第12章 全等三角形【章末复习】 课件（共106张PPT）
文档属性
| 名称 | 第12章 全等三角形【章末复习】 课件（共106张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 10.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 15:46:56 | ||
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文档简介
(共106张PPT)
章末复习
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
、核心知识点梳理1. 全等三角形的定义与性质定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作 “△ABC≌△DEF”。性质：对应边相等：AB=DE，BC=EF，AC=DF；对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。2. 全等三角形的判定定理判定方法简称图形条件适用范围三边对应相等SSSAB=DE，BC=EF，AC=DF任意三角形两边及其夹角对应相等SASAB=DE，∠A=∠D，AC=DF任意三角形两角及其夹边对应相等ASA∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E任意三角形两角及其中一角的对边对应相等AAS∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF任意三角形斜边和一条直角边对应相等（直角三角形）HLAC=DF，BC=EF（∠C=∠F=90°）直角三角形注意：SSA 和 AAA 不能判定全等：两边及其中一边的对角相等（SSA）或三角相等（AAA）的三角形不一定全等。判定顺序：先找边（SSS/SAS），再找角（ASA/AAS），直角三角形优先考虑 HL。3. 角平分线的性质与判定性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
符号语言：若 OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PD=PE。判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：若 PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD=PE，则 OC 平分∠AOB。二、常见题型与解题策略题型 1：全等三角形的判定与证明例：如图，AB=AC，BD=CD，求证：△ABD≌△ACD。
分析：已知两边相等（AB=AC，BD=CD），公共边 AD=AD，可用SSS判定。
证明：
在△ABD 和△ACD 中，\(\begin{cases}
AB=AC, \\
BD=CD, \\
AD=AD（公共边）,
\end{cases}\)∴△ABD≌△ACD（SSS）。解题策略：标注条件：在图中标出已知相等的边或角；隐含条件：公共边、公共角、对顶角一定相等；间接条件：通过平行线性质（如∠1=∠2）、线段和差（如 AB=CD AC=BD）、角的和差转换得到相等关系。题型 2：全等三角形的性质应用例：若△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，求∠F 的度数。
分析：全等三角形对应角相等，∠F=∠C；△ABC 中，∠C=180°-∠A-∠B=60°，∴∠F=60°。解题策略：找准对应关系：对应顶点写在对应位置，通过字母顺序确定对应边和角；结合三角形内角和定理或外角性质求解。题型 3：角平分线的性质与判定例：如图，OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，若 OD=3，PE=4，求 OE 的长。
分析：角平分线性质：PD=PE=4；Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OE=OD=3。解题策略：见角平分线，作两边垂线，构造全等三角形；利用 “角平分线 + 垂线” 证全等或求线段长度。题型 4：尺规作图例：作△ABC，使 AB=c，BC=a，AC=b（SSS 作图）。
步骤：作线段 AB=c；以 A 为圆心、b 为半径画弧，以 B 为圆心、a 为半径画弧，两弧交于点 C；连接 AC、BC，△ABC 即为所求。解题策略：牢记五种基本作图（作线段、角、角平分线、垂线、中垂线）；根据判定定理（如 SSS、SAS）确定作图顺序。三、易错点与注意事项对应关系错误：全等符号书写时需严格对应顶点，如△ABC≌△DEF，不可写成△ABC≌△FED。忽略隐含条件：公共边 / 角、对顶角是常见隐含条件，需仔细观察图形。误用判定定理：SSA 无法判定全等（如 “边边角” 陷阱），除非是直角三角形（HL）。角平分线性质的前提：必须是 “点到边的垂直距离”，非垂直距离不适用。四、复习建议夯实基础：熟记全等三角形的判定定理和性质，通过简单例题巩固条件识别能力。专项训练：针对 “添加条件使三角形全等”“动点问题中的全等” 等题型专项突破，总结辅助线添加技巧（如倍长中线、截长补短）。错题整理：分析易错点（如 SSA 陷阱、对应关系错误），归类错题并反复练习。联系实际：用全等思想解决生活中的测量问题（如测池塘宽度），加深对知识的理解。五、拓展提升：全等三角形与几何综合例：如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，连接 BD、CE，求证：BD=CE。
分析：证明△ABD≌△ACE：
AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=60°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE（SAS 判定）。
证明：略。解题策略：复杂图形中分解出基本全等模型（如 “手拉手模型”“一线三垂直模型”）；利用全等证明线段相等、角相等，或进一步推导平行、垂直关系。通过以上梳理，建议结合课本例题和习题进行针对性练习，重点掌握 “由已知条件分析判定方法” 和 “根据结论倒推所需条件” 的思维方式，提升几何推理能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
考点1 命题、定义和定理
1. 下列句子中，是定义的是( )
A. 在正数前面加上符号“-”的数是负数
B. , 两条直线平行吗
C. 画一个角等于已知角
D. 过一点画已知直线的垂线
√
返回
2. 下列语句中属于定理的是( )
A. 在直线上任取一点
B. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C. 对顶角相等
D. 直线和 垂直吗
3. 对于命题“若，则 ”，小明想举一个反例说明
它是一个假命题，则符合要求的反例可以是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
√
√
返回
（第4题）
4.如图，点，分别在线段， 上，连
结，， .现有以下三个论断：
；； .如果
以其中两个论断为条件，另一个论断为结论
构造命题，能够构成___个真命题.
3
（第4题）
【点拨】以①②为条件，③为结论能够构成
真命题，理由如下： ，
.又 ，
，， ；以
①③为条件，②为结论能够构成真命题，理
由如下：， ，
，， ；以②③为条件，①
为结论能够构成真命题，理由如下：
， ，
， ，
.
综上，以其中两个论断为条件，另一个论断
为结论构造命题，能够构成3个真命题.
（第4题）
返回
考点2 全等三角形的判定与性质
5. 如图，，， ，且
， ，则 ( )
（第5题）
A. B. C. D.
√
返回
6. 如图，与交于点,在 与
中， ,请添加一个条件：__________________
______,使得 .
（答案不唯一）
返回
7.［2025北京西城区期中］给出如下定义：两条线段相交于
一点（交点不与端点重合），连结不同线段的两个端点，再
连结另两个端点，所得图形称为“8字形”.如图①，线段 与
交于点,连结和 ,所得图形即为“8字形”.
（1）下列四个图形中，含有“8字形”的有___个.
2
（2）如图②,与交于点,连结和,和 的延长
线交于点,满足 , .
①当 时，判断与 的数量关系，并证明；
【解】 ，证明如下：
，
， ， .
， .
在和中，
， .
②如图③,当 时，求证： .
【证明】如图，在 上截取
，连结 ，
，
，
在和 中，
.
，
， ，
， ，
.
返回
考点3 等腰三角形的性质与判定
（第8题）
8. 如图，，分别是 的中线
和角平分线，若 ，
，则 的度数是
( )
A. B.
C. D.
√
（第8题）
【点拨】是 的中线，
， ，
是的角平分线， ，
.
， .
返回
9.如图，为等边三角形， 为等腰直角三角形，
，则直线与直线相交所构成的锐角为____ .
15
（第9题）
【点拨】延长与交于点 ，如图所示.
为等边三角形，
.
为等腰直角三角形，， ，
， ，
即直线与直线相交所构成的锐角为 .
返回
10.在中，，
是边的中点，, 分别是
, 边上的点.
（1）如图①,连结, ,若
,求证：
；
【证明】连结,如图①.,是 边
的中点，， 垂
直平分, ,
,即
.
, ,
, .
（2）如图②,若,, 在一条直线上，且
，探究与 之间的数量关系，并说
明理由.
【解】 .理由如下：
连结,如图②.易得 .
, ，
和 都是等腰直角三角形，
， .
在和中，
, .
易知, .
返回
考点4 线段垂直平分线的性质与判定
11. 如图，， ，则有( )
A. 平分
B. 垂直平分
C. 与 互相垂直平分
D. 垂直平分
√
返回
12.如图，在中， ，点是 上的一点，
，的垂直平分线分别交，于点，，则
______.
返回
13.［2025合肥庐阳区期中］如图，在
中，是的垂直平分线，与边
交于点，点在上，且 ，连结
.
（1）求证： ；
【证明】是的垂直平分线，点在 上，
.又，， .
（2）连结，若，求证： .
， ，
，
. ， .又
，
，即 .
是的垂直平分线， ，
， ， .
返回
考点5 角平分线的性质与判定
（第14题）
14. ［2025福州仓山区期中］如图，
平分，于点，点在
上，于点，若 ，
，，则 的长为( )
A. 4.5 B. 5 C. 7 D.
√
【点拨】如图，作于 平分
，解得 .
，，， ，
返回
15.［2025盐城期中］如图，是的平分线，
于，的面积是，， ，
则___ .
5
（第15题）
【点拨】如图，过作交 的延长
线于 .
是的平分线， ，
.
的面积是，， ，
， ，
解得 .
返回
16.如图，小颖同学想画 的平分线，
可忘了带量角器和圆规，只有一个带刻度
的直角三角尺，于是她做了如下操作：在
，边上量取 ，分别
过点，点作，， 与
交于点，作射线，则射线就是 的平分线.请
判断小颖的做法是否可行？并说明理由.
【解】小颖的做法可行，理由如下：
， ，
.
在和中，
，， .
又，，即 .
在和中，
.
又，，是 的
平分线.
返回
思想1 方程思想
（第17题）
17. ［2025广州越秀区期中］如图，在
中，， ，
且，则 的度数是( )
A. B. C. D.
√
（第17题）
【点拨】设.因为 ，
所以可设 ，则
.又因为
，所以 ，
所以 .
又因为，所以 ，解得
，所以的度数是 .
返回
18.［2024内江］如图，在中， ，
，，则 的度数为______.
（第18题）
（第18题）
【点拨】，，
可设 ，
，
，
.
，
，
，
，
， .又
， .
（第18题）
返回
思想2 转化思想
19. 如图， 的面积为36，
，点为 边上一点，过点
分别作于，于 ，若
，则 的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
√
【点拨】如图，连结 的面积
为36，
的面积的面积
的面积 ，
，， ，
，， .
返回
20.［2025宿迁期中］如图，等边三角形纸
片的边长为，点， 分别在
，上，将沿直线折叠，点
落在点处，且点在 的外部，则图
中三个阴影部分的周长之和为___ .
6
返回
思想3 分类讨论思想
21.在中，，的垂直平分线与 所在直线
相交所得的锐角为 ，则底角 __________.
或
【点拨】如图①，当 的垂直
平分线与线段 相交时，则可得
， ，
.
，
；
如图②，当 的垂直平分线与
线段 的延长线相交时，则可得
， ，
，
. ，
.
综上，的度数为 或 .
返回
22.如图，， ，
.点沿线段 由点
向点运动，点沿线段由点向点
运动，， 两点同时出发，它们的运动
时间记为.已知点的运动速度是，如果顶点是 ，
，的三角形与顶点是，，的三角形全等，那么点 的
运动速度是多少
【解】设点的运动速度是 .
， 顶点是 ，
，的三角形与顶点是，， 的三角
形全等时，有两种情况： ，
，，解得 .
，解得；，， ，
解得.综上，点的运动速度为或 .
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列命题中是定理的是( )
C
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 两点之间，线段最短
返回
（第2题）
2. 如图，在中， ，
，分别以点， 为圆心，
大于 的长为半径画弧，过两弧的
交点作直线，交于点，连结 ，
则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在中， ，
，，分别平分 ，
，，则 ( )
D
A. 3 B. 11 C. 7 D. 8
返回
（第4题）
4. ［2025北京西城区月考］如图所示的正
方形网格中，网格线的交点称为格点.已知
线段是等腰三角形的一边，
的三个顶点都在正方形网格的格点上，则
这样的等腰三角形的个数为( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
返回
（第5题）
5. 如图，在中， 平分
，于点，连结 ，已
知 的面积为5，则阴影部分的面
积为( )
C
A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2
【点拨】如图，延长交于 ，
平分 ，
，
.在 与
中，
，， ，
， .
.
的面积为5， 阴影部分的面
积 .
返回
（第6题）
6. 如图，的平分线与 的垂直平分线
交于点，于点，若 ，
，则 的长为( )
D
A. 1 B. 3 C. D. 9
【点拨】如图，连结，，过点 作
于点 ，
垂直平分， .
平分，， ，
， .在
和中，
，
，
.
在和中，
，
， .
返回
（第7题）
7. .如图，在中， ，过
点作于点，过点作
于点，连结，过点作 ，
交于点，与交于点 .下列结
论：； ；
； .其中
正确的结论有( )
D
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第7题）
【点拨】于点， 于
点 ，
，
，故①正
确；， ，
， ，
， ，在
和 中，
， ，
故②正确；
， ，
， ，
（第7题）
故③正确；，
， ，
，
， ，
在和 中，
，
，故④正确.
（第7题）
返回
（第8题）
8. 如图， 的
两条高与交于点， ，
.点在射线上，且 ，
动点从点出发，沿线段 以每秒1
个单位长度的速度向终点 运动，同时
动点从点出发，沿射线 以每秒3
个单位长度的速度运动，当点 到达点
时，， 两点同时停止运动，设运
动时间为秒，当与 全等
时， 的值为( )
A. B. C. 或
D. 或
D
（第8题）
【点拨】的两条高与交于点 ，
， .
，，当点在点
右侧，点在边上时，如图①，， ，则
，
，，
当时，，即，解得 ；
当点在点左侧，点在边 的延长线上时，如图②，
，，则，易知 ，
， 当时，，即 ，
解得.综上所述，的值为或 .
返回
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.［2024宿迁］命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是
________________________.
同位角相等，两直线平行
（第10题）
10.如图，是等边三角形，点 在
内，，将绕点 逆时
针旋转得到，则 的长等于___.
4
返回
（第11题）
11.如图，在 中，
，是 的一条角
平分线，点在上，过 作
于，于 ，且
，若， ，
，则 的长为___.
2
【点拨】如图所示，连结 ，作
于是 的一条角
平分线，点在上， ，
，
，
，
，
，
，， .
返回
（第12题）
12.［2025石家庄桥西区期中］如图，
的面积为4，为 边上的中
线，点，，，是线段 的五
等分点，点，，是线段 的
四等分点，点是线段 的中点.
（1） 的面积为___；
2
（第12题）
【点拨】 点，，，是线段的五等分点，点 ，
，是线段的四等分点， ，
（第12题）
的面积，是的中线， 的面积
的面积， 的面积为2.
，在和中，， 的面积
（2） 的面积为____.
14
（第12题）
【点拨】连结， ，如图.
，
， ，
.同理可证 ，
，，， 共线.由题
意得 ，
的面积
的面积，易得
的面积 的面积
， 的面积
，的面积 ，
的面积 ，
的面积 的面积
的面积 的面积
.
返回
三、解答题（共48分）
13.（10分）如图①，在和 中，
，， .
结论：和 全等.
（1）请你用“如果 ，那么…”的形式叙述上述命题；
【解】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直
角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三
角形全等.
（2）如图②，将和拼在一起（即：点 与点
重合，点与点重合），和相交于点 ，请用此图
证明上述命题.
在和 中，
，，，
在 与
中，
.
返回
14.（10分） 学习完《利用三角形全等测距离》
后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸， 两点间的距离”这
一问题，设计了如下方案.
课题 测量河两岸， 两点间的距离
测量工 具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方 案示意 图 ____________________________________________
续表
测量步 骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点 ，使
得点，，在一条直线上，且 ；
②测得 ， ；
③在的延长线上取点，使得 ；
④测得 的长度为30米.
续表
请你根据以上方案求出， 两点间的距离.
【解】 ， ， ，
.
在与中，
， .
又， 米，
即, 两点间的距离为30米.
返回
15.（12分）
【操作应用】 数学兴趣小组成员
用四根木条钉成一个“筝形”
（有两组邻边分别相等的四边形）
【证明】，， ，
，，平分 .
仪器，如图①，， ，相邻两根木条的连接
处是可以转动的，连结.求证：平分 .
【实践拓展】（1）小组成员尝试使用这个“筝形”仪器检测教室
门框是否水平.如图②，连结，因为 是等腰三角形，
，由【操作应用】可知平分 ，因此可以得到
.如图③，在仪器上的点 处绑一条线绳，线绳另一端挂
一个铅锤，仪器上的点，紧贴门框，如果线绳恰好经过点 ，
由于是铅垂线，所以 是水平的，即门框是水平的.在上述的
判断过程中，得出 的依据是___.
C
A. 等角对等边
B. 垂线段最短
C. 等腰三角形的三线合一
（2）如图④，在中， ， .若点
，分别是边，上的动点，当四边形 为“筝形”时，
直接写出 的度数.
【解】的度数为 或 .
【点拨】 ， ，
.分以
下两种情况：①当， 时，
如图①，连结， 四边形 为“筝
形”，， ，
；
②当，时，如图②，连结 ，
四边形为“筝形”， 易得 ，
， .
综上，的度数为 或 .
返回
16.（16分） 【问题提出】如图①，
，都是等边三角形，求证： .
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变
化的同时，始终存在一对全等三角形，即 .如
果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边
看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉
手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它
的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，
从而解决问题.
【方法应用】
（1）在等边三角形中，是边上一定点，是直线
上一动点，以为一边作等边三角形，连结 .
①如图②，若点在边上，求证： ；
【证明】在上截取，连结 ，如图
①所示.
是等边三角形， ，
是等边三角形， ，
.是等边三角形， ，
，
，
.在和 中，
，
， ，即
.
②如图③，若点在边的延长线上，线段，， 之
间的数量关系为______________.
【点拨】过点作，交 的延长
线于点 ，如图②所示.
是等边三角形，.
， ，
， 为等边三角形，
.
为等边三角形，
， ，
.
在和中，
，
，即
.
（2）如图④，在等腰三角形
中， ，
，，交于点 ，
以为边作等边三角形 ，直线
交直线于点，连结交于点，写出， ，
之间的数量关系，并加以说明.
【解】 .
如图③，在上截取，使 ，
连结 .
是等边三角形，
， ,
,且点在上，, ,
,
, .
.又
， 易知
.
，
是等边三角形，
， .
，
，
即.在和 中，
，
，
.
返回
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章末复习
第12章 全等三角形
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
、核心知识点梳理1. 全等三角形的定义与性质定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作 “△ABC≌△DEF”。性质：对应边相等：AB=DE，BC=EF，AC=DF；对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。2. 全等三角形的判定定理判定方法简称图形条件适用范围三边对应相等SSSAB=DE，BC=EF，AC=DF任意三角形两边及其夹角对应相等SASAB=DE，∠A=∠D，AC=DF任意三角形两角及其夹边对应相等ASA∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E任意三角形两角及其中一角的对边对应相等AAS∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF任意三角形斜边和一条直角边对应相等（直角三角形）HLAC=DF，BC=EF（∠C=∠F=90°）直角三角形注意：SSA 和 AAA 不能判定全等：两边及其中一边的对角相等（SSA）或三角相等（AAA）的三角形不一定全等。判定顺序：先找边（SSS/SAS），再找角（ASA/AAS），直角三角形优先考虑 HL。3. 角平分线的性质与判定性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
符号语言：若 OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PD=PE。判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：若 PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD=PE，则 OC 平分∠AOB。二、常见题型与解题策略题型 1：全等三角形的判定与证明例：如图，AB=AC，BD=CD，求证：△ABD≌△ACD。
分析：已知两边相等（AB=AC，BD=CD），公共边 AD=AD，可用SSS判定。
证明：
在△ABD 和△ACD 中，\(\begin{cases}
AB=AC, \\
BD=CD, \\
AD=AD（公共边）,
\end{cases}\)∴△ABD≌△ACD（SSS）。解题策略：标注条件：在图中标出已知相等的边或角；隐含条件：公共边、公共角、对顶角一定相等；间接条件：通过平行线性质（如∠1=∠2）、线段和差（如 AB=CD AC=BD）、角的和差转换得到相等关系。题型 2：全等三角形的性质应用例：若△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，求∠F 的度数。
分析：全等三角形对应角相等，∠F=∠C；△ABC 中，∠C=180°-∠A-∠B=60°，∴∠F=60°。解题策略：找准对应关系：对应顶点写在对应位置，通过字母顺序确定对应边和角；结合三角形内角和定理或外角性质求解。题型 3：角平分线的性质与判定例：如图，OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，若 OD=3，PE=4，求 OE 的长。
分析：角平分线性质：PD=PE=4；Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OE=OD=3。解题策略：见角平分线，作两边垂线，构造全等三角形；利用 “角平分线 + 垂线” 证全等或求线段长度。题型 4：尺规作图例：作△ABC，使 AB=c，BC=a，AC=b（SSS 作图）。
步骤：作线段 AB=c；以 A 为圆心、b 为半径画弧，以 B 为圆心、a 为半径画弧，两弧交于点 C；连接 AC、BC，△ABC 即为所求。解题策略：牢记五种基本作图（作线段、角、角平分线、垂线、中垂线）；根据判定定理（如 SSS、SAS）确定作图顺序。三、易错点与注意事项对应关系错误：全等符号书写时需严格对应顶点，如△ABC≌△DEF，不可写成△ABC≌△FED。忽略隐含条件：公共边 / 角、对顶角是常见隐含条件，需仔细观察图形。误用判定定理：SSA 无法判定全等（如 “边边角” 陷阱），除非是直角三角形（HL）。角平分线性质的前提：必须是 “点到边的垂直距离”，非垂直距离不适用。四、复习建议夯实基础：熟记全等三角形的判定定理和性质，通过简单例题巩固条件识别能力。专项训练：针对 “添加条件使三角形全等”“动点问题中的全等” 等题型专项突破，总结辅助线添加技巧（如倍长中线、截长补短）。错题整理：分析易错点（如 SSA 陷阱、对应关系错误），归类错题并反复练习。联系实际：用全等思想解决生活中的测量问题（如测池塘宽度），加深对知识的理解。五、拓展提升：全等三角形与几何综合例：如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，连接 BD、CE，求证：BD=CE。
分析：证明△ABD≌△ACE：
AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=60°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE（SAS 判定）。
证明：略。解题策略：复杂图形中分解出基本全等模型（如 “手拉手模型”“一线三垂直模型”）；利用全等证明线段相等、角相等，或进一步推导平行、垂直关系。通过以上梳理，建议结合课本例题和习题进行针对性练习，重点掌握 “由已知条件分析判定方法” 和 “根据结论倒推所需条件” 的思维方式，提升几何推理能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
考点1 命题、定义和定理
1. 下列句子中，是定义的是( )
A. 在正数前面加上符号“-”的数是负数
B. , 两条直线平行吗
C. 画一个角等于已知角
D. 过一点画已知直线的垂线
√
返回
2. 下列语句中属于定理的是( )
A. 在直线上任取一点
B. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C. 对顶角相等
D. 直线和 垂直吗
3. 对于命题“若，则 ”，小明想举一个反例说明
它是一个假命题，则符合要求的反例可以是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
√
√
返回
（第4题）
4.如图，点，分别在线段， 上，连
结，， .现有以下三个论断：
；； .如果
以其中两个论断为条件，另一个论断为结论
构造命题，能够构成___个真命题.
3
（第4题）
【点拨】以①②为条件，③为结论能够构成
真命题，理由如下： ，
.又 ，
，， ；以
①③为条件，②为结论能够构成真命题，理
由如下：， ，
，， ；以②③为条件，①
为结论能够构成真命题，理由如下：
， ，
， ，
.
综上，以其中两个论断为条件，另一个论断
为结论构造命题，能够构成3个真命题.
（第4题）
返回
考点2 全等三角形的判定与性质
5. 如图，，， ，且
， ，则 ( )
（第5题）
A. B. C. D.
√
返回
6. 如图，与交于点,在 与
中， ,请添加一个条件：__________________
______,使得 .
（答案不唯一）
返回
7.［2025北京西城区期中］给出如下定义：两条线段相交于
一点（交点不与端点重合），连结不同线段的两个端点，再
连结另两个端点，所得图形称为“8字形”.如图①，线段 与
交于点,连结和 ,所得图形即为“8字形”.
（1）下列四个图形中，含有“8字形”的有___个.
2
（2）如图②,与交于点,连结和,和 的延长
线交于点,满足 , .
①当 时，判断与 的数量关系，并证明；
【解】 ，证明如下：
，
， ， .
， .
在和中，
， .
②如图③,当 时，求证： .
【证明】如图，在 上截取
，连结 ，
，
，
在和 中，
.
，
， ，
， ，
.
返回
考点3 等腰三角形的性质与判定
（第8题）
8. 如图，，分别是 的中线
和角平分线，若 ，
，则 的度数是
( )
A. B.
C. D.
√
（第8题）
【点拨】是 的中线，
， ，
是的角平分线， ，
.
， .
返回
9.如图，为等边三角形， 为等腰直角三角形，
，则直线与直线相交所构成的锐角为____ .
15
（第9题）
【点拨】延长与交于点 ，如图所示.
为等边三角形，
.
为等腰直角三角形，， ，
， ，
即直线与直线相交所构成的锐角为 .
返回
10.在中，，
是边的中点，, 分别是
, 边上的点.
（1）如图①,连结, ,若
,求证：
；
【证明】连结,如图①.,是 边
的中点，， 垂
直平分, ,
,即
.
, ,
, .
（2）如图②,若,, 在一条直线上，且
，探究与 之间的数量关系，并说
明理由.
【解】 .理由如下：
连结,如图②.易得 .
, ，
和 都是等腰直角三角形，
， .
在和中，
, .
易知, .
返回
考点4 线段垂直平分线的性质与判定
11. 如图，， ，则有( )
A. 平分
B. 垂直平分
C. 与 互相垂直平分
D. 垂直平分
√
返回
12.如图，在中， ，点是 上的一点，
，的垂直平分线分别交，于点，，则
______.
返回
13.［2025合肥庐阳区期中］如图，在
中，是的垂直平分线，与边
交于点，点在上，且 ，连结
.
（1）求证： ；
【证明】是的垂直平分线，点在 上，
.又，， .
（2）连结，若，求证： .
， ，
，
. ， .又
，
，即 .
是的垂直平分线， ，
， ， .
返回
考点5 角平分线的性质与判定
（第14题）
14. ［2025福州仓山区期中］如图，
平分，于点，点在
上，于点，若 ，
，，则 的长为( )
A. 4.5 B. 5 C. 7 D.
√
【点拨】如图，作于 平分
，解得 .
，，， ，
返回
15.［2025盐城期中］如图，是的平分线，
于，的面积是，， ，
则___ .
5
（第15题）
【点拨】如图，过作交 的延长
线于 .
是的平分线， ，
.
的面积是，， ，
， ，
解得 .
返回
16.如图，小颖同学想画 的平分线，
可忘了带量角器和圆规，只有一个带刻度
的直角三角尺，于是她做了如下操作：在
，边上量取 ，分别
过点，点作，， 与
交于点，作射线，则射线就是 的平分线.请
判断小颖的做法是否可行？并说明理由.
【解】小颖的做法可行，理由如下：
， ，
.
在和中，
，， .
又，，即 .
在和中，
.
又，，是 的
平分线.
返回
思想1 方程思想
（第17题）
17. ［2025广州越秀区期中］如图，在
中，， ，
且，则 的度数是( )
A. B. C. D.
√
（第17题）
【点拨】设.因为 ，
所以可设 ，则
.又因为
，所以 ，
所以 .
又因为，所以 ，解得
，所以的度数是 .
返回
18.［2024内江］如图，在中， ，
，，则 的度数为______.
（第18题）
（第18题）
【点拨】，，
可设 ，
，
，
.
，
，
，
，
， .又
， .
（第18题）
返回
思想2 转化思想
19. 如图， 的面积为36，
，点为 边上一点，过点
分别作于，于 ，若
，则 的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
√
【点拨】如图，连结 的面积
为36，
的面积的面积
的面积 ，
，， ，
，， .
返回
20.［2025宿迁期中］如图，等边三角形纸
片的边长为，点， 分别在
，上，将沿直线折叠，点
落在点处，且点在 的外部，则图
中三个阴影部分的周长之和为___ .
6
返回
思想3 分类讨论思想
21.在中，，的垂直平分线与 所在直线
相交所得的锐角为 ，则底角 __________.
或
【点拨】如图①，当 的垂直
平分线与线段 相交时，则可得
， ，
.
，
；
如图②，当 的垂直平分线与
线段 的延长线相交时，则可得
， ，
，
. ，
.
综上，的度数为 或 .
返回
22.如图，， ，
.点沿线段 由点
向点运动，点沿线段由点向点
运动，， 两点同时出发，它们的运动
时间记为.已知点的运动速度是，如果顶点是 ，
，的三角形与顶点是，，的三角形全等，那么点 的
运动速度是多少
【解】设点的运动速度是 .
， 顶点是 ，
，的三角形与顶点是，， 的三角
形全等时，有两种情况： ，
，，解得 .
，解得；，， ，
解得.综上，点的运动速度为或 .
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列命题中是定理的是( )
C
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 两点之间，线段最短
返回
（第2题）
2. 如图，在中， ，
，分别以点， 为圆心，
大于 的长为半径画弧，过两弧的
交点作直线，交于点，连结 ，
则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在中， ，
，，分别平分 ，
，，则 ( )
D
A. 3 B. 11 C. 7 D. 8
返回
（第4题）
4. ［2025北京西城区月考］如图所示的正
方形网格中，网格线的交点称为格点.已知
线段是等腰三角形的一边，
的三个顶点都在正方形网格的格点上，则
这样的等腰三角形的个数为( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
返回
（第5题）
5. 如图，在中， 平分
，于点，连结 ，已
知 的面积为5，则阴影部分的面
积为( )
C
A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2
【点拨】如图，延长交于 ，
平分 ，
，
.在 与
中，
，， ，
， .
.
的面积为5， 阴影部分的面
积 .
返回
（第6题）
6. 如图，的平分线与 的垂直平分线
交于点，于点，若 ，
，则 的长为( )
D
A. 1 B. 3 C. D. 9
【点拨】如图，连结，，过点 作
于点 ，
垂直平分， .
平分，， ，
， .在
和中，
，
，
.
在和中，
，
， .
返回
（第7题）
7. .如图，在中， ，过
点作于点，过点作
于点，连结，过点作 ，
交于点，与交于点 .下列结
论：； ；
； .其中
正确的结论有( )
D
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第7题）
【点拨】于点， 于
点 ，
，
，故①正
确；， ，
， ，
， ，在
和 中，
， ，
故②正确；
， ，
， ，
（第7题）
故③正确；，
， ，
，
， ，
在和 中，
，
，故④正确.
（第7题）
返回
（第8题）
8. 如图， 的
两条高与交于点， ，
.点在射线上，且 ，
动点从点出发，沿线段 以每秒1
个单位长度的速度向终点 运动，同时
动点从点出发，沿射线 以每秒3
个单位长度的速度运动，当点 到达点
时，， 两点同时停止运动，设运
动时间为秒，当与 全等
时， 的值为( )
A. B. C. 或
D. 或
D
（第8题）
【点拨】的两条高与交于点 ，
， .
，，当点在点
右侧，点在边上时，如图①，， ，则
，
，，
当时，，即，解得 ；
当点在点左侧，点在边 的延长线上时，如图②，
，，则，易知 ，
， 当时，，即 ，
解得.综上所述，的值为或 .
返回
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.［2024宿迁］命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是
________________________.
同位角相等，两直线平行
（第10题）
10.如图，是等边三角形，点 在
内，，将绕点 逆时
针旋转得到，则 的长等于___.
4
返回
（第11题）
11.如图，在 中，
，是 的一条角
平分线，点在上，过 作
于，于 ，且
，若， ，
，则 的长为___.
2
【点拨】如图所示，连结 ，作
于是 的一条角
平分线，点在上， ，
，
，
，
，
，
，， .
返回
（第12题）
12.［2025石家庄桥西区期中］如图，
的面积为4，为 边上的中
线，点，，，是线段 的五
等分点，点，，是线段 的
四等分点，点是线段 的中点.
（1） 的面积为___；
2
（第12题）
【点拨】 点，，，是线段的五等分点，点 ，
，是线段的四等分点， ，
（第12题）
的面积，是的中线， 的面积
的面积， 的面积为2.
，在和中，， 的面积
（2） 的面积为____.
14
（第12题）
【点拨】连结， ，如图.
，
， ，
.同理可证 ，
，，， 共线.由题
意得 ，
的面积
的面积，易得
的面积 的面积
， 的面积
，的面积 ，
的面积 ，
的面积 的面积
的面积 的面积
.
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三、解答题（共48分）
13.（10分）如图①，在和 中，
，， .
结论：和 全等.
（1）请你用“如果 ，那么…”的形式叙述上述命题；
【解】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直
角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三
角形全等.
（2）如图②，将和拼在一起（即：点 与点
重合，点与点重合），和相交于点 ，请用此图
证明上述命题.
在和 中，
，，，
在 与
中，
.
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14.（10分） 学习完《利用三角形全等测距离》
后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸， 两点间的距离”这
一问题，设计了如下方案.
课题 测量河两岸， 两点间的距离
测量工 具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方 案示意 图 ____________________________________________
续表
测量步 骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点 ，使
得点，，在一条直线上，且 ；
②测得 ， ；
③在的延长线上取点，使得 ；
④测得 的长度为30米.
续表
请你根据以上方案求出， 两点间的距离.
【解】 ， ， ，
.
在与中，
， .
又， 米，
即, 两点间的距离为30米.
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15.（12分）
【操作应用】 数学兴趣小组成员
用四根木条钉成一个“筝形”
（有两组邻边分别相等的四边形）
【证明】，， ，
，，平分 .
仪器，如图①，， ，相邻两根木条的连接
处是可以转动的，连结.求证：平分 .
【实践拓展】（1）小组成员尝试使用这个“筝形”仪器检测教室
门框是否水平.如图②，连结，因为 是等腰三角形，
，由【操作应用】可知平分 ，因此可以得到
.如图③，在仪器上的点 处绑一条线绳，线绳另一端挂
一个铅锤，仪器上的点，紧贴门框，如果线绳恰好经过点 ，
由于是铅垂线，所以 是水平的，即门框是水平的.在上述的
判断过程中，得出 的依据是___.
C
A. 等角对等边
B. 垂线段最短
C. 等腰三角形的三线合一
（2）如图④，在中， ， .若点
，分别是边，上的动点，当四边形 为“筝形”时，
直接写出 的度数.
【解】的度数为 或 .
【点拨】 ， ，
.分以
下两种情况：①当， 时，
如图①，连结， 四边形 为“筝
形”，， ，
；
②当，时，如图②，连结 ，
四边形为“筝形”， 易得 ，
， .
综上，的度数为 或 .
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16.（16分） 【问题提出】如图①，
，都是等边三角形，求证： .
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变
化的同时，始终存在一对全等三角形，即 .如
果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边
看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉
手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它
的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，
从而解决问题.
【方法应用】
（1）在等边三角形中，是边上一定点，是直线
上一动点，以为一边作等边三角形，连结 .
①如图②，若点在边上，求证： ；
【证明】在上截取，连结 ，如图
①所示.
是等边三角形， ，
是等边三角形， ，
.是等边三角形， ，
，
，
.在和 中，
，
， ，即
.
②如图③，若点在边的延长线上，线段，， 之
间的数量关系为______________.
【点拨】过点作，交 的延长
线于点 ，如图②所示.
是等边三角形，.
， ，
， 为等边三角形，
.
为等边三角形，
， ，
.
在和中，
，
，即
.
（2）如图④，在等腰三角形
中， ，
，，交于点 ，
以为边作等边三角形 ，直线
交直线于点，连结交于点，写出， ，
之间的数量关系，并加以说明.
【解】 .
如图③，在上截取，使 ，
连结 .
是等边三角形，
， ,
,且点在上，, ,
,
, .
.又
， 易知
.
，
是等边三角形，
， .
，
，
即.在和 中，
，
，
.
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