11.3.1两数和乘以这两数的差 课件(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 11.3.1两数和乘以这两数的差 课件(共30张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 12:18:50 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
11.3.1两数和乘以这两数的差
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
两数和乘以这两数的差教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确推导并熟练背诵两数和乘以这两数的差的公式（平方差公式）：\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)；能正确识别公式中的\(a\)与\(b\)，熟练运用公式进行整式乘法运算、代数式化简及求值；能够运用平方差公式解决实际生活中的数学问题，如计算图形面积变化等。
过程与方法目标：通过多项式乘法法则推导平方差公式，培养学生的逻辑推理能力和知识迁移能力；在探究公式特征及应用的过程中，让学生经历观察、猜想、验证、归纳的数学思维过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学公式的探索兴趣，感受数学知识的内在规律和结构美；在公式推导与应用过程中，培养学生严谨的治学态度和勇于探索创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握平方差公式的结构特征，能够准确运用公式进行计算；能灵活运用平方差公式解决整式乘法中的各类问题，这是后续学习因式分解等知识的重要基础。
教学难点：理解平方差公式的推导过程及公式中字母\(a\)、\(b\)的广泛含义，能在复杂的式子中准确识别\(a\)与\(b\)；在实际应用中，能够根据式子的特点，合理变形并运用平方差公式进行简便运算，这对学生的抽象思维和灵活运用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解平方差公式的推导过程、结构特征和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
探究法：引导学生通过多项式乘法的具体计算，自主探究平方差公式的规律，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示平方差公式的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨平方差公式应用中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾多项式乘法法则：提问学生多项式与多项式相乘的运算法则，即 “先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”。让学生举例计算\((x + 2)(x + 3)\)，\((2a - 3)(3a + 4)\)，强化对多项式乘法法则的理解和运用。
引发思考：教师提出问题：“在多项式乘法运算中，是否存在一些特殊形式的多项式相乘，其结果具有特定规律呢？今天我们就来探索一种特殊的多项式乘法。” 由此导入本节课的课题 —— 两数和乘以这两数的差。
（二）新课讲授
平方差公式的推导（15 分钟）
计算观察：让学生计算以下算式：
① \((x + 1)(x - 1)=x^{2}-x + x - 1 = x^{2}-1\)；
② \((2 + m)(2 - m)=4 - 2m + 2m - m^{2}=4 - m^{2}\)；
③ \((3a + 2b)(3a - 2b)=9a^{2}-6ab + 6ab - 4b^{2}=9a^{2}-4b^{2}\)。
引导学生观察上述计算结果，思考等式左右两边的多项式在形式上有什么特点，结果又有怎样的规律。
猜想归纳：组织学生进行小组讨论，分享自己的发现。引导学生猜想：对于\((a + b)(a - b)\)这种形式的多项式乘法，结果可能是\(a^{2}-b^{2}\)。鼓励学生用更多的例子进行验证。
推导证明：教师引导学生运用多项式乘法法则对\((a + b)(a - b)\)进行推导：\((a + b)(a - b)=a\times a - a\times b + b\times a - b\times b=a^{2}-ab + ab - b^{2}=a^{2}-b^{2}\)。
从而得出平方差公式：\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，并强调公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。
几何解释：利用图形面积帮助学生直观理解平方差公式。展示一个边长为\(a\)的大正方形，在一角剪去一个边长为\(b\)的小正方形。通过两种不同的方法计算剩余部分的面积，一种是用大正方形面积减去小正方形面积，即\(a^{2}-b^{2}\)；另一种是将剩余部分分割、拼接成长为\((a + b)\)，宽为\((a - b)\)的长方形，其面积为\((a + b)(a - b)\)，从而从几何角度验证平方差公式的正确性。
平方差公式的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((5 + x)(5 - x)\)；② \((3x + 2)(3x - 2)\)。
分析：教师引导学生观察式子，确定公式中的\(a\)和\(b\)。对于①，\(a = 5\)，\(b = x\)，根据平方差公式可得\((5 + x)(5 - x)=5^{2}-x^{2}=25 - x^{2}\)；对于②，\(a = 3x\)，\(b = 2\)，则\((3x + 2)(3x - 2)=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调在运用公式时，要准确找出\(a\)和\(b\)，注意符号和指数的运算。
例 2：计算
① \((-x + 3y)(-x - 3y)\)；② \((2m - n)(-2m - n)\)。
分析：对于①，可将式子变形为\([(-x) + 3y][(-x) - 3y]\)，此时\(a = -x\)，\(b = 3y\)，根据公式可得\((-x + 3y)(-x - 3y)=(-x)^{2}-(3y)^{2}=x^{2}-9y^{2}\)；对于②，变形为\((-n + 2m)(-n - 2m)\)，\(a = -n\)，\(b = 2m\)，则\((2m - n)(-2m - n)=(-n)^{2}-(2m)^{2}=n^{2}-4m^{2}\) 。通过这两个例题，让学生学会对式子进行适当变形，使其符合平方差公式的形式，再运用公式计算。
例 3：计算\(102 98\)。
分析：引导学生将\(102\)变形为\((100 + 2)\)，\(98\)变形为\((100 - 2)\)，然后运用平方差公式计算：\(102 98=(100 + 2)(100 - 2)=100^{2}-2^{2}=10000 - 4 = 9996\) 。让学生体会平方差公式在简便运算中的应用。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((7 + y)(7 - y)\)，\((4a + 3b)(4a - 3b)\)。
② 计算\((-2x + 5)(-2x - 5)\)，\((3 - 2m)(-3 - 2m)\)。
③ 用简便方法计算\(99 101\)，\(20.1 19.9\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用公式时的要点和注意事项，如准确识别\(a\)和\(b\)、式子变形、符号处理等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((a + 2)(a - 2)=a^{2}-2\)；
\((2x + 3)(2x - 3)=2x^{2}-9\)；
\((-3x - 1)(3x - 1)=9x^{2}-1\)；
\((4y + 1)(4y - 1)=16y^{2}-4y - 1\)。
计算：
\((x + 6)(x - 6)\)；
\((2a + 5b)(2a - 5b)\)；
\((-m + n)(-m - n)\)；
\(103 97\)；
已知\(a + b = 5\)，\(a - b = 3\)，求\(a^{2}-b^{2}\)的值。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、公式应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对平方差公式的理解和收获，包括公式的推导过程、结构特征和应用方法等。
教师进行系统总结：强调平方差公式\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)的结构特征，再次明确公式中\(a\)、\(b\)可以是具体的数、单项式或多项式；总结在运用公式进行计算时的常见错误和注意事项，如公式的识别、式子变形、符号处理等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握平方差公式的应用，为后续学习因式分解等知识打好基础。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固平方差公式的基础知识和运算技能。
选做题：计算\((a + b + c)(a + b - c)\)，\((2x - y + 3)(2x + y - 3)\)。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕两数和乘以这两数的差设计教学流程。你若对教学情境、探究活动、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们一起优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解两数和乘以这两数差的几何意义.
2、理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.
温故知新
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a+b)(a b) = a2 b2
？
知识点一 两数和乘以这两数的差
做
一
做
用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b).
( a + b ) ( a – b )
=a·a
+a·b
-a·b
-b·b
=a2-b2
①(x ＋ 1)( x－1)；
②(m ＋ 2)( m－2)；
③(2m＋ 1)(2m－1)；
④(5y ＋ z)(5y－z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
②（m＋ 2)( m－2）=m2－22
③（2x＋ 1)( 2x－1)=4m2 － 12
④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1，
想一想：这些计算结果有什么特点？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
=
－
(a+b)(a－b)
a2
b2
几 何 解 释
b2
a
a
b
b
(a-b)(a+b)
a2
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
典例精析
计算：
（1）(a+3)(a-3)
（2）(2a+3b)(2a-3b)
（3）(1+2c)(1-2c)
=a2-9
=4a2-9b2
=1-4c2
例1
=a2-32
=(2a)2-(3b)2
=12-(2c)2
（4）(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y)
=-(4x2-y2)
=-4x2+y2
-(2x+y)
或
（4）(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x)
=(-y) 2-(2x)2
=y2 -4x2
(-y-2x)
计算：1998×2002.
1998×2002
=(2000-2)×(2000+2)
=4000000-4
=3999996
例2
=20002-22
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.
1998
=(2000-2)
(2000+2)
2002
计算：
(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).
(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
=(x2-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
=(x4-1)(x4+1)(x8+1)
=(x8-1)(x8+1)
=x16-1
解
补充例题
先化简，再求值：
(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x).其中x=-2，y=3.
(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x)
=[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2]
=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2，y=3时，
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.
补充例题
1．下列能用平方差公式计算的式子是( )
A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b)
C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b)
【详解】解：A.(a-b)(a-b)，a,b符号相同，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B.(-a+b)(a-b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
C.(-a-b)(-a+b)，a符号相同，b符号相反，能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；
D.(-a-b)(a+b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意.
故选：C．
2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为 （ ）
A．22 B．24 C．30 D．36
【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，
则AE=x-y，x2-y2=72，
阴影部分的面积是：
=(x-y)x·x+(x-y)·y
=(x-y)(x+y)
=(x2-y2)
=×72
=36．
故选：D．
1. ［2025深圳龙华区期中］下列多项式相乘，不能运用平方
差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 若，则 等于( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
返回
4. 已知，，则与 的大小关
系是( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】 ，
，
.
返回
5.三个连续偶数，若中间一个是 ，则它们的积为________.
6. 已知 ，则式子
的值为____.
【点拨】 ，
， 原式 .
返回
7. 霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历
十一年（1583年）建，又称文昌阁.其结构外表是明二假三层，
它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的
一种凹凸结合的连接方式——榫卯 结构，精密谨
严天衣无缝，行家里手惊佩它工艺精湛超群绝伦.如图①是一
个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为
，宽为 的长方形，中间凿掉一个边长
为的正方形，且该零件的高为 .则这个零部件的体积
为____________ .
返回
8.计算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
9.先化简，再求值： ，其中
， .
【解】
，
当， 时，原式
.
返回
10. 如果，那么 的值
为( )
D
A. B. C. 2 D.
【点拨】 ，
，即 .
返回
11. 老师在黑板上设置了一个趣味数学游戏：
第一步：取一个自然数，计算得到 ；
第二步：算出的各位数字之和得到 ，计算
得到；第三步：算出 的各位数字之和得
到，再计算得到 ；……；依此类推，则
的值为( )
B
A. 63 B. 80 C. 99 D. 120
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
谢谢观看！
11.3.1两数和乘以这两数的差
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
两数和乘以这两数的差教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确推导并熟练背诵两数和乘以这两数的差的公式（平方差公式）：\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)；能正确识别公式中的\(a\)与\(b\)，熟练运用公式进行整式乘法运算、代数式化简及求值；能够运用平方差公式解决实际生活中的数学问题，如计算图形面积变化等。
过程与方法目标：通过多项式乘法法则推导平方差公式，培养学生的逻辑推理能力和知识迁移能力；在探究公式特征及应用的过程中，让学生经历观察、猜想、验证、归纳的数学思维过程，提高学生分析问题和解决问题的能力，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学公式的探索兴趣，感受数学知识的内在规律和结构美；在公式推导与应用过程中，培养学生严谨的治学态度和勇于探索创新的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握平方差公式的结构特征，能够准确运用公式进行计算；能灵活运用平方差公式解决整式乘法中的各类问题，这是后续学习因式分解等知识的重要基础。
教学难点：理解平方差公式的推导过程及公式中字母\(a\)、\(b\)的广泛含义，能在复杂的式子中准确识别\(a\)与\(b\)；在实际应用中，能够根据式子的特点，合理变形并运用平方差公式进行简便运算，这对学生的抽象思维和灵活运用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解平方差公式的推导过程、结构特征和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
探究法：引导学生通过多项式乘法的具体计算，自主探究平方差公式的规律，培养学生的自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示平方差公式的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨平方差公式应用中的疑难问题，交流学习经验，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾多项式乘法法则：提问学生多项式与多项式相乘的运算法则，即 “先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”。让学生举例计算\((x + 2)(x + 3)\)，\((2a - 3)(3a + 4)\)，强化对多项式乘法法则的理解和运用。
引发思考：教师提出问题：“在多项式乘法运算中，是否存在一些特殊形式的多项式相乘，其结果具有特定规律呢？今天我们就来探索一种特殊的多项式乘法。” 由此导入本节课的课题 —— 两数和乘以这两数的差。
（二）新课讲授
平方差公式的推导（15 分钟）
计算观察：让学生计算以下算式：
① \((x + 1)(x - 1)=x^{2}-x + x - 1 = x^{2}-1\)；
② \((2 + m)(2 - m)=4 - 2m + 2m - m^{2}=4 - m^{2}\)；
③ \((3a + 2b)(3a - 2b)=9a^{2}-6ab + 6ab - 4b^{2}=9a^{2}-4b^{2}\)。
引导学生观察上述计算结果，思考等式左右两边的多项式在形式上有什么特点，结果又有怎样的规律。
猜想归纳：组织学生进行小组讨论，分享自己的发现。引导学生猜想：对于\((a + b)(a - b)\)这种形式的多项式乘法，结果可能是\(a^{2}-b^{2}\)。鼓励学生用更多的例子进行验证。
推导证明：教师引导学生运用多项式乘法法则对\((a + b)(a - b)\)进行推导：\((a + b)(a - b)=a\times a - a\times b + b\times a - b\times b=a^{2}-ab + ab - b^{2}=a^{2}-b^{2}\)。
从而得出平方差公式：\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，并强调公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。
几何解释：利用图形面积帮助学生直观理解平方差公式。展示一个边长为\(a\)的大正方形，在一角剪去一个边长为\(b\)的小正方形。通过两种不同的方法计算剩余部分的面积，一种是用大正方形面积减去小正方形面积，即\(a^{2}-b^{2}\)；另一种是将剩余部分分割、拼接成长为\((a + b)\)，宽为\((a - b)\)的长方形，其面积为\((a + b)(a - b)\)，从而从几何角度验证平方差公式的正确性。
平方差公式的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((5 + x)(5 - x)\)；② \((3x + 2)(3x - 2)\)。
分析：教师引导学生观察式子，确定公式中的\(a\)和\(b\)。对于①，\(a = 5\)，\(b = x\)，根据平方差公式可得\((5 + x)(5 - x)=5^{2}-x^{2}=25 - x^{2}\)；对于②，\(a = 3x\)，\(b = 2\)，则\((3x + 2)(3x - 2)=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调在运用公式时，要准确找出\(a\)和\(b\)，注意符号和指数的运算。
例 2：计算
① \((-x + 3y)(-x - 3y)\)；② \((2m - n)(-2m - n)\)。
分析：对于①，可将式子变形为\([(-x) + 3y][(-x) - 3y]\)，此时\(a = -x\)，\(b = 3y\)，根据公式可得\((-x + 3y)(-x - 3y)=(-x)^{2}-(3y)^{2}=x^{2}-9y^{2}\)；对于②，变形为\((-n + 2m)(-n - 2m)\)，\(a = -n\)，\(b = 2m\)，则\((2m - n)(-2m - n)=(-n)^{2}-(2m)^{2}=n^{2}-4m^{2}\) 。通过这两个例题，让学生学会对式子进行适当变形，使其符合平方差公式的形式，再运用公式计算。
例 3：计算\(102 98\)。
分析：引导学生将\(102\)变形为\((100 + 2)\)，\(98\)变形为\((100 - 2)\)，然后运用平方差公式计算：\(102 98=(100 + 2)(100 - 2)=100^{2}-2^{2}=10000 - 4 = 9996\) 。让学生体会平方差公式在简便运算中的应用。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((7 + y)(7 - y)\)，\((4a + 3b)(4a - 3b)\)。
② 计算\((-2x + 5)(-2x - 5)\)，\((3 - 2m)(-3 - 2m)\)。
③ 用简便方法计算\(99 101\)，\(20.1 19.9\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用公式时的要点和注意事项，如准确识别\(a\)和\(b\)、式子变形、符号处理等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((a + 2)(a - 2)=a^{2}-2\)；
\((2x + 3)(2x - 3)=2x^{2}-9\)；
\((-3x - 1)(3x - 1)=9x^{2}-1\)；
\((4y + 1)(4y - 1)=16y^{2}-4y - 1\)。
计算：
\((x + 6)(x - 6)\)；
\((2a + 5b)(2a - 5b)\)；
\((-m + n)(-m - n)\)；
\(103 97\)；
已知\(a + b = 5\)，\(a - b = 3\)，求\(a^{2}-b^{2}\)的值。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、公式应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对平方差公式的理解和收获，包括公式的推导过程、结构特征和应用方法等。
教师进行系统总结：强调平方差公式\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)的结构特征，再次明确公式中\(a\)、\(b\)可以是具体的数、单项式或多项式；总结在运用公式进行计算时的常见错误和注意事项，如公式的识别、式子变形、符号处理等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握平方差公式的应用，为后续学习因式分解等知识打好基础。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固平方差公式的基础知识和运算技能。
选做题：计算\((a + b + c)(a + b - c)\)，\((2x - y + 3)(2x + y - 3)\)。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕两数和乘以这两数的差设计教学流程。你若对教学情境、探究活动、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们一起优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解两数和乘以这两数差的几何意义.
2、理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.
温故知新
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a+b)(a b) = a2 b2
？
知识点一 两数和乘以这两数的差
做
一
做
用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b).
( a + b ) ( a – b )
=a·a
+a·b
-a·b
-b·b
=a2-b2
①(x ＋ 1)( x－1)；
②(m ＋ 2)( m－2)；
③(2m＋ 1)(2m－1)；
④(5y ＋ z)(5y－z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
②（m＋ 2)( m－2）=m2－22
③（2x＋ 1)( 2x－1)=4m2 － 12
④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1，
想一想：这些计算结果有什么特点？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
=
－
(a+b)(a－b)
a2
b2
几 何 解 释
b2
a
a
b
b
(a-b)(a+b)
a2
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
典例精析
计算：
（1）(a+3)(a-3)
（2）(2a+3b)(2a-3b)
（3）(1+2c)(1-2c)
=a2-9
=4a2-9b2
=1-4c2
例1
=a2-32
=(2a)2-(3b)2
=12-(2c)2
（4）(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y)
=-(4x2-y2)
=-4x2+y2
-(2x+y)
或
（4）(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x)
=(-y) 2-(2x)2
=y2 -4x2
(-y-2x)
计算：1998×2002.
1998×2002
=(2000-2)×(2000+2)
=4000000-4
=3999996
例2
=20002-22
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.
1998
=(2000-2)
(2000+2)
2002
计算：
(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).
(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
=(x2-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
=(x4-1)(x4+1)(x8+1)
=(x8-1)(x8+1)
=x16-1
解
补充例题
先化简，再求值：
(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x).其中x=-2，y=3.
(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x)
=[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2]
=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2，y=3时，
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.
补充例题
1．下列能用平方差公式计算的式子是( )
A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b)
C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b)
【详解】解：A.(a-b)(a-b)，a,b符号相同，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B.(-a+b)(a-b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
C.(-a-b)(-a+b)，a符号相同，b符号相反，能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；
D.(-a-b)(a+b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意.
故选：C．
2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为 （ ）
A．22 B．24 C．30 D．36
【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，
则AE=x-y，x2-y2=72，
阴影部分的面积是：
=(x-y)x·x+(x-y)·y
=(x-y)(x+y)
=(x2-y2)
=×72
=36．
故选：D．
1. ［2025深圳龙华区期中］下列多项式相乘，不能运用平方
差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 若，则 等于( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
返回
4. 已知，，则与 的大小关
系是( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】 ，
，
.
返回
5.三个连续偶数，若中间一个是 ，则它们的积为________.
6. 已知 ，则式子
的值为____.
【点拨】 ，
， 原式 .
返回
7. 霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历
十一年（1583年）建，又称文昌阁.其结构外表是明二假三层，
它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的
一种凹凸结合的连接方式——榫卯 结构，精密谨
严天衣无缝，行家里手惊佩它工艺精湛超群绝伦.如图①是一
个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为
，宽为 的长方形，中间凿掉一个边长
为的正方形，且该零件的高为 .则这个零部件的体积
为____________ .
返回
8.计算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
9.先化简，再求值： ，其中
， .
【解】
，
当， 时，原式
.
返回
10. 如果，那么 的值
为( )
D
A. B. C. 2 D.
【点拨】 ，
，即 .
返回
11. 老师在黑板上设置了一个趣味数学游戏：
第一步：取一个自然数，计算得到 ；
第二步：算出的各位数字之和得到 ，计算
得到；第三步：算出 的各位数字之和得
到，再计算得到 ；……；依此类推，则
的值为( )
B
A. 63 B. 80 C. 99 D. 120
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
谢谢观看！