12.2.1全等三角形的判定条件 课件（共40张PPT）
文档属性
| 名称 | 12.2.1全等三角形的判定条件 课件（共40张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 15:29:25 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
12.2.1全等三角形的判定条件
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
全等三角形的判定条件教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述全等三角形的判定条件，包括 “边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）和 “斜边、直角边”（HL，适用于直角三角形）；熟练运用这些判定条件判断两个三角形是否全等，能够在具体图形中准确找出对应边和对应角，并依据判定条件进行推理证明；学会利用全等三角形的判定条件解决实际问题，如测量不可直接到达的距离等。
过程与方法目标：通过动手操作、观察、猜想、验证等活动，引导学生经历全等三角形判定条件的探究过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力；在运用判定条件解决问题的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力，让学生体会分类讨论、转化等数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对几何知识的学习兴趣，感受数学与生活的紧密联系；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握全等三角形的判定条件，能够准确运用这些条件判定两个三角形是否全等；掌握判定条件在不同几何图形和实际问题中的应用方法，这是全等三角形知识的核心，也是后续学习相似三角形、四边形等几何知识的重要基础。
教学难点：在复杂的图形中准确识别对应边和对应角，避免因对应关系错误导致判定失误；理解判定条件的适用范围和限制条件，如 “边边角”（SSA）和 “角角角”（AAA）不能判定两个三角形全等的原因；在实际问题中，能够将问题转化为全等三角形的判定问题，并选择合适的判定条件进行求解，这对学生的空间想象能力和综合运用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解全等三角形判定条件的概念、内容和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
实验探究法：组织学生进行动手操作实验，如用小棒拼三角形、用纸张裁剪三角形等，通过实验探究全等三角形的判定条件，培养学生的自主探究能力和实践操作能力。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示全等三角形判定条件的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨全等三角形判定中的疑难问题，交流学习经验和方法，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
多媒体辅助教学法：利用多媒体课件展示几何图形的动态变化，帮助学生更直观地理解全等三角形的判定条件，增强教学的直观性和趣味性。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾全等三角形概念：提问学生全等三角形的定义，即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，引导学生回顾全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。
引发思考：教师提出问题：“在实际问题中，我们很难通过将两个三角形重合来判断它们是否全等，那么是否有更简便的方法呢？今天我们就来探究全等三角形的判定条件。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
“边边边”（SSS）判定条件的探究（15 分钟）
实验操作：给每个小组发放三根长度固定的小棒（如 3cm、4cm、5cm），让学生用小棒拼出三角形。引导学生观察发现，无论怎样拼接，得到的三角形形状和大小都相同。
猜想归纳：组织学生进行小组讨论，根据实验现象猜想：三边对应相等的两个三角形全等。
验证证明：教师通过多媒体课件展示两个三边对应相等的三角形，利用平移、旋转、翻折等操作，证明这两个三角形能够完全重合，从而得出 “边边边” 判定条件：三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成 “边边边” 或 “SSS”。
应用讲解：以一个简单的几何图形为例，如已知在△ABC 和△DEF 中，AB = DE = 3cm，BC = EF = 4cm，AC = DF = 5cm，讲解如何运用 “SSS” 判定条件证明△ABC≌△DEF，强调书写证明过程的规范格式。
“边角边”（SAS）判定条件的探究（15 分钟）
实验操作：让学生在纸上画出一个三角形，使其中两条边的长度分别为 3cm 和 4cm，这两条边的夹角为 60°。然后小组内成员互相比较所画的三角形，观察发现这些三角形形状和大小相同。
猜想归纳：引导学生猜想：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
验证证明：教师利用几何画板软件，动态展示两个满足 “两边和它们的夹角对应相等” 条件的三角形，通过图形变换证明这两个三角形全等，得出 “边角边” 判定条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成 “边角边” 或 “SAS”。同时强调 “夹角” 的重要性，通过反例说明 “边边角”（SSA）不能判定两个三角形全等。
应用讲解：给出例题，如在△ABC 和△DEF 中，AB = DE = 3cm，∠B = ∠E = 60°，BC = EF = 4cm，讲解如何运用 “SAS” 判定条件证明△ABC≌△DEF，规范证明过程的书写。
“角边角”（ASA）和 “角角边”（AAS）判定条件的探究（20 分钟）
“角边角”（ASA）探究：先让学生思考：如果已知两个三角形的两个角及其夹边对应相等，这两个三角形是否全等？然后通过画三角形的方式进行验证，例如画一个三角形，使两个角分别为 30° 和 60°，它们的夹边为 5cm，小组内比较所画三角形，得出猜想。教师通过几何证明，得出 “角边角” 判定条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成 “角边角” 或 “ASA”。
“角角边”（AAS）探究：引导学生思考：如果两个角和其中一个角的对边对应相等，能否判定两个三角形全等？利用三角形内角和定理，将 “角角边” 的情况转化为 “角边角” 的情况进行证明，从而得出 “角角边” 判定条件：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成 “角角边” 或 “AAS”。
应用讲解：通过多个例题，如在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D = 30°，∠B = ∠E = 60°，AB = DE = 5cm（ASA 判定）；在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D = 30°，∠C = ∠F = 90°，BC = EF = 4cm（AAS 判定），讲解如何运用这两个判定条件进行证明，强化学生对判定条件的理解和应用能力。
“斜边、直角边”（HL）判定条件的探究（10 分钟）
情境引入：教师提出问题：对于两个直角三角形，除了前面的判定条件，是否有特殊的判定方法呢？引导学生思考。
探究证明：让学生画出两个直角三角形，使它们的斜边和一条直角边分别相等，然后通过测量、叠合等方式进行验证。教师再通过几何推理证明，得出 “斜边、直角边” 判定条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成 “斜边、直角边” 或 “HL”。强调该判定条件只适用于直角三角形。
应用讲解：给出直角三角形全等判定的例题，如在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE = 5cm，AC = DF = 3cm，讲解如何运用 “HL” 判定条件证明 Rt△ABC≌Rt△DEF。
（三）课堂练习（15 分钟）
如图，已知 AB = AD，CB = CD，求证：△ABC≌△ADC。
如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，求证：△ABD≌△ACE。
如图，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，求证：△ABC≌△DEF。
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AC = DF，AB = DE，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在判定条件应用、对应关系确定、证明过程书写等方面出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对全等三角形判定条件的理解和收获，以及在学习过程中遇到的困难和解决方法。
教师进行系统总结：强调整体回顾全等三角形的判定条件，包括 “SSS”“SAS”“ASA”“AAS” 和 “HL”，明确每个判定条件的内容、适用范围和注意事项；总结在运用判定条件进行证明时的要点，如准确找出对应边和对应角、规范书写证明过程等；鼓励学生在课后继续加强练习，熟练掌握全等三角形的判定条件，提高几何推理能力。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 5 题，帮助学生巩固全等三角形判定条件的基础知识和基本技能。
选做题：在实际生活中寻找一个可以用全等三角形判定条件解决的问题，并尝试进行解答，如测量池塘两端的距离等，让学生将所学知识应用到实际生活中，提高知识应用能力。
这份教案围绕全等三角形判定条件设计教学环节。你若对教学情境、探究活动、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们可进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解并掌握全等三角形的概念，及全等三角形经过一系列变换后，能够完全重合的性质；
2、掌握全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）和全等的判定条件；
下图中的几组图形有怎样的关系？
（1）
（2）
（3）
思考：你能想到现实生活中有这样的图形吗？
能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
全等形包括规则图形和不规则图形全等.
全等图形:
知识点一 全等三角形的概念
全等三角形
能够完全重合的两个三角形是全等三角形．
A
B
C
A′
B′
C′
能相互重合的顶点是对应顶点．
能相互重合的边是对应边．
能相互重合的角是对应角．
A与A′、B与B′、C与C′
AB与A′B′、BC与B′C′ 、CA与C′A′
∠A与∠A′、∠B与∠B′、∠C与∠C′
A
B
C
A′
B′
C′
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
全等三角形的表示:
“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”.
记两个三角形全等时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
记作△ABC≌△A′B′C′
1.怎样改变其中一个图形的位置可以得到另一个图形？
观察与思考
2.你能在以下图案中能找出全等图形吗？
做
一
做
如图，以直线 l 为对称轴，画出△ABC 的对称图形，并指出它们的对应顶点﹑对应边和对应角.
若已知∠A=60°，∠B=80°，则
∠D=_____，∠E=_____，∠F=_____.
60°
80°
40°
典例精析
【例1】 如图，将△ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转 60°后得△A′BC′．指出对应顶点、对应边和对应角．
解: 对应顶点: A 与A′，B 与B，C 与 C′；
对应边: AB 与 A′B，AC 与 A′C′，BC 与 BC′．
对应角:∠CBA 与∠C′BA′，∠A 与∠A′，
∠C 与∠C′．
练一练
【解析】∵ △ABC ≌ △DEF，
∴ ∠ACB ＝ ∠DFE．
∴∠DFE ＝ 180°－(∠A ＋∠B)＝85°.
1. 如图，已知△ABC ≌△DEF，∠A ＝40°， ∠B ＝55°，则∠DFE 的度数是________．
85°
知识点二 全等三角形的判定条件
怎么判断两个三角形全等呢？
根据全等三角形的定义可知：能够完全重合两个三角形全等，即两个三角形的三对边、三对角分别对应相等，则两个三角形全等.
能否减少一些条件，找到更简便的判定两个三角形全等的方法呢？
对两个三角形来说，六个元素（三条边、三对角）中至少要有几个元素对应相等，这两个三角形才会全等呢？
1.画几个有一边长为8cm的三角形，这样得到的三角形是否全等？
如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么会出现几种情况？这两个三角形会全等吗？
探究活动1
两种，一条边或一个角相等.
试一试
有一条边对应相等的三角形不一定全等.
有一个角对应相等的三角形不一定全等.
2.画几个有一个角为60°的三角形，这样得到的三角形是否全等？
(
60°
归纳：如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么这两个三角形不一定全等.
30°
(1)三角形的一条边为3cm,一个内角为30°
3cm
3cm
3cm
30°
30°
探究活动2
如果两个三角形有两组对应相等的元素，那么会出现几种可能的情况？这两个三角形会全等吗？
三种，一条边和一个角相等；两个角相等；两条边相等.
试一试
按照下面的条件，用刻度尺和量角器画三角形，并和周围的同学比较，所画的图形是否全等.
一条边和一个内角相等不能判定两个三角形全等.
(
(
(
30°
70°
30°
70°
30°
70°
(2)三角形的两个内角分别为30°和70°.
两个内角对应相等不能判定两个三角形全等.
5cm
3cm
3cm
(3)三角形的两条边分别为3cm和5cm.
两条边对应相等不能判定两个三角形全等.
两个三角形只有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等.
探索发现
思 考
如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），又会如何呢？
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边
(长对长，短对短，中对中)；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角
(大角对大角，小角对小角)；
找对应边、对应角的方法总结：
典例精析
例2 如图，△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠E=40°，BF＝3，EF＝6，求∠DFE的度数和CF的长．
E
D
B
F
A
C
3
60°
40°
6
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝60°，
∠E＝40°，BF＝3，EF＝6，
∴∠D＝∠A＝60°，BC＝EF＝6，
∴∠DFE＝180°－∠E－∠D
＝180°－40°－60°
＝80°
CF＝BC－BF＝6－3＝3.
练一练
如图，将△AOB 绕点 O 旋转180°，得到△COD，这时△AOB≌△_____. 这两个三角形的对应边是：AO与______，OB与_______，BA与_______；
对应角是：∠AOB与_______，∠OBA与______，
∠BAO与________.
COD
CO
OD
DC
∠COD
∠ODC
∠DCO
2. 如图，AD // BC，AD = BC，AE⊥BC，将△ABE 沿 AD 方向平移，使点 A 与点 D 重合，点 E 平移至点 F， 则△ABE≌______，∠F =_____°.
△DCF
90
1.如图，△ABC ≌△ CED， ∠ B和∠ DEC是对应角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边.
A
B
C
E
D
解： 对应角： ∠ A= ∠ DCE, ∠ D= ∠ ACB;
对应边： AC=CD,AB=CE.
2.下列各组中是全等图形的是( )
A. 两个周长相等的等腰三角形
B. 两个面积相等的长方形
C.两条长度的圆弧
D. 两个周长相等的圆
D
解：周长相等，圆的半径也相等，故两个周长相等的圆全等；
1. 下列说法正确的是( )
B
A. 三个角对应相等的两个三角形全等
B. 判定两个三角形全等的条件中至少有一个条件是边相等
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 周长相等的两个三角形全等
返回
2. ［2025泰安期末］根据下列已知条件，能画出唯一的
的是( )
C
A. ，
B. ，，
C. ， ，
D. ，，
返回
3. 如图，把以点 为旋转中心逆时
针旋转得到，点， 的对应点分
别是点，，且点在 的延长线上，
连结 ，则下列结论一定正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，将折叠，使点与 边的
中点重合，折痕为.若 ，
，则 的周长为( )
A
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
返回
（第5题）
5.［2025重庆校级期末］两个全等
的直角三角形重叠在一起，将其中
的一个三角形沿着 方向平移到
的位置，， ，
平移距离为2，则阴影部分面积为
___.
7
（第5题）
【点拨】由平移的性质知
， ，
，
，
.
返回
6.如图，将绕点顺时针旋转 得
到， .
（1）和 是否全等？如果全等，
请写出对应边和对应角.
【解】 .
对应边：和，和，和 ；
对应角：和，和， 和
.
（2）直线与直线 有怎样的位置关系？请说明理由.
.
理由：延长交 于点
，
， ，
，
即点，， 在同一直线上.
， ，
， ，
.
返回
7. 图中的小正方形边长都相等，若
，则点 可能是图中的
( )
D
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
8. 一个三角形三条边的长分别是5，7，10，
另一个三角形三条边的长分别是, ，5.若这两个
三角形全等，则 的值为( )
D
A. 7 B. C. 8 D. 或7
【点拨】分两种情况讨论： 解得
;解得
.综上所述，的值是 或7.
返回
9.［2025武汉月考］如图①，数轴上从左至右依次有， ，
，，五个点，其中点，，表示的数分别为 ，0，
4.如图②，将数轴在点的左侧部分绕点 顺时针方向旋转
，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转 ，
连结，.若和全等，则点 表示的数为
_______________.
或
全等三角形
定义
性质
1.全等三角形的对应边相等
2.全等三角形的对应角相等
探究三角形全等的条件
能够完全重合的两个三角形
1.一个元素（边或角）
两个三角形不一定全等
2.两个元素（边或角）
两个三角形不一定全等
3.三个元素（边或角）
两个三角形可能全等
谢谢观看！
12.2.1全等三角形的判定条件
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
全等三角形的判定条件教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述全等三角形的判定条件，包括 “边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）和 “斜边、直角边”（HL，适用于直角三角形）；熟练运用这些判定条件判断两个三角形是否全等，能够在具体图形中准确找出对应边和对应角，并依据判定条件进行推理证明；学会利用全等三角形的判定条件解决实际问题，如测量不可直接到达的距离等。
过程与方法目标：通过动手操作、观察、猜想、验证等活动，引导学生经历全等三角形判定条件的探究过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力；在运用判定条件解决问题的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力，让学生体会分类讨论、转化等数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对几何知识的学习兴趣，感受数学与生活的紧密联系；在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，增强学生学习数学的自信心；通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握全等三角形的判定条件，能够准确运用这些条件判定两个三角形是否全等；掌握判定条件在不同几何图形和实际问题中的应用方法，这是全等三角形知识的核心，也是后续学习相似三角形、四边形等几何知识的重要基础。
教学难点：在复杂的图形中准确识别对应边和对应角，避免因对应关系错误导致判定失误；理解判定条件的适用范围和限制条件，如 “边边角”（SSA）和 “角角角”（AAA）不能判定两个三角形全等的原因；在实际问题中，能够将问题转化为全等三角形的判定问题，并选择合适的判定条件进行求解，这对学生的空间想象能力和综合运用能力要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解全等三角形判定条件的概念、内容和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
实验探究法：组织学生进行动手操作实验，如用小棒拼三角形、用纸张裁剪三角形等，通过实验探究全等三角形的判定条件，培养学生的自主探究能力和实践操作能力。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示全等三角形判定条件的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨全等三角形判定中的疑难问题，交流学习经验和方法，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
多媒体辅助教学法：利用多媒体课件展示几何图形的动态变化，帮助学生更直观地理解全等三角形的判定条件，增强教学的直观性和趣味性。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾全等三角形概念：提问学生全等三角形的定义，即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，引导学生回顾全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。
引发思考：教师提出问题：“在实际问题中，我们很难通过将两个三角形重合来判断它们是否全等，那么是否有更简便的方法呢？今天我们就来探究全等三角形的判定条件。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
“边边边”（SSS）判定条件的探究（15 分钟）
实验操作：给每个小组发放三根长度固定的小棒（如 3cm、4cm、5cm），让学生用小棒拼出三角形。引导学生观察发现，无论怎样拼接，得到的三角形形状和大小都相同。
猜想归纳：组织学生进行小组讨论，根据实验现象猜想：三边对应相等的两个三角形全等。
验证证明：教师通过多媒体课件展示两个三边对应相等的三角形，利用平移、旋转、翻折等操作，证明这两个三角形能够完全重合，从而得出 “边边边” 判定条件：三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成 “边边边” 或 “SSS”。
应用讲解：以一个简单的几何图形为例，如已知在△ABC 和△DEF 中，AB = DE = 3cm，BC = EF = 4cm，AC = DF = 5cm，讲解如何运用 “SSS” 判定条件证明△ABC≌△DEF，强调书写证明过程的规范格式。
“边角边”（SAS）判定条件的探究（15 分钟）
实验操作：让学生在纸上画出一个三角形，使其中两条边的长度分别为 3cm 和 4cm，这两条边的夹角为 60°。然后小组内成员互相比较所画的三角形，观察发现这些三角形形状和大小相同。
猜想归纳：引导学生猜想：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
验证证明：教师利用几何画板软件，动态展示两个满足 “两边和它们的夹角对应相等” 条件的三角形，通过图形变换证明这两个三角形全等，得出 “边角边” 判定条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成 “边角边” 或 “SAS”。同时强调 “夹角” 的重要性，通过反例说明 “边边角”（SSA）不能判定两个三角形全等。
应用讲解：给出例题，如在△ABC 和△DEF 中，AB = DE = 3cm，∠B = ∠E = 60°，BC = EF = 4cm，讲解如何运用 “SAS” 判定条件证明△ABC≌△DEF，规范证明过程的书写。
“角边角”（ASA）和 “角角边”（AAS）判定条件的探究（20 分钟）
“角边角”（ASA）探究：先让学生思考：如果已知两个三角形的两个角及其夹边对应相等，这两个三角形是否全等？然后通过画三角形的方式进行验证，例如画一个三角形，使两个角分别为 30° 和 60°，它们的夹边为 5cm，小组内比较所画三角形，得出猜想。教师通过几何证明，得出 “角边角” 判定条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成 “角边角” 或 “ASA”。
“角角边”（AAS）探究：引导学生思考：如果两个角和其中一个角的对边对应相等，能否判定两个三角形全等？利用三角形内角和定理，将 “角角边” 的情况转化为 “角边角” 的情况进行证明，从而得出 “角角边” 判定条件：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成 “角角边” 或 “AAS”。
应用讲解：通过多个例题，如在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D = 30°，∠B = ∠E = 60°，AB = DE = 5cm（ASA 判定）；在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D = 30°，∠C = ∠F = 90°，BC = EF = 4cm（AAS 判定），讲解如何运用这两个判定条件进行证明，强化学生对判定条件的理解和应用能力。
“斜边、直角边”（HL）判定条件的探究（10 分钟）
情境引入：教师提出问题：对于两个直角三角形，除了前面的判定条件，是否有特殊的判定方法呢？引导学生思考。
探究证明：让学生画出两个直角三角形，使它们的斜边和一条直角边分别相等，然后通过测量、叠合等方式进行验证。教师再通过几何推理证明，得出 “斜边、直角边” 判定条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成 “斜边、直角边” 或 “HL”。强调该判定条件只适用于直角三角形。
应用讲解：给出直角三角形全等判定的例题，如在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE = 5cm，AC = DF = 3cm，讲解如何运用 “HL” 判定条件证明 Rt△ABC≌Rt△DEF。
（三）课堂练习（15 分钟）
如图，已知 AB = AD，CB = CD，求证：△ABC≌△ADC。
如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，求证：△ABD≌△ACE。
如图，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，求证：△ABC≌△DEF。
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AC = DF，AB = DE，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在判定条件应用、对应关系确定、证明过程书写等方面出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对全等三角形判定条件的理解和收获，以及在学习过程中遇到的困难和解决方法。
教师进行系统总结：强调整体回顾全等三角形的判定条件，包括 “SSS”“SAS”“ASA”“AAS” 和 “HL”，明确每个判定条件的内容、适用范围和注意事项；总结在运用判定条件进行证明时的要点，如准确找出对应边和对应角、规范书写证明过程等；鼓励学生在课后继续加强练习，熟练掌握全等三角形的判定条件，提高几何推理能力。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 5 题，帮助学生巩固全等三角形判定条件的基础知识和基本技能。
选做题：在实际生活中寻找一个可以用全等三角形判定条件解决的问题，并尝试进行解答，如测量池塘两端的距离等，让学生将所学知识应用到实际生活中，提高知识应用能力。
这份教案围绕全等三角形判定条件设计教学环节。你若对教学情境、探究活动、练习难度等方面有新想法，欢迎提出，我们可进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解并掌握全等三角形的概念，及全等三角形经过一系列变换后，能够完全重合的性质；
2、掌握全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）和全等的判定条件；
下图中的几组图形有怎样的关系？
（1）
（2）
（3）
思考：你能想到现实生活中有这样的图形吗？
能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
全等形包括规则图形和不规则图形全等.
全等图形:
知识点一 全等三角形的概念
全等三角形
能够完全重合的两个三角形是全等三角形．
A
B
C
A′
B′
C′
能相互重合的顶点是对应顶点．
能相互重合的边是对应边．
能相互重合的角是对应角．
A与A′、B与B′、C与C′
AB与A′B′、BC与B′C′ 、CA与C′A′
∠A与∠A′、∠B与∠B′、∠C与∠C′
A
B
C
A′
B′
C′
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
全等三角形的表示:
“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”.
记两个三角形全等时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
记作△ABC≌△A′B′C′
1.怎样改变其中一个图形的位置可以得到另一个图形？
观察与思考
2.你能在以下图案中能找出全等图形吗？
做
一
做
如图，以直线 l 为对称轴，画出△ABC 的对称图形，并指出它们的对应顶点﹑对应边和对应角.
若已知∠A=60°，∠B=80°，则
∠D=_____，∠E=_____，∠F=_____.
60°
80°
40°
典例精析
【例1】 如图，将△ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转 60°后得△A′BC′．指出对应顶点、对应边和对应角．
解: 对应顶点: A 与A′，B 与B，C 与 C′；
对应边: AB 与 A′B，AC 与 A′C′，BC 与 BC′．
对应角:∠CBA 与∠C′BA′，∠A 与∠A′，
∠C 与∠C′．
练一练
【解析】∵ △ABC ≌ △DEF，
∴ ∠ACB ＝ ∠DFE．
∴∠DFE ＝ 180°－(∠A ＋∠B)＝85°.
1. 如图，已知△ABC ≌△DEF，∠A ＝40°， ∠B ＝55°，则∠DFE 的度数是________．
85°
知识点二 全等三角形的判定条件
怎么判断两个三角形全等呢？
根据全等三角形的定义可知：能够完全重合两个三角形全等，即两个三角形的三对边、三对角分别对应相等，则两个三角形全等.
能否减少一些条件，找到更简便的判定两个三角形全等的方法呢？
对两个三角形来说，六个元素（三条边、三对角）中至少要有几个元素对应相等，这两个三角形才会全等呢？
1.画几个有一边长为8cm的三角形，这样得到的三角形是否全等？
如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么会出现几种情况？这两个三角形会全等吗？
探究活动1
两种，一条边或一个角相等.
试一试
有一条边对应相等的三角形不一定全等.
有一个角对应相等的三角形不一定全等.
2.画几个有一个角为60°的三角形，这样得到的三角形是否全等？
(
60°
归纳：如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么这两个三角形不一定全等.
30°
(1)三角形的一条边为3cm,一个内角为30°
3cm
3cm
3cm
30°
30°
探究活动2
如果两个三角形有两组对应相等的元素，那么会出现几种可能的情况？这两个三角形会全等吗？
三种，一条边和一个角相等；两个角相等；两条边相等.
试一试
按照下面的条件，用刻度尺和量角器画三角形，并和周围的同学比较，所画的图形是否全等.
一条边和一个内角相等不能判定两个三角形全等.
(
(
(
30°
70°
30°
70°
30°
70°
(2)三角形的两个内角分别为30°和70°.
两个内角对应相等不能判定两个三角形全等.
5cm
3cm
3cm
(3)三角形的两条边分别为3cm和5cm.
两条边对应相等不能判定两个三角形全等.
两个三角形只有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等.
探索发现
思 考
如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），又会如何呢？
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边
(长对长，短对短，中对中)；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角
(大角对大角，小角对小角)；
找对应边、对应角的方法总结：
典例精析
例2 如图，△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠E=40°，BF＝3，EF＝6，求∠DFE的度数和CF的长．
E
D
B
F
A
C
3
60°
40°
6
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝60°，
∠E＝40°，BF＝3，EF＝6，
∴∠D＝∠A＝60°，BC＝EF＝6，
∴∠DFE＝180°－∠E－∠D
＝180°－40°－60°
＝80°
CF＝BC－BF＝6－3＝3.
练一练
如图，将△AOB 绕点 O 旋转180°，得到△COD，这时△AOB≌△_____. 这两个三角形的对应边是：AO与______，OB与_______，BA与_______；
对应角是：∠AOB与_______，∠OBA与______，
∠BAO与________.
COD
CO
OD
DC
∠COD
∠ODC
∠DCO
2. 如图，AD // BC，AD = BC，AE⊥BC，将△ABE 沿 AD 方向平移，使点 A 与点 D 重合，点 E 平移至点 F， 则△ABE≌______，∠F =_____°.
△DCF
90
1.如图，△ABC ≌△ CED， ∠ B和∠ DEC是对应角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边.
A
B
C
E
D
解： 对应角： ∠ A= ∠ DCE, ∠ D= ∠ ACB;
对应边： AC=CD,AB=CE.
2.下列各组中是全等图形的是( )
A. 两个周长相等的等腰三角形
B. 两个面积相等的长方形
C.两条长度的圆弧
D. 两个周长相等的圆
D
解：周长相等，圆的半径也相等，故两个周长相等的圆全等；
1. 下列说法正确的是( )
B
A. 三个角对应相等的两个三角形全等
B. 判定两个三角形全等的条件中至少有一个条件是边相等
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 周长相等的两个三角形全等
返回
2. ［2025泰安期末］根据下列已知条件，能画出唯一的
的是( )
C
A. ，
B. ，，
C. ， ，
D. ，，
返回
3. 如图，把以点 为旋转中心逆时
针旋转得到，点， 的对应点分
别是点，，且点在 的延长线上，
连结 ，则下列结论一定正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，将折叠，使点与 边的
中点重合，折痕为.若 ，
，则 的周长为( )
A
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
返回
（第5题）
5.［2025重庆校级期末］两个全等
的直角三角形重叠在一起，将其中
的一个三角形沿着 方向平移到
的位置，， ，
平移距离为2，则阴影部分面积为
___.
7
（第5题）
【点拨】由平移的性质知
， ，
，
，
.
返回
6.如图，将绕点顺时针旋转 得
到， .
（1）和 是否全等？如果全等，
请写出对应边和对应角.
【解】 .
对应边：和，和，和 ；
对应角：和，和， 和
.
（2）直线与直线 有怎样的位置关系？请说明理由.
.
理由：延长交 于点
，
， ，
，
即点，， 在同一直线上.
， ，
， ，
.
返回
7. 图中的小正方形边长都相等，若
，则点 可能是图中的
( )
D
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
8. 一个三角形三条边的长分别是5，7，10，
另一个三角形三条边的长分别是, ，5.若这两个
三角形全等，则 的值为( )
D
A. 7 B. C. 8 D. 或7
【点拨】分两种情况讨论： 解得
;解得
.综上所述，的值是 或7.
返回
9.［2025武汉月考］如图①，数轴上从左至右依次有， ，
，，五个点，其中点，，表示的数分别为 ，0，
4.如图②，将数轴在点的左侧部分绕点 顺时针方向旋转
，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转 ，
连结，.若和全等，则点 表示的数为
_______________.
或
全等三角形
定义
性质
1.全等三角形的对应边相等
2.全等三角形的对应角相等
探究三角形全等的条件
能够完全重合的两个三角形
1.一个元素（边或角）
两个三角形不一定全等
2.两个元素（边或角）
两个三角形不一定全等
3.三个元素（边或角）
两个三角形可能全等
谢谢观看！