12.1.1命题 课件（共33张PPT）
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| 名称 | 12.1.1命题 课件（共33张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 15:21:46 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
12.1.1命题
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
多项式除以单项式教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述多项式除以单项式的运算法则，理解其推导依据；熟练运用该法则进行多项式除以单项式的运算，包括对多项式各项分别与单项式相除及结果的合并；能够运用此法则解决整式除法相关的数学问题，如化简复杂整式、求解实际应用中的数量关系等。
过程与方法目标：通过类比单项式除以单项式的运算方法，引导学生经历观察、分析、归纳多项式除以单项式法则的过程，培养知识迁移能力与逻辑推理能力；在法则应用过程中，提升学生的运算能力和思维的严谨性，体会类比、转化等数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对多项式除以单项式知识的学习兴趣，感受数学知识的内在联系和系统性；在探究法则活动中，培养勇于探索、积极思考的学习态度，增强学习数学的自信心；通过小组合作学习，提升团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，能够准确运用法则进行计算；清晰把握在运算过程中多项式各项与单项式相除的方法，以及结果的合并规则，这是后续学习整式混合运算等知识的重要基础。
教学难点：在多项式项数较多、系数为分数或负数、字母指数形式复杂时，准确运用法则进行计算，避免出现漏除、符号错误、指数运算错误等问题；在综合运算中，灵活运用该法则，合理安排运算顺序，正确处理与其他运算的关系，这对学生的综合运算能力和思维灵活性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解多项式除以单项式的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
类比探究法：通过与单项式除以单项式的运算进行类比，引导学生自主探究多项式除以单项式的规律，培养自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示多项式除以单项式法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨多项式除以单项式运算中的疑难问题，交流学习经验，培养团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾单项式相关运算：提问学生单项式除以单项式的运算法则，如\(12a^3b^2 ·3a^2b = 4ab\)，并进行简单计算练习，同时回顾单项式乘法法则，如\(3x^2y ·2xy^3 = 6x^3y^4\)，强化学生对单项式运算的理解和记忆，为学习多项式除以单项式做好知识铺垫。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了单项式的乘除运算，那么当一个多项式除以单项式时，例如\((6x^3 + 3x^2) ·3x\)，应该如何进行计算呢？这就是我们今天要学习的内容 —— 多项式除以单项式。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
多项式除以单项式法则的探究（15 分钟）
计算观察：以\((6x^3 + 3x^2) ·3x\)为例，引导学生思考如何将其转化为已学过的运算。将多项式除以单项式看作是多项式的每一项分别除以这个单项式，即\((6x^3 + 3x^2) ·3x = 6x^3 ·3x + 3x^2 ·3x\)。然后根据单项式除以单项式的法则分别计算：\(6x^3 ·3x = 2x^2\)，\(3x^2 ·3x = x\)，所以\((6x^3 + 3x^2) ·3x = 2x^2 + x\)。
总结规律：组织学生进行小组讨论，尝试总结多项式除以单项式的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
推导法则：教师从除法的分配律角度，对多项式除以单项式的法则进行理论推导。设多项式为\(a + b + c\)，单项式为\(m\)（\(m 0\)），则\((a + b + c) ·m = \frac{a + b + c}{m} = \frac{a}{m} + \frac{b}{m} + \frac{c}{m}= a ·m + b ·m + c ·m\)，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。
多项式除以单项式法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a\)；② \((24x^3y - 12x^2y^2 + 8xy^3) ·(-4xy)\)。
分析：对于①，根据多项式除以单项式法则，\((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a = 12a^3 ·3a - 6a^2 ·3a + 3a ·3a = 4a^2 - 2a + 1\)；对于②，先确定各项符号，\((24x^3y - 12x^2y^2 + 8xy^3) ·(-4xy)= 24x^3y ·(-4xy) - 12x^2y^2 ·(-4xy) + 8xy^3 ·(-4xy)= -6x^2 + 3xy - 2y^2\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理以及每一项都要除以单项式。
例 2：计算\([(x + y)^2 - y(2x + y) - 8x] ·2x\)。
分析：先对中括号内的式子进行化简，\((x + y)^2 - y(2x + y) - 8x = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy - y^2 - 8x = x^2 - 8x\)，再进行除法运算，\((x^2 - 8x) ·2x = x^2 ·2x - 8x ·2x = \frac{1}{2}x - 4\) 。通过这个例题，让学生掌握在综合运算中运用多项式除以单项式法则的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((15x^2y - 10xy^2) ·5xy\)，\((-8a^3b^2 + 12a^2b - 4ab^2) ·(-4ab)\)。
② 计算\([(2a + b)^2 - b(b + 4a) - 8a] ·2a\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如准确进行每一项的除法运算、注意符号变化、正确合并同类项等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((12x^2y - 8xy^2) ·4xy = 3x - 2y^2\)；
\((-15a^2b + 5ab^2) ·(-5ab) = 3a + b\)；
\((4x^3y^2 - 6x^2y^3) ·2x^2y = 2xy - 3y^2\)。
计算：
\((20x^3 - 15x^2 + 10x) ·5x\)；
\((-9a^3b^2 + 12a^2b^3 - 6ab^4) ·(-3ab^2)\)；
已知一个多项式与单项式\(-4x^3y^4\)的乘积为\(12x^5y^7 - 16x^4y^5 + 4x^3y^4\)，求这个多项式。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对多项式除以单项式法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调多项式除以单项式的运算法则，即 “先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如漏除某一项、符号错误、同底数幂运算错误等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握多项式除以单项式的运算，为后续学习整式的混合运算等知识做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固多项式除以单项式的基础知识和运算技能。
选做题：已知\((x^3 + ax^2 + bx + 8) ·(x + 2)\)的商为\(x^2 + 3x + 4\)，求\(a\)、\(b\)的值；计算\([(m - n)^2 + 3(m^2 - n^2) - 2(m + n)^2] ·(-2n)\)。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕多项式除以单项式设计教学环节。你若对教学情境、例题难度、练习形式等方面有新想法，欢迎提出，我们可进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解命题及命题的条件、结论的概念，会区分一个命题的条件和结论，并能把一个命题改写成“如果……，那么……”的形式；
2.、能判断一个命题的真假，会用反例说明假命题.
问题：
说一说，下面哪些句子具有判断功能？
（1）两点之间，线段最短;
（2）画直线 AB;
（3）对顶角相等吗？
（4）同位角相等，两直线平行．
√
√
我们已经学过一些图形的特性，试判断下列句子是否正确？它们有什么共同点？
（1）三角形的内角和等于180°
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
（3）两直线平行，同旁内角相等;
（4）直角都相等;
（5）经过一点确定一条直线.
依据所学知识可以判断（1）（2）（4）是正确的，（3）（5）是错误的，
这几个句子的特点是可以判断一件事情的正确或错误，这样的句子就是命题.
问题导入
知识点一 命题
探究新知
说一说，我们已经学习了哪些图形的特性？
（1）三角形的内角和等于 180°；
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）直角都相等.
它们都是判断某一件事情的语句。
像这样表示判断的语句叫做命题.
命题的两层含义:
1. 命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，
包括肯定句和否定句；
2. 命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断．
判断下列语句是不是命题？
（1）你饭吃了吗？
（2）请画出两条互相平行的直线。
（3）如果两个角的和是 90 ，那么这两个角互余。
×
×
√
命题的构成:
1. 命题是由条件和结论两部分组成的，条件是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项．
2. 命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用
“如果”开始的部分就是条件，用“那么”开始的部
分就是结论．
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
条件
结论
命题改写的原则
如果命题不是“如果……，那么……”的形式，可将其进行改写，改写的原则是不改变命题的原意，必要时可添加一些“修饰”成分使句子完整、语言通顺．
改写：直角都相等.
如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
典例精析
例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
⑴同位角相等，两直线平行；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.
条件是：
结论是：
改写成：
条件是：
结论是：
改写成：
同位角相等
两直线平行
如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形.
这个三角形是等边三角形
一个三角形的三个角相等
如果同位角相等，那么两直线平行.
练一练
1. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式:
（1）全等三角形的对应角相等;
（2）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.
解: （1）如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
（2）如果一个等腰三角形有一个角等于 60°，那么它是等边三角形．
知识点二 真命题与假命题
（1）三角形的内角和等于180°
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
（3）两直线平行，同旁内角相等;
（4）直角都相等;
（5）经过一点确定一条直线.
根据前面的学习，我们可以判断（1）（2）（4）是正确的，也就是说，如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题.
其中（3）（5）是错误的，也就是说，当条件成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立，像这样的命题，称为假命题.
真假命题的判断:
（1）要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证．
（2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.
在数学中，这种方法称为“举反例”.
典例精析
【例2】 哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）一个角的补角大于这个角；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）两点可以确定一条直线；
（4）若A=B，则2A=2B；
（5）锐角和钝角互为补角；
（6）两点之间线段最短；
（假命题）
（假命题）
（真命题）
（真命题）
（假命题）
（真命题）
1.要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；
2.要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，比如（1）中若∠A=120°，那么它的补角是60°，从而它的补角比∠A小，所以（1）是假命题.在数学中，这种方法称为“举反例”.
练一练
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明:
（1）两个锐角的和等于直角;
（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
解: （1）假命题，例: 50°和20°是两锐角，
但50°＋20°＝70°≠ 90°．
（2）假命题，例:如图，直线 AB、CD 被 EF
所截，但 AB 不平行于 CD ，此时，∠EMB≠∠END ．
1. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
（1）如果 a＋b ≥ 0，那么 ab＞0；
（2）两个锐角的和是锐角．
解: （1）取 a＝2，b＝－1，
则 a＋b＝2＋(－1)＝1＞0，
但是 ab＝2×(－1)＝－2＜0，
所以此命题是假命题．
（2）取两个锐角的度数分别为30°,60°,
则30°＋60°＝90°是直角，而不是锐角,
所以此命题是假命题．
2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论：
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
解：(1)改写成：如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
条件：两个三角形全等；
结论：这两个三角形的对应边相等；
（2）改写成：如果在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行；
条件：在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线；
结论：这两条直线互相平行.
3.指出下列命题中的真命题和假命题：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）多边形的内角和等于180°；
（3）三角形的外角和等于360°；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（真命题）
（假命题）
（真命题）
（真命题）
1. 下列语句不是命题的是( )
C
A. 两点之间，线段最短
B. 不平行的两条直线有一个交点
C. 与 的和等于0吗？
D. 两个锐角的和一定是直角
①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定
或否定的判断.疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；
②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果 ，
那么……”.
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2. 能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是( )
C
A. B. C. D.
3. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果 ，
那么……”的形式：____________________________________
__________.
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
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4. 判断下列各命题是真命
题还是假命题，若是假命题，请举一个反
例加以说明.
（1）若,则 ；
【解】假命题.举反例不唯一，例如：当 时，满足
，但 .
（2）锐角小于它的余角；
假命题.举反例不唯一，例如： 角的余角为 ，但
.
（3）平行于同一条直线的两条直线平行；
真命题.
（4）相等的角是对顶角；
假命题.举反例不唯一，例如：如图，长方形
中， ，但与 不
是对顶角.
（5）如图，如果，，那么 .、
真命题.
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5. 交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是
( )
A
A. 所有的直角都是相等的
B. 相等的角是对顶角
C. 两直线平行，内错角相等
D. 若，则
【点拨】交换命题A的题设和结论，得到的新命题是相等的
角是直角，是假命题；交换命题B的题设和结论，得到的新
命题是对顶角相等，是真命题；交换命题C的题设和结论，
得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；交换
命题D的题设和结论，得到的新命题是若 ，则
，是真命题.
返回
6. 如图，下列命题：
①若，则 ；
②若，则 ；
其中是真命题的是( )
D
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
③若 ，则 ；
④若，则 .
【点拨】①若，则 ，故①错误；②若
，则 ，故②正确；③若
，则 ，故③错误；④若
，则， ，故④正确.所以是
真命题有②④.故选D.
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7.［2025北京昌平区期中］用三个不等式,,
中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，
组成一个命题，可以组成真命题的个数为___个.
3
1、命题：判断一件事情的语句叫命题。
2、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
（1）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。
（2）命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
谢谢观看！
12.1.1命题
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
多项式除以单项式教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述多项式除以单项式的运算法则，理解其推导依据；熟练运用该法则进行多项式除以单项式的运算，包括对多项式各项分别与单项式相除及结果的合并；能够运用此法则解决整式除法相关的数学问题，如化简复杂整式、求解实际应用中的数量关系等。
过程与方法目标：通过类比单项式除以单项式的运算方法，引导学生经历观察、分析、归纳多项式除以单项式法则的过程，培养知识迁移能力与逻辑推理能力；在法则应用过程中，提升学生的运算能力和思维的严谨性，体会类比、转化等数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对多项式除以单项式知识的学习兴趣，感受数学知识的内在联系和系统性；在探究法则活动中，培养勇于探索、积极思考的学习态度，增强学习数学的自信心；通过小组合作学习，提升团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，能够准确运用法则进行计算；清晰把握在运算过程中多项式各项与单项式相除的方法，以及结果的合并规则，这是后续学习整式混合运算等知识的重要基础。
教学难点：在多项式项数较多、系数为分数或负数、字母指数形式复杂时，准确运用法则进行计算，避免出现漏除、符号错误、指数运算错误等问题；在综合运算中，灵活运用该法则，合理安排运算顺序，正确处理与其他运算的关系，这对学生的综合运算能力和思维灵活性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解多项式除以单项式的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
类比探究法：通过与单项式除以单项式的运算进行类比，引导学生自主探究多项式除以单项式的规律，培养自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示多项式除以单项式法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨多项式除以单项式运算中的疑难问题，交流学习经验，培养团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾单项式相关运算：提问学生单项式除以单项式的运算法则，如\(12a^3b^2 ·3a^2b = 4ab\)，并进行简单计算练习，同时回顾单项式乘法法则，如\(3x^2y ·2xy^3 = 6x^3y^4\)，强化学生对单项式运算的理解和记忆，为学习多项式除以单项式做好知识铺垫。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了单项式的乘除运算，那么当一个多项式除以单项式时，例如\((6x^3 + 3x^2) ·3x\)，应该如何进行计算呢？这就是我们今天要学习的内容 —— 多项式除以单项式。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
多项式除以单项式法则的探究（15 分钟）
计算观察：以\((6x^3 + 3x^2) ·3x\)为例，引导学生思考如何将其转化为已学过的运算。将多项式除以单项式看作是多项式的每一项分别除以这个单项式，即\((6x^3 + 3x^2) ·3x = 6x^3 ·3x + 3x^2 ·3x\)。然后根据单项式除以单项式的法则分别计算：\(6x^3 ·3x = 2x^2\)，\(3x^2 ·3x = x\)，所以\((6x^3 + 3x^2) ·3x = 2x^2 + x\)。
总结规律：组织学生进行小组讨论，尝试总结多项式除以单项式的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
推导法则：教师从除法的分配律角度，对多项式除以单项式的法则进行理论推导。设多项式为\(a + b + c\)，单项式为\(m\)（\(m 0\)），则\((a + b + c) ·m = \frac{a + b + c}{m} = \frac{a}{m} + \frac{b}{m} + \frac{c}{m}= a ·m + b ·m + c ·m\)，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。
多项式除以单项式法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a\)；② \((24x^3y - 12x^2y^2 + 8xy^3) ·(-4xy)\)。
分析：对于①，根据多项式除以单项式法则，\((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a = 12a^3 ·3a - 6a^2 ·3a + 3a ·3a = 4a^2 - 2a + 1\)；对于②，先确定各项符号，\((24x^3y - 12x^2y^2 + 8xy^3) ·(-4xy)= 24x^3y ·(-4xy) - 12x^2y^2 ·(-4xy) + 8xy^3 ·(-4xy)= -6x^2 + 3xy - 2y^2\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理以及每一项都要除以单项式。
例 2：计算\([(x + y)^2 - y(2x + y) - 8x] ·2x\)。
分析：先对中括号内的式子进行化简，\((x + y)^2 - y(2x + y) - 8x = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy - y^2 - 8x = x^2 - 8x\)，再进行除法运算，\((x^2 - 8x) ·2x = x^2 ·2x - 8x ·2x = \frac{1}{2}x - 4\) 。通过这个例题，让学生掌握在综合运算中运用多项式除以单项式法则的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((15x^2y - 10xy^2) ·5xy\)，\((-8a^3b^2 + 12a^2b - 4ab^2) ·(-4ab)\)。
② 计算\([(2a + b)^2 - b(b + 4a) - 8a] ·2a\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如准确进行每一项的除法运算、注意符号变化、正确合并同类项等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((12x^2y - 8xy^2) ·4xy = 3x - 2y^2\)；
\((-15a^2b + 5ab^2) ·(-5ab) = 3a + b\)；
\((4x^3y^2 - 6x^2y^3) ·2x^2y = 2xy - 3y^2\)。
计算：
\((20x^3 - 15x^2 + 10x) ·5x\)；
\((-9a^3b^2 + 12a^2b^3 - 6ab^4) ·(-3ab^2)\)；
已知一个多项式与单项式\(-4x^3y^4\)的乘积为\(12x^5y^7 - 16x^4y^5 + 4x^3y^4\)，求这个多项式。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对多项式除以单项式法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调多项式除以单项式的运算法则，即 “先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如漏除某一项、符号错误、同底数幂运算错误等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握多项式除以单项式的运算，为后续学习整式的混合运算等知识做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固多项式除以单项式的基础知识和运算技能。
选做题：已知\((x^3 + ax^2 + bx + 8) ·(x + 2)\)的商为\(x^2 + 3x + 4\)，求\(a\)、\(b\)的值；计算\([(m - n)^2 + 3(m^2 - n^2) - 2(m + n)^2] ·(-2n)\)。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕多项式除以单项式设计教学环节。你若对教学情境、例题难度、练习形式等方面有新想法，欢迎提出，我们可进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解命题及命题的条件、结论的概念，会区分一个命题的条件和结论，并能把一个命题改写成“如果……，那么……”的形式；
2.、能判断一个命题的真假，会用反例说明假命题.
问题：
说一说，下面哪些句子具有判断功能？
（1）两点之间，线段最短;
（2）画直线 AB;
（3）对顶角相等吗？
（4）同位角相等，两直线平行．
√
√
我们已经学过一些图形的特性，试判断下列句子是否正确？它们有什么共同点？
（1）三角形的内角和等于180°
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
（3）两直线平行，同旁内角相等;
（4）直角都相等;
（5）经过一点确定一条直线.
依据所学知识可以判断（1）（2）（4）是正确的，（3）（5）是错误的，
这几个句子的特点是可以判断一件事情的正确或错误，这样的句子就是命题.
问题导入
知识点一 命题
探究新知
说一说，我们已经学习了哪些图形的特性？
（1）三角形的内角和等于 180°；
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）直角都相等.
它们都是判断某一件事情的语句。
像这样表示判断的语句叫做命题.
命题的两层含义:
1. 命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，
包括肯定句和否定句；
2. 命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断．
判断下列语句是不是命题？
（1）你饭吃了吗？
（2）请画出两条互相平行的直线。
（3）如果两个角的和是 90 ，那么这两个角互余。
×
×
√
命题的构成:
1. 命题是由条件和结论两部分组成的，条件是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项．
2. 命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用
“如果”开始的部分就是条件，用“那么”开始的部
分就是结论．
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
条件
结论
命题改写的原则
如果命题不是“如果……，那么……”的形式，可将其进行改写，改写的原则是不改变命题的原意，必要时可添加一些“修饰”成分使句子完整、语言通顺．
改写：直角都相等.
如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
典例精析
例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
⑴同位角相等，两直线平行；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.
条件是：
结论是：
改写成：
条件是：
结论是：
改写成：
同位角相等
两直线平行
如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形.
这个三角形是等边三角形
一个三角形的三个角相等
如果同位角相等，那么两直线平行.
练一练
1. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式:
（1）全等三角形的对应角相等;
（2）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.
解: （1）如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
（2）如果一个等腰三角形有一个角等于 60°，那么它是等边三角形．
知识点二 真命题与假命题
（1）三角形的内角和等于180°
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;
（3）两直线平行，同旁内角相等;
（4）直角都相等;
（5）经过一点确定一条直线.
根据前面的学习，我们可以判断（1）（2）（4）是正确的，也就是说，如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题.
其中（3）（5）是错误的，也就是说，当条件成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立，像这样的命题，称为假命题.
真假命题的判断:
（1）要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证．
（2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.
在数学中，这种方法称为“举反例”.
典例精析
【例2】 哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）一个角的补角大于这个角；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）两点可以确定一条直线；
（4）若A=B，则2A=2B；
（5）锐角和钝角互为补角；
（6）两点之间线段最短；
（假命题）
（假命题）
（真命题）
（真命题）
（假命题）
（真命题）
1.要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；
2.要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，比如（1）中若∠A=120°，那么它的补角是60°，从而它的补角比∠A小，所以（1）是假命题.在数学中，这种方法称为“举反例”.
练一练
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明:
（1）两个锐角的和等于直角;
（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
解: （1）假命题，例: 50°和20°是两锐角，
但50°＋20°＝70°≠ 90°．
（2）假命题，例:如图，直线 AB、CD 被 EF
所截，但 AB 不平行于 CD ，此时，∠EMB≠∠END ．
1. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
（1）如果 a＋b ≥ 0，那么 ab＞0；
（2）两个锐角的和是锐角．
解: （1）取 a＝2，b＝－1，
则 a＋b＝2＋(－1)＝1＞0，
但是 ab＝2×(－1)＝－2＜0，
所以此命题是假命题．
（2）取两个锐角的度数分别为30°,60°,
则30°＋60°＝90°是直角，而不是锐角,
所以此命题是假命题．
2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论：
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
解：(1)改写成：如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
条件：两个三角形全等；
结论：这两个三角形的对应边相等；
（2）改写成：如果在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行；
条件：在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线；
结论：这两条直线互相平行.
3.指出下列命题中的真命题和假命题：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）多边形的内角和等于180°；
（3）三角形的外角和等于360°；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（真命题）
（假命题）
（真命题）
（真命题）
1. 下列语句不是命题的是( )
C
A. 两点之间，线段最短
B. 不平行的两条直线有一个交点
C. 与 的和等于0吗？
D. 两个锐角的和一定是直角
①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定
或否定的判断.疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；
②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果 ，
那么……”.
返回
2. 能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是( )
C
A. B. C. D.
3. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果 ，
那么……”的形式：____________________________________
__________.
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
返回
4. 判断下列各命题是真命
题还是假命题，若是假命题，请举一个反
例加以说明.
（1）若,则 ；
【解】假命题.举反例不唯一，例如：当 时，满足
，但 .
（2）锐角小于它的余角；
假命题.举反例不唯一，例如： 角的余角为 ，但
.
（3）平行于同一条直线的两条直线平行；
真命题.
（4）相等的角是对顶角；
假命题.举反例不唯一，例如：如图，长方形
中， ，但与 不
是对顶角.
（5）如图，如果，，那么 .、
真命题.
返回
5. 交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是
( )
A
A. 所有的直角都是相等的
B. 相等的角是对顶角
C. 两直线平行，内错角相等
D. 若，则
【点拨】交换命题A的题设和结论，得到的新命题是相等的
角是直角，是假命题；交换命题B的题设和结论，得到的新
命题是对顶角相等，是真命题；交换命题C的题设和结论，
得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；交换
命题D的题设和结论，得到的新命题是若 ，则
，是真命题.
返回
6. 如图，下列命题：
①若，则 ；
②若，则 ；
其中是真命题的是( )
D
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
③若 ，则 ；
④若，则 .
【点拨】①若，则 ，故①错误；②若
，则 ，故②正确；③若
，则 ，故③错误；④若
，则， ，故④正确.所以是
真命题有②④.故选D.
返回
7.［2025北京昌平区期中］用三个不等式,,
中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，
组成一个命题，可以组成真命题的个数为___个.
3
1、命题：判断一件事情的语句叫命题。
2、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
（1）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。
（2）命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
谢谢观看！