13.1.3反证法 课件（共32张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.1.3反证法 课件（共32张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 15:56:23 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
13.1.3反证法
第13章 勾股定理
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
13.1.3 反证法教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能精准阐述反证法的概念、步骤，熟练掌握反证法的基本逻辑结构。
能够准确运用反证法证明与几何、代数相关的简单命题，尤其是与直角三角形判定等已学知识结合的命题，清晰书写证明过程。
（二）过程与方法目标
通过实例探究、自主思考与合作交流，培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力，提升学生从不同角度分析和解决问题的能力。
让学生经历 “提出假设 — 推理论证 — 得出矛盾 — 肯定结论” 的完整思维过程，体会反证法在数学证明中的独特作用。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对数学证明方法多样性的探索兴趣，感受数学的严谨性和逻辑性，增强学习数学的自信心。
培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神，以及严谨求实的学习态度，体会反证法在实际生活和数学研究中的应用价值。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解反证法的概念、步骤及其理论依据。
熟练掌握运用反证法证明命题的方法和技巧，尤其是准确找出矛盾点。
（二）教学难点
如何引导学生根据命题结论准确提出反设，避免反设错误。
在复杂命题中，如何通过严谨的推理导出矛盾，以及对矛盾类型的准确判断和分析。
让学生克服思维惯性，适应反证法的逆向思维方式。
三、教学方法
讲授法、启发式教学法、小组合作探究法、案例分析法相结合
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
故事引入：讲述 “道旁苦李” 的故事，王戎七岁时，看到路边的李树果实累累，其他小朋友都去摘，他却认为李子是苦的。他的理由是：如果李子是甜的，早就被路人摘光了，而现在果实还这么多，所以李子一定是苦的。引导学生思考王戎的推理方式，激发学生兴趣。
提问思考：提出问题 “王戎的这种推理方法与我们平时的直接证明有什么不同？在数学证明中，是否也可以采用类似的方法呢？” 从而引出本节课的主题 —— 反证法。
（二）知识讲解（15 分钟）
反证法概念讲解（5 分钟）
结合故事和数学中的例子，如 “证明\(\sqrt{2}\)是无理数”，详细阐述反证法的概念：反证法是一种间接证明方法，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的目的。
强调反证法的核心思想是通过否定假设来肯定原命题，与直接证明的正向思维不同，是一种逆向思维的证明方法。
反证法步骤剖析（10 分钟）
反设：详细讲解如何根据命题结论进行反设，强调反设必须全面、准确，涵盖所有与原结论相反的情况。例如，对于命题 “三角形内角和等于\(180^{\circ}\)”，反设应为 “三角形内角和不等于\(180^{\circ}\)” ；对于命题 “在一个三角形中，至少有一个角不小于\(60^{\circ}\)”，反设应为 “在一个三角形中，所有角都小于\(60^{\circ}\)”。通过多个不同类型的命题，让学生练习反设的写法，及时纠正错误。
归谬：重点说明归谬是反证法的关键步骤，要从反设出发，结合已知条件、定义、定理、公理等进行严密的逻辑推理，直到推出矛盾。矛盾的类型可以是与已知条件矛盾、与已学定理矛盾、与假设矛盾或自相矛盾等。通过具体的证明过程，如证明 “两条直线相交只有一个交点”，展示如何在推理过程中发现矛盾。
结论：当推出矛盾后，由于推理过程正确，所以假设不成立，从而得出原命题成立的结论，明确这一步是对原命题的肯定。
（三）典例分析（15 分钟）
几何证明案例（8 分钟）
例 1：用反证法证明 “在直角三角形中，至少有一个锐角不大于\(45^{\circ}\)”。
分析与证明：
反设：假设在直角三角形中，两个锐角都大于\(45^{\circ}\)。
归谬：因为直角三角形有一个角是\(90^{\circ}\)，若两个锐角都大于\(45^{\circ}\)，那么两个锐角之和就大于\(90^{\circ}\)，这样三角形的内角和就会大于\(180^{\circ}\)，这与三角形内角和定理矛盾。
结论：所以假设不成立，即在直角三角形中，至少有一个锐角不大于\(45^{\circ}\)。
让学生参与分析过程，教师逐步引导，规范书写证明格式。
代数证明案例（7 分钟）
例 2：用反证法证明 “若\(a + b > 0\)，则\(a\)，\(b\)中至少有一个大于\(0\)”。
分析与证明：
反设：假设\(a\)，\(b\)都不大于\(0\)，即\(a \leq 0\)且\(b \leq 0\)。
归谬：根据不等式性质，两个非正数相加结果仍为非正数，那么\(a + b \leq 0\)，这与已知条件\(a + b > 0\)矛盾。
结论：所以假设不成立，即若\(a + b > 0\)，则\(a\)，\(b\)中至少有一个大于\(0\)。
引导学生独立思考，尝试书写证明过程，然后进行展示和点评。
（四）课堂练习（10 分钟）
基础练习：
用反证法证明 “一个三角形中不能有两个直角”。
用反证法证明 “若\(a^2 \neq b^2\)，则\(a \neq b\)”。
提高练习：
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是三角形的三边，用反证法证明\(a + b > c\)。
用反证法证明 “在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”。
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生在反设、推理过程中存在的问题，对有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答进行展示，组织学生进行讨论和评价，共同纠正错误，规范证明过程。
（五）课堂小结（5 分钟）
提问回顾：通过提问的方式，引导学生回顾反证法的概念、步骤，如 “反证法的第一步是什么？反证法推出矛盾后能得到什么结论？” 让学生对本节课的重点知识进行梳理。
总结强调：教师对本节课进行全面总结，强调反证法的关键在于准确反设和合理归谬，以及反证法在数学证明中的重要性和独特作用。提醒学生在运用反证法时要注意逻辑的严密性，避免出现推理漏洞。同时，鼓励学生在今后的学习中，当直接证明有困难时，尝试运用反证法解决问题。
（六）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题，要求用反证法进行证明，并规范书写证明过程。
选做题：收集生活中运用反证法思维的案例，并尝试用数学语言进行描述和分析；思考反证法与其他证明方法的联系和区别，写一篇简短的数学小论文。
这份教案围绕反证法进行专题设计，注重知识讲解与实践结合。你可以说说对教学案例、练习难度等方面的看法，我来进一步优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题；
2、理解并体会反证法的思想内涵；
3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念；
温故知新
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
c
a
b
A
C
B
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.
导入新课
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
知识点一 反证法
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
c
a
b
A
C
B
探究： （1）假设它是一个直角三角形;
（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
问题探究
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
探究发现
像这样的证明方法叫“反证法”.
先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.
即：一、反设；
二、推理得矛盾；
三、假设不成立，原命题正确.
归纳总结
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
百度百科
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
典例精析
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立。
所以两条直线相交只有一个交点。
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾
【例1】求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
a
b
A
●
A，
●
【例2】求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，
经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是
很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
练一练
1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°.
于是∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180 °，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等.
证明：假设它们所对的边相等，那么这两个角相等，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以它们所对的边不相等.
1.试说出下列命题的反面：
(1) a是有理数； (2) a大于5；
(3) a小于4； (4) 至少有6个；
(5) 最多有一个； (6) 两条直线相交；
a不是有理数
a小于或等于5
a大于或等于4
没有6个
一个也没有
两直线平行
2.用反证法证明“若a2≠ b2，则a ≠ b”的第一步是________.
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步_ ____.
假设a=b
假设这个三角形
是等腰三角形
5.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行.
证明：假设这两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这与已知条件矛盾，
∴假设不成立，
∴这两条直线不平行.
1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角
不是锐角”时，应先假设( )
A. 没有一个角是钝角或直角
B. 至多有一个钝角或直角
C. 没有一个角是锐角
D. 没有一个角是钝角
√
解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤.在假设
结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果
只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定.
返回
2. 如图，在中，，点 为
内一点，连结，， ，
，求证： ，用反证
法证明时，第一步应假设( )
A. B.
C. D.
√
返回
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相
平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾.
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D. 垂直的定义
【点拨】命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线
互相平行”，用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过
一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾.
√
返回
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补.
【解】已知:如图,,,都被 所截.
求证: .
证明:假设 .
,
.
,
,这和平角为 矛盾,
假设 不成立,即 .
返回
5. 下列对反证法的理解错误的是( )
A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法
B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法
C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件
D. 用反证法证得的结论有时不可靠
√
返回
6. 已知在中， ，求证：
.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
，这与三角形内角和为 矛盾；
②因此假设不成立. ;
③假设在中， ;
④由，得 ，即 .这
四个步骤正确的顺序应是( )
A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①②
√
【点拨】运用反证法证明这个命题的四个步骤：假设在
中， ；由，得 ，
即 ； ，这与三角
形内角和为 矛盾；因此假设不成立. .
返回
7.用反证法证明命题：“若，是整数，且 能被5整除，则
， 中至少有一个能被5整除”时，应假设________________
____.
，都不能被5整除
8.［2025保定期末］如图，在 中，
，是的平分线，是
边上的中线.用反证法证明点与点 不重合.
返回
【证明】假设点与点重合.延长到 ，
使，连结 .
是 边上的中线，
.又 ，
，
， .
是的平分线， ，
， ，
，这与 相矛盾.
点与点 重合是错误的.
点与点 不重合.
返回
反证法
定义：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
步骤
1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的
2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确
谢谢观看！
13.1.3反证法
第13章 勾股定理
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
13.1.3 反证法教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能精准阐述反证法的概念、步骤，熟练掌握反证法的基本逻辑结构。
能够准确运用反证法证明与几何、代数相关的简单命题，尤其是与直角三角形判定等已学知识结合的命题，清晰书写证明过程。
（二）过程与方法目标
通过实例探究、自主思考与合作交流，培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力，提升学生从不同角度分析和解决问题的能力。
让学生经历 “提出假设 — 推理论证 — 得出矛盾 — 肯定结论” 的完整思维过程，体会反证法在数学证明中的独特作用。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对数学证明方法多样性的探索兴趣，感受数学的严谨性和逻辑性，增强学习数学的自信心。
培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神，以及严谨求实的学习态度，体会反证法在实际生活和数学研究中的应用价值。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解反证法的概念、步骤及其理论依据。
熟练掌握运用反证法证明命题的方法和技巧，尤其是准确找出矛盾点。
（二）教学难点
如何引导学生根据命题结论准确提出反设，避免反设错误。
在复杂命题中，如何通过严谨的推理导出矛盾，以及对矛盾类型的准确判断和分析。
让学生克服思维惯性，适应反证法的逆向思维方式。
三、教学方法
讲授法、启发式教学法、小组合作探究法、案例分析法相结合
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
故事引入：讲述 “道旁苦李” 的故事，王戎七岁时，看到路边的李树果实累累，其他小朋友都去摘，他却认为李子是苦的。他的理由是：如果李子是甜的，早就被路人摘光了，而现在果实还这么多，所以李子一定是苦的。引导学生思考王戎的推理方式，激发学生兴趣。
提问思考：提出问题 “王戎的这种推理方法与我们平时的直接证明有什么不同？在数学证明中，是否也可以采用类似的方法呢？” 从而引出本节课的主题 —— 反证法。
（二）知识讲解（15 分钟）
反证法概念讲解（5 分钟）
结合故事和数学中的例子，如 “证明\(\sqrt{2}\)是无理数”，详细阐述反证法的概念：反证法是一种间接证明方法，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的目的。
强调反证法的核心思想是通过否定假设来肯定原命题，与直接证明的正向思维不同，是一种逆向思维的证明方法。
反证法步骤剖析（10 分钟）
反设：详细讲解如何根据命题结论进行反设，强调反设必须全面、准确，涵盖所有与原结论相反的情况。例如，对于命题 “三角形内角和等于\(180^{\circ}\)”，反设应为 “三角形内角和不等于\(180^{\circ}\)” ；对于命题 “在一个三角形中，至少有一个角不小于\(60^{\circ}\)”，反设应为 “在一个三角形中，所有角都小于\(60^{\circ}\)”。通过多个不同类型的命题，让学生练习反设的写法，及时纠正错误。
归谬：重点说明归谬是反证法的关键步骤，要从反设出发，结合已知条件、定义、定理、公理等进行严密的逻辑推理，直到推出矛盾。矛盾的类型可以是与已知条件矛盾、与已学定理矛盾、与假设矛盾或自相矛盾等。通过具体的证明过程，如证明 “两条直线相交只有一个交点”，展示如何在推理过程中发现矛盾。
结论：当推出矛盾后，由于推理过程正确，所以假设不成立，从而得出原命题成立的结论，明确这一步是对原命题的肯定。
（三）典例分析（15 分钟）
几何证明案例（8 分钟）
例 1：用反证法证明 “在直角三角形中，至少有一个锐角不大于\(45^{\circ}\)”。
分析与证明：
反设：假设在直角三角形中，两个锐角都大于\(45^{\circ}\)。
归谬：因为直角三角形有一个角是\(90^{\circ}\)，若两个锐角都大于\(45^{\circ}\)，那么两个锐角之和就大于\(90^{\circ}\)，这样三角形的内角和就会大于\(180^{\circ}\)，这与三角形内角和定理矛盾。
结论：所以假设不成立，即在直角三角形中，至少有一个锐角不大于\(45^{\circ}\)。
让学生参与分析过程，教师逐步引导，规范书写证明格式。
代数证明案例（7 分钟）
例 2：用反证法证明 “若\(a + b > 0\)，则\(a\)，\(b\)中至少有一个大于\(0\)”。
分析与证明：
反设：假设\(a\)，\(b\)都不大于\(0\)，即\(a \leq 0\)且\(b \leq 0\)。
归谬：根据不等式性质，两个非正数相加结果仍为非正数，那么\(a + b \leq 0\)，这与已知条件\(a + b > 0\)矛盾。
结论：所以假设不成立，即若\(a + b > 0\)，则\(a\)，\(b\)中至少有一个大于\(0\)。
引导学生独立思考，尝试书写证明过程，然后进行展示和点评。
（四）课堂练习（10 分钟）
基础练习：
用反证法证明 “一个三角形中不能有两个直角”。
用反证法证明 “若\(a^2 \neq b^2\)，则\(a \neq b\)”。
提高练习：
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是三角形的三边，用反证法证明\(a + b > c\)。
用反证法证明 “在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”。
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生在反设、推理过程中存在的问题，对有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答进行展示，组织学生进行讨论和评价，共同纠正错误，规范证明过程。
（五）课堂小结（5 分钟）
提问回顾：通过提问的方式，引导学生回顾反证法的概念、步骤，如 “反证法的第一步是什么？反证法推出矛盾后能得到什么结论？” 让学生对本节课的重点知识进行梳理。
总结强调：教师对本节课进行全面总结，强调反证法的关键在于准确反设和合理归谬，以及反证法在数学证明中的重要性和独特作用。提醒学生在运用反证法时要注意逻辑的严密性，避免出现推理漏洞。同时，鼓励学生在今后的学习中，当直接证明有困难时，尝试运用反证法解决问题。
（六）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题，要求用反证法进行证明，并规范书写证明过程。
选做题：收集生活中运用反证法思维的案例，并尝试用数学语言进行描述和分析；思考反证法与其他证明方法的联系和区别，写一篇简短的数学小论文。
这份教案围绕反证法进行专题设计，注重知识讲解与实践结合。你可以说说对教学案例、练习难度等方面的看法，我来进一步优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题；
2、理解并体会反证法的思想内涵；
3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念；
温故知新
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
c
a
b
A
C
B
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.
导入新课
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
知识点一 反证法
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
c
a
b
A
C
B
探究： （1）假设它是一个直角三角形;
（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
问题探究
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
探究发现
像这样的证明方法叫“反证法”.
先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.
即：一、反设；
二、推理得矛盾；
三、假设不成立，原命题正确.
归纳总结
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
百度百科
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
典例精析
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立。
所以两条直线相交只有一个交点。
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾
【例1】求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
a
b
A
●
A，
●
【例2】求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，
经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是
很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
练一练
1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°.
于是∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180 °，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等.
证明：假设它们所对的边相等，那么这两个角相等，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以它们所对的边不相等.
1.试说出下列命题的反面：
(1) a是有理数； (2) a大于5；
(3) a小于4； (4) 至少有6个；
(5) 最多有一个； (6) 两条直线相交；
a不是有理数
a小于或等于5
a大于或等于4
没有6个
一个也没有
两直线平行
2.用反证法证明“若a2≠ b2，则a ≠ b”的第一步是________.
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步_ ____.
假设a=b
假设这个三角形
是等腰三角形
5.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行.
证明：假设这两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这与已知条件矛盾，
∴假设不成立，
∴这两条直线不平行.
1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角
不是锐角”时，应先假设( )
A. 没有一个角是钝角或直角
B. 至多有一个钝角或直角
C. 没有一个角是锐角
D. 没有一个角是钝角
√
解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤.在假设
结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果
只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定.
返回
2. 如图，在中，，点 为
内一点，连结，， ，
，求证： ，用反证
法证明时，第一步应假设( )
A. B.
C. D.
√
返回
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相
平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾.
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D. 垂直的定义
【点拨】命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线
互相平行”，用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过
一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾.
√
返回
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补.
【解】已知:如图,,,都被 所截.
求证: .
证明:假设 .
,
.
,
,这和平角为 矛盾,
假设 不成立,即 .
返回
5. 下列对反证法的理解错误的是( )
A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法
B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法
C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件
D. 用反证法证得的结论有时不可靠
√
返回
6. 已知在中， ，求证：
.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
，这与三角形内角和为 矛盾；
②因此假设不成立. ;
③假设在中， ;
④由，得 ，即 .这
四个步骤正确的顺序应是( )
A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①②
√
【点拨】运用反证法证明这个命题的四个步骤：假设在
中， ；由，得 ，
即 ； ，这与三角
形内角和为 矛盾；因此假设不成立. .
返回
7.用反证法证明命题：“若，是整数，且 能被5整除，则
， 中至少有一个能被5整除”时，应假设________________
____.
，都不能被5整除
8.［2025保定期末］如图，在 中，
，是的平分线，是
边上的中线.用反证法证明点与点 不重合.
返回
【证明】假设点与点重合.延长到 ，
使，连结 .
是 边上的中线，
.又 ，
，
， .
是的平分线， ，
， ，
，这与 相矛盾.
点与点 重合是错误的.
点与点 不重合.
返回
反证法
定义：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
步骤
1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的
2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确
谢谢观看！