12.3.1等腰三角形的性质 课件（共42张PPT）
文档属性
| 名称 | 12.3.1等腰三角形的性质 课件（共42张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 15:46:00 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
12.3.1等腰三角形的性质
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
等腰三角形的性质教案
一、教学目标
知识与技能目标
学生能够准确说出等腰三角形的定义，清晰理解并熟练掌握等腰三角形两底角相等、三线合一等性质，能够运用这些性质进行简单的几何计算和证明。
过程与方法目标
通过动手裁剪、折叠等腰三角形纸片，经历观察、猜想、验证等腰三角形性质的过程，培养学生的动手操作能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
激发学生对几何图形的探索欲望，增强学生学习数学的兴趣和自信心，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体会数学的对称美和逻辑美。
二、教学重难点
教学重点
等腰三角形 “等边对等角” 和 “三线合一” 性质的探索、理解与应用。
教学难点
等腰三角形 “三线合一” 性质的准确理解和灵活运用，以及性质的证明过程中辅助线的添加方法和逻辑推理思路。
三、教学方法
讲授法、演示法、探究法、讨论法相结合。通过讲授法讲解等腰三角形的基本概念和性质，运用演示法展示等腰三角形的折叠过程，引导学生通过探究法自主发现性质，利用讨论法促进学生之间的交流与合作，深化对知识的理解。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的等腰三角形图片，如金字塔、衣架、交通标志等，提问学生：“这些图片中都包含了哪种几何图形？” 引导学生观察并回答出等腰三角形，从而引出本节课的课题 —— 等腰三角形的性质。
回顾三角形的相关知识，提问学生三角形按边分类的情况，进一步明确等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。同时介绍等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等概念。
（二）探索新知（20 分钟）
动手操作，发现性质
让学生拿出准备好的长方形纸片，按照教材中的步骤裁剪出一个等腰三角形。具体操作如下：将长方形纸片对折，在折痕一侧画一个三角形，使三角形的一条边与折痕重合，另外两条边在长方形纸片上，然后沿所画三角形的边裁剪，展开后得到一个等腰三角形。
引导学生将裁剪好的等腰三角形纸片沿对称轴对折，观察重合的线段和角，提问学生：“通过对折，你发现了等腰三角形的哪些特点？” 鼓励学生大胆猜想等腰三角形可能具有的性质。
组织学生进行小组讨论，分享自己的发现和猜想。教师巡视各小组，倾听学生的讨论，适时给予指导和启发。
各小组派代表汇报讨论结果，教师对学生的猜想进行整理和归纳，引导学生得出等腰三角形的两个重要性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成 “三线合一”）。
逻辑推理，证明性质
证明 “等边对等角”
引导学生将文字命题转化为数学符号语言，已知：在△ABC 中，AB = AC。求证：∠B = ∠C。
启发学生思考证明角相等的方法，如全等三角形的性质等。教师提示学生可以通过作辅助线来构造全等三角形，如作顶角平分线 AD、底边上的中线 AD 或底边上的高 AD。
选择作顶角平分线 AD 的方法进行证明，教师在黑板上详细板书证明过程：
证明：作∠BAC 的平分线 AD，
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC（已知），
∠BAD = ∠CAD（已证），
AD = AD（公共边），
所以△ABD ≌△ACD（SAS），
所以∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）。
让学生尝试用另外两种作辅助线的方法（作底边上的中线 AD 和底边上的高 AD）进行证明，然后请学生上台板演，其他学生在练习本上完成，教师进行点评和纠正。
证明 “三线合一”
引导学生理解 “三线合一” 的含义，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线是同一条线。
已知：在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的平分线。求证：AD 是 BC 边上的中线和高。
教师引导学生利用已证明的 “等边对等角” 和全等三角形的知识进行证明，学生自主完成证明过程，教师巡视指导，最后展示规范的证明过程。
证明：因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC（已知），
∠BAD = ∠CAD（已证），
AD = AD（公共边），
所以△ABD ≌△ACD（SAS），
所以 BD = CD（全等三角形的对应边相等），∠ADB = ∠ADC。
又因为∠ADB + ∠ADC = 180°，所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即 AD 是 BC 边上的中线和高。
（三）巩固练习（15 分钟）
基础练习
已知等腰三角形的一个底角是 70°，求它的顶角的度数。
等腰三角形的一个角是 50°，求它的另外两个角的度数。
如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的高，∠B = 65°，求∠BAD 的度数。
（教师展示题目，学生独立思考并解答，然后请学生回答，教师进行点评和讲解，强调在解决等腰三角形角度问题时，要注意分类讨论。）
拓展练习
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 在 BC 上，且 AD = AE，求证：BD = CE。
（教师引导学生分析题目，鼓励学生尝试多种方法进行证明，如利用 “三线合一” 性质或全等三角形的知识。学生分组讨论并完成证明过程，各小组派代表展示证明方法，教师进行总结和评价。）
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学的主要内容，包括等腰三角形的定义、性质（“等边对等角” 和 “三线合一”）以及性质的证明方法。
教师对学生的回答进行补充和完善，强调等腰三角形性质的重要性和应用要点，帮助学生构建完整的知识体系。
（五）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后习题第 [X] 题、第 [X] 题，巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
选做题：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：DE = DF。让学有余力的学生进一步拓展思维，提高综合运用知识解决问题的能力。
五、教学反思
在教学过程中，要关注学生的参与度和学习情况，及时发现学生在理解和应用等腰三角形性质过程中存在的问题。对于学生在证明过程中出现的逻辑错误和辅助线添加困难等问题，要进行有针对性的指导和讲解。同时，要鼓励学生积极思考，培养学生的创新意识和实践能力。通过课后作业的反馈，了解学生对知识的掌握程度，以便在后续教学中进行查漏补缺和拓展延伸。
这份教案涵盖了知识讲解与实践应用，希望能满足教学需求。若你对教案环节、难度等有调整需求，欢迎随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解并掌握等腰三角形的性质；
2、经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；
温故知新
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？
2.等腰三角形的有关概念
A
B
C
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边,
底边与腰的夹角叫做底角.
两腰所夹的角叫做顶角,
腰
腰
底边
顶角
底角
边：
角：
法国巴黎的卢浮宫
城市大桥建筑
图片欣赏
知识点一 等腰三角形的性质
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
做一做
D
A
B
C
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗？
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
底角
∠B ＝∠C
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2.
探究归纳
A
B
C
D
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等.
（简写成“等边对等角”）
你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢？
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B ＝∠C
证明：画∠BAC的平分线AD.
D
1
2
在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC（已知）
∠1＝∠2（角平分线的定义）
AD＝AD（公共边）
∴ △ABD≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
从这里你还可以得到什么结论？
A
B
C
D
1
2
AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
A
B
C
D
1
2
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。
等腰三角形的性质：
（简称“三线合一”）
文字语言 图形语言 符号语言
等边对等角
底边上的高、中线及顶角平分线重合
A
B
C
A
B
C
D
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
在△ABC中，AB=AC.
(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；
(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；
(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
知识归纳
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
A
B
C
D
1
2
？
？
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等边对等角）
∴∠C＝∠1.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠2.
∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF.
D
A
B
C
F
E
证明：
∵AB=AC，
∴ ∠B= ∠C (等边对等角).
∵D是BC的中点，
∴ DB=DC .
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
在△DBE和△DCF中，
∴ △DBE ≌ △DCF(AAS).
∴ DE=DF .
练一练
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，
(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．
A
B
C
D
70°
40°
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝ ___．
(3)如果有一个角等于120°,
那么∠A＝ ____ ，∠B＝___ ，∠C ＝___ ．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少度？
55°
55°
120°
30°
30°
解：若∠A=50°,则∠B=∠C=65°；
若∠B=∠C=50°,则∠A=80°.
已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
2. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
找出图中相等的角并说明理由.
解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B.
∵AB=AC，
∴∠C=∠B.
∴∠BAD=∠B=∠C
A
B
C
D
∵DC=AC，
∴∠DAC=∠ADC.
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，
∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠ADB=∠BAC.
3.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
(2) 证明：∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴ AD⊥BC（三线合一）
1
2
解： (1) ∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴∠1=∠2= ∠BAC（三线合一）
∵∠BAC＝110°（已知）
∴∠ 1=∠2=55°（等式性质）
知识点二 等边三角形的性质
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得 ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
A
C
B
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
A
B
C
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质：
正三角形
典例精析
A
B
C
D
例3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD；
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A；
（4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °，
∴x+2x+2x=180 °.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
D
1.等腰三角形的对称轴是 ( )
A.底边上的中线 B.顶角的平分线
C.底边上的高 D.底边的垂直平分线
注：对称轴要回答是直线，而ABC三个选项是线段或射线，不符合要求
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是 ( )
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC D. AB=2BD
A
B
C
D
D
根据等腰三角形的性质即可证明ABC，D无法说明；
1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形，
则 的度数是( )
A. B.
C. 或 D. 或 或
（第2题）
2. 如图，在中， ，
， ，则
( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. ［2025长沙岳麓区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠
晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，
迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一
亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.
如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形，，
是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线
的是( )
（第3题）
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
√
（第3题）
【点拨】A.
，
，
，
是的高线，是等腰三角形， ，
是 的角平分线，故A选项不符合题意；B.
是等腰三角形，，是 的角平分
线，故B选项不符合题意；C.
若，不能说明 是
的角平分线，故C选项
符合题意；D. 与
的周长相等，
，，
是的中线， 是
（第3题）
等腰三角形，是
的角平分线，故D选项不符合
题意.
（第3题）
等腰三角形的“三线
合一”性质的应用：1.等腰三
角形“三线合一”的性质是证明
角相等、线段相等和垂直关系
的既重要又简便的方法.2.“三
线合一”性质是等腰三角形所
特有的性质，它实际是一组定
（第3题）
理，应用过程中，在等腰三角
形前提下,“顶角的平分线、底
边上的中线、底边上的高”只
要知道其中“一线”，就可以说
明是其他“两线”.
（第3题）
返回
4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值
称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形 的两边
长分别是3和9，则它的“优美比” 为__.
5.如图， 的周长为20，且
，于点， 的周
长为16，那么 的长为___.
6
返回
6.［2025上海金山区期末］如图，在
中，为边 上一点，
.
（1）试说明 ；
【解】， ，
.
.
（2）过点作的平行线交 的延长
线于点，若，求证： 平分
.
【证明】， .
，， ，
，平分 .
返回
（第7题）
7. 某平板电脑
支架如图所示，其中
， ，为了使
用的舒适性，可调整 的
大小.若增大 ，则
的变化情况是( )
A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小
√
【点拨】， ，
增大 ，
增大 .，减小 .
（第7题）
返回
（第8题）
8.如图，是等腰三角形，点 是底边
上任意一点，， 分别与两边垂直，
等腰三角形的腰长为6，面积为15，则
的值为___.
5
【点拨】连结，如图. ，
，
， .
返回
9.如图钢架中， ，焊上等长的钢条，,
来加固钢架.若 ，则这样的钢条至多需要___根.
3
返回
等腰三角形的性质
底与腰不相等
定义
等边对等角→证明角相等
三线合一
底与腰相等→等边三角形
定义
等腰三角形的所有性质
特有性质：三边相等；三个角都等于60°
谢谢观看！
12.3.1等腰三角形的性质
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
等腰三角形的性质教案
一、教学目标
知识与技能目标
学生能够准确说出等腰三角形的定义，清晰理解并熟练掌握等腰三角形两底角相等、三线合一等性质，能够运用这些性质进行简单的几何计算和证明。
过程与方法目标
通过动手裁剪、折叠等腰三角形纸片，经历观察、猜想、验证等腰三角形性质的过程，培养学生的动手操作能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
激发学生对几何图形的探索欲望，增强学生学习数学的兴趣和自信心，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体会数学的对称美和逻辑美。
二、教学重难点
教学重点
等腰三角形 “等边对等角” 和 “三线合一” 性质的探索、理解与应用。
教学难点
等腰三角形 “三线合一” 性质的准确理解和灵活运用，以及性质的证明过程中辅助线的添加方法和逻辑推理思路。
三、教学方法
讲授法、演示法、探究法、讨论法相结合。通过讲授法讲解等腰三角形的基本概念和性质，运用演示法展示等腰三角形的折叠过程，引导学生通过探究法自主发现性质，利用讨论法促进学生之间的交流与合作，深化对知识的理解。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的等腰三角形图片，如金字塔、衣架、交通标志等，提问学生：“这些图片中都包含了哪种几何图形？” 引导学生观察并回答出等腰三角形，从而引出本节课的课题 —— 等腰三角形的性质。
回顾三角形的相关知识，提问学生三角形按边分类的情况，进一步明确等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。同时介绍等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等概念。
（二）探索新知（20 分钟）
动手操作，发现性质
让学生拿出准备好的长方形纸片，按照教材中的步骤裁剪出一个等腰三角形。具体操作如下：将长方形纸片对折，在折痕一侧画一个三角形，使三角形的一条边与折痕重合，另外两条边在长方形纸片上，然后沿所画三角形的边裁剪，展开后得到一个等腰三角形。
引导学生将裁剪好的等腰三角形纸片沿对称轴对折，观察重合的线段和角，提问学生：“通过对折，你发现了等腰三角形的哪些特点？” 鼓励学生大胆猜想等腰三角形可能具有的性质。
组织学生进行小组讨论，分享自己的发现和猜想。教师巡视各小组，倾听学生的讨论，适时给予指导和启发。
各小组派代表汇报讨论结果，教师对学生的猜想进行整理和归纳，引导学生得出等腰三角形的两个重要性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成 “三线合一”）。
逻辑推理，证明性质
证明 “等边对等角”
引导学生将文字命题转化为数学符号语言，已知：在△ABC 中，AB = AC。求证：∠B = ∠C。
启发学生思考证明角相等的方法，如全等三角形的性质等。教师提示学生可以通过作辅助线来构造全等三角形，如作顶角平分线 AD、底边上的中线 AD 或底边上的高 AD。
选择作顶角平分线 AD 的方法进行证明，教师在黑板上详细板书证明过程：
证明：作∠BAC 的平分线 AD，
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC（已知），
∠BAD = ∠CAD（已证），
AD = AD（公共边），
所以△ABD ≌△ACD（SAS），
所以∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）。
让学生尝试用另外两种作辅助线的方法（作底边上的中线 AD 和底边上的高 AD）进行证明，然后请学生上台板演，其他学生在练习本上完成，教师进行点评和纠正。
证明 “三线合一”
引导学生理解 “三线合一” 的含义，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线是同一条线。
已知：在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的平分线。求证：AD 是 BC 边上的中线和高。
教师引导学生利用已证明的 “等边对等角” 和全等三角形的知识进行证明，学生自主完成证明过程，教师巡视指导，最后展示规范的证明过程。
证明：因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC（已知），
∠BAD = ∠CAD（已证），
AD = AD（公共边），
所以△ABD ≌△ACD（SAS），
所以 BD = CD（全等三角形的对应边相等），∠ADB = ∠ADC。
又因为∠ADB + ∠ADC = 180°，所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即 AD 是 BC 边上的中线和高。
（三）巩固练习（15 分钟）
基础练习
已知等腰三角形的一个底角是 70°，求它的顶角的度数。
等腰三角形的一个角是 50°，求它的另外两个角的度数。
如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的高，∠B = 65°，求∠BAD 的度数。
（教师展示题目，学生独立思考并解答，然后请学生回答，教师进行点评和讲解，强调在解决等腰三角形角度问题时，要注意分类讨论。）
拓展练习
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 在 BC 上，且 AD = AE，求证：BD = CE。
（教师引导学生分析题目，鼓励学生尝试多种方法进行证明，如利用 “三线合一” 性质或全等三角形的知识。学生分组讨论并完成证明过程，各小组派代表展示证明方法，教师进行总结和评价。）
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学的主要内容，包括等腰三角形的定义、性质（“等边对等角” 和 “三线合一”）以及性质的证明方法。
教师对学生的回答进行补充和完善，强调等腰三角形性质的重要性和应用要点，帮助学生构建完整的知识体系。
（五）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后习题第 [X] 题、第 [X] 题，巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
选做题：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：DE = DF。让学有余力的学生进一步拓展思维，提高综合运用知识解决问题的能力。
五、教学反思
在教学过程中，要关注学生的参与度和学习情况，及时发现学生在理解和应用等腰三角形性质过程中存在的问题。对于学生在证明过程中出现的逻辑错误和辅助线添加困难等问题，要进行有针对性的指导和讲解。同时，要鼓励学生积极思考，培养学生的创新意识和实践能力。通过课后作业的反馈，了解学生对知识的掌握程度，以便在后续教学中进行查漏补缺和拓展延伸。
这份教案涵盖了知识讲解与实践应用，希望能满足教学需求。若你对教案环节、难度等有调整需求，欢迎随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解并掌握等腰三角形的性质；
2、经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；
温故知新
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？
2.等腰三角形的有关概念
A
B
C
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边,
底边与腰的夹角叫做底角.
两腰所夹的角叫做顶角,
腰
腰
底边
顶角
底角
边：
角：
法国巴黎的卢浮宫
城市大桥建筑
图片欣赏
知识点一 等腰三角形的性质
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
做一做
D
A
B
C
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗？
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
底角
∠B ＝∠C
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2.
探究归纳
A
B
C
D
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等.
（简写成“等边对等角”）
你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢？
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B ＝∠C
证明：画∠BAC的平分线AD.
D
1
2
在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC（已知）
∠1＝∠2（角平分线的定义）
AD＝AD（公共边）
∴ △ABD≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
从这里你还可以得到什么结论？
A
B
C
D
1
2
AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
A
B
C
D
1
2
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。
等腰三角形的性质：
（简称“三线合一”）
文字语言 图形语言 符号语言
等边对等角
底边上的高、中线及顶角平分线重合
A
B
C
A
B
C
D
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
在△ABC中，AB=AC.
(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；
(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；
(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
知识归纳
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
A
B
C
D
1
2
？
？
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等边对等角）
∴∠C＝∠1.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠2.
∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF.
D
A
B
C
F
E
证明：
∵AB=AC，
∴ ∠B= ∠C (等边对等角).
∵D是BC的中点，
∴ DB=DC .
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
在△DBE和△DCF中，
∴ △DBE ≌ △DCF(AAS).
∴ DE=DF .
练一练
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，
(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．
A
B
C
D
70°
40°
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝ ___．
(3)如果有一个角等于120°,
那么∠A＝ ____ ，∠B＝___ ，∠C ＝___ ．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少度？
55°
55°
120°
30°
30°
解：若∠A=50°,则∠B=∠C=65°；
若∠B=∠C=50°,则∠A=80°.
已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
2. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
找出图中相等的角并说明理由.
解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B.
∵AB=AC，
∴∠C=∠B.
∴∠BAD=∠B=∠C
A
B
C
D
∵DC=AC，
∴∠DAC=∠ADC.
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，
∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠ADB=∠BAC.
3.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
(2) 证明：∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴ AD⊥BC（三线合一）
1
2
解： (1) ∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴∠1=∠2= ∠BAC（三线合一）
∵∠BAC＝110°（已知）
∴∠ 1=∠2=55°（等式性质）
知识点二 等边三角形的性质
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得 ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
A
C
B
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
A
B
C
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质：
正三角形
典例精析
A
B
C
D
例3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD；
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A；
（4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °，
∴x+2x+2x=180 °.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
D
1.等腰三角形的对称轴是 ( )
A.底边上的中线 B.顶角的平分线
C.底边上的高 D.底边的垂直平分线
注：对称轴要回答是直线，而ABC三个选项是线段或射线，不符合要求
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是 ( )
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC D. AB=2BD
A
B
C
D
D
根据等腰三角形的性质即可证明ABC，D无法说明；
1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形，
则 的度数是( )
A. B.
C. 或 D. 或 或
（第2题）
2. 如图，在中， ，
， ，则
( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. ［2025长沙岳麓区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠
晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，
迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一
亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.
如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形，，
是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线
的是( )
（第3题）
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
√
（第3题）
【点拨】A.
，
，
，
是的高线，是等腰三角形， ，
是 的角平分线，故A选项不符合题意；B.
是等腰三角形，，是 的角平分
线，故B选项不符合题意；C.
若，不能说明 是
的角平分线，故C选项
符合题意；D. 与
的周长相等，
，，
是的中线， 是
（第3题）
等腰三角形，是
的角平分线，故D选项不符合
题意.
（第3题）
等腰三角形的“三线
合一”性质的应用：1.等腰三
角形“三线合一”的性质是证明
角相等、线段相等和垂直关系
的既重要又简便的方法.2.“三
线合一”性质是等腰三角形所
特有的性质，它实际是一组定
（第3题）
理，应用过程中，在等腰三角
形前提下,“顶角的平分线、底
边上的中线、底边上的高”只
要知道其中“一线”，就可以说
明是其他“两线”.
（第3题）
返回
4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值
称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形 的两边
长分别是3和9，则它的“优美比” 为__.
5.如图， 的周长为20，且
，于点， 的周
长为16，那么 的长为___.
6
返回
6.［2025上海金山区期末］如图，在
中，为边 上一点，
.
（1）试说明 ；
【解】， ，
.
.
（2）过点作的平行线交 的延长
线于点，若，求证： 平分
.
【证明】， .
，， ，
，平分 .
返回
（第7题）
7. 某平板电脑
支架如图所示，其中
， ，为了使
用的舒适性，可调整 的
大小.若增大 ，则
的变化情况是( )
A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小
√
【点拨】， ，
增大 ，
增大 .，减小 .
（第7题）
返回
（第8题）
8.如图，是等腰三角形，点 是底边
上任意一点，， 分别与两边垂直，
等腰三角形的腰长为6，面积为15，则
的值为___.
5
【点拨】连结，如图. ，
，
， .
返回
9.如图钢架中， ，焊上等长的钢条，,
来加固钢架.若 ，则这样的钢条至多需要___根.
3
返回
等腰三角形的性质
底与腰不相等
定义
等边对等角→证明角相等
三线合一
底与腰相等→等边三角形
定义
等腰三角形的所有性质
特有性质：三边相等；三个角都等于60°
谢谢观看！