第11章 整式的乘除【章末复习】 课件（共51张PPT）

(共53张PPT)
章末复习
第11章 整式的乘除
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
多项式除以单项式教案
一、教学目标
知识与技能目标：学生能够准确阐述多项式除以单项式的运算法则，理解其推导依据；熟练运用该法则进行多项式除以单项式的运算，包括对多项式各项分别与单项式相除及结果的合并；能够运用此法则解决整式除法相关的数学问题，如化简复杂整式、求解实际应用中的数量关系等。
过程与方法目标：通过类比单项式除以单项式的运算方法，引导学生经历观察、分析、归纳多项式除以单项式法则的过程，培养知识迁移能力与逻辑推理能力；在法则应用过程中，提升学生的运算能力和思维的严谨性，体会类比、转化等数学思想方法。
情感态度与价值观目标：激发学生对多项式除以单项式知识的学习兴趣，感受数学知识的内在联系和系统性；在探究法则活动中，培养勇于探索、积极思考的学习态度，增强学习数学的自信心；通过小组合作学习，提升团队协作意识和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点：深入理解并熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，能够准确运用法则进行计算；清晰把握在运算过程中多项式各项与单项式相除的方法，以及结果的合并规则，这是后续学习整式混合运算等知识的重要基础。
教学难点：在多项式项数较多、系数为分数或负数、字母指数形式复杂时，准确运用法则进行计算，避免出现漏除、符号错误、指数运算错误等问题；在综合运算中，灵活运用该法则，合理安排运算顺序，正确处理与其他运算的关系，这对学生的综合运算能力和思维灵活性要求较高。
三、教学方法
讲授法：系统讲解多项式除以单项式的概念、法则推导过程和应用要点，确保学生理解核心知识和关键内容。
类比探究法：通过与单项式除以单项式的运算进行类比，引导学生自主探究多项式除以单项式的规律，培养自主学习能力和探究精神。
范例教学法：通过典型的例题和练习题，展示多项式除以单项式法则的应用技巧和解题思路，让学生掌握正确的解题步骤和书写规范。
小组合作学习法：组织学生开展小组合作学习活动，共同探讨多项式除以单项式运算中的疑难问题，交流学习经验，培养团队协作能力和交流表达能力。
练习巩固法：通过多样化的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力，及时发现和纠正学生在学习过程中出现的错误。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾单项式相关运算：提问学生单项式除以单项式的运算法则，如\(12a^3b^2 ·3a^2b = 4ab\)，并进行简单计算练习，同时回顾单项式乘法法则，如\(3x^2y ·2xy^3 = 6x^3y^4\)，强化学生对单项式运算的理解和记忆，为学习多项式除以单项式做好知识铺垫。
引入新课：教师提出问题：“我们已经学习了单项式的乘除运算，那么当一个多项式除以单项式时，例如\((6x^3 + 3x^2) ·3x\)，应该如何进行计算呢？这就是我们今天要学习的内容 —— 多项式除以单项式。” 由此导入本节课的课题。
（二）新课讲授
多项式除以单项式法则的探究（15 分钟）
计算观察：以\((6x^3 + 3x^2) ·3x\)为例，引导学生思考如何将其转化为已学过的运算。将多项式除以单项式看作是多项式的每一项分别除以这个单项式，即\((6x^3 + 3x^2) ·3x = 6x^3 ·3x + 3x^2 ·3x\)。然后根据单项式除以单项式的法则分别计算：\(6x^3 ·3x = 2x^2\)，\(3x^2 ·3x = x\)，所以\((6x^3 + 3x^2) ·3x = 2x^2 + x\)。
总结规律：组织学生进行小组讨论，尝试总结多项式除以单项式的运算规律。请小组代表发言，教师进行补充和完善，引导学生得出：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
推导法则：教师从除法的分配律角度，对多项式除以单项式的法则进行理论推导。设多项式为\(a + b + c\)，单项式为\(m\)（\(m 0\)），则\((a + b + c) ·m = \frac{a + b + c}{m} = \frac{a}{m} + \frac{b}{m} + \frac{c}{m}= a ·m + b ·m + c ·m\)，进一步说明法则的合理性和正确性，让学生深入理解法则的本质。
多项式除以单项式法则的应用（20 分钟）
例题讲解：
例 1：计算
① \((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a\)；② \((24x^3y - 12x^2y^2 + 8xy^3) ·(-4xy)\)。
分析：对于①，根据多项式除以单项式法则，\((12a^3 - 6a^2 + 3a) ·3a = 12a^3 ·3a - 6a^2 ·3a + 3a ·3a = 4a^2 - 2a + 1\)；对于②，先确定各项符号，\((24x^3y - 12x^2y^2 + 8xy^3) ·(-4xy)= 24x^3y ·(-4xy) - 12x^2y^2 ·(-4xy) + 8xy^3 ·(-4xy)= -6x^2 + 3xy - 2y^2\) 。教师边讲解边书写解题过程，强调书写规范和运算顺序，尤其是符号的处理以及每一项都要除以单项式。
例 2：计算\([(x + y)^2 - y(2x + y) - 8x] ·2x\)。
分析：先对中括号内的式子进行化简，\((x + y)^2 - y(2x + y) - 8x = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy - y^2 - 8x = x^2 - 8x\)，再进行除法运算，\((x^2 - 8x) ·2x = x^2 ·2x - 8x ·2x = \frac{1}{2}x - 4\) 。通过这个例题，让学生掌握在综合运算中运用多项式除以单项式法则的方法。
练习巩固：
出示练习题：
① 计算\((15x^2y - 10xy^2) ·5xy\)，\((-8a^3b^2 + 12a^2b - 4ab^2) ·(-4ab)\)。
② 计算\([(2a + b)^2 - b(b + 4a) - 8a] ·2a\)。
让学生独立思考并完成解答，教师巡视课堂，观察学生的做题情况，对学习有困难的学生进行个别辅导。选取部分学生的解答过程进行展示和评价，强调运用法则时的要点和注意事项，如准确进行每一项的除法运算、注意符号变化、正确合并同类项等。
（三）课堂练习（15 分钟）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
\((12x^2y - 8xy^2) ·4xy = 3x - 2y^2\)；
\((-15a^2b + 5ab^2) ·(-5ab) = 3a + b\)；
\((4x^3y^2 - 6x^2y^3) ·2x^2y = 2xy - 3y^2\)。
计算：
\((20x^3 - 15x^2 + 10x) ·5x\)；
\((-9a^3b^2 + 12a^2b^3 - 6ab^4) ·(-3ab^2)\)；
已知一个多项式与单项式\(-4x^3y^4\)的乘积为\(12x^5y^7 - 16x^4y^5 + 4x^3y^4\)，求这个多项式。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别辅导和集中讲解。针对学生在概念理解、法则应用和计算过程中出现的错误进行重点分析，帮助学生掌握正确的解题思路和方法。
（四）课堂小结（5 分钟）
请学生回顾本节课所学内容，分享自己对多项式除以单项式法则的理解和收获，包括法则的推导过程、应用方法和注意事项等。
教师进行系统总结：强调多项式除以单项式的运算法则，即 “先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”；总结在运用法则进行计算时的常见错误和注意事项，如漏除某一项、符号错误、同底数幂运算错误等；鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握多项式除以单项式的运算，为后续学习整式的混合运算等知识做好准备。
（五）作业布置（1 分钟）
必做题：课本习题 [对应章节] 第 1 - 3 题，帮助学生巩固多项式除以单项式的基础知识和运算技能。
选做题：已知\((x^3 + ax^2 + bx + 8) ·(x + 2)\)的商为\(x^2 + 3x + 4\)，求\(a\)、\(b\)的值；计算\([(m - n)^2 + 3(m^2 - n^2) - 2(m + n)^2] ·(-2n)\)。让学有余力的学生进一步提升运用知识解决综合性问题的能力和拓展思维。
这份教案围绕多项式除以单项式设计教学环节。你若对教学情境、例题难度、练习形式等方面有新想法，欢迎提出，我们可进一步优化完善。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
考点1 幂的运算
1. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知，， ，则，， 的大小关
系是( )
A. B. C. D.
3.如果，那么 的值为____.
16
√
√
返回
考点2 整式的乘法
4. ［2025重庆沙坪坝区月考］要使 的展
开式中不含的项，则 的值是( )
A. B. 0 C. 2 D. 3
√
返回
5. 若为整数，则代数式 的值一定可以
( )
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被9整除
【点拨】，为整数， 该代数式的
值一定可以被3整除.
√
返回
6.现有一长方形地块，长比宽多20米.若将长增加10米，宽缩
短5米，所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原
长方形地块的长为____米.
50
【点拨】设原长方形地块的长为米，则宽为 米，则
变化后的长为米，宽为 米，由题意得，
，解得 .故原长方形地块
的长为50米.
返回
7. 某种植基地有大、小两块长方形试验田，大
长方形试验田每排种植 棵樱桃树苗，种植了
排，小长方形试验田每排种植 棵樱桃树苗，
种植了排，其中 .
（1）大长方形试验田比小长方形试验田多种植多少棵樱桃树苗？
【解】由题意得， 棵，即大长方形试验田比小长方
形试验田多种植 棵樱桃树苗.
（2）当， 时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？
棵，
当， 时，
（棵），
即两块试验田一共种植268棵樱桃树苗.
返回
考点3 整式的除法
8. 已知，那么， 的取值依次为
( )
A. 2，3 B. 4，3 C. 1，3 D. 4，1
√
返回
9. 有两块总面积相等的场地，
左边场地为正方形，由四部分
构成，各部分的面积数据如图
A. B. 1 C. D.
所示.右边场地为长方形，长为 ，则宽为( )
√
返回
10.火星的体积约为 立方米，地球的体积约为
立方米，地球体积约是火星体积的____倍
（保留一位小数）.
6.6
返回
11.先化简，再求值： ，
其中， .
【解】原式
.
当， 时，原式
.
返回
考点4 乘法公式
12. 的计算结果为( )
A. B.
C. D.
13. 已知 ，那么代数
式 的值是( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
√
√
返回
14.乘法公式的探究及应用.
（1）如图①，可以求出阴影
部分的面积是________
（写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方
形，它的宽是______，长是______，面积是______________；
（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式
_______________________；（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，
计算下列各题：
① ；
【解】原式 .
② .
原式
.
返回
考点5 因式分解
15. 下列因式分解最后结果正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
返回
16. ［2025淄博期中］已知， ，则整式
的值为( )
A. B. C. D. 3
【点拨】，， .
.
√
返回
17. 已知，， 是三个连续的正整数，
，，那么 _______.
1 156
【点拨】 ，
，，是三个连续正整数，， ，
，， .
返回
18. 分解因式：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
思想1 分类讨论思想
19.若，则 _______.
3或
【点拨】， ，
， ，
，或.当时， ；当
时，，即或 .
返回
20.若，均为正整数，且，则 的值是
______.
4或5
【点拨】 ，
，即， 均为正整数，
或 或5.
返回
思想2 数形结合思想
21.著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数
形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直
观，形少数时难入微”.如图是由四个长为
，宽为 的长方形拼摆而成的正方形，其
中 .根据图形写出一个正确的等
式，可以表示为_________________________.
返回
思想3 整体思想
22.［2025南阳期末］已知 ，求代数式
的值.
【解】，， ，
， 原式 .
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每题4分，共32分）
1. ［2024深圳］下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知，，则 的值为( )
A. 2 B. C. 0 D.
√
√
返回
3. 某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计
进行优化.已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为
.现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，
相当于将其除以 ，则新的电路布线规律可以表示为( )
A. B.
C. D.
4. 若，则不等式 的解集是
( )
A. B. C. D.
√
√
返回
5. 神舟十九号载人飞船成
功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱.
李华在手工课上制作了一个火箭模型，如图
是其中一重要零件及各边的长度，则图中零
件的面积为( )
A. B. C. D.
√
返回
6. 我们定义：一个整式能表示成
，是整式 的形式，则称这个整式为“完全式”.例如：
因为，是整式 ，所
以为“完全式”.若
，是整式，为常数为“完全式”，则 的值为( )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
√
【点拨】
，是整式，为常数为“完全式”， ，解得
.
返回
7. 若，其中，， 均为正整数，则
的最大值与最小值的差是( )
A. 1 768 B. 455 C. 252 D. 760
【点拨】， 此时 取得最小值
为， 取
得最大值为 ，
的最大值与最小值的差是760.
√
返回
8. 如图，正方形和长方形 的
面积相等，且四边形 也是正方形，
欧几里得在《几何原本》中利用该图得
到了：设 ，
A. 6 B. 8 C. 10 D. 20
.若 ，则图中阴影部分的周长是( )
√
【点拨】 四边形，四边形
为正方形， ，
， .
， ，
， ，
正方形和长方形 的面积相等，
，整理得 ，
， ，
， 阴影部分的周长为
.
返回
二、填空题（每题3分，共12分）
9.［2025南京鼓楼区模拟］若 ，则代数式
的值为___.
10.若的积中不含 的二次项和一次项，
则 的值为____.
3
12
返回
11. 设， 是实数，定义关于“*”的一种运算如
下：，则下列结论： ，
则或；②不存在实数， ，满足
；； ，
则 .其中正确的是________.
①③④
【点拨】，或 .
故①正确； ，
，
，
， 存在实数，，满足 .故②错
误;
，,.故③正确;， .
.故④正确.
返回
12. 计算结果的个
位数字是___.
6
【点拨】原式
，，，，， ，
个位数字按照2，4，8，6依次循环.， 其
个位数字为6.
返回
三、解答题（共56分）
13.（8分）因式分解：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
14.（10分）
（1）计算： .
【解】
.
（2）先化简，再求值：
，其中
.
原式
，
，， ，
， ，
原式 .
返回
15.（12分） 某公司门前一块长为 ，
宽为 的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的
甲、乙两个正方形区域是建筑物，不需要铺地砖.两个正方形
区域的边长均为 .
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米.
【解】铺设地砖的面积为 .
（2）当， 时，需要铺地砖的面积是多少？
当， 时，
.
答：当，时，需要铺地砖的面积是 .
返回
16.（12分）阅读下面的解题过程：
若，，试比较， 的大小.
解：设，则 ，
.
，
.
利用上面的方法解答下列问题：
若 ，
，试比较， 的大小.
【解】设 ，
则 ，
， .
返回
17.（14分） 【发现】两个连续奇数的平方
差是8的整数倍．
【验证】 的结果是8的几倍？
【解】 ,
是8的9倍.
【证明】 证明两个连续奇数与为整数 的平
方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍.
， .
,
.
两个连续奇数， 的平方差是8的整数倍，并且
平方差等于这两个数和的2倍.
【延伸】 两个连续偶数与为整数 的平方差是8
的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果
加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出 的
最小值．
两个连续偶数的平方差不是8的整数倍.
理由如下：
， 两个连续偶数的平方差不是8的整数倍. 的最小
值为4.
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