第十一章 不等式与不等式组 期末专项练习2024-2025学年人教版数学七年级下册
一、单选题
1.不等式的正整数解有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
2.“与7的差的一半是正数”,用不等式可表示为( )
A. B. C. D.
3.若关于x的不等式组的解集为,则m满足的条件是( )
A. B. C. D.
4.如图,在数轴上表示了某个不等式的解集,这个不等式可能是( )
A. B. C. D.
5.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只20元,茶杯每只5元,商店有两种优惠方法:(1)买一只茶壶送一只茶杯;(2)按总价的付款.现有一顾客需购买4只茶壶.只(不少于4只)茶杯,要使方法(2)比方法(1)更省钱,则至少为( )
A.33 B.34 C.35 D.36
6.已知某网店的一款电子手表的进价为每个400元,售价为每个560元,五一假期间,该网店做打折促销活动,若要保证一个电子手表的利润不低于48元,则最低打( )
A.九折 B.八折 C.八五折 D.九五折
7.班级组织有奖知识竞赛,小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件.已知笔记本每本2元,钢笔每支5元,则小明最多能买钢笔( )
A.50支 B.20支 C.14支 D.13支
8.如图,有三种不同的小球,质量分别如下图所示,放置在天平的托盘中,结果天平右侧倾斜,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.若不等式组无解,则的取值范围是 .
10.某日我市的最高气温是,最低气温是,则当日气温t(单位:)的变化范围是 .
11.若关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示,求a的取值范围是 .
12.某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地,到B地时已过12时,但不到12时10分,设A、B两地相距x千米,根据题意列不等式组 .
13.已知关于x的不等式组有且仅有3个整数解,关于y的一元一次方程的解为非正整数,则符合条件的整数a的和为
14.若关于x的不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是 .
15.爆破员要爆破一座旧桥,根据爆破情况,安全距离是70米(人员要撤到70米以外),下面是已知的一些数据,人员速度是7米/秒,导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒,为确保安全,这次爆破的导火索至少为 米.
16.某校701班和702班两班若干名学生在学校组织下到独秀山公园参观,分住在若干间宿舍,若每间住4人,则还有21人无宿舍住;若每间住6人,则有一间宿舍不空也不满,则宿舍最多有 间,宿舍最少有 间.
三、解答题
17.解不等式组:,并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
18.小明同学在某奶茶店进行社会实践活动时发现,该奶茶店畅销的A、B两款奶茶,每杯成本分别为5元、8元,近两周的销售情况如表所示:
销售时段 销售数量 销售收入
A款 B款
第一周 300杯 500杯 8400元
第二周 400杯 600杯 10400元
(成本、售价均保持不变,利润=销售收入成本)
(1)求A、B两款奶茶的销售单价;
(2)小明过生日想请全班50名同学喝奶茶,他准备用不多于480元的金额购买A、B两款奶茶共50杯,B款奶茶最多能买多少杯?
19.下面是小颖同学解不等式的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:去分母,得…第一步
去括号,得…第二步
移项,得…第三步
合并同类项,得…第四步
系数化为1,得…第五步
任务:
任务一:填空:
①上述解题过程中,第一步的依据是________________________;
②第______步开始出现错误,这一步错误的原因是__________________;
任务二:请直接写出该不等式的正确解集;
任务三:除了任务一中出现的错误外,请根据平时的学习经验,就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
20.今年贵港市准备争创全国卫生城市,某小区积极响应,决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱.若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需720元,且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?
(2)该小区至少需要安放43个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共88个,且费用不超过8600元,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少元?
21.近两年,“今生簪花,来世漂亮”一句话可谓火遍全网.簪花其实是中国古代佩戴头饰的一种,也称戴花,簪戴,通常是由筷子状的象牙簪固定在螺旋状的发髻上,再由鲜花或其他材料制成的花朵缠绕起来.簪花文化距今已有两至三千年的历史,是国家非物质文化遗产之一.李阿姨去簪花店去簪花,它挑选了颜色鲜艳的16朵玫瑰花和15朵石榴花,共支付203元,每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格便宜3元.
(1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元?
(2)李阿姨发现簪花时如果花朵再多一些,整个头型更好看些,所以计划下次来簪花时,两种花的数量为45朵,且总费用不得高于300元.请你帮李阿姨算一算,最多能选多少朵玫瑰?
22.若一元一次方程的解在某个一元一次不等式组的解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“伴随方程”.例如:方程的解为,不等式组的解集为,因为,所以称方程为不等式组的“伴随方程”.
(1)在方程①;②;③中,不等式组的“伴随方程”是___________;(填序号)
(2)若不等式组的一个“伴随方程”的解是整数,且这个“伴随方程”是,求常数的值;
(3)①解两个方程(用含的式子表示):和;
②是否存在整数,使得这两个方程都是不等式组的“伴随方程”?若存在,求出所有符合条件的值;若不存在,说明理由.
试卷第1页,共3页
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《第十一章 不等式与不等式组 期末专项练习2024-2025学年人教版数学七年级下册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A C B D C
1.B
【分析】本题考查了一元一次不等式的正整数解,先求出不等式的解集,再根据解集确定不等式的正整数解的个数即可,正确求出不等式的解集是解题的关键.
【详解】解:移项,得,
合并同类项,得,
系数化为,得
∴不等式的正整数解为和,共个,
故选:.
2.B
【分析】根据题意,“x与7的差的一半是正数”需转化为不等式,首先,“x与7的差”表示为,再取其“一半”即整体除以2,得到,最后,“是正数”对应“”,因此不等式为.
本题考查了不等式的应用,熟练掌握列不等式是解题的关键.
【详解】解: A:,表示“x减去7的一半是正数”,不符合题意.
B:,完全符合推导结果.
C:,包含等于0的情况,但题目要求“正数”(严格大于0).
D:,表示“x的一半减7是非负数”,顺序错误且符号不符.
故选:B.
3.D
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数,解出不等式,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到,即可求解.
【详解】解:求解不等式得:,
∵不等式组的解集为,
∴,
故选:D.
4.A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式,用数轴表示解集,由数轴得出不等式解集,据此可判断各选项是否符合此解集,从而得出答案.
【详解】解:由数轴可得不等式的解集为,
A、由可得,故A符合题意;
B、由可得,故B不符合题意;
C、由可得,故C不符合题意;
D、由可得,故D不符合题意,
故选:A.
5.C
【分析】本题考查列代数式和代数式求值,解题关键是理清两种优惠办法,难度不大.
根据题干中两种优惠办法列出它们的花费,然后得出不等式求解即可.
【详解】设购买茶杯只,则两种优惠方法应付的钱分别为:
(1)种方法:,
(2)种方法:,
∵使方法(2)比方法(1)更省钱,
∴,
解得:
∴至少为35,
故选:C.
6.B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用,设电子手表打折,根据题意列出不等式即可求解,根据题意找到不等量关系是解题的关键.
【详解】解:设电子手表打折,
,
解得:,
∴电子手表最低打八折,
故选:B.
7.D
【分析】此题是一元一次不等式在实际生活中的运用,解答此题的关键是熟知不等式的性质,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.熟练运用基础知识是做题的关键.
先设小明最多能买钢笔支,则小明买笔记本本,再根据题意列出不等式求解即可.
【详解】解:设小明最多能买钢笔支,则小明买笔记本本,
故,
解得.
因为钢笔的支数应为整数,故小明最多能买钢笔 13 支.
故选:D.
8.C
【分析】本题考查不等关系表示实际生活中的情境,涉及不等式性质,根据题意,数形结合得到不等式,再由不等式性质化简求解即可得到答案,将实际生活情境转化为不等式表示是解决问题的关键.
【详解】解:如图所示:
,
解得,
故选:C.
9.
【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数的取值范围,由不等式组无解可知两个不等式的解集无公共部分,即可得,理解不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分是解题的关键.
【详解】解:∵不等式组无解,
∴,
故答案为:.
10.
【分析】本题考查用不等式表示实际问题,读懂题意是解决问题的关键.
根据题意,将其转化为数学式子表示即可得到答案.
【详解】解:∵某日我市的最高气温是,最低气温是,
∴当日气温的变化范围是,
故答案为:.
11.
【分析】本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示解集.解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用.
解不等式组 得 ,由数轴可知,原不等式组的解集为,则,计算求解即可.
【详解】解:解不等式组 得
由数轴可知,原不等式组的解集为,
∴,
解得.
故答案为:.
12.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组,理解题意是解题的关键.设A、B两地相距x千米,根据到B地时已过12时,但不到12时10分,列一元一次不等式组即可.
【详解】解:根据题意,得,
故答案为:.
13.
【分析】本题考查根据不等式组和一元一次方程,根据不等式组的解集的情况求出的取值范围,再根据方程的解的情况,求出符合条件的整数a,求和即可.
【详解】解:解,得:,
∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解,
∴,整数解为:,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵关于y的一元一次方程的解为非正整数,
∴为非正整数,
∵,
∴,
∴;
故答案为:.
14.
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数,先求出不等式组中两个不等式的解集,再根据不等式组恰有3个整数解求解即可.
【详解】解:
解不等式①得:;
解不等式②得:;
∴不等式组的解集为,
∵原不等式组恰有3个整数解,
∴这3个整数解是3,4,5,
∴,
解得:;
故答案为:.
15.
【分析】本题考查一元一次不等式的应用,关键是理解导火索燃尽时人撤离的距离要大于等于70米.设这次爆破的导火索需要x米才能确保安全,安全距离是70米(人员要撤到70米以外),根据人员速度是7米/秒,导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒,列不等式求解即可.
【详解】设这次爆破的导火索为x米才能确保安全.根据安全距离是70米(人员要撤到70米及以外的地方),可列不等式:
解得:
故答案为:
16. 13 11
【分析】设宿舍有间,根据学生人数不变列出不等式组,求解不等式组得到的取值范围,进而确定的最值.本题主要考查了一元一次不等式组的应用,熟练掌握根据不等关系列出不等式组并求解是解题的关键.
【详解】解:设宿舍有间,
∵每间住人,还有人无宿舍住,
∴学生有人.
∵每间住人时,有间住满人,最后一间不空也不满,
∴ .
解,得 .
解,得 .
∴,
∵为整数,
∴,, .
∴宿舍最多有间,最少有间 ,
故答案为:13,11.
17.,见解析
【分析】本题考查了解不等式组,在数轴上表示不等式组的解集.
先求出不等式组的解集,再在数轴上表示即可.
【详解】解:
解:由①得:
由②得:
两个不等式的解集在数轴上表示为:
∴此不等式组的解集为
18.(1)A,B两款奶茶的销售单价分别为8元,12元
(2)B款奶茶最多能买20杯
【分析】(1)根据两周不同的销售数量和销售收入,设出、两款奶茶的销售单价,利用“销售收入 = 销售数量×销售单价”的关系列出二元一次方程组,求解得到单价.
(2)设出购买款奶茶的杯数,进而表示出购买款奶茶的杯数,再依据“总金额 = 款奶茶金额 + 款奶茶金额”以及金额限制列出一元一次不等式,求解得出款奶茶最多购买杯数.
本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用,熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程组、根据不等关系列不等式是解题的关键.
【详解】(1)解∶设,两款奶茶的销售单价分别为元,元,
依题意,得
解得,
∴,两款奶茶的销售单价分别为元,元;
(2)解:设购买款奶茶杯,则购买款奶茶杯.
依题意,得,
解得,
∴款奶茶最多能买杯;
19.任务一:①不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,②二去括号时,括号前面是“”,去掉括号后括号内的第二项没有变号;任务二:不等式的解集为;任务三:(答案不唯一,合理即可)不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的步骤及易错点,熟练掌握不等式的基本性质、去括号、移项等解不等式的操作要点,以及准确辨析错误步骤是解题关键,核心知识点涵盖不等式基本性质、解不等式的流程与易错点分析.
任务一
①思考解不等式去分母步骤的依据,即不等式的基本性质,确定第一步依据.
②逐步检查解不等式过程,找出开始出错的步骤,分析去括号时符号错误原因.
任务二:按照正确的解不等式步骤,重新求解,得出正确解集.
任务三:结合解不等式的常见易错点,提出一条合理建议.
【详解】任务一:
①第一步去分母依据是不等式的基本性质2(不等式两边同时乘同一个正数,不等号方向不变 ),因为给不等式两边同时乘(和的最小公倍数 ),不等号方向不变.
②第二步开始出现错误,原因是去括号时,展开应为,小颖同学错误得到,即去括号时没有正确变号(括号前是负号,括号内各项要变号 ) .
任务二:
重新解不等式
去分母,得
去括号,得
移项,得
合并同类项,得
系数化为,得
故该不等式的正确解集为 .
任务三:
建议:不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变.
20.(1)温馨提示牌的单价是48元,垃圾箱的单价是144元
(2)方案见解析,最少是8352元
【分析】本题考查了二元一次方程和一元一次不等式组的应用,解题的关键是理解题意,正确找出等量关系;
(1)设温馨提示牌的单价为a元,则垃圾箱的单价为b元,根据题意列方程即可求解;
(2)设购买垃圾箱x个,则购买温馨提示牌个,根据题意列出不等式组,求出整数解即可.
【详解】(1)解:设温馨提示牌的单价是元,垃圾箱的单价是元,
根据题意,得,
解得,
答:温馨提示牌的单价是48元,垃圾箱的单价是144元.
(2)设购买垃圾箱x个,则购买温馨提示牌个,根据题意,得
,
解得,
为正整数,
,44,45,
当时,(个),所需资金为(元),
当时,(个),所需资金为(元),
当时,(个),所需资金为(元),
,
共有三种购买方案,分别是购买垃圾箱43个、温馨提示牌45个,购买垃圾箱44个、温馨提示牌44个,购买垃圾箱45个、温馨提示牌43个,其中购买垃圾箱43个、温馨提示牌45个所需资金最少,最少是8352元.
21.(1)石榴花每朵5元,玫瑰花每朵8元
(2)李阿姨最多能选25朵玫瑰
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用,一元一次不等式的应用;
(1)设石榴花每朵元,玫瑰花每朵元,根据16朵玫瑰花和15朵石榴花,共支付203元,再建立方程求解即可;
(2)设玫瑰花朵,石榴花朵,根据两种花的数量为45朵,且总费用不得高于300元,再建立不等式求解即可.
【详解】(1)解:设石榴花每朵元,玫瑰花每朵元,
根据题意得:,
解得:,
∴,
答:石榴花每朵5元,玫瑰花每朵8元;
(2)解:设玫瑰花朵,石榴花朵,
根据题意得,解得,
∴最大值为25,
答:李阿姨最多能选25朵玫瑰.
22.(1)②
(2)
(3)存在,
【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程,理解并掌握“伴随方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的方法是解题的关键.
(1)分别求解方程和不等式组,根据“伴随方程”定义判断;
(2)先解不等式组,再结合“伴随方程”解的整数性确定方程的解,进而求;
(3)①先解方程,②再解不等式组,根据“伴随方程”定义判断判断求值即可;
【详解】(1)①,解得;
②,化简得,,解得;
③,,解得 .
解不等式组:
解,得;
解,得 .
所以不等式组解集为 .
判断“伴随方程”:只有方程②的解在内,
故答案为② .
(2)解不等式组:
解,得;
解,得 .
所以不等式组解集为 .
因为“伴随方程”的解是整数,且在内,
所以 .
把代入,得,
解得 .
(3)①解,得
,
;
解,得
,
.
②解不等式组:
由,得
;
由,得
.
所以不等式组解集为 .
因为两个方程都是“伴随方程”,
所以
由得:
,
所以,整数解为
由得:
,
所以,整数解为,2,3,4,5,
所以 .
当时,,,都在内,符合条件.
答案第1页,共2页
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