第14章 数据的收集与表示 课件（共57张PPT）
文档属性
| 名称 | 第14章 数据的收集与表示 课件（共57张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-10 16:00:14 | ||
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文档简介
(共57张PPT)
章末复习
第14章 数据的收集与表示
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第 14 章 数据的收集与表示章末复习
一、知识框架梳理
（一）数据的收集
收集意义：数据收集是获取信息的基础，为数据分析、决策提供依据，如企业依据消费者数据调整产品策略 ，学校通过学生数据优化教学。
常用方法
问卷调查法：适用于大规模数据收集，需注意问题设计避免引导性和歧义性，包含标题、指导语、问题和答案等结构。
访谈法：利于深入了解对象想法，分个别访谈和集体访谈，需提前准备提纲，营造良好氛围。
观察法：可直接获取行为现象，分参与式和非参与式，要明确观察对象、内容、时间和地点。
实验法：用于研究因果关系，遵循控制变量等原则，设置对照组和实验组。
（二）数据的表示
统计表：以表格形式呈现数据，结构包括标题、标目、数据和表注，能准确有条理地展示数据，便于对比分析。
统计图
条形统计图：用直条长短表示数量，直观反映数量多少，适合比较不同类别数据差异。
折线统计图：通过折线展示数据增减变化，可体现数量多少与变化趋势，常用于展示随时间等连续变量变化的数据。
扇形统计图：用扇形表示各部分占比，清晰呈现部分与总体比例关系，适用于展示份额分布。
象形统计图：利用形象图案表示数据，更直观有趣，常用于低龄受众或简单数据展示 。
二、典型例题解析
（一）数据收集方法的选择与应用
例 1：要了解全校学生对课后服务社团的喜好情况，应采用哪种数据收集方法？
分析：全校学生数量较多，适合采用问卷调查法，可设计包含各类社团选项的问卷，快速收集大量数据。
解答：选择问卷调查法，设计问卷时注意涵盖所有社团类型，问题表述清晰，便于学生作答。
（二）数据表示方法的选择与绘制
例 2：某商场统计了近半年每月的销售额，分别为：1 月 80 万元，2 月 95 万元，3 月 100 万元，4 月 120 万元，5 月 110 万元，6 月 130 万元。请选择合适的统计图表示这些数据，并绘制出来。
分析：数据是随时间变化的销售额，体现的是数据的增减趋势，所以适合用折线统计图。
解答：
绘制横纵轴，横轴表示月份，纵轴表示销售额（单位：万元），标注刻度。
根据数据在对应位置描点，依次连接各点。
标注图表标题 “某商场近半年每月销售额统计图”。
例 3：某班级学生参加兴趣小组的情况如下：绘画组 15 人，书法组 10 人，音乐组 20 人，体育组 25 人。若要清晰展示各小组人数占总人数的比例关系，应选择哪种统计图？并计算各小组人数占比。
分析：需展示各部分在总体中的占比，应选择扇形统计图。先计算总人数，再分别计算各小组人数占比。
解答：
总人数：\(15 + 10 + 20 + 25 = 70\)（人）
绘画组占比：\(15 ·70 100\% 21.4\%\)，对应圆心角：\(360 ° 21.4\% 77 °\)
书法组占比：\(10 ·70 100\% 14.3\%\)，对应圆心角：\(360 ° 14.3\% 51 °\)
音乐组占比：\(20 ·70 100\% 28.6\%\)，对应圆心角：\(360 ° 28.6\% 103 °\)
体育组占比：\(25 ·70 100\% 35.7\%\)，对应圆心角：\(360 ° 35.7\% 128 °\)
绘制扇形统计图，标注各小组名称、占比及圆心角。
三、易错点提醒
数据收集
问卷调查设计问题时，避免出现模糊不清、引导性语句，确保数据真实有效。
根据调查对象和目的合理选择收集方法，如小范围深入调查适合访谈法，大规模普适合问卷调查法。
数据表示
制作统计图时，注意刻度均匀，比例恰当，避免因刻度设置不当导致数据展示偏差。
选择统计图类型要准确，如展示数量变化用折线统计图，比较数量多少用条形统计图，体现占比用扇形统计图。
四、综合练习
（一）基础巩固
学校想了解学生对食堂饭菜的满意度，最适合采用（ ）收集数据。
A. 观察法 B. 访谈法 C. 问卷调查法 D. 实验法
要统计某地区一周的气温变化情况，应绘制（ ）统计图。
A. 条形 B. 折线 C. 扇形 D. 象形
制作扇形统计图时，某部分占总体的\(30\%\)，则该部分对应的圆心角是（ ）度。
（二）能力提升
某超市统计了四种饮料一个月的销售数量：可乐 120 瓶，雪碧 80 瓶，橙汁 100 瓶，绿茶 150 瓶。
请制作统计表表示这些数据。
选择合适的统计图绘制出来，并分析哪种饮料最受欢迎。
以下是某班级学生某次数学考试的成绩分布：优秀（85 分及以上）12 人，良好（70 - 84 分）20 人，中等（60 - 69 分）15 人，不及格（60 分以下）3 人。制作扇形统计图展示成绩分布情况，并计算各部分圆心角度数。
五、复习建议
对照知识框架，查漏补缺，确保对数据收集与表示的概念、方法清晰掌握。
整理做过的例题和练习题，分析错题原因，针对薄弱环节加强训练，尤其是数据表示方法的选择和统计图绘制。
关注生活中的数据收集与表示案例，尝试用所学知识进行分析和解读，提高知识应用能力。
这份复习资料涵盖知识、例题与练习。你可以说说对内容深度、练习量等方面的看法，若有其他需求，我会进一步优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
考点1 普查与抽样调查
1. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，学校为杜绝
舌尖上的浪费开展“光盘行动”活动，为了解七年级200名学生
参与此次活动的现状，采用抽样调查的方式来收集数据，则
抽取样本的方式比较合理的是( )
D
A. 选取50名男生 B. 选取一个班的50名学生
C. 选取50名女生 D. 随机选取50名学生
返回
2.下列调查中，适合用普查的是______，适合用抽样调查的
是__________.
①了解全国青少年儿童的睡眠时间；
②了解乘客是否携带危险物品乘坐高铁；
③了解某班学生对“雷锋精神”的知晓率；
④了解某市居民对废电池的处理情况；
⑤了解黄河中某些鱼的数量；
⑥了解市民对某部电影的喜欢程度.
②③
①④⑤⑥
返回
考点2 总体、个体、样本和样本容量
3. 为弘扬中华优秀传统文化，倡导健康生活方式，某中学本
学期开设了校本课程“八段锦”，为了解学生对该课程的满意
度，在全校的1 000名学生中随机抽取了100名学生对该课程
的满意程度打分，下列说法正确的是( )
C
A. 样本容量为1 000
B. 总体是100名学生
C. 样本是抽取的100名学生所打的分数
D. 个体是被抽取的每一名学生
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考点3 频数与频率
4. “教育强国”四字的汉语拼音中，字母“ ”出现
的频率是( )
C
A. B. C. D.
5.一次数学测试后，某班80名学生的成绩被分为5组，第一至
第四组的频数分别为8，10，16，14，则第五组的频率是____.
0.4
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考点4 频数分布直方图（表）
6.某同学统计了他上周通话次数及每次的通话时间，并列出
如下频数分布表：
通话时间 分钟
通话次数 （频数） 26 14 7 2 1
则通话时间超过6分钟的频率是____.
0.2
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7.某路段的雷达测速器对一段时间内通过
的汽车进行测速，将监测到的数据加以整
理，得到如下不完整的图表：
时速段/ 总
计
频数 10 36 ___ ___ 20 200
百分比 ___ 1
注：“”表示时速大于或等于 且
小于 ，其他类同.
（1）请你把表中的数据填写完整.
【解】填表如下.
时速段 总计
频数 10 36 78. . 56. . 20 200
百分比 1
. .
（2）补全频数分布直方图.
补全频数分布直方图如图.
（3）如果此路段汽车时速达
到或超过 即为违章，那
么违章车辆共有多少辆？
（辆）.
答：违章车辆共有76辆.
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考点5 统计图的应用
8.去年3至8月份期间，，， 三种品牌空调的销售情况如
下列统计图所示，根据统计图，回答下列问题：
（1）3至8月份期间，___品牌空调销售量最多（填“”“ ”或
“”）.8月份品牌空调销售量有_____台.扇形统计图中， 品
牌所对应的扇形的圆心角是_____度.
275
97.2
（2）8月份其他品牌的空调销
售总量是多少台？
【解】8月份空调销售总量为
（台），
月份其他品牌的空调销售
总量是221台.
（台），
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思想1 数形结合思想
9.某校进行了“交通法规要牢记，路过
街市别大意”交通安全知识竞赛，为了
解本校学生对交通安全知识的掌握情
况，随机抽取了部分学生的成绩
（单位：分），并将他们的成绩整理
成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
安全知识竞赛成绩频数分布表
成绩 分 频数 所占百分比
4
8
16
12
根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为
____，表中的____，
______；
50
10
（2）补全频数分布直方图；
【解】补全频数分布直方图如图.
（第9题）
（3）若将调查结果绘制成扇形统计图，
求成绩在“ ”的部分所对应
的扇形圆心角的度数.
安全知识竞赛成绩在“ ”
的人数占， .
答：成绩在“ ”的部分所对应的扇形圆心角的度
数为 .
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思想2 方程思想
10.某年级组织学生参加夏令营活动，本次夏令营分为甲、乙、
丙三组进行，如图所示的两幅统计图反映了学生参加夏令营
的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：
（1）该年级报名参加丙组的有____人.
25
（2）该年级报名参加本次活
动的总人数为多少？并补全
条形统计图.
【解】该年级报名参加本次活动的总人数为 .
参加乙组的人数为 .
补全条形统计图如图所示.
（第10题）
（3）根据实际情况，需从甲组抽
调部分学生到丙组，使丙组人数
是甲组人数的3倍，应从甲组抽调
多少人到丙组？
设应从甲组抽调人到丙组，列方程得 ,解
得 .
应从甲组抽调5人到丙组.
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题5分，共35分）
1. 在英文“”一句中，字母“ ”出现
的频率为( )
B
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
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2. ［2025邢台月考］为了解我区初中生每天完成家庭作业所
花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①制作并
发放调查问卷；②…；③分析数据；④得出结论，提出建议
和整改意见.其中“…”表示( )
A
A. 收集数据 B. 选择调查方式
C. 实施调查 D. 合理决策
返回
3. 以“平安中国”为主题的 中国（南京）
国际应急产业博览会于2025年5月 日在中国南京举办.
为了调查全校学生对此次博览会的了解情况，下列抽样调查
的样本代表性较好的是( )
D
A. 选择七年级全体学生进行调查
B. 选择八年级2个班的学生进行调查
C. 对九年级每个班按 的比例用抽签的方法确定被调查者
D. 选择全校七至九年级学号是6的整数倍的学生进行调查
返回
4. 学生的心理健康问题越来越受关注.为了解学生的心理健
康状况，某学校从4 000名学生中随机抽取400名学生进行问
卷调查，下列说法错误的是( )
A
A. 400名学生是样本的容量
B. 400名学生的心理健康状况是一个样本
C. 每名学生的心理健康状况是个体
D. 4 000名学生的心理健康状况是总体
返回
5. 某单位有职工100名，按年龄将所有职工分成8组，在
（岁）组的频数是32.若绘制扇形统计图，则这个组对
应的扇形圆心角度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
6. 恩格尔系数是家庭食品支出占家庭消费总支出的百分比，它反映了一
个家庭生活水平的高低.小慧家平均每月水电气支出600元，文化消费支出
1 200元，结合以下信息，小慧家属于 ( )
家庭类型 恩格尔系数
富裕家庭 小于
小康家庭
温饱家庭
贫困家庭 大于
A. 富裕家庭 B. 小康家庭
C. 温饱家庭 D. 贫困家庭
A
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7. 为提高学生的课外阅读水平，某市各中学开展了“我的梦，中国梦”课
外阅读活动，某校为了解七年级学生每日课外阅读所用的时间情况，从
中随机抽取了部分学生，进行了统计分析，整理并绘制出如图所示的频
数分布直方图（每组含后一个边界值，不含前一个边界值），有下列说法：
①这次调查属于普查；
②这次调查共抽取了200名学生；
③这次调查每日课外阅读所用时间在 的人数最少；
④这次调查每日课外阅读所用时间在的人数占所调查总人数的 .
A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
A
其中正确的有( )
返回
二、填空题（每小题6分，共24分）
8. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十
九号载人飞船的长征二号 遥十九运载火箭在酒泉卫星发射
中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成
功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.调查长征二号
遥十九运载火箭零件的质量，适合采用______（填“普查”或
“抽样调查”）.
普查
返回
9.某校为了解本校学生每周阅读课外书籍
的时间，对本校全体学生进行了调查，并
绘制成如图所示的直方图，那么图中这五
个小长方形的面积之和为___.
1
返回
10.某校为了解学生在校用午餐所需的时间，抽查了20名学生
在校用午餐所花的时间，获得如下数据（单位：分）：
9，12，15，10，16，18，19，18，20，38，22，25，20，
18，18，20，15，16，21，16.
若将这些数据分为6组，制作频数分布表，则频数最大的组是 .
14分 分（包括14分，不包括19分）
返回
11.我市开展“美丽商城，创卫同行”活动，某校倡议学生利用
双休日在某公园参加义务劳动，为了解学生的劳动情况，学
校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制了
如图不完整的统计图，根据图中信息可知扇形统计图中的“
”部分对应的圆心角的度数是______.
【点拨】，劳动时间为 的人数为
， ，即扇形统计
图中的“”部分对应的圆心角的度数是 .
返回
三、解答题（共41分）
12.（15分）某市开展“讲文明、
树新风”知识竞赛活动，某校组织
了一次知识竞赛，赛后发现所有
参与者的成绩（总分100分）均不
低于50分，为了解本次竞赛的成
绩分布情况，随机抽取若干名参
与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表.
分数段（成绩为 分） 频数 频率
16 0.08
0.31
72 0.36
12
请你根据统计图表解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是_____，____，
_____，____， _____.
200
62
0.06
38
0.19
（2）请补全参与者成绩分布直方图.
【解】补全参与者成绩分布直
方图如图所示.
（第12题）
（3）竞赛按照分数由高到低共设置一、
二、三等奖，如果有 的参与者能
获得一等奖，那么一等奖的最低分数
线是多少？
分数段在 和
的频率分别为， ，
，
一等奖的最低分数线是80分.
返回
13.（12分） 目前，全球淡水资源分布不均、
总量不足是人类面临的共同问题.某市在实施居民用水定额管
理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获
得了若干户家庭去年的月均用水量数据（单位： ），绘制出
了如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.
月均用水 量/
频数 7 6
对应的扇 形区域
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并
求出扇形统计图中 的圆心角
的度数.
【解】抽取的总数为
，
B的频数为 ，
C的频数为 ，
E的频数为
.
补全频数分布直方图如图.
（第13题）
扇形统计图中的圆心角的度数为 .
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个月均用水量的标准，
超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市 的家
庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？
并说明理由.
要使该市 的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应
该定为 .理由如下：
月均用水量不超过的家庭有 （户），
.
返回
14.（14分）小婷利用统计知识分析《春
秋经传引得》《三国志》《汉书》《后
汉书》《史记》五本古文经典和某期现
代汉语文本《人民日报》的词汇长度、
词汇数量（单位：个）分布情况，研究
古人与现代人在撰写文章时的用词习惯，
由于十字词以上的词汇数量过少，所以
不做研究.下面给出了部分信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）五本古文经典中词汇长度数量最
多的是____字词，其次是三字词;
二
（2）《后汉书》共出现词汇19 036个，
计算五本古文经典的词汇数量总数为多少
个;
【解】 ，
（个）.
答：五本古文经典的词汇数量总数为
76 144个.
（3）通过分析古今的词汇长度、词汇
数量分布情况，说明古人与现代人在撰
写文章时用词习惯的共同点（写出一条
即可）.
古人与现代人在撰写文章时都更倾向于
用二字词、三字词.（答案合理即可）
返回
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章末复习
第14章 数据的收集与表示
【2025新教材】华东师大版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第 14 章 数据的收集与表示章末复习
一、知识框架梳理
（一）数据的收集
收集意义：数据收集是获取信息的基础，为数据分析、决策提供依据，如企业依据消费者数据调整产品策略 ，学校通过学生数据优化教学。
常用方法
问卷调查法：适用于大规模数据收集，需注意问题设计避免引导性和歧义性，包含标题、指导语、问题和答案等结构。
访谈法：利于深入了解对象想法，分个别访谈和集体访谈，需提前准备提纲，营造良好氛围。
观察法：可直接获取行为现象，分参与式和非参与式，要明确观察对象、内容、时间和地点。
实验法：用于研究因果关系，遵循控制变量等原则，设置对照组和实验组。
（二）数据的表示
统计表：以表格形式呈现数据，结构包括标题、标目、数据和表注，能准确有条理地展示数据，便于对比分析。
统计图
条形统计图：用直条长短表示数量，直观反映数量多少，适合比较不同类别数据差异。
折线统计图：通过折线展示数据增减变化，可体现数量多少与变化趋势，常用于展示随时间等连续变量变化的数据。
扇形统计图：用扇形表示各部分占比，清晰呈现部分与总体比例关系，适用于展示份额分布。
象形统计图：利用形象图案表示数据，更直观有趣，常用于低龄受众或简单数据展示 。
二、典型例题解析
（一）数据收集方法的选择与应用
例 1：要了解全校学生对课后服务社团的喜好情况，应采用哪种数据收集方法？
分析：全校学生数量较多，适合采用问卷调查法，可设计包含各类社团选项的问卷，快速收集大量数据。
解答：选择问卷调查法，设计问卷时注意涵盖所有社团类型，问题表述清晰，便于学生作答。
（二）数据表示方法的选择与绘制
例 2：某商场统计了近半年每月的销售额，分别为：1 月 80 万元，2 月 95 万元，3 月 100 万元，4 月 120 万元，5 月 110 万元，6 月 130 万元。请选择合适的统计图表示这些数据，并绘制出来。
分析：数据是随时间变化的销售额，体现的是数据的增减趋势，所以适合用折线统计图。
解答：
绘制横纵轴，横轴表示月份，纵轴表示销售额（单位：万元），标注刻度。
根据数据在对应位置描点，依次连接各点。
标注图表标题 “某商场近半年每月销售额统计图”。
例 3：某班级学生参加兴趣小组的情况如下：绘画组 15 人，书法组 10 人，音乐组 20 人，体育组 25 人。若要清晰展示各小组人数占总人数的比例关系，应选择哪种统计图？并计算各小组人数占比。
分析：需展示各部分在总体中的占比，应选择扇形统计图。先计算总人数，再分别计算各小组人数占比。
解答：
总人数：\(15 + 10 + 20 + 25 = 70\)（人）
绘画组占比：\(15 ·70 100\% 21.4\%\)，对应圆心角：\(360 ° 21.4\% 77 °\)
书法组占比：\(10 ·70 100\% 14.3\%\)，对应圆心角：\(360 ° 14.3\% 51 °\)
音乐组占比：\(20 ·70 100\% 28.6\%\)，对应圆心角：\(360 ° 28.6\% 103 °\)
体育组占比：\(25 ·70 100\% 35.7\%\)，对应圆心角：\(360 ° 35.7\% 128 °\)
绘制扇形统计图，标注各小组名称、占比及圆心角。
三、易错点提醒
数据收集
问卷调查设计问题时，避免出现模糊不清、引导性语句，确保数据真实有效。
根据调查对象和目的合理选择收集方法，如小范围深入调查适合访谈法，大规模普适合问卷调查法。
数据表示
制作统计图时，注意刻度均匀，比例恰当，避免因刻度设置不当导致数据展示偏差。
选择统计图类型要准确，如展示数量变化用折线统计图，比较数量多少用条形统计图，体现占比用扇形统计图。
四、综合练习
（一）基础巩固
学校想了解学生对食堂饭菜的满意度，最适合采用（ ）收集数据。
A. 观察法 B. 访谈法 C. 问卷调查法 D. 实验法
要统计某地区一周的气温变化情况，应绘制（ ）统计图。
A. 条形 B. 折线 C. 扇形 D. 象形
制作扇形统计图时，某部分占总体的\(30\%\)，则该部分对应的圆心角是（ ）度。
（二）能力提升
某超市统计了四种饮料一个月的销售数量：可乐 120 瓶，雪碧 80 瓶，橙汁 100 瓶，绿茶 150 瓶。
请制作统计表表示这些数据。
选择合适的统计图绘制出来，并分析哪种饮料最受欢迎。
以下是某班级学生某次数学考试的成绩分布：优秀（85 分及以上）12 人，良好（70 - 84 分）20 人，中等（60 - 69 分）15 人，不及格（60 分以下）3 人。制作扇形统计图展示成绩分布情况，并计算各部分圆心角度数。
五、复习建议
对照知识框架，查漏补缺，确保对数据收集与表示的概念、方法清晰掌握。
整理做过的例题和练习题，分析错题原因，针对薄弱环节加强训练，尤其是数据表示方法的选择和统计图绘制。
关注生活中的数据收集与表示案例，尝试用所学知识进行分析和解读，提高知识应用能力。
这份复习资料涵盖知识、例题与练习。你可以说说对内容深度、练习量等方面的看法，若有其他需求，我会进一步优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
考点1 普查与抽样调查
1. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，学校为杜绝
舌尖上的浪费开展“光盘行动”活动，为了解七年级200名学生
参与此次活动的现状，采用抽样调查的方式来收集数据，则
抽取样本的方式比较合理的是( )
D
A. 选取50名男生 B. 选取一个班的50名学生
C. 选取50名女生 D. 随机选取50名学生
返回
2.下列调查中，适合用普查的是______，适合用抽样调查的
是__________.
①了解全国青少年儿童的睡眠时间；
②了解乘客是否携带危险物品乘坐高铁；
③了解某班学生对“雷锋精神”的知晓率；
④了解某市居民对废电池的处理情况；
⑤了解黄河中某些鱼的数量；
⑥了解市民对某部电影的喜欢程度.
②③
①④⑤⑥
返回
考点2 总体、个体、样本和样本容量
3. 为弘扬中华优秀传统文化，倡导健康生活方式，某中学本
学期开设了校本课程“八段锦”，为了解学生对该课程的满意
度，在全校的1 000名学生中随机抽取了100名学生对该课程
的满意程度打分，下列说法正确的是( )
C
A. 样本容量为1 000
B. 总体是100名学生
C. 样本是抽取的100名学生所打的分数
D. 个体是被抽取的每一名学生
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考点3 频数与频率
4. “教育强国”四字的汉语拼音中，字母“ ”出现
的频率是( )
C
A. B. C. D.
5.一次数学测试后，某班80名学生的成绩被分为5组，第一至
第四组的频数分别为8，10，16，14，则第五组的频率是____.
0.4
返回
考点4 频数分布直方图（表）
6.某同学统计了他上周通话次数及每次的通话时间，并列出
如下频数分布表：
通话时间 分钟
通话次数 （频数） 26 14 7 2 1
则通话时间超过6分钟的频率是____.
0.2
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7.某路段的雷达测速器对一段时间内通过
的汽车进行测速，将监测到的数据加以整
理，得到如下不完整的图表：
时速段/ 总
计
频数 10 36 ___ ___ 20 200
百分比 ___ 1
注：“”表示时速大于或等于 且
小于 ，其他类同.
（1）请你把表中的数据填写完整.
【解】填表如下.
时速段 总计
频数 10 36 78. . 56. . 20 200
百分比 1
. .
（2）补全频数分布直方图.
补全频数分布直方图如图.
（3）如果此路段汽车时速达
到或超过 即为违章，那
么违章车辆共有多少辆？
（辆）.
答：违章车辆共有76辆.
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考点5 统计图的应用
8.去年3至8月份期间，，， 三种品牌空调的销售情况如
下列统计图所示，根据统计图，回答下列问题：
（1）3至8月份期间，___品牌空调销售量最多（填“”“ ”或
“”）.8月份品牌空调销售量有_____台.扇形统计图中， 品
牌所对应的扇形的圆心角是_____度.
275
97.2
（2）8月份其他品牌的空调销
售总量是多少台？
【解】8月份空调销售总量为
（台），
月份其他品牌的空调销售
总量是221台.
（台），
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思想1 数形结合思想
9.某校进行了“交通法规要牢记，路过
街市别大意”交通安全知识竞赛，为了
解本校学生对交通安全知识的掌握情
况，随机抽取了部分学生的成绩
（单位：分），并将他们的成绩整理
成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
安全知识竞赛成绩频数分布表
成绩 分 频数 所占百分比
4
8
16
12
根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为
____，表中的____，
______；
50
10
（2）补全频数分布直方图；
【解】补全频数分布直方图如图.
（第9题）
（3）若将调查结果绘制成扇形统计图，
求成绩在“ ”的部分所对应
的扇形圆心角的度数.
安全知识竞赛成绩在“ ”
的人数占， .
答：成绩在“ ”的部分所对应的扇形圆心角的度
数为 .
返回
思想2 方程思想
10.某年级组织学生参加夏令营活动，本次夏令营分为甲、乙、
丙三组进行，如图所示的两幅统计图反映了学生参加夏令营
的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：
（1）该年级报名参加丙组的有____人.
25
（2）该年级报名参加本次活
动的总人数为多少？并补全
条形统计图.
【解】该年级报名参加本次活动的总人数为 .
参加乙组的人数为 .
补全条形统计图如图所示.
（第10题）
（3）根据实际情况，需从甲组抽
调部分学生到丙组，使丙组人数
是甲组人数的3倍，应从甲组抽调
多少人到丙组？
设应从甲组抽调人到丙组，列方程得 ,解
得 .
应从甲组抽调5人到丙组.
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题5分，共35分）
1. 在英文“”一句中，字母“ ”出现
的频率为( )
B
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
返回
2. ［2025邢台月考］为了解我区初中生每天完成家庭作业所
花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①制作并
发放调查问卷；②…；③分析数据；④得出结论，提出建议
和整改意见.其中“…”表示( )
A
A. 收集数据 B. 选择调查方式
C. 实施调查 D. 合理决策
返回
3. 以“平安中国”为主题的 中国（南京）
国际应急产业博览会于2025年5月 日在中国南京举办.
为了调查全校学生对此次博览会的了解情况，下列抽样调查
的样本代表性较好的是( )
D
A. 选择七年级全体学生进行调查
B. 选择八年级2个班的学生进行调查
C. 对九年级每个班按 的比例用抽签的方法确定被调查者
D. 选择全校七至九年级学号是6的整数倍的学生进行调查
返回
4. 学生的心理健康问题越来越受关注.为了解学生的心理健
康状况，某学校从4 000名学生中随机抽取400名学生进行问
卷调查，下列说法错误的是( )
A
A. 400名学生是样本的容量
B. 400名学生的心理健康状况是一个样本
C. 每名学生的心理健康状况是个体
D. 4 000名学生的心理健康状况是总体
返回
5. 某单位有职工100名，按年龄将所有职工分成8组，在
（岁）组的频数是32.若绘制扇形统计图，则这个组对
应的扇形圆心角度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
6. 恩格尔系数是家庭食品支出占家庭消费总支出的百分比，它反映了一
个家庭生活水平的高低.小慧家平均每月水电气支出600元，文化消费支出
1 200元，结合以下信息，小慧家属于 ( )
家庭类型 恩格尔系数
富裕家庭 小于
小康家庭
温饱家庭
贫困家庭 大于
A. 富裕家庭 B. 小康家庭
C. 温饱家庭 D. 贫困家庭
A
返回
7. 为提高学生的课外阅读水平，某市各中学开展了“我的梦，中国梦”课
外阅读活动，某校为了解七年级学生每日课外阅读所用的时间情况，从
中随机抽取了部分学生，进行了统计分析，整理并绘制出如图所示的频
数分布直方图（每组含后一个边界值，不含前一个边界值），有下列说法：
①这次调查属于普查；
②这次调查共抽取了200名学生；
③这次调查每日课外阅读所用时间在 的人数最少；
④这次调查每日课外阅读所用时间在的人数占所调查总人数的 .
A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
A
其中正确的有( )
返回
二、填空题（每小题6分，共24分）
8. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十
九号载人飞船的长征二号 遥十九运载火箭在酒泉卫星发射
中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成
功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.调查长征二号
遥十九运载火箭零件的质量，适合采用______（填“普查”或
“抽样调查”）.
普查
返回
9.某校为了解本校学生每周阅读课外书籍
的时间，对本校全体学生进行了调查，并
绘制成如图所示的直方图，那么图中这五
个小长方形的面积之和为___.
1
返回
10.某校为了解学生在校用午餐所需的时间，抽查了20名学生
在校用午餐所花的时间，获得如下数据（单位：分）：
9，12，15，10，16，18，19，18，20，38，22，25，20，
18，18，20，15，16，21，16.
若将这些数据分为6组，制作频数分布表，则频数最大的组是 .
14分 分（包括14分，不包括19分）
返回
11.我市开展“美丽商城，创卫同行”活动，某校倡议学生利用
双休日在某公园参加义务劳动，为了解学生的劳动情况，学
校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制了
如图不完整的统计图，根据图中信息可知扇形统计图中的“
”部分对应的圆心角的度数是______.
【点拨】，劳动时间为 的人数为
， ，即扇形统计
图中的“”部分对应的圆心角的度数是 .
返回
三、解答题（共41分）
12.（15分）某市开展“讲文明、
树新风”知识竞赛活动，某校组织
了一次知识竞赛，赛后发现所有
参与者的成绩（总分100分）均不
低于50分，为了解本次竞赛的成
绩分布情况，随机抽取若干名参
与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表.
分数段（成绩为 分） 频数 频率
16 0.08
0.31
72 0.36
12
请你根据统计图表解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是_____，____，
_____，____， _____.
200
62
0.06
38
0.19
（2）请补全参与者成绩分布直方图.
【解】补全参与者成绩分布直
方图如图所示.
（第12题）
（3）竞赛按照分数由高到低共设置一、
二、三等奖，如果有 的参与者能
获得一等奖，那么一等奖的最低分数
线是多少？
分数段在 和
的频率分别为， ，
，
一等奖的最低分数线是80分.
返回
13.（12分） 目前，全球淡水资源分布不均、
总量不足是人类面临的共同问题.某市在实施居民用水定额管
理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获
得了若干户家庭去年的月均用水量数据（单位： ），绘制出
了如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.
月均用水 量/
频数 7 6
对应的扇 形区域
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并
求出扇形统计图中 的圆心角
的度数.
【解】抽取的总数为
，
B的频数为 ，
C的频数为 ，
E的频数为
.
补全频数分布直方图如图.
（第13题）
扇形统计图中的圆心角的度数为 .
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个月均用水量的标准，
超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市 的家
庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？
并说明理由.
要使该市 的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应
该定为 .理由如下：
月均用水量不超过的家庭有 （户），
.
返回
14.（14分）小婷利用统计知识分析《春
秋经传引得》《三国志》《汉书》《后
汉书》《史记》五本古文经典和某期现
代汉语文本《人民日报》的词汇长度、
词汇数量（单位：个）分布情况，研究
古人与现代人在撰写文章时的用词习惯，
由于十字词以上的词汇数量过少，所以
不做研究.下面给出了部分信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）五本古文经典中词汇长度数量最
多的是____字词，其次是三字词;
二
（2）《后汉书》共出现词汇19 036个，
计算五本古文经典的词汇数量总数为多少
个;
【解】 ，
（个）.
答：五本古文经典的词汇数量总数为
76 144个.
（3）通过分析古今的词汇长度、词汇
数量分布情况，说明古人与现代人在撰
写文章时用词习惯的共同点（写出一条
即可）.
古人与现代人在撰写文章时都更倾向于
用二字词、三字词.（答案合理即可）
返回
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