第10章 数的开方【章末复习】 课件（共55张PPT）

(共55张PPT)
章末复习
第10章 数的开方
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第 10 章 数的开方章末复习方案
一、知识框架梳理
（一）平方根相关知识
定义：如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根。正数\(a\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{a}\) ，其中\(\sqrt{a}\)是算术平方根，\(0\)的平方根是\(0\)，负数没有平方根。
性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\) 。
计算方法：通过平方运算的逆运算来求平方根，例如求\(25\)的平方根，因为\((\pm5)^{2}=25\)，所以\(25\)的平方根是\(\pm5\)。
（二）立方根相关知识
定义：如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^{3}=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根，用\(\sqrt[3]{a}\)表示。
性质：任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。
计算方法：同样基于立方运算的逆运算，如求\(27\)的立方根，由于\(3^{3}=27\)，所以\(\sqrt[3]{27}=3\)。
（三）实数的概念与分类
概念：有理数和无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数）。
分类
按定义分类：实数分为有理数和无理数，有理数进一步分为整数和分数，无理数即无限不循环小数。
按正负性分类：实数可分为正实数、\(0\)、负实数，正实数包含正有理数和正无理数，负实数包含负有理数和负无理数。
（四）实数的运算
运算规则：实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算，其规则与有理数运算规则类似。加法满足交换律和结合律，乘法满足交换律、结合律和分配律；减法可转化为加法，除法可转化为乘法 。
混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。运算律在实数运算中同样适用，可用于简化运算。
（五）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系。利用这一关系，可直观比较实数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大。
二、重点知识精讲
（一）平方根与立方根的区别与联系
区别
个数不同：正数有两个平方根，而正数只有一个正的立方根；负数没有平方根，但负数有一个负的立方根。
表示方法不同：平方根用\(\pm\sqrt{a}\)表示，立方根用\(\sqrt[3]{a}\)表示。
被开方数的取值范围不同：平方根中被开方数\(a\geq0\)，立方根中被开方数\(a\)为任意实数。
联系：二者都是开方运算，是乘方运算的逆运算；\(0\)的平方根和立方根都是\(0\)。
（二）实数的分类与判断
无理数的判断：关键看是否为无限不循环小数，常见的无理数形式有开方开不尽的数（如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt[3]{3}\) ）、含\(\pi\)的数（如\(2\pi\)）、有规律但不循环的无限小数（如\(0.1010010001\cdots\) ）。
实数分类的要点：分类时要明确标准，按定义或正负性进行准确分类，注意区分有理数和无理数，避免混淆。
（三）实数的运算技巧
根式化简：对于平方根和立方根，要将能开得尽方的数或式子进行化简，如\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) ，\(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\times3}=2\sqrt[3]{3}\)。
运算律的运用：在实数混合运算中，灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，可简化计算过程，例如计算\((\sqrt{3}+1)\times2=\sqrt{3}\times2 + 1\times2=2\sqrt{3}+2\)。
三、易混易错点剖析
平方根与算术平方根混淆：误将平方根当成算术平方根，忽略平方根的正负性。例如，求\(9\)的平方根，错误地只得出\(3\)，而正确答案是\(\pm3\)；求\(9\)的算术平方根才是\(3\)。
对无理数概念理解不清：认为带根号的数就是无理数，实际上只有开方开不尽的数才是无理数，如\(\sqrt{4}=2\)是有理数，\(\sqrt{2}\)是无理数 。
实数运算中的符号错误：在实数混合运算中，尤其是涉及负数的乘方、开方运算时，容易出现符号错误。例如，计算\((-2)^{2}=4\)，而不是\(-4\)；\(\sqrt[3]{-8}=-2\) 。
运算顺序错误：在实数混合运算中，不按照先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的顺序进行计算，导致结果错误。
四、综合练习巩固
（一）选择题
下列说法正确的是（ ）
A. \(4\)的平方根是\(2\)
B. \(-8\)的立方根是\(-2\)
C. \(\sqrt{16}\)的算术平方根是\(4\)
D. \(0\)没有平方根
下列各数中，是无理数的是（ ）
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\sqrt{4}\)
C. \(\pi\)
D. \(0.121212\cdots\)
计算\(\sqrt{5}\times\sqrt{10}\)的结果是（ ）
A. \(5\sqrt{2}\)
B. \(10\sqrt{5}\)
C. \(2\sqrt{5}\)
D. \(5\sqrt{10}\)
（二）填空题
\(\sqrt{25}\)的平方根是______。
比较大小：\(\sqrt{7}\)______\(3\)（填 “\(>\)”“\(<\)” 或 “\(=\)”）。
若\(x^{2}=16\)，则\(x =\)；若\(x^{3}=-27\)，则\(x =\)。
（三）解答题
计算：
\(\sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\)
\(\sqrt[3]{-8}+\sqrt{0}-\sqrt{\frac{1}{4}}\)
已知\(x + 1\)的平方根是\(\pm2\)，\(2x + y - 2\)的立方根是\(2\)，求\(x^{2}+y^{2}\)的值。
五、总结提升
通过本章复习，学生应全面掌握数的开方相关知识，包括平方根、立方根的概念、性质与计算，实数的分类、运算以及与数轴的关系。针对易混易错点加强理解和练习，提高运算的准确性和对概念的辨析能力。鼓励学生在后续学习中，善于将数的开方知识与其他数学知识相结合，提升综合运用数学知识解决问题的能力。
这份复习方案涵盖第 10 章数的开方核心内容。你可对知识梳理详略、练习题难度等方面提出看法，我们共同完善，让复习更高效。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
考点1 平方根
1. 的平方根是( )
D
A. 9 B. 9和 C. 3 D. 3和
2. 下列说法正确的是( )
A
A. 的平方根是
B. 的算术平方根是5
C. 的平方根是7
D. 1的平方根和算术平方根都是1
返回
3.已知，当最小时， 的算术平方
根为___.
1
4. 已知9，16和 三个数，使这三个数中的一
个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的
数 的值：_____________.
，，
返回
5.如图，在 的方格中（每个小正方形
的边长为1），四边形 是正方形，
利用面积的关系可得正方形 的边长
是____.
【点拨】
，所以正方形的边长是 .
返回
考点2 立方根
6. 的立方根为( )
A
A. B. C. D. 不存在
7.将体积分别为和 的长方体铁块，熔成一个
正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是___ .
9
返回
8.已知与互为相反数其中，则 __.
【点拨】由与互为相反数可得 与
互为相反数，所以 ，整理得
.将代入可得， .
返回
考点3 实数及分类
9. 在实数，，，0， ， ，
中，无理数有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
10.把下列各数填入相应的集合内：
（每两个2之间的1依次多一个）， ，
，，，，，， .
正有理数集合：{_______ …}；
正无理数集合：{ ____________________________________
_________________ …}；
,
（每两个2之间的1依次多一个），，
负有理数集合：{_ ______ …}；
负无理数集合：{______________________ …}；
正实数集合：{_______________________________________
________________________ …}；
负实数集合：{_ __________________________ …}.
,
,,,,
,,,,,
（每两个2之间的1依次
多一个），，， ，
【解】正有理数集合： ；
正无理数集合： （每两个2之间的1依次
多一个），， ；
负有理数集合： ；
负无理数集合：{-,,, ,…}；
正实数集合： （每两个2之间的1依次多
一个），，，， ；
负实数集合：,,,,,… .
返回
考点4 实数的性质
11. 是 的( )
A
A. 相反数 B. 平方根
C. 绝对值 D. 算术平方根
12. ［2025天津和平区月考］ 的绝对值是( )
A
A. 3 B. C. D.
13.的倒数是_____， _______.
返回
考点5 估算与大小比较
14. 若，，，则，，
的大小关系为( )
D
A. B. C. D.
返回
15. ［2025成都郫都区期中］如图，若数轴上的点， ，
，，表示数，0，1，2，3，则表示的点 应在
( )
C
A. 线段上 B. 线段 上
C. 线段上 D. 线段 上
返回
16. 大、中、小三个正方形
按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积
为5，小正方形的面积为1，则正方形
的边长可能是( )
B
A. 1 B. C. D. 3
17.比较大小：___11，___2.（填“ ”或“ ”）
返回
考点6 实数的运算
18. 下列各数中，与 的和为有理数的是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】 ，是无理数；
，是有理数;
，是无理数；
，是无理数，故选B.
返回
19.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
20.［2025重庆江津区月考］我们用表示不大于 的最大整
数.的值称为数的小数部分，如， 的小
数部分为 .
（1）___， ____；
1
（2）设的小数部分为，求 的值.
【解】， 的整数部分为2.
的小数部分为， .
， .
.
返回
思想1 方程思想
21. 已知，则
( )
C
A. 0 B. C. 1 D. 2 026
返回
思想2 数形结合思想
22. ［2025佛山三水区期中］已知实数，， 在数轴上的对
应点如图所示，则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
思想3 分类讨论思想
23.已知，其中， 均为整数，
则 _________.
0或2或4
【点拨】，其中， 均为整
数，，， 可分三种情况：①
当，时， ，
， ；②当
，时， 或
，， 或
；③当 ，
时，或， ，
或
.综上， 或2或0.
返回
思想4 整体思想
24.已知， ，且
，，求 的值.
【解】， ，
①, ，
将①变形得 ,
将②代入③,得，将代入②，得 .
， ，
，即, .
.
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. ［2024德州］在0，，， 这四个数中，最小的数是
( )
A. 0 B. C. D.
√
返回
2. 如图， 在数轴上对应的点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
3. ［2025重庆永川区模拟］如果是64的立方根，那么 的算
术平方根是( )
A. 4 B. 2 C. D.
√
√
返回
4. 已知，那么 的值为( )
A. 1 B. C. D.
5. 下列各组数中互为相反数的一组是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
√
√
返回
6. ［2025青岛崂山区月考］如图，用边长为3的两个小正方
形剪拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数
是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
√
【点拨】 用边长为3的两个小正方形剪拼成一个大正方
形， 大正方形的面积为， 大正方形的边长
为.， 大正方形
的边长最接近的整数是4.
返回
7. 如图，数轴上，两点所对应的实数分别是 ，1.若线
段，则点 所表示的实数是( )
A. B. C. D.
【点拨】，两点所对应的实数分别是 ，1，
.又 ，
. 点 所表示的实数为
.
√
返回
8. 若用 表示任意正实数的整数部分，例
如：，， ，则式子
A. 22 B. C. 23 D.
的值为（式子中的“ ”“-”依次相间）( )
√
【点拨】，，，， ，
， ,
, ，
, .
返回
二、填空题（每小题4分，共16分）
9. 请写出一个与 的和为有理数的实数：
______________________.
（答案不唯一）
10. 将一把刻度尺按如图所示的方式放在数
轴上数轴的单位长度是，刻度尺上的“”和“ ”
分别对应数轴上的数“”和“”，则 的值为_______.
返回
11.已知,是有理数，且, 满足等式
，则 的立方
根为___.
2
【点拨】,是有理数，且, 满足等式
，
，则 解得
的立方根为2.
返回
12. 我们规定：若一个三位数 的各个
数位上的数字互不相等，且满足百位数字与个位数字之和等
于十位数字的两倍，则称 为“中倍数”.例如：数258，
， 是“中倍数”；数358，
， 不是“中倍数”，按照这个规定：最大
的“中倍数”是_____.若是“中倍数”，将 的百位数字和个位
数字对调位置后组成一个新三位数， 是一个整数，
则满足条件的 的最小值为_____.
987
531
【点拨】结合“中倍数”的定义，知最大的“中倍数”是987.设
的百位数字为，个位数字为 ，则
，
，
.， ,且
是整数，或.根据题意知
是偶数，,,或,或 ,
或,或, 为531，642，753，
864，975， 满足条件的 的最小值为531.
返回
三、解答题（共52分）
13.（8分）计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式
.
返回
14.（8分）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中.
，，，，，0， ，，.
有理数集合：____________________________ ；
无理数集合：________________________ ；
正实数集合：_________________ ；
负实数集合：____________________________ .
，，，0，，
,
,
,
【解】有理数集合：，，，0，， ；
无理数集合： ；
正实数集合： ；
负实数集合： .
返回
15.（10分）已知是满足不等式 的所有整数
的和，是满足不等式 的最大整数.
（1）求， 的值；
【解】是满足不等式 的所有整数的和，
.
是满足不等式的最大整数， .
（2）求 的平方根.
由（1）知，， .
的平方根为 .
返回
16.（12分） 若实数，满足 ，我们
就说与 是关于6的“如意数”.
（1）与___是关于6的“如意数”， 与_______是关于
6的“如意数”；
9
（2）若实数满足，判断 与
是否是关于6的“如意数”，并说明理由.
【解】与 不是关于6的“如意数”.理由如下：
， .
，
与 不是关于6的“如意数”.
返回
17.（14分）［2025西安长安区期中］如图，半径为1个单位长
度的圆片上有一点与数轴上的原点重合.所有结果均保留 .
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点
重合的点到达点，设点表示的数为 .
①求 的值；
【解】 ，
点表示的数是 .
②求 的算术平方根.
，
算术平方根是 .
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动
的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：， ，
，， .
①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点 距
离原点最远？
第一次距离原点2周，第二次： ，距离原点1周，
第三次：，距离原点4周，第四次： ，
在原点处，第五次：， ，距离原点3
周， 第四次滚动后，点 距离原点最近，第三次滚动后，
点 距离原点最远.
②当圆片结束运动时，点运动的路程共多少？此时点 所表
示的数是多少？
，
， 当圆片结束运动时，点 运动的路程
共 . ，
. 此时点所表示的数是 .
返回
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