12.4.2线段垂直平分线 课件（共40张PPT）
文档属性
| 名称 | 12.4.2线段垂直平分线 课件（共40张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 15:45:02 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
12.4.2线段垂直平分线
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
线段垂直平分线教案
一、教学目标
知识与技能目标
学生能清晰阐述线段垂直平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；能够运用性质定理和逆定理进行简单的几何证明与计算，准确理解线段垂直平分线与等腰三角形知识的内在联系。
过程与方法目标
通过动手操作、观察、猜想、逻辑推理等数学活动，经历线段垂直平分线性质定理和逆定理的探究过程，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和演绎推理能力，提升学生自主探究与合作交流的能力。
情感态度与价值观目标
激发学生对几何图形的探究兴趣，增强学生学习数学的自信心；在探究活动中，让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，培养学生勇于探索、敢于创新的精神以及团队合作意识。
二、教学重难点
教学重点
线段垂直平分线的性质定理和逆定理的探究与应用，能够运用这两个定理解决相关的几何问题。
教学难点
理解线段垂直平分线性质定理和逆定理的证明思路，尤其是逆定理的证明；能够在复杂的几何图形中准确识别和运用线段垂直平分线的性质和判定。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、演示法相结合。通过讲授法讲解基本概念和定理，利用探究法引导学生自主发现规律，借助讨论法促进学生思维碰撞，运用演示法直观展示图形变化，加深学生理解。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾等腰三角形的性质和判定相关知识，提问学生：“等腰三角形有哪些重要性质？”“如何判定一个三角形是等腰三角形？” 通过学生的回答，复习等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 以及 “等角对等边” 等知识，为后续探究线段垂直平分线与等腰三角形的联系做铺垫。
展示生活中与线段垂直平分线有关的实例，如风筝的骨架、某些建筑的结构等，引导学生观察这些实例中线段垂直平分线的特征，提问学生：“这些图形中都存在着一种特殊的线，它有什么特点呢？” 从而引出本节课的课题 —— 线段垂直平分线。
（二）探究新知（20 分钟）
线段垂直平分线的定义
教师在黑板上画出一条线段 AB，然后作出它的垂直平分线 MN，引导学生观察图形，讲解线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。
让学生用直尺和圆规在纸上画一条线段，并作出它的垂直平分线，教师巡视指导，帮助学生掌握作图方法，加深对定义的理解。
线段垂直平分线的性质定理
动手操作，提出猜想：让学生在刚才画出的线段垂直平分线 MN 上任意取一点 P，连接 PA、PB，然后用直尺测量 PA 和 PB 的长度，观察它们的数量关系。接着再在 MN 上取几个不同的点，重复上述操作，引导学生猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
逻辑推理，证明猜想：将学生的猜想转化为数学命题：已知直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，垂足为 C，点 P 是 MN 上任意一点。求证：PA = PB。教师引导学生分析证明思路，利用全等三角形的知识进行证明。
证明：因为 MN 是线段 AB 的垂直平分线，所以∠PCA = ∠PCB = 90°，AC = BC。在△PCA 和△PCB 中，AC = BC（已证），∠PCA = ∠PCB（已证），PC = PC（公共边），所以△PCA ≌△PCB（SAS），则 PA = PB（全等三角形的对应边相等）。由此得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
线段垂直平分线的逆定理
提出问题，引发思考：教师提问：“如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点是否在这条线段的垂直平分线上呢？” 引导学生思考并尝试进行猜想。
探究证明，得出结论：已知：如图，PA = PB。求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。教师引导学生通过作辅助线，如作 PC⊥AB 于点 C，利用等腰三角形 “三线合一” 的性质进行证明（因为 PA = PB，PC⊥AB，所以 AC = BC，即 PC 是线段 AB 的垂直平分线，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上），或者通过证明三角形全等的方法进行证明。从而得出线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
对比分析：引导学生对比线段垂直平分线的性质定理和逆定理，组织学生小组讨论：“这两个定理的条件和结论有什么不同？在应用中如何区分？” 通过讨论，让学生明确性质定理是已知点在线段垂直平分线上，得出点到线段两端点的距离关系；逆定理是已知点到线段两端点的距离关系，得出点的位置关系。
（三）巩固练习（15 分钟）
基础练习
已知：如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上一点，且 PA = 5cm，则线段 PB 的长度为（ ）
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交 AC 于 E，若△BCE 的周长为 24，BC = 10，求 AB 的长。
已知：如图，点 P 在∠AOB 的平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D，连接 CD。求证：OP 是 CD 的垂直平分线。
（学生独立完成，教师巡视，针对学生出现的问题进行个别指导，然后集体订正答案，强调运用定理时要准确找出条件和结论。）
拓展练习
已知：如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 BC 延长线上一点，BD 的垂直平分线分别交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，DE 交 AC 于点 G。求证：点 E 在 AG 的垂直平分线上。
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD = BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 EF 并延长，分别与 AD、BC 的延长线相交于点 M、N。求证：∠AME = ∠BNE。
（学生分组讨论，尝试不同的解题思路，小组代表展示解题过程，教师总结多种解法，拓展学生的思维，提高学生综合运用知识解决问题的能力。）
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学的主要内容，包括线段垂直平分线的定义、性质定理和逆定理，以及定理的证明思路和应用方法。
教师对学生的回答进行补充和完善，强调线段垂直平分线性质定理和逆定理在几何证明和计算中的重要性，帮助学生构建完整的知识体系，梳理线段垂直平分线与等腰三角形知识的联系。
（五）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后习题相关题目，帮助学生巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
选做题：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 E。求证：BD = \(\frac{1}{2}\)DC。让学有余力的学生进一步提升综合运用知识和逻辑推理的能力。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生在探究定理和练习环节的表现，及时发现学生在理解定理、证明思路以及应用定理解决问题等方面存在的问题，如混淆性质定理和逆定理的应用条件、证明时辅助线添加困难等。针对这些问题，在后续教学中加强针对性的讲解和练习，注重引导学生总结解题方法和规律，培养学生良好的数学思维习惯。通过作业反馈，了解学生对知识的掌握程度，调整教学策略，优化教学效果。
这份教案全面覆盖线段垂直平分线知识要点。若你觉得教学环节时长分配、练习难度等方面需要调整，欢迎随时告诉我。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.
2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.
温故知新
C
A
B
P
M
N
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？
PA与PB完全重合
如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？
公 路
A
B
知识点一 线段垂直平分线的性质
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
M
N
P
A
C
B
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知）,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).
在△ACP和△BCP中,
∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
AC=BC,
∠ACP=∠BCP,
PC=PC,
M
N
P
A
C
B
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
知识归纳
M
N
P
A
C
B
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
典例精析
【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于
AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
C
D
两弧相交于点C和D；
练一练
1. 如图，AB = AC，∠A = 50°，DE垂直平分AB. 求∠DBC的大小.
解：由题意，得∠ABC= (180°－∠A)÷2=65°，
∠EBD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°.
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
条件 结论
性质定理
逆命题
一直线是一线段的垂直平分线
该直线上的点到线段两端的距离相等
点到线段两端的距离相等
该点在线段的垂直平分线上
逆命题是否是一个真命题？
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
知识要点
线段垂直平分线的判定
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
做一做
怎样证明这个结论呢
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上
的点到线段两端距离相等）.
∴PB=PC.
∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
P
l
n
m
典例精析
【例2】如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA = PB.
A
B
l
提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.
P
练一练
1. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
D
A
C
B
E
证明：∵BD AC ，AE＝EC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
2. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD + AD = BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 .
A
B
C
D
证明：∵BD＋DC＝BC
而 BD＋AD＝BC，
∴ AD＝DC，
∴ 点D在AC的垂直平分线上.
3. 如图，在△ABC中，∠A =30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上.
证明：∵∠C=90°，∠A =30°
∴∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的垂直平分线上.
1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
P
A
B
C
D
B
由垂直平分线的性质可知，
PA=PB=5
2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
10cm
A
B
C
D
E
∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长为18
∴AC+BC=18
∴AC=10
1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处
各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到
三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( )
A. 三边的垂直平分线的交点上
B. 三条角平分线的交点上
C. 三条高所在直线的交点上
D. 三条中线的交点上
√
返回
（第2题）
2. 如图，中边 的垂直平分线分别
交,于,,连结,,
的周长为,则 的周长是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3. ［2025淮安期中］如图，在锐角
中， ，和 分别垂直平分边
，，则 的度数为( )
A. B. C. D.
√
【点拨】如图，连结， ，
，
.
和分别垂直平分边， ，
，， ，
，
，
，
， .
返回
4.［2025武汉江汉区期中］如图，在中，，
是上的一点，是上一点，且，若 ，
则 的长是___.
2
（第4题）
返回
（第5题）
5. 风筝又称“纸鸢”，距今已
有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的
简化图，已知， ，
， ，则制作这个风筝
需要的布料至少为_______ .
2 700
返回
6.如图，在中，是边上一点，连结， 垂直平
分，垂足为，交于点，连结 .
（1）若的周长为18，
的周长为6，则 ___；
6
【点拨】因为是线段 的垂直平
分线，所以，.因为 的周长为18，
的周长为6，所以 ，
. 所以
.所以 .
（2）若 , ,求 的度数.
【解】因为 , ,
所以
.
由题意易得， .又因
为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
返回
（第7题）
7. 如图，在中， ，
，，垂直平分 ，
点为直线上的任一点，则 周
长的最小值是( )
A. 8.5 B. 9 C. 12 D. 12.5
√
【点拨】如图所示，设交于点，连结， 垂
直平分，， 的周长为
， 当点与 点
重合时，的周长最小，最小值为 .
返回
（第8题）
8. 如图，在中， ，点 为
的中点，过点作的垂线，交 于
点，连结，平分，交 的延
长线于点，则 的度数为( )
A. B. C. D.
√
（第8题）
【点拨】 在中， ，
.由题意可得 垂直
平分，， ，
平分 ，
，即 ，
.
， ，
返回
9.［2025成都青羊区期末］如图，，分别是， 的
垂直平分线，垂足分别为，，且 ，
， ，则的度数为____ .
44
（第9题）
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
谢谢观看！
12.4.2线段垂直平分线
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
线段垂直平分线教案
一、教学目标
知识与技能目标
学生能清晰阐述线段垂直平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；能够运用性质定理和逆定理进行简单的几何证明与计算，准确理解线段垂直平分线与等腰三角形知识的内在联系。
过程与方法目标
通过动手操作、观察、猜想、逻辑推理等数学活动，经历线段垂直平分线性质定理和逆定理的探究过程，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和演绎推理能力，提升学生自主探究与合作交流的能力。
情感态度与价值观目标
激发学生对几何图形的探究兴趣，增强学生学习数学的自信心；在探究活动中，让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，培养学生勇于探索、敢于创新的精神以及团队合作意识。
二、教学重难点
教学重点
线段垂直平分线的性质定理和逆定理的探究与应用，能够运用这两个定理解决相关的几何问题。
教学难点
理解线段垂直平分线性质定理和逆定理的证明思路，尤其是逆定理的证明；能够在复杂的几何图形中准确识别和运用线段垂直平分线的性质和判定。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、演示法相结合。通过讲授法讲解基本概念和定理，利用探究法引导学生自主发现规律，借助讨论法促进学生思维碰撞，运用演示法直观展示图形变化，加深学生理解。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾等腰三角形的性质和判定相关知识，提问学生：“等腰三角形有哪些重要性质？”“如何判定一个三角形是等腰三角形？” 通过学生的回答，复习等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 以及 “等角对等边” 等知识，为后续探究线段垂直平分线与等腰三角形的联系做铺垫。
展示生活中与线段垂直平分线有关的实例，如风筝的骨架、某些建筑的结构等，引导学生观察这些实例中线段垂直平分线的特征，提问学生：“这些图形中都存在着一种特殊的线，它有什么特点呢？” 从而引出本节课的课题 —— 线段垂直平分线。
（二）探究新知（20 分钟）
线段垂直平分线的定义
教师在黑板上画出一条线段 AB，然后作出它的垂直平分线 MN，引导学生观察图形，讲解线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。
让学生用直尺和圆规在纸上画一条线段，并作出它的垂直平分线，教师巡视指导，帮助学生掌握作图方法，加深对定义的理解。
线段垂直平分线的性质定理
动手操作，提出猜想：让学生在刚才画出的线段垂直平分线 MN 上任意取一点 P，连接 PA、PB，然后用直尺测量 PA 和 PB 的长度，观察它们的数量关系。接着再在 MN 上取几个不同的点，重复上述操作，引导学生猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
逻辑推理，证明猜想：将学生的猜想转化为数学命题：已知直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，垂足为 C，点 P 是 MN 上任意一点。求证：PA = PB。教师引导学生分析证明思路，利用全等三角形的知识进行证明。
证明：因为 MN 是线段 AB 的垂直平分线，所以∠PCA = ∠PCB = 90°，AC = BC。在△PCA 和△PCB 中，AC = BC（已证），∠PCA = ∠PCB（已证），PC = PC（公共边），所以△PCA ≌△PCB（SAS），则 PA = PB（全等三角形的对应边相等）。由此得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
线段垂直平分线的逆定理
提出问题，引发思考：教师提问：“如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点是否在这条线段的垂直平分线上呢？” 引导学生思考并尝试进行猜想。
探究证明，得出结论：已知：如图，PA = PB。求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。教师引导学生通过作辅助线，如作 PC⊥AB 于点 C，利用等腰三角形 “三线合一” 的性质进行证明（因为 PA = PB，PC⊥AB，所以 AC = BC，即 PC 是线段 AB 的垂直平分线，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上），或者通过证明三角形全等的方法进行证明。从而得出线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
对比分析：引导学生对比线段垂直平分线的性质定理和逆定理，组织学生小组讨论：“这两个定理的条件和结论有什么不同？在应用中如何区分？” 通过讨论，让学生明确性质定理是已知点在线段垂直平分线上，得出点到线段两端点的距离关系；逆定理是已知点到线段两端点的距离关系，得出点的位置关系。
（三）巩固练习（15 分钟）
基础练习
已知：如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上一点，且 PA = 5cm，则线段 PB 的长度为（ ）
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交 AC 于 E，若△BCE 的周长为 24，BC = 10，求 AB 的长。
已知：如图，点 P 在∠AOB 的平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D，连接 CD。求证：OP 是 CD 的垂直平分线。
（学生独立完成，教师巡视，针对学生出现的问题进行个别指导，然后集体订正答案，强调运用定理时要准确找出条件和结论。）
拓展练习
已知：如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 BC 延长线上一点，BD 的垂直平分线分别交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，DE 交 AC 于点 G。求证：点 E 在 AG 的垂直平分线上。
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD = BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 EF 并延长，分别与 AD、BC 的延长线相交于点 M、N。求证：∠AME = ∠BNE。
（学生分组讨论，尝试不同的解题思路，小组代表展示解题过程，教师总结多种解法，拓展学生的思维，提高学生综合运用知识解决问题的能力。）
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学的主要内容，包括线段垂直平分线的定义、性质定理和逆定理，以及定理的证明思路和应用方法。
教师对学生的回答进行补充和完善，强调线段垂直平分线性质定理和逆定理在几何证明和计算中的重要性，帮助学生构建完整的知识体系，梳理线段垂直平分线与等腰三角形知识的联系。
（五）布置作业（5 分钟）
必做题：教材课后习题相关题目，帮助学生巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
选做题：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 E。求证：BD = \(\frac{1}{2}\)DC。让学有余力的学生进一步提升综合运用知识和逻辑推理的能力。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生在探究定理和练习环节的表现，及时发现学生在理解定理、证明思路以及应用定理解决问题等方面存在的问题，如混淆性质定理和逆定理的应用条件、证明时辅助线添加困难等。针对这些问题，在后续教学中加强针对性的讲解和练习，注重引导学生总结解题方法和规律，培养学生良好的数学思维习惯。通过作业反馈，了解学生对知识的掌握程度，调整教学策略，优化教学效果。
这份教案全面覆盖线段垂直平分线知识要点。若你觉得教学环节时长分配、练习难度等方面需要调整，欢迎随时告诉我。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.
2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.
温故知新
C
A
B
P
M
N
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？
PA与PB完全重合
如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？
公 路
A
B
知识点一 线段垂直平分线的性质
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
M
N
P
A
C
B
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知）,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).
在△ACP和△BCP中,
∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
AC=BC,
∠ACP=∠BCP,
PC=PC,
M
N
P
A
C
B
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
知识归纳
M
N
P
A
C
B
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
典例精析
【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于
AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
C
D
两弧相交于点C和D；
练一练
1. 如图，AB = AC，∠A = 50°，DE垂直平分AB. 求∠DBC的大小.
解：由题意，得∠ABC= (180°－∠A)÷2=65°，
∠EBD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°.
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
条件 结论
性质定理
逆命题
一直线是一线段的垂直平分线
该直线上的点到线段两端的距离相等
点到线段两端的距离相等
该点在线段的垂直平分线上
逆命题是否是一个真命题？
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
知识要点
线段垂直平分线的判定
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
做一做
怎样证明这个结论呢
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上
的点到线段两端距离相等）.
∴PB=PC.
∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
P
l
n
m
典例精析
【例2】如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA = PB.
A
B
l
提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.
P
练一练
1. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
D
A
C
B
E
证明：∵BD AC ，AE＝EC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
2. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD + AD = BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 .
A
B
C
D
证明：∵BD＋DC＝BC
而 BD＋AD＝BC，
∴ AD＝DC，
∴ 点D在AC的垂直平分线上.
3. 如图，在△ABC中，∠A =30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上.
证明：∵∠C=90°，∠A =30°
∴∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的垂直平分线上.
1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
P
A
B
C
D
B
由垂直平分线的性质可知，
PA=PB=5
2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
10cm
A
B
C
D
E
∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长为18
∴AC+BC=18
∴AC=10
1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处
各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到
三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( )
A. 三边的垂直平分线的交点上
B. 三条角平分线的交点上
C. 三条高所在直线的交点上
D. 三条中线的交点上
√
返回
（第2题）
2. 如图，中边 的垂直平分线分别
交,于,,连结,,
的周长为,则 的周长是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3. ［2025淮安期中］如图，在锐角
中， ，和 分别垂直平分边
，，则 的度数为( )
A. B. C. D.
√
【点拨】如图，连结， ，
，
.
和分别垂直平分边， ，
，， ，
，
，
，
， .
返回
4.［2025武汉江汉区期中］如图，在中，，
是上的一点，是上一点，且，若 ，
则 的长是___.
2
（第4题）
返回
（第5题）
5. 风筝又称“纸鸢”，距今已
有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的
简化图，已知， ，
， ，则制作这个风筝
需要的布料至少为_______ .
2 700
返回
6.如图，在中，是边上一点，连结， 垂直平
分，垂足为，交于点，连结 .
（1）若的周长为18，
的周长为6，则 ___；
6
【点拨】因为是线段 的垂直平
分线，所以，.因为 的周长为18，
的周长为6，所以 ，
. 所以
.所以 .
（2）若 , ,求 的度数.
【解】因为 , ,
所以
.
由题意易得， .又因
为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
返回
（第7题）
7. 如图，在中， ，
，，垂直平分 ，
点为直线上的任一点，则 周
长的最小值是( )
A. 8.5 B. 9 C. 12 D. 12.5
√
【点拨】如图所示，设交于点，连结， 垂
直平分，， 的周长为
， 当点与 点
重合时，的周长最小，最小值为 .
返回
（第8题）
8. 如图，在中， ，点 为
的中点，过点作的垂线，交 于
点，连结，平分，交 的延
长线于点，则 的度数为( )
A. B. C. D.
√
（第8题）
【点拨】 在中， ，
.由题意可得 垂直
平分，， ，
平分 ，
，即 ，
.
， ，
返回
9.［2025成都青羊区期末］如图，，分别是， 的
垂直平分线，垂足分别为，，且 ，
， ，则的度数为____ .
44
（第9题）
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
谢谢观看！