13.1.2直角三角形的判定 课件（共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.1.2直角三角形的判定 课件（共37张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 15:55:21 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
13.1.2直角三角形的判定
第13章 勾股定理
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
直角三角形的判定教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能清晰阐述直角三角形的判定方法，熟练掌握勾股定理逆定理的内容，即若三角形三边\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，则该三角形为直角三角形；同时理解并掌握直角三角形全等的判定定理（HL）。
能够根据给定条件，准确运用上述判定方法判断一个三角形是否为直角三角形，以及判定两个直角三角形是否全等，并解决相关计算和证明问题。
（二）过程与方法目标
通过对勾股定理逆定理的探究，经历观察、猜想、验证、归纳的数学过程，培养学生的逻辑推理能力和逆向思维能力。
在直角三角形全等判定的学习中，通过对比一般三角形全等判定方法，提升学生的知识迁移能力和分析辨别能力。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对数学定理探索的兴趣，让学生在探究过程中感受数学的严谨性和科学性，增强学习数学的自信心。
培养学生合作交流的意识，体会数学知识在实际生活中的广泛应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的积极性。
二、教学重难点
（一）教学重点
勾股定理逆定理的理解、推导及应用。
直角三角形全等判定定理（HL）的应用，以及与一般三角形全等判定方法的区别与联系。
（二）教学难点
勾股定理逆定理的证明过程，理解从三边数量关系到三角形形状判定的逻辑关系。
准确区分不同判定方法的适用条件，在实际问题中灵活选择合适的判定方法判断直角三角形及证明全等。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、对比分析法相结合
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
提问回顾：引导学生回顾直角三角形的定义、性质，以及勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。
引发思考：提出问题 “如果已知一个三角形三边的长度，能否通过三边关系判断它是不是直角三角形呢？”，从而引出本节课的学习内容 —— 直角三角形的判定。
（二）勾股定理逆定理的探究与学习（15 分钟）
创设情境，提出猜想（5 分钟）
展示三组三角形的边长数据：①\(3\)、\(4\)、\(5\)；②\(5\)、\(12\)、\(13\)；③\(6\)、\(8\)、\(10\)。
让学生计算每组数据中三边的平方，并观察它们之间的关系，同时使用三角板或量角器测量三角形的最大角。
组织学生小组讨论，引导学生猜想：如果三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形可能是直角三角形。
验证猜想，推导定理（8 分钟）
利用几何画板动态演示：任意构造一个三边满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)的三角形，通过测量工具展示其最大角为\(90^{\circ}\)，多组数据验证后，增强学生对猜想的可信度。
进行严谨的证明：已知在\(\triangle ABC\)中，\(BC = a\)，\(AC = b\)，\(AB = c\)，且\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。作\(Rt\triangle A'B'C'\)，使\(\angle C' = 90^{\circ}\)，\(B'C' = a\)，\(A'C' = b\)，根据勾股定理可得\(A'B'^{2}=a^{2}+b^{2}\)，又因为\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以\(A'B' = c\)。由 “SSS” 可证\(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\)，从而得出\(\angle C = \angle C' = 90^{\circ}\)，即\(\triangle ABC\)是直角三角形，证明勾股定理逆定理。
归纳总结（2 分钟）
师生共同总结勾股定理逆定理的内容、符号语言及作用：如果三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形，可用于判定三角形是否为直角三角形。
（三）直角三角形全等判定定理（HL）的学习（12 分钟）
回顾旧知，引发冲突（3 分钟）
提问学生一般三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），并展示两个直角三角形，已知它们的斜边和一条直角边对应相等，让学生尝试用已学判定方法证明全等，发现无法直接证明，产生认知冲突，从而引出直角三角形特殊的全等判定方法。
探究 HL 判定定理（6 分钟）
动手操作：给学生发放画有斜边为\(5cm\)，一条直角边为\(3cm\)的直角三角形的纸张，让学生剪下三角形，与同桌的三角形进行比较，观察是否全等。
多媒体演示：通过动画展示多个斜边和一条直角边对应相等的直角三角形，发现它们都能完全重合。
总结归纳：引导学生总结直角三角形全等的判定定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。强调该定理只适用于直角三角形，且必须是斜边和直角边对应相等。
对比辨析（3 分钟）
列表对比一般三角形全等判定方法和 HL 定理的适用条件、特点，让学生填写表格并小组讨论，加深对不同判定方法的理解，明确何时使用 HL 定理判定直角三角形全等。
（四）例题讲解（10 分钟）
勾股定理逆定理应用例题（5 分钟）
例 1：判断以线段\(a = 15\)，\(b = 8\)，\(c = 17\)为边的三角形是否为直角三角形。
分析：计算三边平方，\(a^{2}=15^{2}=225\)，\(b^{2}=8^{2}=64\)，\(c^{2}=17^{2}=289\)，因为\(a^{2}+b^{2}=225 + 64 = 289 = c^{2}\)，根据勾股定理逆定理，可判定该三角形是直角三角形。
HL 定理应用例题（5 分钟）
例 2：如图，已知\(AB = CD\)，\(DE\perp AC\)，\(BF\perp AC\)，垂足分别为\(E\)、\(F\)，且\(DE = BF\)，求证\(Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE\)。
分析：因为\(DE\perp AC\)，\(BF\perp AC\)，所以\(\triangle ABF\)和\(\triangle CDE\)都是直角三角形。在\(Rt\triangle ABF\)和\(Rt\triangle CDE\)中，\(AB = CD\)（已知），\(BF = DE\)（已知），根据 HL 定理，可证\(Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE\)。
（五）课堂练习（10 分钟）
基础练习：
判断下列三角形是否为直角三角形：①\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)；②\(a = 9\)，\(b = 12\)，\(c = 15\)。
如图，\(AC = AD\)，\(\angle C = \angle D = 90^{\circ}\)，求证\(BC = BD\)。
提高练习：
一个三角形的三边之比为\(3:4:5\)，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 13\)，\(BC = 10\)，\(BC\)边上的中线\(AD = 12\)，判断\(\triangle ABC\)的形状，并说明理由。
学生独立完成练习，教师巡视指导，选取有代表性的学生解答进行展示，讲解解题思路和方法，纠正学生存在的问题。
（六）课堂小结（5 分钟）
提问学生：“本节课我们学习了哪些直角三角形的判定方法？勾股定理逆定理和 HL 定理的应用条件分别是什么？”
教师总结：回顾勾股定理逆定理和 HL 定理的内容、应用，强调判定直角三角形及证明直角三角形全等时的注意事项，梳理本节课的知识要点和学习方法。
（七）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题。
选做题：已知\(a\)、\(b\)、\(c\)是\(\triangle ABC\)的三边，且满足\((a - 5)^{2}+(b - 12)^{2}+(c - 13)^{2}=0\)，试判断\(\triangle ABC\)的形状，并说明理由。
这份教案围绕多种判定方法展开教学。你若觉得某个环节的讲解深度、练习数量不合适，或者有其他修改方向，都能随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、了解直角三角形的判定条件；
2、能够运用勾股数解决简单实际问题；
温故知新
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，
如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
勾股定理的概念
思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
知识点一 直角三角形的判定
活动一 画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
B
3
4
C
A
5
B
5
12
C
A
13
B
8
15
C
A
17
判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？
都是直角三角形
思考1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
82+152=172
32+42=52
52+122=132
a2+b2=c2
思考2 根据上述结论你有什么猜想呢？
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
你能证明这个猜想吗？
A
b
a
C
B
c
已知：在△ABC中，AB=c , BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
A
b
a
C
B
c
A′
b
a
C′
B′
∟
证明：画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a， A′C′=b（如图）.
由勾股定理，可得 A′B′ 2= a2+b2.
因为 AB2= a2+b2，
根据“SSS”，可证△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.
勾股定理逆定理
∵在△ABC中，a2+b2=c2，
b
B
A
C
a
c
∟
定理揭示了三角形三边之间的数量关系：a2+b2=c2 → Rt△.
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
勾股定理与其逆定理对比：
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系 A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°
a2 + b2 = c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2 + b2 = c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2 + b2 = c2
∠C=90°
数量关系a2 + b2 = c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数
典例精析
(1) a=8，b=15，c=17；
(2) a=13，b=14，c=15.
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.
解：(1) ∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，
∴ 82＋152＝172.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
(2) ∵132＋142＝365，152＝225，
∴ 132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
【例2】已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n4
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2，
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
练一练
(1) a=7，b=25，c=24；
1、判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.
(2) a:b:c=3:4:5.
解：(1) ∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，
∴ 72＋242＝252.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠B是直角.
(2)设a=3k、b=4k、c=5k，
∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，
根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
2、一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
知识点二 常见的勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数。
常见的基本勾股数有：
3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
8，15，17；
7，24，25；
9，40，41；
1.“勾股数”的任意正整数倍仍是勾股数。
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是不是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
典例精析
【例3】 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
练一练
1、像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的三个正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
a 3 6 9 12 … 3n
b 4 8 12 16 … 4n
c 5 10 15 20 … 5n
a 3 5 7 9 11 … 2n+1
b 4 12 24 40 60 … 2n(n＋1)
c 5 13 25 41 61 … 2n(n＋1)＋1
①从上面2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．
解：①规律：一组勾股数，都扩大相同倍数n(n为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数的性质
②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．
利用勾股数可以构造直角三角形.
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
3.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A.5，6，7 B.10，8，4
C.7，25，24 D.9，17，15
4.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A. B.
C. D.
C
B
1. 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从
中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，
其中是直角三角形的是( )
C
A. 5，9，12 B. 5，9，13
C. 5，12，13 D. 9，12，13
2. 若三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则此三角形中最大的角是( )
B
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定
返回
3. 如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第
三边长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025西安雁塔区月考］如图，在
由小正方形组成的 网格中，每个
小正方形的顶点称为格点.点， ，
，，，均在格点上，点， ，
，中能与点， 构成一个直角三角
形的是( )
D
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
（第5题）
5.如图，在四边形 中，
， ， ，
,则 的度数为______.
【点拨】连结， ，
，
是等边三角形，
， . ，
，
，
， .
（第5题）
返回
6.［2025徐州期中］如图，把一块 土地划出一个
后，测得米，米， 米，
米，其中 .
（1）判断 的形状，并说明理由；
【解】 是直角三角形.
理由： ， 米，
米，
（米）.
又米，米， ，
是直角三角形， .
（2）求图中阴影部分的面积.
阴影部分的面积
（平方米）.
返回
7. ［2025常州期末］下列由三条线段，，构成的三角形
其内角分别为,,：； ，
，； ；
，，为大于1的整数 ，其
中能构成直角三角形的是( )
B
A. ①④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
【点拨】， ，
， ， 能构成直角三角形；
， ，
， 能构成直角三角形；
， ，
， 不能构成直角三角形；
， ，
， 能构成直角三角形. 能构成直角三角形
的是①②④.
已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理
来探究三角形是不是直角三角形.在利用公式 时
一定要注意是最大边，即 .
返回
8.如图，在正方形网格中，每个小正方形
的边长都是1个单位长度，点，， ，
，均在小正方形的顶点上，线段 ，
交于点，若 ，则 等
于________.（结果用含 的式子表示）
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
谢谢观看！
13.1.2直角三角形的判定
第13章 勾股定理
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
直角三角形的判定教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能清晰阐述直角三角形的判定方法，熟练掌握勾股定理逆定理的内容，即若三角形三边\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，则该三角形为直角三角形；同时理解并掌握直角三角形全等的判定定理（HL）。
能够根据给定条件，准确运用上述判定方法判断一个三角形是否为直角三角形，以及判定两个直角三角形是否全等，并解决相关计算和证明问题。
（二）过程与方法目标
通过对勾股定理逆定理的探究，经历观察、猜想、验证、归纳的数学过程，培养学生的逻辑推理能力和逆向思维能力。
在直角三角形全等判定的学习中，通过对比一般三角形全等判定方法，提升学生的知识迁移能力和分析辨别能力。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对数学定理探索的兴趣，让学生在探究过程中感受数学的严谨性和科学性，增强学习数学的自信心。
培养学生合作交流的意识，体会数学知识在实际生活中的广泛应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的积极性。
二、教学重难点
（一）教学重点
勾股定理逆定理的理解、推导及应用。
直角三角形全等判定定理（HL）的应用，以及与一般三角形全等判定方法的区别与联系。
（二）教学难点
勾股定理逆定理的证明过程，理解从三边数量关系到三角形形状判定的逻辑关系。
准确区分不同判定方法的适用条件，在实际问题中灵活选择合适的判定方法判断直角三角形及证明全等。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、对比分析法相结合
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
提问回顾：引导学生回顾直角三角形的定义、性质，以及勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。
引发思考：提出问题 “如果已知一个三角形三边的长度，能否通过三边关系判断它是不是直角三角形呢？”，从而引出本节课的学习内容 —— 直角三角形的判定。
（二）勾股定理逆定理的探究与学习（15 分钟）
创设情境，提出猜想（5 分钟）
展示三组三角形的边长数据：①\(3\)、\(4\)、\(5\)；②\(5\)、\(12\)、\(13\)；③\(6\)、\(8\)、\(10\)。
让学生计算每组数据中三边的平方，并观察它们之间的关系，同时使用三角板或量角器测量三角形的最大角。
组织学生小组讨论，引导学生猜想：如果三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形可能是直角三角形。
验证猜想，推导定理（8 分钟）
利用几何画板动态演示：任意构造一个三边满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)的三角形，通过测量工具展示其最大角为\(90^{\circ}\)，多组数据验证后，增强学生对猜想的可信度。
进行严谨的证明：已知在\(\triangle ABC\)中，\(BC = a\)，\(AC = b\)，\(AB = c\)，且\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。作\(Rt\triangle A'B'C'\)，使\(\angle C' = 90^{\circ}\)，\(B'C' = a\)，\(A'C' = b\)，根据勾股定理可得\(A'B'^{2}=a^{2}+b^{2}\)，又因为\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以\(A'B' = c\)。由 “SSS” 可证\(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\)，从而得出\(\angle C = \angle C' = 90^{\circ}\)，即\(\triangle ABC\)是直角三角形，证明勾股定理逆定理。
归纳总结（2 分钟）
师生共同总结勾股定理逆定理的内容、符号语言及作用：如果三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形，可用于判定三角形是否为直角三角形。
（三）直角三角形全等判定定理（HL）的学习（12 分钟）
回顾旧知，引发冲突（3 分钟）
提问学生一般三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），并展示两个直角三角形，已知它们的斜边和一条直角边对应相等，让学生尝试用已学判定方法证明全等，发现无法直接证明，产生认知冲突，从而引出直角三角形特殊的全等判定方法。
探究 HL 判定定理（6 分钟）
动手操作：给学生发放画有斜边为\(5cm\)，一条直角边为\(3cm\)的直角三角形的纸张，让学生剪下三角形，与同桌的三角形进行比较，观察是否全等。
多媒体演示：通过动画展示多个斜边和一条直角边对应相等的直角三角形，发现它们都能完全重合。
总结归纳：引导学生总结直角三角形全等的判定定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。强调该定理只适用于直角三角形，且必须是斜边和直角边对应相等。
对比辨析（3 分钟）
列表对比一般三角形全等判定方法和 HL 定理的适用条件、特点，让学生填写表格并小组讨论，加深对不同判定方法的理解，明确何时使用 HL 定理判定直角三角形全等。
（四）例题讲解（10 分钟）
勾股定理逆定理应用例题（5 分钟）
例 1：判断以线段\(a = 15\)，\(b = 8\)，\(c = 17\)为边的三角形是否为直角三角形。
分析：计算三边平方，\(a^{2}=15^{2}=225\)，\(b^{2}=8^{2}=64\)，\(c^{2}=17^{2}=289\)，因为\(a^{2}+b^{2}=225 + 64 = 289 = c^{2}\)，根据勾股定理逆定理，可判定该三角形是直角三角形。
HL 定理应用例题（5 分钟）
例 2：如图，已知\(AB = CD\)，\(DE\perp AC\)，\(BF\perp AC\)，垂足分别为\(E\)、\(F\)，且\(DE = BF\)，求证\(Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE\)。
分析：因为\(DE\perp AC\)，\(BF\perp AC\)，所以\(\triangle ABF\)和\(\triangle CDE\)都是直角三角形。在\(Rt\triangle ABF\)和\(Rt\triangle CDE\)中，\(AB = CD\)（已知），\(BF = DE\)（已知），根据 HL 定理，可证\(Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE\)。
（五）课堂练习（10 分钟）
基础练习：
判断下列三角形是否为直角三角形：①\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)；②\(a = 9\)，\(b = 12\)，\(c = 15\)。
如图，\(AC = AD\)，\(\angle C = \angle D = 90^{\circ}\)，求证\(BC = BD\)。
提高练习：
一个三角形的三边之比为\(3:4:5\)，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 13\)，\(BC = 10\)，\(BC\)边上的中线\(AD = 12\)，判断\(\triangle ABC\)的形状，并说明理由。
学生独立完成练习，教师巡视指导，选取有代表性的学生解答进行展示，讲解解题思路和方法，纠正学生存在的问题。
（六）课堂小结（5 分钟）
提问学生：“本节课我们学习了哪些直角三角形的判定方法？勾股定理逆定理和 HL 定理的应用条件分别是什么？”
教师总结：回顾勾股定理逆定理和 HL 定理的内容、应用，强调判定直角三角形及证明直角三角形全等时的注意事项，梳理本节课的知识要点和学习方法。
（七）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题。
选做题：已知\(a\)、\(b\)、\(c\)是\(\triangle ABC\)的三边，且满足\((a - 5)^{2}+(b - 12)^{2}+(c - 13)^{2}=0\)，试判断\(\triangle ABC\)的形状，并说明理由。
这份教案围绕多种判定方法展开教学。你若觉得某个环节的讲解深度、练习数量不合适，或者有其他修改方向，都能随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、了解直角三角形的判定条件；
2、能够运用勾股数解决简单实际问题；
温故知新
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，
如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
勾股定理的概念
思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
知识点一 直角三角形的判定
活动一 画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
B
3
4
C
A
5
B
5
12
C
A
13
B
8
15
C
A
17
判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？
都是直角三角形
思考1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
82+152=172
32+42=52
52+122=132
a2+b2=c2
思考2 根据上述结论你有什么猜想呢？
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
你能证明这个猜想吗？
A
b
a
C
B
c
已知：在△ABC中，AB=c , BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
A
b
a
C
B
c
A′
b
a
C′
B′
∟
证明：画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a， A′C′=b（如图）.
由勾股定理，可得 A′B′ 2= a2+b2.
因为 AB2= a2+b2，
根据“SSS”，可证△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.
勾股定理逆定理
∵在△ABC中，a2+b2=c2，
b
B
A
C
a
c
∟
定理揭示了三角形三边之间的数量关系：a2+b2=c2 → Rt△.
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
勾股定理与其逆定理对比：
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系 A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°
a2 + b2 = c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2 + b2 = c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2 + b2 = c2
∠C=90°
数量关系a2 + b2 = c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数
典例精析
(1) a=8，b=15，c=17；
(2) a=13，b=14，c=15.
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.
解：(1) ∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，
∴ 82＋152＝172.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
(2) ∵132＋142＝365，152＝225，
∴ 132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
【例2】已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n4
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2，
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
练一练
(1) a=7，b=25，c=24；
1、判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.
(2) a:b:c=3:4:5.
解：(1) ∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，
∴ 72＋242＝252.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠B是直角.
(2)设a=3k、b=4k、c=5k，
∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，
根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
2、一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
知识点二 常见的勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数。
常见的基本勾股数有：
3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
8，15，17；
7，24，25；
9，40，41；
1.“勾股数”的任意正整数倍仍是勾股数。
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是不是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
典例精析
【例3】 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
练一练
1、像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的三个正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
a 3 6 9 12 … 3n
b 4 8 12 16 … 4n
c 5 10 15 20 … 5n
a 3 5 7 9 11 … 2n+1
b 4 12 24 40 60 … 2n(n＋1)
c 5 13 25 41 61 … 2n(n＋1)＋1
①从上面2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．
解：①规律：一组勾股数，都扩大相同倍数n(n为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数的性质
②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．
利用勾股数可以构造直角三角形.
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
3.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A.5，6，7 B.10，8，4
C.7，25，24 D.9，17，15
4.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A. B.
C. D.
C
B
1. 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从
中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，
其中是直角三角形的是( )
C
A. 5，9，12 B. 5，9，13
C. 5，12，13 D. 9，12，13
2. 若三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则此三角形中最大的角是( )
B
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定
返回
3. 如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第
三边长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025西安雁塔区月考］如图，在
由小正方形组成的 网格中，每个
小正方形的顶点称为格点.点， ，
，，，均在格点上，点， ，
，中能与点， 构成一个直角三角
形的是( )
D
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
（第5题）
5.如图，在四边形 中，
， ， ，
,则 的度数为______.
【点拨】连结， ，
，
是等边三角形，
， . ，
，
，
， .
（第5题）
返回
6.［2025徐州期中］如图，把一块 土地划出一个
后，测得米，米， 米，
米，其中 .
（1）判断 的形状，并说明理由；
【解】 是直角三角形.
理由： ， 米，
米，
（米）.
又米，米， ，
是直角三角形， .
（2）求图中阴影部分的面积.
阴影部分的面积
（平方米）.
返回
7. ［2025常州期末］下列由三条线段，，构成的三角形
其内角分别为,,：； ，
，； ；
，，为大于1的整数 ，其
中能构成直角三角形的是( )
B
A. ①④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
【点拨】， ，
， ， 能构成直角三角形；
， ，
， 能构成直角三角形；
， ，
， 不能构成直角三角形；
， ，
， 能构成直角三角形. 能构成直角三角形
的是①②④.
已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理
来探究三角形是不是直角三角形.在利用公式 时
一定要注意是最大边，即 .
返回
8.如图，在正方形网格中，每个小正方形
的边长都是1个单位长度，点，， ，
，均在小正方形的顶点上，线段 ，
交于点，若 ，则 等
于________.（结果用含 的式子表示）
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
谢谢观看！