1.1.2集合的表示 导学案（含答案）高中数学人教A版（2019）必修第一册

1.1.2　集合的表示
学习目标
1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
学习重难点
重点：掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).
难点：能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
学习过程
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P3～5，思考并完成以下问题
(1)集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
(2)它们的使用条件各是什么？又如何用符号表示？
预习任务二：简单题型通关
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(　　)
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　)
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　)
2．方程组的解集是(　　)
A．(－1,2)　　　　　　　 　B．(1，－2)
C．{(－1,2)} D．{(1，－2)}
3．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为(　　)
A．{0,1,2,3,4}　　　　　　 　B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
4．不等式4x－5<7的解集为________．
二、新知精讲
1．列举法
把集合的元素_____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
[点睛]　列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：用集合所含元素的_____________表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的___________及______________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的_______________．
[点睛]　描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
(3)不能出现未被说明的字母．
三、题型探究
题型一 用列举法表示集合
[例1]　用列举法表示下列集合．
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
[归纳总结]
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．　　　　　
[活学活用]
1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
题型二 用描述法表示集合
[例2]　用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[归纳总结]
描述法表示集合的2个步骤
[活学活用]
3．用符号“∈”或“ ”填空：
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；
(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
题型三 集合表示法的综合应用
[例3]　(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．0 D．0或1
(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．
[归纳总结]
解答此类问题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．
[活学活用]
5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
6．设集合B＝.
试判断元素1,2与集合B的关系；
用列举法表示集合B.
题型四 集合含义的再认识
[例4]　用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．
[一题多变]
1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
[归纳总结]
识别集合含义的2个步骤
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．　　　　
四、达标检测
1．集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1, 2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
2．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有(　　)
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
3．用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________．
4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．
5．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2＞6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
五、本课小结
1.表示集合的要求：
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
参考答案
课前预习
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．答案：C
3．答案：B
4．答案：{x|4x－5<7}
新知精讲
1．一一列举
2．(1)共同特征
(2)一般符号 取值(或变化)范围 共同特征
题型探究
[例1] 解析：　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，
故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
[活学活用]
1．解析：选B　集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．
2．解析：(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
[例2]　 解析：　(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
[活学活用]
3．解析：(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1 A；
(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．
答案：(1)∈　 　(2)∈
4．解析：(1)列举法：P＝{0,2,4}．
(2)描述法：.
或列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
[例3]　 解析：　(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)因为∈，
所以2－a－＝0，
解得：a＝－，
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝2－4×＝>0，
所以集合的所有元素的积为方程的两根之积等于.
[答案]　(1)D　(2)
[活学活用]
5．解析：由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a＝5，b＝6.
6．解析：(1)当x＝1时，＝2∈N.
当x＝2时，＝ N.所以1∈B,2 B.
(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.
[例4]　 [解]　抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．
[一题多变]
1．解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，
所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．
2．解：集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．
达标检测
1．答案　B
解析　{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1,2,3,4}．
2．答案　B
解析　∵0∈N且－≤0≤，∴0∈A.
3．答案　{x|x＜－}
解析　∵x＜－x－3，
∴x＜－.
∴解集为{x|x＜－}．
4．答案　{1}
解析　由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
5．解　(1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
(2){x|x＝2n＋1，且x＜1000，n∈N}；
(3){x|x＞8}；
(4){1,2,3,4,5,6}．