11.2.3多项式与多项式相乘 课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 11.2.3多项式与多项式相乘 课件(共25张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 12:19:45 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
11.2.3多项式与多项式相乘
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
多项式与多项式相乘教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述多项式与多项式相乘的运算法则，理解法则的推导过程；熟练运用该法则进行多项式与多项式的乘法运算，包括展开、合并同类项等步骤；能够运用多项式乘法法则解决整式化简、求值等数学问题，以及解决实际生活中涉及面积计算、数量关系分析等相关问题。
过程与方法目标：通过将多项式与多项式相乘逐步转化为单项式与多项式相乘，再转化为单项式与单项式相乘的过程，引导学生经历观察、分析、归纳的思维过程，培养学生的知识迁移能力和逻辑推理能力；在运用法则进行计算的过程中，提高学生的运算能力和解决问题的能力，让学生体会转化与化归的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对多项式与多项式相乘知识的学习兴趣，感受数学知识之间的紧密联系和系统性；在探究法则的活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极活跃的课堂氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握多项式与多项式相乘的运算法则，能够准确运用法则进行计算；明确在运算过程中如何确保不重不漏地将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，并正确合并同类项，这是本节课的核心知识，对后续学习整式的混合运算、因式分解等内容至关重要。
教学难点：在多项式项数较多、系数为负数或字母指数复杂的情况下，准确运用法则进行计算，避免漏乘、符号错误和同类项合并错误等问题；在综合运算中，能够灵活运用多项式与多项式相乘的法则，合理安排运算顺序，这对学生的综合运算能力和思维的严谨性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解多项式与多项式相乘的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
类比探究法：通过类比单项式与多项式相乘的学习方法，引导学生自主探究多项式与多项式相乘的规律，培养学生的自主学习能力和知识迁移能力。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示多项式与多项式相乘法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨多项式乘法运算中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾单项式与多项式相乘法则：提问学生单项式与多项式相乘的运算法则，让学生举例说明，如\(3x ·(2x - 1)=3x ·2x - 3x ·1 = 6x^2 - 3x\)，并进行简单的计算练习，强化学生对该法则的理解和记忆。
回顾乘法分配律：再次强调乘法分配律\(a(b + c)=ab + ac\)，通过变形\((a + b)c = ac + bc\)，加深学生对分配律不同形式的理解，为学习多项式与多项式相乘做好铺垫。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了单项式与多项式相乘，那么当两个多项式相乘时，如\((a + b)(m + n)\)，应该如何进行计算呢？这就是我们今天要一起探究的内容 —— 多项式与多项式相乘。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
多项式与多项式相乘法则的探究（15 分钟）
实例分析：以\((a + b)(m + n)\)为例，教师引导学生将\((m + n)\)看作一个整体，根据乘法分配律，\((a + b)(m + n)=a(m + n)+b(m + n)\)；然后再分别对\(a(m + n)\)和\(b(m + n)\)运用单项式与多项式相乘的法则，得到\(a(m + n)+b(m + n)=am + an + bm + bn\) 。
总结规律：组织学生进行小组讨论，观察上述计算过程，尝试总结多项式与多项式相乘的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
推导法则：教师从乘法分配律以及单项式与多项式相乘法则的理论基础出发，对多项式与多项式相乘的法则进行一般性推导，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。同时，通过几何图形的面积表示（如长为\(a + b\)，宽为\(m + n\)的长方形，可分割为四个小长方形，其面积分别为\(am\)、\(an\)、\(bm\)、\(bn\)，总面积为\((a + b)(m + n)=am + an + bm + bn\)），帮助学生从直观角度理解法则。
多项式与多项式相乘法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((x + 2)(x + 3)\)；② \((a - 4)(a + 5)\)。
分析：教师引导学生根据多项式与多项式相乘的法则进行计算。对于①，\((x + 2)(x + 3)=x ·x + x ·3 + 2 ·x + 2 3 = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)；对于②，\((a - 4)(a + 5)=a ·a + a ·5 + (-4) ·a + (-4) 5 = a^2 + 5a - 4a - 20 = a^2 + a - 20\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理，以及不要漏乘多项式的项。
例 2：计算\((2x - 3)(3x + 4)\)。
分析：按照法则，\((2x - 3)(3x + 4)=2x ·3x + 2x ·4 + (-3) ·3x + (-3) 4 = 6x^2 + 8x - 9x - 12 = 6x^2 - x - 12\) 。重点强调在计算过程中，每一项相乘时要注意系数和符号的运算，最后要仔细合并同类项。
例 3：先化简，再求值：\((x - 1)(x + 2) - (x + 3)(x - 3)\)，其中\(x = 2\)。
分析：首先根据多项式与多项式相乘的法则分别展开式子，\((x - 1)(x + 2)=x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2\)，\((x + 3)(x - 3)=x^2 - 9\)；然后进行式子的化简，\((x - 1)(x + 2) - (x + 3)(x - 3)=x^2 + x - 2 - (x^2 - 9)=x^2 + x - 2 - x^2 + 9 = x + 7\)；最后将\(x = 2\)代入化简后的式子求值，\(2 + 7 = 9\) 。通过这个例题，让学生掌握在综合运算中运用法则进行化简和求值的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((y + 5)(y - 3)\)，\((3x + 1)(2x - 5)\)。
② 先化简，再求值：\((2a + 3)(a - 1) - (a - 2)^2\)，其中\(a = -1\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如符号的确定、不要漏乘、同类项的合并等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((x + 2)(x - 3)=x^2 - 6\)；
\((2a - 1)(a + 2)=2a^2 + 4a - a = 2a^2 + 3a\)；
\((m + 3)(m - 3)=m^2 - 6m - 9\)；
\((x - 2)(x - 2)=x^2 - 4\)。
计算：
\((2x + 5)(3x - 2)\)；
\((a - 2b)(a + 3b)\)；
已知一个长方形的长为\(2x + 1\)，宽比长少\(x - 3\)，用式子表示这个长方形的面积，并求当\(x = 4\)时长方形的面积。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对多项式与多项式相乘法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调多项式与多项式相乘的运算法则，即 “先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如漏乘、符号错误、同类项合并错误等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握多项式与多项式相乘的运算，为后续学习整式的混合运算等知识做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固多项式与多项式相乘的基础知识和运算技能。
选做题：已知\((x + a)(x + b)=x^2 + mx + n\)，\(m = 6\)，\(n = 8\)，求\(a^2 + b^2\)的值。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕多项式与多项式相乘构建教学框架。你若对教学情境创设、例题难度调整、练习形式创新等方面有想法，欢迎提出，我们进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．理解并掌握多项式与多项式相乘的法则；
2．运用多项式与多项式的乘法法则进行运算；
温故知新
(1)(-x)3·(-x)3·(-x)5=______;
(2) (x2)4=_______;
(3) (x3y5)4=______;
(4)(xy)3·(xy)4·(xy)5=______;
(5) (-3x3y)(-5x4y2z4)=___________;
(6)-3ab2(-4a+3ab-2)=___________________.
-x11
x8
x12y20
x12y12
15x7y3z4
12a2b2-9a2b3+6ab2
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米.用两种方法表示这块林地现在的面积，你知道下面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？
m
n
b
am
bm
an
bn
a
知识点一 多项式与多项式相乘
ma
na
mb
nb
a
m
b
n
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
这块林区现在长为（m+n）米，宽为（a+b）米.
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：
(m+n)(a+b)=
ma
+ mb
+ na
+ nb.
如何进行多项式与多项式相乘的运算 ？
实际上，把(m+n)看成一个整体，有：
= ma+mb+na+nb.
(m+n)(a+b)
= (m+n)a+(m+n)b
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
知识要点
多项式乘以多项式
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
典例精析
【例1】计算：
（1）(x+2)(x-3)；
（2）(2x+5y)(3x-2y).
-3x
=x2-x-6
=x2
+2x
-6
=6x2
=6x2+11xy-10y2
-10y2
-4xy
+15xy
【例2】计算：
（1）(m-2n)(m2+mn-3n2)
（2）(3x2-2x+2)(2x+1)
（1）(m-2n)(m2+mn-3n2)
=m· m2 +m·mn-m·3n2-2n·m2-2n·mn+2n·3n2
=m3 +m2n-3mn2-2m2n-2mn2+6n3
=m3-m2n-5mn2+6n3
（2）(3x2-2x+2)(2x+1)
=6x3+3x2-4x2-2x+4x+2
=6x3-x2+2x+2
练一练
（1）(x+5)(x-7)；
1、计算：
（2）(x+5y)(x-7y)；
（3）(2m+3n)(2m-3n)；
（4）(2a+3b)2.
=x2-7x+5x-35
=x2-2x-35
=x2-7xy+5xy-35y2
=x2-2xy-35y2
=4m2+6mn-6mn-9n2
=4m2-9n2
=4a2+12ab+9b2
1．若(x-1)(x+m)=x2+2x+n，则常数n的值为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
【详解】解：∵(x-1)(x+m)=x2+(m-1)x-m，
∴m-1=2,n=-m，
解得：m=3,n=-3.
故选：C
1. ［2025海口龙华区期中］若
，则与 的值分别是( )
A. ，6 B. 1， C. ， D. ，2
2. 聪聪计算一道整式乘法的题： ，由于
聪聪将第一个多项式中的“”抄成“ ”，得到的结果为
，则 的值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
√
√
返回
3. 多项式的计算结果是，已知 ，由
此可知多项式 是( )
A. B. C. D.
4. 已知，则 的值为
( )
A. B. 2 C. D.
√
√
返回
5. 观察如图所示多项式相乘的运算过程，根
据你发现的规律，若 ，则整
数 的值可能是__________________.（写出一个即可）
10（答案不唯一）
（第5题）
返回
（第6题）
6. 如图，某中学校园内有
一块长为米，宽为 米的
长方形地块，学校计划在中间修一个“ ”
形文化广场.
（1）“ ”形文化广场的面积为__________平方米；
（2）当，时，“ ”形文化广场的面积为____平方米.
38
返回
7. 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） .
原式
.
多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到
不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.
返回
8.解方程或不等式.
（1） ；
【解】 ，
， ，
， .
（2） .
，
，， .
返回
9. 已知，是常数，若化简 的结果不
含的二次项，则 的值为( )
A. 1 B. C. 5 D.
【点拨】 .
不含 的二次项，
.
√
返回
10. 小明制作
了如图所示的卡片类，
A. 够用，剩余1张 B. 够用，剩余5张
C. 不够用，还缺1张 D. 不够用，还缺5张
类，类各50张，其中，两类卡片都是正方形， 类卡片
是长方形，现要拼一个长为，宽为 的大
长方形，那么下列关于他所准备的 类卡片的张数的说法中，
正确的是( )
√
【点拨】大长方形的面积为
类卡片的面
积是， 需要类卡片的张数是 不够用，还缺1张.
返回
11. ［2025南通期中］小红同学在解决问题“已知 ，求
的最小值”的思路如图.结合小红同学的思路探究，若
，则式子 ( )
设， ，
则 .
， .
的最小值为 .
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最大值
√
多项式×多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.
谢谢观看！
11.2.3多项式与多项式相乘
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
多项式与多项式相乘教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述多项式与多项式相乘的运算法则，理解法则的推导过程；熟练运用该法则进行多项式与多项式的乘法运算，包括展开、合并同类项等步骤；能够运用多项式乘法法则解决整式化简、求值等数学问题，以及解决实际生活中涉及面积计算、数量关系分析等相关问题。
过程与方法目标：通过将多项式与多项式相乘逐步转化为单项式与多项式相乘，再转化为单项式与单项式相乘的过程，引导学生经历观察、分析、归纳的思维过程，培养学生的知识迁移能力和逻辑推理能力；在运用法则进行计算的过程中，提高学生的运算能力和解决问题的能力，让学生体会转化与化归的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对多项式与多项式相乘知识的学习兴趣，感受数学知识之间的紧密联系和系统性；在探究法则的活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力，营造积极活跃的课堂氛围。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握多项式与多项式相乘的运算法则，能够准确运用法则进行计算；明确在运算过程中如何确保不重不漏地将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，并正确合并同类项，这是本节课的核心知识，对后续学习整式的混合运算、因式分解等内容至关重要。
教学难点：在多项式项数较多、系数为负数或字母指数复杂的情况下，准确运用法则进行计算，避免漏乘、符号错误和同类项合并错误等问题；在综合运算中，能够灵活运用多项式与多项式相乘的法则，合理安排运算顺序，这对学生的综合运算能力和思维的严谨性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解多项式与多项式相乘的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
类比探究法：通过类比单项式与多项式相乘的学习方法，引导学生自主探究多项式与多项式相乘的规律，培养学生的自主学习能力和知识迁移能力。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示多项式与多项式相乘法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨多项式乘法运算中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾单项式与多项式相乘法则：提问学生单项式与多项式相乘的运算法则，让学生举例说明，如\(3x ·(2x - 1)=3x ·2x - 3x ·1 = 6x^2 - 3x\)，并进行简单的计算练习，强化学生对该法则的理解和记忆。
回顾乘法分配律：再次强调乘法分配律\(a(b + c)=ab + ac\)，通过变形\((a + b)c = ac + bc\)，加深学生对分配律不同形式的理解，为学习多项式与多项式相乘做好铺垫。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了单项式与多项式相乘，那么当两个多项式相乘时，如\((a + b)(m + n)\)，应该如何进行计算呢？这就是我们今天要一起探究的内容 —— 多项式与多项式相乘。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
多项式与多项式相乘法则的探究（15 分钟）
实例分析：以\((a + b)(m + n)\)为例，教师引导学生将\((m + n)\)看作一个整体，根据乘法分配律，\((a + b)(m + n)=a(m + n)+b(m + n)\)；然后再分别对\(a(m + n)\)和\(b(m + n)\)运用单项式与多项式相乘的法则，得到\(a(m + n)+b(m + n)=am + an + bm + bn\) 。
总结规律：组织学生进行小组讨论，观察上述计算过程，尝试总结多项式与多项式相乘的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
推导法则：教师从乘法分配律以及单项式与多项式相乘法则的理论基础出发，对多项式与多项式相乘的法则进行一般性推导，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。同时，通过几何图形的面积表示（如长为\(a + b\)，宽为\(m + n\)的长方形，可分割为四个小长方形，其面积分别为\(am\)、\(an\)、\(bm\)、\(bn\)，总面积为\((a + b)(m + n)=am + an + bm + bn\)），帮助学生从直观角度理解法则。
多项式与多项式相乘法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((x + 2)(x + 3)\)；② \((a - 4)(a + 5)\)。
分析：教师引导学生根据多项式与多项式相乘的法则进行计算。对于①，\((x + 2)(x + 3)=x ·x + x ·3 + 2 ·x + 2 3 = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)；对于②，\((a - 4)(a + 5)=a ·a + a ·5 + (-4) ·a + (-4) 5 = a^2 + 5a - 4a - 20 = a^2 + a - 20\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理，以及不要漏乘多项式的项。
例 2：计算\((2x - 3)(3x + 4)\)。
分析：按照法则，\((2x - 3)(3x + 4)=2x ·3x + 2x ·4 + (-3) ·3x + (-3) 4 = 6x^2 + 8x - 9x - 12 = 6x^2 - x - 12\) 。重点强调在计算过程中，每一项相乘时要注意系数和符号的运算，最后要仔细合并同类项。
例 3：先化简，再求值：\((x - 1)(x + 2) - (x + 3)(x - 3)\)，其中\(x = 2\)。
分析：首先根据多项式与多项式相乘的法则分别展开式子，\((x - 1)(x + 2)=x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2\)，\((x + 3)(x - 3)=x^2 - 9\)；然后进行式子的化简，\((x - 1)(x + 2) - (x + 3)(x - 3)=x^2 + x - 2 - (x^2 - 9)=x^2 + x - 2 - x^2 + 9 = x + 7\)；最后将\(x = 2\)代入化简后的式子求值，\(2 + 7 = 9\) 。通过这个例题，让学生掌握在综合运算中运用法则进行化简和求值的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((y + 5)(y - 3)\)，\((3x + 1)(2x - 5)\)。
② 先化简，再求值：\((2a + 3)(a - 1) - (a - 2)^2\)，其中\(a = -1\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如符号的确定、不要漏乘、同类项的合并等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((x + 2)(x - 3)=x^2 - 6\)；
\((2a - 1)(a + 2)=2a^2 + 4a - a = 2a^2 + 3a\)；
\((m + 3)(m - 3)=m^2 - 6m - 9\)；
\((x - 2)(x - 2)=x^2 - 4\)。
计算：
\((2x + 5)(3x - 2)\)；
\((a - 2b)(a + 3b)\)；
已知一个长方形的长为\(2x + 1\)，宽比长少\(x - 3\)，用式子表示这个长方形的面积，并求当\(x = 4\)时长方形的面积。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对多项式与多项式相乘法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调多项式与多项式相乘的运算法则，即 “先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如漏乘、符号错误、同类项合并错误等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握多项式与多项式相乘的运算，为后续学习整式的混合运算等知识做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固多项式与多项式相乘的基础知识和运算技能。
选做题：已知\((x + a)(x + b)=x^2 + mx + n\)，\(m = 6\)，\(n = 8\)，求\(a^2 + b^2\)的值。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕多项式与多项式相乘构建教学框架。你若对教学情境创设、例题难度调整、练习形式创新等方面有想法，欢迎提出，我们进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．理解并掌握多项式与多项式相乘的法则；
2．运用多项式与多项式的乘法法则进行运算；
温故知新
(1)(-x)3·(-x)3·(-x)5=______;
(2) (x2)4=_______;
(3) (x3y5)4=______;
(4)(xy)3·(xy)4·(xy)5=______;
(5) (-3x3y)(-5x4y2z4)=___________;
(6)-3ab2(-4a+3ab-2)=___________________.
-x11
x8
x12y20
x12y12
15x7y3z4
12a2b2-9a2b3+6ab2
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米.用两种方法表示这块林地现在的面积，你知道下面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？
m
n
b
am
bm
an
bn
a
知识点一 多项式与多项式相乘
ma
na
mb
nb
a
m
b
n
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
这块林区现在长为（m+n）米，宽为（a+b）米.
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：
(m+n)(a+b)=
ma
+ mb
+ na
+ nb.
如何进行多项式与多项式相乘的运算 ？
实际上，把(m+n)看成一个整体，有：
= ma+mb+na+nb.
(m+n)(a+b)
= (m+n)a+(m+n)b
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
知识要点
多项式乘以多项式
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
典例精析
【例1】计算：
（1）(x+2)(x-3)；
（2）(2x+5y)(3x-2y).
-3x
=x2-x-6
=x2
+2x
-6
=6x2
=6x2+11xy-10y2
-10y2
-4xy
+15xy
【例2】计算：
（1）(m-2n)(m2+mn-3n2)
（2）(3x2-2x+2)(2x+1)
（1）(m-2n)(m2+mn-3n2)
=m· m2 +m·mn-m·3n2-2n·m2-2n·mn+2n·3n2
=m3 +m2n-3mn2-2m2n-2mn2+6n3
=m3-m2n-5mn2+6n3
（2）(3x2-2x+2)(2x+1)
=6x3+3x2-4x2-2x+4x+2
=6x3-x2+2x+2
练一练
（1）(x+5)(x-7)；
1、计算：
（2）(x+5y)(x-7y)；
（3）(2m+3n)(2m-3n)；
（4）(2a+3b)2.
=x2-7x+5x-35
=x2-2x-35
=x2-7xy+5xy-35y2
=x2-2xy-35y2
=4m2+6mn-6mn-9n2
=4m2-9n2
=4a2+12ab+9b2
1．若(x-1)(x+m)=x2+2x+n，则常数n的值为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
【详解】解：∵(x-1)(x+m)=x2+(m-1)x-m，
∴m-1=2,n=-m，
解得：m=3,n=-3.
故选：C
1. ［2025海口龙华区期中］若
，则与 的值分别是( )
A. ，6 B. 1， C. ， D. ，2
2. 聪聪计算一道整式乘法的题： ，由于
聪聪将第一个多项式中的“”抄成“ ”，得到的结果为
，则 的值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
√
√
返回
3. 多项式的计算结果是，已知 ，由
此可知多项式 是( )
A. B. C. D.
4. 已知，则 的值为
( )
A. B. 2 C. D.
√
√
返回
5. 观察如图所示多项式相乘的运算过程，根
据你发现的规律，若 ，则整
数 的值可能是__________________.（写出一个即可）
10（答案不唯一）
（第5题）
返回
（第6题）
6. 如图，某中学校园内有
一块长为米，宽为 米的
长方形地块，学校计划在中间修一个“ ”
形文化广场.
（1）“ ”形文化广场的面积为__________平方米；
（2）当，时，“ ”形文化广场的面积为____平方米.
38
返回
7. 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） .
原式
.
多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到
不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.
返回
8.解方程或不等式.
（1） ；
【解】 ，
， ，
， .
（2） .
，
，， .
返回
9. 已知，是常数，若化简 的结果不
含的二次项，则 的值为( )
A. 1 B. C. 5 D.
【点拨】 .
不含 的二次项，
.
√
返回
10. 小明制作
了如图所示的卡片类，
A. 够用，剩余1张 B. 够用，剩余5张
C. 不够用，还缺1张 D. 不够用，还缺5张
类，类各50张，其中，两类卡片都是正方形， 类卡片
是长方形，现要拼一个长为，宽为 的大
长方形，那么下列关于他所准备的 类卡片的张数的说法中，
正确的是( )
√
【点拨】大长方形的面积为
类卡片的面
积是， 需要类卡片的张数是 不够用，还缺1张.
返回
11. ［2025南通期中］小红同学在解决问题“已知 ，求
的最小值”的思路如图.结合小红同学的思路探究，若
，则式子 ( )
设， ，
则 .
， .
的最小值为 .
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最大值
√
多项式×多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.
谢谢观看！