13.2勾股定理的应用 课件（共35张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.2勾股定理的应用 课件（共35张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 15:57:50 | ||
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文档简介
(共35张PPT)
13.2勾股定理的应用
第13章 勾股定理
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
勾股定理的应用教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能熟练运用勾股定理解决实际生活中的问题，如测量距离、计算高度等，准确识别问题中的直角三角形模型。
掌握勾股定理在几何图形计算中的应用，包括求解三角形边长、判断三角形形状，以及在四边形、圆等图形与直角三角形结合问题中的运用。
学会运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，并能灵活运用正、逆定理解决综合性问题。
（二）过程与方法目标
通过分析实际问题和几何图形，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，以及从复杂图形中抽象出直角三角形模型的能力。
在解决问题的过程中，提高学生运用数学知识进行逻辑推理和计算的能力，增强学生分析问题、解决问题的思维能力。
（三）情感态度与价值观目标
让学生体会勾股定理在实际生活和数学研究中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过解决实际问题，培养学生的应用意识和创新精神，增强学生对数学价值的认识，提高学生学习数学的自信心。
二、教学重难点
（一）教学重点
勾股定理在实际生活中的应用，如测量、建筑、航行等问题的解决。
勾股定理及其逆定理在几何图形计算和证明中的综合运用。
（二）教学难点
如何从实际问题中抽象出直角三角形模型，准确找出问题中的已知条件和所求量。
勾股定理与其他数学知识（如方程、函数、几何图形性质等）的综合应用，以及在复杂几何图形中灵活运用勾股定理解决问题。
三、教学方法
讲授法、案例教学法、小组合作探究法、问题驱动法相结合
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
知识回顾：提问学生勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）及其逆定理（若三角形三边\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形为直角三角形），并让学生举例说明。
情境引入：展示一些生活中与勾股定理应用相关的图片或视频，如斜拉桥的结构、测量树高、梯子滑动问题等，提出问题 “在这些情境中，我们如何运用勾股定理来解决问题呢？”，从而引出本节课的主题 —— 勾股定理的应用。
（二）勾股定理在实际生活中的应用讲解（15 分钟）
案例 1：测量问题（5 分钟）
呈现问题：如图，有一个水池，水面是一个边长为\(10\)尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面\(1\)尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
分析问题：引导学生将实际问题转化为数学问题，构建直角三角形模型。设水的深度为\(x\)尺，则芦苇的长度为\((x + 1)\)尺，根据勾股定理列出方程\(x^2 + (\frac{10}{2})^2 = (x + 1)^2\)。
求解问题：教师带领学生解方程，得出\(x = 12\)，进而得到芦苇的长度为\(13\)尺。
总结方法：强调在解决测量问题时，要善于找出直角三角形，确定三边关系，通过设未知数，利用勾股定理列方程求解。
案例 2：建筑与工程问题（5 分钟）
呈现问题：某工程队要从 A 点出发到位于马路对面的 B 点进行工程施工，已知马路宽\(12\)米，A、B 两点在马路方向上的水平距离为\(5\)米，为了节省材料，工程队需要铺设的最短管道长度是多少米？
分析问题：引导学生将马路和管道抽象为直角三角形的两条直角边和斜边，运用勾股定理计算斜边长度，即最短管道长度为\(\sqrt{12^2 + 5^2} = 13\)米。
拓展思考：提出问题 “如果马路中间有障碍物，不能直接铺设，该如何设计管道路线？”，激发学生进一步思考。
案例 3：航行问题（5 分钟）
呈现问题：一艘轮船以\(16\)海里 / 小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以\(12\)海里 / 小时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？
分析问题：根据方向可知两艘轮船的行驶路线夹角为\(90^{\circ}\)，分别计算出两艘轮船行驶的路程作为直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理求出斜边，即相距距离为\(\sqrt{(16 1.5)^2 + (12 1.5)^2} = 30\)海里。
总结归纳：总结航行问题中运用勾股定理的关键是确定直角三角形的三边，通常根据行驶方向和速度求出直角边长度。
（三）勾股定理在几何图形中的应用讲解（15 分钟）
在三角形中的应用（5 分钟）
例 1：已知直角三角形的两条直角边分别为\(3\)和\(4\)，求斜边的长度；若已知斜边为\(5\)，一条直角边为\(3\)，求另一条直角边的长度。
分析与解答：直接运用勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)及其变形公式进行计算，让学生熟练掌握勾股定理在直角三角形边长计算中的应用。
例 2：判断以线段\(a = 5\)，\(b = 12\)，\(c = 13\)为边的三角形是否为直角三角形。
分析与解答：运用勾股定理逆定理，计算\(a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = c^2\)，得出该三角形是直角三角形，强化学生对逆定理的应用。
在四边形中的应用（5 分钟）
例 3：如图，在四边形\(ABCD\)中，\(AB = 3\)，\(BC = 4\)，\(CD = 12\)，\(DA = 13\)，且\(\angle B = 90^{\circ}\)，求四边形\(ABCD\)的面积。
分析与解答：连接\(AC\)，在\(Rt\triangle ABC\)中，根据勾股定理求出\(AC = 5\)；再在\(\triangle ACD\)中，通过计算\(AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = AD^2\)，由勾股定理逆定理判断\(\triangle ACD\)是直角三角形；最后将四边形面积转化为两个直角三角形面积之和，即\(S_{ è ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} 3 4 + \frac{1}{2} 5 12 = 36\)。
总结方法：在四边形问题中，常常通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理及其逆定理求解边长和面积。
与圆结合的应用（5 分钟）
例 4：如图，在以\(O\)为圆心的圆中，弦\(AB = 8\)，圆心\(O\)到弦\(AB\)的距离\(OC = 3\)，求圆的半径\(OA\)。
分析与解答：因为\(OC\)垂直平分\(AB\)，所以\(AC = \frac{1}{2}AB = 4\)，在\(Rt\triangle AOC\)中，根据勾股定理可得\(OA = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)。
拓展延伸：引导学生思考在圆中涉及弦长、半径、弦心距等问题时，如何利用勾股定理建立它们之间的关系。
（四）课堂练习（10 分钟）
基础练习：
一个直角三角形的斜边为\(10\)，一条直角边为\(6\)，求另一条直角边的长度。
如图，一个梯子\(AB\)长\(2.5\)米，顶端\(A\)靠在墙\(AC\)上，这时梯子下端\(B\)与墙角\(C\)距离为\(1.5\)米，梯子滑动后停在\(DE\)的位置上，测得\(BD\)长为\(0.5\)米，求梯子顶端\(A\)下落了多少米？
提高练习：
已知三角形三边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a^2 + b^2 + c^2 = 10a + 24b + 26c - 338\)，试判断该三角形的形状。
在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 15\)，\(AC = 13\)，高\(AD = 12\)，求\(\triangle ABC\)的面积。
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题，对有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答进行展示，组织学生进行讨论和评价，共同纠正错误，总结解题方法和技巧。
（五）课堂小结（5 分钟）
知识梳理：通过提问和总结的方式，引导学生回顾勾股定理在实际生活和几何图形中的应用类型，如测量问题、建筑问题、三角形和四边形计算问题等，以及运用勾股定理及其逆定理解决问题的方法和步骤。
方法归纳：强调在应用勾股定理时，关键是找出或构造直角三角形，确定三边关系；对于实际问题，要善于将其转化为数学模型；对于几何图形问题，要结合图形性质灵活运用定理。同时，鼓励学生在今后的学习和生活中，主动运用勾股定理解决遇到的问题。
（六）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题，要求认真分析题目，规范书写解题过程。
选做题：查阅资料，了解勾股定理在古代数学和现代科技中的更多应用实例，并写一篇关于勾股定理应用的小报告；尝试设计一个利用勾股定理解决实际问题的方案，如测量学校旗杆的高度等。
此教案从多场景展现勾股定理应用。你可对案例类型、练习数量等方面提出意见，我会进一步完善教案内容。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题；
2、经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件；
温故知新
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
文字语言
符号语言
A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ a2 + b2 = c2.
A
b
a
C
B
c
在△ABC中，a2 + b2 = c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°.
如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方.
从远处看斜拉桥，可以发现有许多直角三角形.
已知桥面上以上的索塔AB的高，怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、AG的长？
分别测量出BC、BD、BE、BF、BG的长度，根据勾股定理计算出AC、AD、AE、AF、AG的长
知识点一 勾股定理的应用——最短路径问题
看一看：观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程。
典例精析
【例1】如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm)
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图)，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.
A
B
C
D
解：如图所示，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得
A
B
C
D
答：爬行的最短路程约为10. 77 cm.
练一练
1、如图①，已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它爬行的最短路程.(结果保留根号)
因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
解：长方体的展开图如图
如图②，展开前面、右面，由勾股定理得AB=
=
如图③，展开前面、上面，由勾股定理得AB=
=
如图④，展开左面、上面，由勾股定理得AB=
=
∵ ，∴爬行最短路程为 cm.
知识点二 勾股定理的应用——几何问题
【例2】 如图, 在△ABC中, AB＝26, BC＝20, BC边上的中线AD＝24, 求AC.
D
C
B
A
26
20
24
解：∵AD是△ABC的中线，且BC=20，
∴BD==10.
∵AD2＋BD2＝576＋100＝676，
AB 2＝262＝676，
∴AD2＋BD2＝AB2，
∴ ∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．
∴AC＝AB＝26.
还有其他方法求AC吗？
能求出△ABC的周长和面积吗
典例精析
练一练
1. 计算图中四边形ABCD的面积.
解：在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD2=AD2+AB2=122+162=400 ，
∴BD=20，
∵CD2＝152=225，
∴ CD2+BD2＝BC2.
∴ 由勾股定理的逆定理得：∠BDC＝90°.
∴ BD⊥CD
S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=×16×12+×15×20=246.
D
C
B
A
∟
12
16
15
25
BC2＝252=625，
2. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm. 求这个三角形的面积.
解：∵三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm．
∴三边长分别为：
60×，60×，60×，
∵152＋202＝252，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：
.
知识点三 勾股定理的实际应用
典例精析
【例3】如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是多少？
A
B
C
D
3
4
12
13
解：如图，连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2＝AB2＋BC2＝32＋42，∴AC＝5.∵AC2＋AD2=52＋122＝169，CD2＝169，∴CD2＝AC2＋AD2.∴由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·AD＝×4×3＋×5×12＝36.
∵36×30=1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
∟
练一练
1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)？
分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相交于点H.
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
可见高度上有0.4米的余量，因此卡车能通过厂门.
2、有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，∠ABC =90°，BC=8米，AB＋AC=16米．若设AB=x米，则AC=(16-x)米，然后根据勾股定理列出方程求解．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.
设AB=x米，则AC=(16-x)米.
根据勾股定理，得x2+82=(16-x)2，
解得x=6，即AB=6米.
答：电线杆断裂处A到地面的距离为6米.
1.如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（ ）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
C
13cm
8cm
6cm
？cm
2.如图，由于台风影响，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.
8
3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
2x=24，
∴ x=12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
解：
4.如图，已知CD＝6cm，AD＝8cm， ∠ADC＝90o，BC＝24cm，AB＝26cm，求阴影部分面积.
解：在Rt△ADC中，
∵AC2=AD2+CD2（勾股定理）
=82+62=100，
∴AC=10.
∵AC2+BC2=102+242=676=262，
∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD
=120-24
=96.
1. 如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端点
和，然后把中点向上拉升至 点，则橡皮筋被拉长了
( )
（第1题）
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 如图，一圆柱体
的底面周长为，高为， 是
直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧
面爬行到点 的最短路程是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3.［2025洛阳期末］如图，在离水面
高度为8米的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子 的长为17米，
几分钟后船到达点 的位置，此时绳
子 的长为10米，则船向岸边移动
了___米.
9
（第3题）
【点拨】 在 中，
，米，
（米）， 船向岸边移动了9米.
米，
（米） 米，
（米），
返回
（第4题）
4. 如图，在笔直的铁路
上有两点，，相距，， 为
两村庄，， ，
于点，于点 ，现要
在上建一个中转站，使得， 两
13.3
村庄到站的距离相等，则_____ .
返回
5.《国务院关于印发全民健身计划
（2021-2025年）的通知》文件提出，加大
全民健身场地设施供给，进一步增加全民
健身的热情.某市某健身广场为方便群众夜
间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，
向阳兴趣小组利用长的竹竿测量照明灯灯板 的长.如
图，灯板垂直地面于点 ，第一次将竹竿的一个端点
与点重合，另一个端点落在地面上的 处，
第二次将竹竿的一个端点与点 重合，另一
个端点落在地面上的处.已知 ，
，求灯板 的长.
【解】由题意可知， .在
中，， ，则
.
在中，， ，
则 .
.
返回
6.在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有
一条雕龙从柱底沿石柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方，
石柱上刻有雕龙的部分的柱高约为16米，则雕刻在石柱上的
巨龙至少长为______.
20米
返回
7. 跷跷板是一种常见的儿童玩具.跷跷板一端
着地时如图①，支柱 地面，， 为握把，
且于，， .跷跷板可以绕点
转动，如图②是跷跷板水平时，即，此时点 ，
，，的对应点分别为点，，，，恰有 .则
跷跷板的长为_____ .
265
勾股定理的应用
最短路径问题
求最短路径长度
实际问题中的应用
求长度、距离、宽度、高度等
关键：构造直角三角形
几何问题中的应用
求三角形的边长、求图形的面积等
谢谢观看！
13.2勾股定理的应用
第13章 勾股定理
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
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勾股定理的应用教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能熟练运用勾股定理解决实际生活中的问题，如测量距离、计算高度等，准确识别问题中的直角三角形模型。
掌握勾股定理在几何图形计算中的应用，包括求解三角形边长、判断三角形形状，以及在四边形、圆等图形与直角三角形结合问题中的运用。
学会运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，并能灵活运用正、逆定理解决综合性问题。
（二）过程与方法目标
通过分析实际问题和几何图形，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，以及从复杂图形中抽象出直角三角形模型的能力。
在解决问题的过程中，提高学生运用数学知识进行逻辑推理和计算的能力，增强学生分析问题、解决问题的思维能力。
（三）情感态度与价值观目标
让学生体会勾股定理在实际生活和数学研究中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过解决实际问题，培养学生的应用意识和创新精神，增强学生对数学价值的认识，提高学生学习数学的自信心。
二、教学重难点
（一）教学重点
勾股定理在实际生活中的应用，如测量、建筑、航行等问题的解决。
勾股定理及其逆定理在几何图形计算和证明中的综合运用。
（二）教学难点
如何从实际问题中抽象出直角三角形模型，准确找出问题中的已知条件和所求量。
勾股定理与其他数学知识（如方程、函数、几何图形性质等）的综合应用，以及在复杂几何图形中灵活运用勾股定理解决问题。
三、教学方法
讲授法、案例教学法、小组合作探究法、问题驱动法相结合
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
知识回顾：提问学生勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）及其逆定理（若三角形三边\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形为直角三角形），并让学生举例说明。
情境引入：展示一些生活中与勾股定理应用相关的图片或视频，如斜拉桥的结构、测量树高、梯子滑动问题等，提出问题 “在这些情境中，我们如何运用勾股定理来解决问题呢？”，从而引出本节课的主题 —— 勾股定理的应用。
（二）勾股定理在实际生活中的应用讲解（15 分钟）
案例 1：测量问题（5 分钟）
呈现问题：如图，有一个水池，水面是一个边长为\(10\)尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面\(1\)尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
分析问题：引导学生将实际问题转化为数学问题，构建直角三角形模型。设水的深度为\(x\)尺，则芦苇的长度为\((x + 1)\)尺，根据勾股定理列出方程\(x^2 + (\frac{10}{2})^2 = (x + 1)^2\)。
求解问题：教师带领学生解方程，得出\(x = 12\)，进而得到芦苇的长度为\(13\)尺。
总结方法：强调在解决测量问题时，要善于找出直角三角形，确定三边关系，通过设未知数，利用勾股定理列方程求解。
案例 2：建筑与工程问题（5 分钟）
呈现问题：某工程队要从 A 点出发到位于马路对面的 B 点进行工程施工，已知马路宽\(12\)米，A、B 两点在马路方向上的水平距离为\(5\)米，为了节省材料，工程队需要铺设的最短管道长度是多少米？
分析问题：引导学生将马路和管道抽象为直角三角形的两条直角边和斜边，运用勾股定理计算斜边长度，即最短管道长度为\(\sqrt{12^2 + 5^2} = 13\)米。
拓展思考：提出问题 “如果马路中间有障碍物，不能直接铺设，该如何设计管道路线？”，激发学生进一步思考。
案例 3：航行问题（5 分钟）
呈现问题：一艘轮船以\(16\)海里 / 小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以\(12\)海里 / 小时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？
分析问题：根据方向可知两艘轮船的行驶路线夹角为\(90^{\circ}\)，分别计算出两艘轮船行驶的路程作为直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理求出斜边，即相距距离为\(\sqrt{(16 1.5)^2 + (12 1.5)^2} = 30\)海里。
总结归纳：总结航行问题中运用勾股定理的关键是确定直角三角形的三边，通常根据行驶方向和速度求出直角边长度。
（三）勾股定理在几何图形中的应用讲解（15 分钟）
在三角形中的应用（5 分钟）
例 1：已知直角三角形的两条直角边分别为\(3\)和\(4\)，求斜边的长度；若已知斜边为\(5\)，一条直角边为\(3\)，求另一条直角边的长度。
分析与解答：直接运用勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)及其变形公式进行计算，让学生熟练掌握勾股定理在直角三角形边长计算中的应用。
例 2：判断以线段\(a = 5\)，\(b = 12\)，\(c = 13\)为边的三角形是否为直角三角形。
分析与解答：运用勾股定理逆定理，计算\(a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = c^2\)，得出该三角形是直角三角形，强化学生对逆定理的应用。
在四边形中的应用（5 分钟）
例 3：如图，在四边形\(ABCD\)中，\(AB = 3\)，\(BC = 4\)，\(CD = 12\)，\(DA = 13\)，且\(\angle B = 90^{\circ}\)，求四边形\(ABCD\)的面积。
分析与解答：连接\(AC\)，在\(Rt\triangle ABC\)中，根据勾股定理求出\(AC = 5\)；再在\(\triangle ACD\)中，通过计算\(AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = AD^2\)，由勾股定理逆定理判断\(\triangle ACD\)是直角三角形；最后将四边形面积转化为两个直角三角形面积之和，即\(S_{ è ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} 3 4 + \frac{1}{2} 5 12 = 36\)。
总结方法：在四边形问题中，常常通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理及其逆定理求解边长和面积。
与圆结合的应用（5 分钟）
例 4：如图，在以\(O\)为圆心的圆中，弦\(AB = 8\)，圆心\(O\)到弦\(AB\)的距离\(OC = 3\)，求圆的半径\(OA\)。
分析与解答：因为\(OC\)垂直平分\(AB\)，所以\(AC = \frac{1}{2}AB = 4\)，在\(Rt\triangle AOC\)中，根据勾股定理可得\(OA = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)。
拓展延伸：引导学生思考在圆中涉及弦长、半径、弦心距等问题时，如何利用勾股定理建立它们之间的关系。
（四）课堂练习（10 分钟）
基础练习：
一个直角三角形的斜边为\(10\)，一条直角边为\(6\)，求另一条直角边的长度。
如图，一个梯子\(AB\)长\(2.5\)米，顶端\(A\)靠在墙\(AC\)上，这时梯子下端\(B\)与墙角\(C\)距离为\(1.5\)米，梯子滑动后停在\(DE\)的位置上，测得\(BD\)长为\(0.5\)米，求梯子顶端\(A\)下落了多少米？
提高练习：
已知三角形三边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a^2 + b^2 + c^2 = 10a + 24b + 26c - 338\)，试判断该三角形的形状。
在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 15\)，\(AC = 13\)，高\(AD = 12\)，求\(\triangle ABC\)的面积。
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题，对有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答进行展示，组织学生进行讨论和评价，共同纠正错误，总结解题方法和技巧。
（五）课堂小结（5 分钟）
知识梳理：通过提问和总结的方式，引导学生回顾勾股定理在实际生活和几何图形中的应用类型，如测量问题、建筑问题、三角形和四边形计算问题等，以及运用勾股定理及其逆定理解决问题的方法和步骤。
方法归纳：强调在应用勾股定理时，关键是找出或构造直角三角形，确定三边关系；对于实际问题，要善于将其转化为数学模型；对于几何图形问题，要结合图形性质灵活运用定理。同时，鼓励学生在今后的学习和生活中，主动运用勾股定理解决遇到的问题。
（六）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题，要求认真分析题目，规范书写解题过程。
选做题：查阅资料，了解勾股定理在古代数学和现代科技中的更多应用实例，并写一篇关于勾股定理应用的小报告；尝试设计一个利用勾股定理解决实际问题的方案，如测量学校旗杆的高度等。
此教案从多场景展现勾股定理应用。你可对案例类型、练习数量等方面提出意见，我会进一步完善教案内容。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题；
2、经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件；
温故知新
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
文字语言
符号语言
A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ a2 + b2 = c2.
A
b
a
C
B
c
在△ABC中，a2 + b2 = c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°.
如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方.
从远处看斜拉桥，可以发现有许多直角三角形.
已知桥面上以上的索塔AB的高，怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、AG的长？
分别测量出BC、BD、BE、BF、BG的长度，根据勾股定理计算出AC、AD、AE、AF、AG的长
知识点一 勾股定理的应用——最短路径问题
看一看：观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程。
典例精析
【例1】如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm)
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图)，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.
A
B
C
D
解：如图所示，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得
A
B
C
D
答：爬行的最短路程约为10. 77 cm.
练一练
1、如图①，已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它爬行的最短路程.(结果保留根号)
因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
解：长方体的展开图如图
如图②，展开前面、右面，由勾股定理得AB=
=
如图③，展开前面、上面，由勾股定理得AB=
=
如图④，展开左面、上面，由勾股定理得AB=
=
∵ ，∴爬行最短路程为 cm.
知识点二 勾股定理的应用——几何问题
【例2】 如图, 在△ABC中, AB＝26, BC＝20, BC边上的中线AD＝24, 求AC.
D
C
B
A
26
20
24
解：∵AD是△ABC的中线，且BC=20，
∴BD==10.
∵AD2＋BD2＝576＋100＝676，
AB 2＝262＝676，
∴AD2＋BD2＝AB2，
∴ ∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．
∴AC＝AB＝26.
还有其他方法求AC吗？
能求出△ABC的周长和面积吗
典例精析
练一练
1. 计算图中四边形ABCD的面积.
解：在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD2=AD2+AB2=122+162=400 ，
∴BD=20，
∵CD2＝152=225，
∴ CD2+BD2＝BC2.
∴ 由勾股定理的逆定理得：∠BDC＝90°.
∴ BD⊥CD
S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=×16×12+×15×20=246.
D
C
B
A
∟
12
16
15
25
BC2＝252=625，
2. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm. 求这个三角形的面积.
解：∵三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm．
∴三边长分别为：
60×，60×，60×，
∵152＋202＝252，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：
.
知识点三 勾股定理的实际应用
典例精析
【例3】如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是多少？
A
B
C
D
3
4
12
13
解：如图，连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2＝AB2＋BC2＝32＋42，∴AC＝5.∵AC2＋AD2=52＋122＝169，CD2＝169，∴CD2＝AC2＋AD2.∴由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·AD＝×4×3＋×5×12＝36.
∵36×30=1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
∟
练一练
1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)？
分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相交于点H.
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
可见高度上有0.4米的余量，因此卡车能通过厂门.
2、有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，∠ABC =90°，BC=8米，AB＋AC=16米．若设AB=x米，则AC=(16-x)米，然后根据勾股定理列出方程求解．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.
设AB=x米，则AC=(16-x)米.
根据勾股定理，得x2+82=(16-x)2，
解得x=6，即AB=6米.
答：电线杆断裂处A到地面的距离为6米.
1.如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（ ）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
C
13cm
8cm
6cm
？cm
2.如图，由于台风影响，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.
8
3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
2x=24，
∴ x=12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
解：
4.如图，已知CD＝6cm，AD＝8cm， ∠ADC＝90o，BC＝24cm，AB＝26cm，求阴影部分面积.
解：在Rt△ADC中，
∵AC2=AD2+CD2（勾股定理）
=82+62=100，
∴AC=10.
∵AC2+BC2=102+242=676=262，
∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD
=120-24
=96.
1. 如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端点
和，然后把中点向上拉升至 点，则橡皮筋被拉长了
( )
（第1题）
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 如图，一圆柱体
的底面周长为，高为， 是
直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧
面爬行到点 的最短路程是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3.［2025洛阳期末］如图，在离水面
高度为8米的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子 的长为17米，
几分钟后船到达点 的位置，此时绳
子 的长为10米，则船向岸边移动
了___米.
9
（第3题）
【点拨】 在 中，
，米，
（米）， 船向岸边移动了9米.
米，
（米） 米，
（米），
返回
（第4题）
4. 如图，在笔直的铁路
上有两点，，相距，， 为
两村庄，， ，
于点，于点 ，现要
在上建一个中转站，使得， 两
13.3
村庄到站的距离相等，则_____ .
返回
5.《国务院关于印发全民健身计划
（2021-2025年）的通知》文件提出，加大
全民健身场地设施供给，进一步增加全民
健身的热情.某市某健身广场为方便群众夜
间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，
向阳兴趣小组利用长的竹竿测量照明灯灯板 的长.如
图，灯板垂直地面于点 ，第一次将竹竿的一个端点
与点重合，另一个端点落在地面上的 处，
第二次将竹竿的一个端点与点 重合，另一
个端点落在地面上的处.已知 ，
，求灯板 的长.
【解】由题意可知， .在
中，， ，则
.
在中，， ，
则 .
.
返回
6.在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有
一条雕龙从柱底沿石柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方，
石柱上刻有雕龙的部分的柱高约为16米，则雕刻在石柱上的
巨龙至少长为______.
20米
返回
7. 跷跷板是一种常见的儿童玩具.跷跷板一端
着地时如图①，支柱 地面，， 为握把，
且于，， .跷跷板可以绕点
转动，如图②是跷跷板水平时，即，此时点 ，
，，的对应点分别为点，，，，恰有 .则
跷跷板的长为_____ .
265
勾股定理的应用
最短路径问题
求最短路径长度
实际问题中的应用
求长度、距离、宽度、高度等
关键：构造直角三角形
几何问题中的应用
求三角形的边长、求图形的面积等
谢谢观看！