第十一章 不等式与不等式组 期末专项练习（含解析）2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十一章 不等式与不等式组 期末专项练习2024-2025学年人教版数学七年级下册
一、单选题
1．不等式的正整数解有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．“与7的差的一半是正数”，用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在数轴上表示了某个不等式的解集，这个不等式可能是（ ）
A． B． C． D．
5．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的付款．现有一顾客需购买4只茶壶．只（不少于4只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
6．已知某网店的一款电子手表的进价为每个400元，售价为每个560元，五一假期间，该网店做打折促销活动，若要保证一个电子手表的利润不低于48元，则最低打（ ）
A．九折 B．八折 C．八五折 D．九五折
7．班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件．已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，则小明最多能买钢笔（ ）
A．50支 B．20支 C．14支 D．13支
8．如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若不等式组无解，则的取值范围是 ．
10．某日我市的最高气温是，最低气温是，则当日气温t（单位：）的变化范围是 ．
11．若关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，求a的取值范围是 ．
12．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ．
13．已知关于x的不等式组有且仅有3个整数解，关于y的一元一次方程的解为非正整数，则符合条件的整数a的和为
14．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
15．爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米以外），下面是已知的一些数据，人员速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，为确保安全，这次爆破的导火索至少为 米．
16．某校701班和702班两班若干名学生在学校组织下到独秀山公园参观，分住在若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍最多有 间，宿舍最少有 间．
三、解答题
17．解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．小明同学在某奶茶店进行社会实践活动时发现，该奶茶店畅销的A、B两款奶茶，每杯成本分别为5元、8元，近两周的销售情况如表所示：
销售时段 销售数量 销售收入
A款 B款
第一周 300杯 500杯 8400元
第二周 400杯 600杯 10400元
（成本、售价均保持不变，利润=销售收入成本）
(1)求A、B两款奶茶的销售单价；
(2)小明过生日想请全班50名同学喝奶茶，他准备用不多于480元的金额购买A、B两款奶茶共50杯，B款奶茶最多能买多少杯？
19．下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得…第一步
去括号，得…第二步
移项，得…第三步
合并同类项，得…第四步
系数化为1，得…第五步
任务：
任务一：填空：
①上述解题过程中，第一步的依据是________________________；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集；
任务三：除了任务一中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
20．今年贵港市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱．若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需720元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放43个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共88个，且费用不超过8600元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
21．近两年，“今生簪花，来世漂亮”一句话可谓火遍全网．簪花其实是中国古代佩戴头饰的一种，也称戴花，簪戴，通常是由筷子状的象牙簪固定在螺旋状的发髻上，再由鲜花或其他材料制成的花朵缠绕起来．簪花文化距今已有两至三千年的历史，是国家非物质文化遗产之一．李阿姨去簪花店去簪花，它挑选了颜色鲜艳的16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格便宜3元．
(1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？
(2)李阿姨发现簪花时如果花朵再多一些，整个头型更好看些，所以计划下次来簪花时，两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元．请你帮李阿姨算一算，最多能选多少朵玫瑰？
22．若一元一次方程的解在某个一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“伴随方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的“伴随方程”．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“伴随方程”是___________；（填序号）
(2)若不等式组的一个“伴随方程”的解是整数，且这个“伴随方程”是，求常数的值；
(3)①解两个方程（用含的式子表示）：和；
②是否存在整数，使得这两个方程都是不等式组的“伴随方程”？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第十一章 不等式与不等式组 期末专项练习2024-2025学年人教版数学七年级下册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A C B D C
1．B
【分析】本题考查了一元一次不等式的正整数解，先求出不等式的解集，再根据解集确定不等式的正整数解的个数即可，正确求出不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得
∴不等式的正整数解为和，共个，
故选：．
2．B
【分析】根据题意，“x与7的差的一半是正数”需转化为不等式，首先，“x与7的差”表示为，再取其“一半”即整体除以2，得到，最后，“是正数”对应“”，因此不等式为．
本题考查了不等式的应用，熟练掌握列不等式是解题的关键．
【详解】解： A：，表示“x减去7的一半是正数”，不符合题意．
B：，完全符合推导结果．
C：，包含等于0的情况，但题目要求“正数”（严格大于0）．
D：，表示“x的一半减7是非负数”，顺序错误且符号不符．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，解出不等式，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可求解．
【详解】解：求解不等式得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，用数轴表示解集，由数轴得出不等式解集，据此可判断各选项是否符合此解集，从而得出答案．
【详解】解：由数轴可得不等式的解集为，
A、由可得，故A符合题意；
B、由可得，故B不符合题意；
C、由可得，故C不符合题意；
D、由可得，故D不符合题意，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查列代数式和代数式求值，解题关键是理清两种优惠办法，难度不大．
根据题干中两种优惠办法列出它们的花费，然后得出不等式求解即可．
【详解】设购买茶杯只，则两种优惠方法应付的钱分别为：
（1）种方法：，
（2）种方法：，
∵使方法（2）比方法（1）更省钱，
∴，
解得：
∴至少为35，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设电子手表打折，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键．
【详解】解：设电子手表打折，
，
解得：，
∴电子手表最低打八折，
故选：B．
7．D
【分析】此题是一元一次不等式在实际生活中的运用，解答此题的关键是熟知不等式的性质，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．熟练运用基础知识是做题的关键．
先设小明最多能买钢笔支，则小明买笔记本本，再根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：设小明最多能买钢笔支，则小明买笔记本本，
故，
解得．
因为钢笔的支数应为整数，故小明最多能买钢笔 13 支．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查不等关系表示实际生活中的情境，涉及不等式性质，根据题意，数形结合得到不等式，再由不等式性质化简求解即可得到答案，将实际生活情境转化为不等式表示是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
解得，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，由不等式组无解可知两个不等式的解集无公共部分，即可得，理解不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分是解题的关键．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查用不等式表示实际问题，读懂题意是解决问题的关键．
根据题意，将其转化为数学式子表示即可得到答案．
【详解】解：∵某日我市的最高气温是，最低气温是，
∴当日气温的变化范围是，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用．
解不等式组 得 ，由数轴可知，原不等式组的解集为，则，计算求解即可．
【详解】解：解不等式组 得
由数轴可知，原不等式组的解集为，
∴，
解得.
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查根据不等式组和一元一次方程，根据不等式组的解集的情况求出的取值范围，再根据方程的解的情况，求出符合条件的整数a，求和即可．
【详解】解：解，得：，
∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解，
∴，整数解为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵关于y的一元一次方程的解为非正整数，
∴为非正整数，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组恰有3个整数解求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴不等式组的解集为，
∵原不等式组恰有3个整数解，
∴这3个整数解是3，4，5，
∴，
解得：；
故答案为：．
15．
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是理解导火索燃尽时人撤离的距离要大于等于70米．设这次爆破的导火索需要x米才能确保安全，安全距离是70米（人员要撤到70米以外），根据人员速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，列不等式求解即可．
【详解】设这次爆破的导火索为x米才能确保安全．根据安全距离是70米（人员要撤到70米及以外的地方），可列不等式：
解得：
故答案为：
16． 13 11
【分析】设宿舍有间，根据学生人数不变列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围，进而确定的最值．本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据不等关系列出不等式组并求解是解题的关键．
【详解】解：设宿舍有间，
∵每间住人，还有人无宿舍住，
∴学生有人．
∵每间住人时，有间住满人，最后一间不空也不满，
∴ ．
解，得 ．
解，得 ．
∴，
∵为整数，
∴，， ．
∴宿舍最多有间，最少有间 ，
故答案为：13，11．
17．，见解析
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集.
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可.
【详解】解：
解：由①得：
由②得：
两个不等式的解集在数轴上表示为：

∴此不等式组的解集为
18．(1)A，B两款奶茶的销售单价分别为8元，12元
(2)B款奶茶最多能买20杯
【分析】（1）根据两周不同的销售数量和销售收入，设出、两款奶茶的销售单价，利用“销售收入 = 销售数量×销售单价”的关系列出二元一次方程组，求解得到单价．
（2）设出购买款奶茶的杯数，进而表示出购买款奶茶的杯数，再依据“总金额 = 款奶茶金额 + 款奶茶金额”以及金额限制列出一元一次不等式，求解得出款奶茶最多购买杯数．
本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程组、根据不等关系列不等式是解题的关键．
【详解】（1）解∶设，两款奶茶的销售单价分别为元，元，
依题意，得
解得，
∴，两款奶茶的销售单价分别为元，元；
（2）解：设购买款奶茶杯，则购买款奶茶杯．
依题意，得，
解得，
∴款奶茶最多能买杯；
19．任务一：①不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，②二去括号时，括号前面是“”，去掉括号后括号内的第二项没有变号；任务二：不等式的解集为；任务三：(答案不唯一，合理即可)不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的步骤及易错点，熟练掌握不等式的基本性质、去括号、移项等解不等式的操作要点，以及准确辨析错误步骤是解题关键，核心知识点涵盖不等式基本性质、解不等式的流程与易错点分析．
任务一
①思考解不等式去分母步骤的依据，即不等式的基本性质，确定第一步依据．
②逐步检查解不等式过程，找出开始出错的步骤，分析去括号时符号错误原因．
任务二：按照正确的解不等式步骤，重新求解，得出正确解集．
任务三：结合解不等式的常见易错点，提出一条合理建议．
【详解】任务一：
①第一步去分母依据是不等式的基本性质2（不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变 ），因为给不等式两边同时乘（和的最小公倍数 ），不等号方向不变．
②第二步开始出现错误，原因是去括号时，展开应为，小颖同学错误得到，即去括号时没有正确变号（括号前是负号，括号内各项要变号 ） ．
任务二：
重新解不等式
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为，得
故该不等式的正确解集为 ．
任务三：
建议：不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
20．(1)温馨提示牌的单价是48元，垃圾箱的单价是144元
(2)方案见解析，最少是8352元
【分析】本题考查了二元一次方程和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系；
（1）设温馨提示牌的单价为a元，则垃圾箱的单价为b元，根据题意列方程即可求解；
（2）设购买垃圾箱x个，则购买温馨提示牌个，根据题意列出不等式组，求出整数解即可．
【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是元，垃圾箱的单价是元，
根据题意，得，
解得，
答：温馨提示牌的单价是48元，垃圾箱的单价是144元．
（2）设购买垃圾箱x个，则购买温馨提示牌个，根据题意，得
，
解得，
为正整数，
，44，45，
当时，（个），所需资金为（元），
当时，（个），所需资金为（元），
当时，（个），所需资金为（元），
，
共有三种购买方案，分别是购买垃圾箱43个、温馨提示牌45个，购买垃圾箱44个、温馨提示牌44个，购买垃圾箱45个、温馨提示牌43个，其中购买垃圾箱43个、温馨提示牌45个所需资金最少，最少是8352元．
21．(1)石榴花每朵5元，玫瑰花每朵8元
(2)李阿姨最多能选25朵玫瑰
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，根据16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，再建立方程求解即可；
（2）设玫瑰花朵，石榴花朵，根据两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元，再建立不等式求解即可.
【详解】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，
根据题意得：，
解得：，
∴，
答：石榴花每朵5元，玫瑰花每朵8元；
（2）解：设玫瑰花朵，石榴花朵，
根据题意得，解得，
∴最大值为25，
答：李阿姨最多能选25朵玫瑰．
22．(1)②
(2)
(3)存在，
【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，理解并掌握“伴随方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的方法是解题的关键．
（1）分别求解方程和不等式组，根据“伴随方程”定义判断；
（2）先解不等式组，再结合“伴随方程”解的整数性确定方程的解，进而求；
（3）①先解方程，②再解不等式组，根据“伴随方程”定义判断判断求值即可；
【详解】（1）①，解得；
②，化简得，，解得；
③，，解得 ．
解不等式组：
解，得；
解，得 ．
所以不等式组解集为 ．
判断“伴随方程”：只有方程②的解在内，
故答案为② ．
（2）解不等式组：
解，得；
解，得 ．
所以不等式组解集为 ．
因为“伴随方程”的解是整数，且在内，
所以 ．
把代入，得，
解得 ．
（3）①解，得
，
；
解，得
，
．
②解不等式组：
由，得
；
由，得
．
所以不等式组解集为 ．
因为两个方程都是“伴随方程”，
所以
由得：
，
所以，整数解为
由得：
，
所以，整数解为，2，3，4，5，
所以 ．
当时，，，都在内，符合条件．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页