__________.
返回
单项式与单项式相乘
单项式×单项式
实质上是转化为同底数幂的运算
注意
（1）不要出现漏乘现象
（2）有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
谢谢观看！