1.1.1 同底数幂的乘法 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
1.1.1 同底数幂的乘法
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解同底数幂乘法法则的推导过程。
能够熟练运用同底数幂的乘法法则进行相关计算。
（二）过程与方法
通过对同底数幂乘法法则的探究，培养学生的观察能力、归纳能力以及逻辑推理能力。
在推导法则的过程中，体会从特殊到一般的数学思想方法。
（三）情感态度与价值观
让学生在探索法则的过程中，感受数学的简洁美和规律美，激发学生学习数学的兴趣。
培养学生积极参与、合作
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
a
a
a2
a
a3
＝ a·a
＝ a·a·a
2
3
a4
a5
a6
an
＝ a·a·a·a
＝ a·a·a·a·a
＝ a·a·a·a·a·a
＝ a·a········a
n个
有理数
n
a
an
＝ a·a········a
n个
求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方.
底数
指数
乘方
幂
≈
n个相同的因数乘积的简便记号，叫作幂.
公元1607年，利玛窦和徐光启合译欧里几得的《原本》时，对“幂”字做了注解：“自乘之数曰幂.”
拓展知识
22×24＝____________; a2·a4＝____________;
a3·am＝____________(m是正整数).
观察
2
2
a
a
a
a
同底数幂相乘.
22×24＝
（2×2）×（2×2×2×2）
＝2×2×2×2×2×2
＝26.
2个2
4个2
（2＋4）个2
a2·a4＝
（a·a）·（a·a·a·a）
＝a·a·a·a·a·a
＝a6.
2个a
4个a
（2＋4）个a
a3·am＝
(a·a·a )·(a· a ·····a)
＝a·a·a·····a
＝a3+m.
3个a
m个a
（3＋m）个a
通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？
2
2
2
a
a
a
a
a
a
2
4
6
2
4
6
3
m
3+m
底数不变，
指数相加.
26
a6
a3+m
探究新知
22×24＝____________; a2·a4＝____________;
a3·am＝____________（m是正整数）;
观察
2
2
a
a
a
a
同底数幂相乘.
22×24＝
（2×2）×（2×2×2×2）
＝2×2×2×2×2×2
＝26.
2个2
4个2
（2＋4）个2
2
2
2
2
4
6
a2·a4＝
（a·a）·（a·a·a·a）
＝a·a·a·a·a·a
＝a6.
2个a
4个a
（2＋4）个a
a
a
a
2
4
6
a3·am＝
（a·a·a )·(a· a · ····a）
＝a·a·a·····a
＝a3+m.
3个a
m个a
（3＋m）个a
a
a
a
3
m
3+m
抽象
我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即
猜想
am·an
am+n.
＝
26
a6
a3+m
26
a6
a3+m
2
4
2
4
3
m
我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即
am·an
am+n.
＝
观察
抽象
猜想
论证
am·an＝
（ a·a·····a ）·（a·a·····a）
m个a
n个a
＝a·a·a·····a
（m＋n）个a
＝am+n
（m，n都是正整数）.
证明：
am+n
←乘方的意义
←乘法结合律
←乘方的意义
22×24＝____________; a2·a4＝____________;
a3·am＝____________（m是正整数）;
2
2
a
a
a
a
26
a6
a3+m
26
a6
a3+m
2
4
2
4
3
m
探究新知
同底数幂相乘.
探究新知
我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即
观察
抽象
猜想
论证
am·an＝ am+n
（m，n都是正整数）.
也就是
am·an＝
（ a·a·····a ）·（a·a·····a）
m个a
n个a
＝a·a·a·····a
（m＋n）个a
＝am+n
（m，n都是正整数）.
证明：
am+n
于是，我们得到：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
22×24＝____________; a2·a4＝____________;
a3·am＝____________（m是正整数）;
2
2
a
a
a
a
26
a6
a3+m
26
a6
a3+m
2
4
2
4
3
m
同底数幂相乘.
“特殊”
“一般”
严格的证明
乘法法则
探究新知
例 1
计算:
（1）105×103；
（2）x3 · x4.
解： 105×103
= 105+3
= 108.
解: x3 · x4
= x3+4
= x7.
[教材P3 例题1]
下列计算对不对？如果不对，应该怎样改正？
(1) a2 · a5= a10.
(2) a3 · a3= 2a6.
(3) a · a4= a4.
(1) a2 · a5= a7.
(2) a3 · a3= a6.
(3) a · a4= a5.
×
×
×
探究新知
（1） -a·a3;
解: -a·a3
= (-1)·a1+3
=﹣a4
（2） -y n · y n+1 (n为正整数).
解： -yn · yn+1
= (-1)·yn+n+1
= -y2n+1.
例 2
计算:
[教材P3 例题2]
探究新知
思考： 当三个或三个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算的结果呢？
am·an·ak ＝
（ a·a·····a ）·（a·a·····a） ·（a·a·····a）
m个a
n个a
＝a·a·a·····a
（m＋n＋k）个a
＝am+n+k
(m，n，k都是正整数).
证明：
am+n+k
am·an·ak =
(m，n，k都是正整数).
k个a
也就是
am·an·ak
＝am+n+k
同理可知，若三个以上的同底数幂相乘，
底数______，
指数______.
不变
相加
探究新知
例 3
计算：
（2）(-x)×(-x2)×(-x3)；
（1） y · y2 · y4 .
解: y · y2 · y4
= (y · y2) · y4
= y7.
= y3 · y4
或: y · y2 · y4
= y1+2+4
= y7.
解: (-x)×(-x2)×(-x3)
=-(x·x2·x3)
=-x6
或: (-x)×(-x2)×(-x3)
=-x1+2+3
= -x6 .
=-(x3·x3)
[选自教材P3 例题3]
1.计算：
（1）56×54；
（2）x · x3；
解： 56×54
= 56+4
= 510.
解: x · x3
= x1+3
= x4.
（3）(-2)3·(-2)4；
（4）-a5 · a5.
解： (-2)3·(-2)4
= (-2)3+4
= (-2)7.
解: -a5 · a5
= -a5+5
= -a10.
（5）xm+1 · xm-1.
解: xm+1 · xm-1
= xm+1+m-1
= x2m.
[教材P4 练习 第1题]
(其中m>1,且m是正整数)
巩固练习
解： (-x)×x3×(-x)5
= (-1)×(-1)×x1+3+5
= x9
2. 计算：
解： x2 · x3 · x4
= x2+3+4
= x9
（2）(-x)×x3×(-x)5；
（1）x2 · x3 · x4 ；
[教材P4 练习 第2题]
解： xn×xn+1×xn+2
= xn+n+1+n+2
= x3n+3
（3）xn · xn+1 · xn+2；(n是正整数)
1. 教材P3例2（1） 计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.
2. 计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.
3.[2024·邵阳期末] 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式
.
4. [2024·海口校级月考] 当，且 为正整数时，
的值为( )
A
A. 正数 B. 负数
C. 非正数 D. 非负数
【点拨】 .
因为， 为正整数，
所以 .故选A.
5. 已知，，则 的值为
( )
A
A. 15 B.
C. D. 以上都不对
【点拨】因为， ，
所以 ，故选A.
同底数幂的乘法
幂的运算
am·an＝ am+n
（m，n都是正整数）.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
观察
抽象
猜想
论证
“数学思维”
“特殊”
“一般”
严格的证明
“归纳推理”过程
“特殊”
应用
谢谢观看！