课件26张PPT。11.1.1三角形的边第十一章 三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（RJ）
教学课件情境引入1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类。
2.掌握三角形的三边关系。（难点）
3.运用三角形三边关系解决有关的问题。（重点）导入新课埃及金字塔水分子结构示意图飞机机翼问题：
（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？
（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例。讲授新课问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.问题2：三角形中有几条线段?有几个角?A B C 有三条线段，三个角
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.记法：三角形ABC用符号表示________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表
示为________.△ABCc，a，b边c边b边a顶点C角角角顶点A顶点B辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？不符合不符合不符合①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次.三角形应满足以下两个条件：
要点提醒表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等.基本要素：
三角形的边：边AB、BC、CA；
三角形的顶点：顶点A、B、C；
三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C.特别规定：
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ 5个，它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD.(2)以AB为边的三角形有哪些？△ABC、△ABE.（3）以E为顶点的三角形有哪些？△ ABE 、△BCE、 △CDE.（4）以∠D为角的三角形有哪些？△ BCD、 △DEC.（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.(1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么?
(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样
的三角形?
(3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.三边都不相等的三角形.问题1：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？不等边三角形按是否有边相等分三角形不等边三角形等腰
三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形按内角大小分三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形腰底边做一做
画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？AB+AC>BC（两点之间线段最短）归纳总结三角形两边的和大于第三边.
三角形两边的差小于第三边.议一议
1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么大小关系?
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么大小关系?
3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm；
（3）5cm、6cm、10cm.典例精析 判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；（3）能，因为5cm+6cm>10cm.针对训练
一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4
的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？ 设x为三角形第三条边的长，则有两边之差
例2 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有
4+2x=18.
解得x=7.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有
2×4+x=18. 解得x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.当堂练习1.三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成
的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成
的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形C2.判断：（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ）√×（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）×（4）等边三角形是锐角三角形.（ ）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ）×√3.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 ．4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为 （ ） A. 14cm B.19cm
C.14cm或19cm D. 不确定ACB等腰三角形问题常要用到分类讨论，在涉及周长问题时三边要养成检验好习惯哦！4米3米5米ABC5.学校草坪经常被学生走出一条小路来，你能用今天所学的知识解释这一现象吗？其实我们离文明很近4两点之间，线段最短，三角形的两边的和大于第三边.课堂小结三角形定义及其基本要素顶点、角、边分类按角分类按边分类分类不重不漏三边关系原理两点之间线段最短内容两边之和大于第三边两边之差小于第三边|a-b|b,x为第三边）应用见《学练优》本课时练习课后作业课件27张PPT。11.1.2 三角形的高、中线与角平分线第十一章 三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（RJ）
教学课件11.1.3 三角形的稳定性1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
4.了解三角形的稳定性及应用.导入新课复习回顾1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条，怎么画？只能画一条.2.已知△ABC中，BC=5cm,高AD=4cm,求△ABC的面积。讲授新课问题1 什么是三角形的高？问题2 怎样画三角形的高？定义
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.ABCD垂直符号垂足想一想 由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB= ∠ADC=90 °ABCABCABC画图发现三角形的三条高交于一点.（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；（2）直角三角形的高交于直角的顶点；（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？AC=BC= AB问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ABC定义：
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.想一想：由三角形的中线能得到什么结论？BD=CD= BC画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEF问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题4 通过问题3你能发现什么规律？答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？答： ∠AOC= ∠BOC问题2 如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？((答：三角形的三条角平分线交于三角形内一点.想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？答：相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.问题：
如图，盖房子时，在木框未安装好之前，木工师傅常常先在木框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？答： 三角形形状不会改变，四边形形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。理解“稳定性”“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.典例精析例1 如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm， ∠CAB=90 °,试求：
（1）△ABE的面积；
（2）△ACE和△ABE的周长的差.解：（1）即AD=4.8.（2） ∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
=AC-AB
=8-6
=2(cm) 重要发现 三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差.例2 如图，在△ABC中，请作图
（1）画出△ABC的∠C的平分线；
（2）画出△ABC的边AC上的中线；
（3）画出△ABC的边BC上的高EF答：如图，CF是一条角平分线；BE是AC边上的中线；AD是边BC上的高.例3 要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢?当堂练习D2.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )A.两点之间线段最短
B.三角形两边之和大于第三边
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性DD3.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.解： ∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD .
∵BC-AC=5cm,
∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm,
又∵ △DBC的周长为25cm，
∴ △ADC的周长=25-5=20(cm).
4.如图是一张三角形纸片，请你动手画出它的BC边上的中线，BC边上的高， ∠A的平分线.D AD为中线（BD=DC）E AE为高（AE⊥BC）))AF 为∠A的平分线（∠BAF=∠CAF）F能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?A（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）课堂小结三角形重要线段高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线应用稳定性三角形
独有性质见《学练优》本课时练习课后作业课件23张PPT。11.2.1三角形的内角第十一章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（RJ）
教学课件1.阐述并验证三角形内角和定理.（难点）
2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.（重点）
3.会运用三角形内角和定理进行计算.（重点）
导入新课 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争三兄弟的和应为180度！讲授新课三角形两边的夹角叫做三角形的内角.(问题：
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢?拼图探索想一想 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?180°验证结论三角形三个内角的和等于180°.FE求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证明：过点A作EF∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.想一想 同学们还有其他的方法吗？证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.ED证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等).
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.E知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线典例精析例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.解：由∠BAC=40 °,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD= ∠BAC=20 °.在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 三角形 . 练一练：①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .102°直角60°50°70°例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°
=100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°
-40°=60°.在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？直角三角形的两个锐角互余． 应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．典例精析例3 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.问题2 在△ABC 中，∠A +∠B =90°，∠C等于多少度？你用了什么知识解决的?你能得出什么结论？ABC∠C=90 °，三角形内角和定理.应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．结论：直角三角形的两个锐角互余． 典例精析例4 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.即△ADE是直角三角形.当堂练习1.说出下列各图中的x值．x=70 x=60x=30 x=50 2.填空
（1）一个三角形最多有 个直角，因为 ；
（2）一个三角形最多有 个钝角，因为 ；
（3）一个三角形至少有 个锐角，因为 .112三角形内角和等于180 °三角形内角和等于180 °三角形内角和等于180 °3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .280 °4.如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于点O．
变式1 若∠A =80°，则∠BOC = ．
变式2 你能直接写出∠BOC与∠A 之间的数量关系吗？130°∠BOC = 90°+ ∠A . 课堂小结三角形的内角三角形的
内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180 °直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两锐角互余判定两角互余的三角形是直角三角形见《学练优》本课时练习课后作业课件22张PPT。11.2.2 三角形的外角第十一章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（RJ）
教学课件情境引入1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（重点）导入新课复习引入1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .2.在△ABC中，已知∠A： ∠B：∠C= 2：3：5，则. △ABC是 三角形3.什么是三角形的内角？其和等于多少？48 °直角三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180 °.讲授新课定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角画一画：画出△ABC的所有外角，请指出来有哪几个.△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系和数量关系）有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.∠1和∠4, 是对顶角，相等；∠2和∠5, 是对顶角，相等；∠3和∠6, 是对顶角，相等.填一填：
（1）如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACD= .
(2)任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都有（1）中这种关系呢？探究交流130 °∠ACD= ∠A+ ∠B.三角形内角和定理的推论三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.知识要点 三角形外角与内角的关系：
（1）位置关系：相邻和不相邻.
（2）数量关系：外角与相邻内角互补，
外角大于不相邻的任何一个内角.练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：∠1=40 °, ∠2=140 °∠1=18 °, ∠2=130 ° 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.你还有其他解法吗？方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.知识要点三角形的外角和等于360°.∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.典例精析例 (一题多解）如图，计算∠BDC.思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.E ))12)3)4E )1（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）)22(重要发现：∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.当堂练习 1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）2.下面的推理题把小明难住了.他希望同学们能尽快的帮他解决下面的问题.
根据下列线索推理出这个三角形有关的角.
线索1：在△ABC中，∠B=∠C ；
线索2：它的一个外角是100o；
问题：它的各个内角各是多少度？ 50°，50°，80°或80°，80°，20°.答：它的各个内角分别为3.（1）如图，∠BDC是________的外角,也是 的外角.
(2)请指出∠BDC, ∠DEA， ∠ECA三者的大小关系.
(3)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.ABCD△ADE△ADC∠BDC> ∠DEA> ∠ECA解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.在△ABC中：∠B+∠BAC+∠C=180°，∠C=180o-40o-70o=70°.解：因为∠ADC是△ABD的外角.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因为∠B=∠BAD，40°ABCDBACPNMDEF能力提升：
如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿＿＿.360°课堂小结三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360 °见《学练优》本课时练习课后作业课件14张PPT。11.3.1 多边形第十一章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（RJ）
教学课件情境引入1.了解并掌握多边形及有关概念.
2.对角线条数与多边形的边数的关系.（重点）
3.理解正多边形及其有关概念.（难点）导入新课1.什么是三角形？有几条边，几个内角？2.什么是三角形的外角？有几个外角？复习引入由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.一个三角形有三个外角.讲授新课问题1 观察画多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.想一想：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.问题2 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．顶点边内角：多边形相邻两边组成的角外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.ABCDE定义：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.画一画：画出下列多边形的全部对角线想一想：
（1）从上面n边形的一个顶点可以作出几条对角线？
（2）n边形的对角线总条数与边数n有怎样的关系？(1) (n-3) (n≥3)（2）n边形共有对角线 条(n≥3).ABCDABCD 我们现在研究的是如图1所示的多边形，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形是凸多边形； 如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中.今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形.图1图2定义：
像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.当堂练习1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）B2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形A3.九边形的对角线有（ ）
A.25条 B.31条 C.27条 D.30条C4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形.十三5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.六课堂小结多边形定义前提条件是在一个平面内对角线它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题正多
边形定义既是判定也是性质见《学练优》本课时练习课后作业课件20张PPT。11.3.2 多边形的内角和第十一章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（RJ）
教学课件情境引入1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.
2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点）
3.运用多边形的内角和计算公式与外角和解决问题.（重点）导入新课提问引入1．三角形的内角和是多少度？2．如果两个三角形能够拼成四边形，你能求出四边形的内角和吗？180°360°讲授新课问题1 是否所有的四边形的内角和都可以“转化”为两个三角形的内角来求得呢？如何“转化”?如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC,则四边形ABCD被分成△ABC和△ACD两个三角形.这种转化方法我们不妨称其为“对角线分割转化法”.问题2 类比推导四边形内角和的方法，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察上图填：（1）从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180°× .
（2）从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180°× .233344问题3 n边形的内角和是否也可以用上面的方法？试一试. 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2)个三角形，n边形的内角和等于180 °×（n-2).多边形的内角和公式n边形内角和等于（n-2) ×180 °.其他分割方法欣赏练一练：（1）12边形的内角和等于 .
（2）如果一个多边形的内角和等于1440 °，那么这是 边形.1800 °十PP想一想：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.所以
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.问题 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？1.任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
2.五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？互补900°五个平角和（900°）-五边形的内角和（540°）=外角和（360°）五边形外角和=360 °=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2) × 180°结论：五边形的外角和等于360°.在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2) × 180°=360 °=n个平角-n边形内角和= n×180 °多边形的外角和公式回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.六正八例1 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2)?180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2)?180°=2× 360o.
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.变式：一个多边形的外角和是内角和的 ，则其边数n为 .12例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140 °，每个外角是40 °.360° ÷40 °=9.答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？解：设这个多边形的边数为x ,根据题意得解得x=9.答：这个多边形是九边形.当堂练习1.判断．
（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加． ( )
（2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加． ( )
（3）三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
（4）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形． ( )2.五边形的内角和为 ，它的对角线有 条．540°53.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加________,外角和增加_______.180°0°4.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °D能力提升： 一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为___.15解析：设这个多边形的边数为x(x为正整数)，则这个多边形的内角和为（x-2）×180°，由题意可得：
2380-180<（x-2）×180°<2380,
解得：4.22因为x为正整数，所以x=15，即这个多边形的边数为13.课堂小结多边形的内角和内角和计算公式（n-2) × 180 °(n ≥3的整数） 外角和多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关。正多
边形内角= ，外角=见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。第十一章 三角形 学练优八年级数学上（RJ）
教学课件复习课知识网络专题复习 课堂小结课堂训练三角形与三角形有关的线段三角形内角和：180°三角形外角和：360°三角形的边：三边关系定理高线中线：把三角形面积平分角平分线与三角形有关的角内角与外角关系三角形的分类多边形定义多边形的内外角和内角和：（n-2) ×180 °外角和：360 °对角线多边形转化为三角形和
四边形的重要辅助线正多边形内角= ;外角=知识网络【例1】已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 【解】 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得: 8-3 又∵第三边长为奇数,
∴ 第三条边长为 7cm或9cm.专题复习【归纳拓展】三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.【配套训练】以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是 . 6则∠ADC的度数是 .100 °【例3】已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数. 【解】 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.【归纳拓展】在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.【配套训练】一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其边数是 .6【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它的每一个外角都等于60 °.所以边数是6.方程思想【例4】如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. 【解】 设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，
得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75 °.【归纳拓展】在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.【配套训练】如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.【答案】 设∠ 1=x,根据题意可得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x, ∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得
x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.【解题小结】这种顶角为36度的等腰三角形，我们发现只要做底角的平分线它就会得到新的这种等腰三角形，我们称其为“黄金等腰三角形.分类讨论思想【例5】 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则
三角形的周长是 ．【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.26或22【配套训练】已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则
三角形的周长是 ．24【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.化归思想如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.【例6】如图所示：
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.【解析】 所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连结CD便转化为求五边形的内角和问题，由“8字型”模型图可知， ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540 °.三角形等腰三角形有关计算问题分类讨论和三边关系检验重要线段中线性质的应用常见几何模型飞镖模型8字型角平分线夹角模型课堂小结1.木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，根据是 .三角形具有稳定性2.△ABC中，∠A＝80°，∠B-∠C＝20°，则∠B= ， ∠C = .按角分类这个三角形属于 三角形．60 °40 °锐角3.在△ABC中，已知：3∠A=∠C，3∠B=2∠C，则△ABC是 三角形（提示设最小角∠A=x °).直角课堂训练4.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的差为（ ）ABCD12cm B. 6cm
C. 3cm D. 2cmB 5.如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于点O．（1）若∠A =80°，则∠BOC = ．
（2）你能猜想出∠BOC 与∠A 之间的数量关系吗？ 130°∠BOC = 90°+ ∠A 6.张老伯家有一块三角形的花棚，如图所示，张老伯准备将其分成四个面积相等的三角形，分别种上不同颜色的花卉，请你至少设计三种种植方案，供张老伯选择.ABCDEF7.如图所示，在△ABC中，AD⊥ BC,AE平分∠BAC, ∠B=70 ° , ∠C=30 ° .
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：有同学认为，不论∠B,
∠C的度数是多少，都有∠DAE=
(∠B-∠C)成立，你同意吗？你能说
出成立或不成立的理由吗？解：（1）在△ABC中， ∠B=70 °, ∠C=30 °,
∴ ∠BAC=180 °-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°. ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE= ∠BAC= ×80°=40° .ABCDE（2）AD ⊥BC, ∠B=70 °,
∴ ∠BAD=90 °- ∠B=90 °-70 °=20 °, ∵ ∠BAE=40 °,
∴ ∠DAE= ∠BAE- ∠BAD=40 °-20 °=20 °.（3）成立，理由如下：
∵AE平分∠BAC, ∴ ∠BAE= (180 °- ∠B- ∠C);
∵AD ⊥BC, ∴ ∠BAD=90 °- ∠B.
∴ ∠DAE= ∠BAE- ∠BAD= (180 °- ∠B- ∠C)-90 °+ ∠B= (∠B- ∠C).
ABCDE