课件19张PPT。2.1 三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第1课时 三角形的有关概念及三边关系1.了解三角形的有关概念，会按边对三角形分类;
2.掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步
运用;（重点、难点）
3.通过操作、观察、归纳等过程初步体会分类思想，感受数
学的美，逐步养成良好的数学思维习惯.学习目标 观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能举出一些实例吗？ 导入新课观察与思考不在同一直线上首尾相接 __________________的三条线段__________所组成的图形叫做三角形. 关键词：不在同一直线上、首尾相接1.三角形的定义讲授新课下列图形符合三角形的定义吗？不符合不符合不符合←顶点边2.三角形的顶点，边，内角及其表示法三角形可用符号______来表示.图中的三角形ABC
可记作________. ↑
顶点 ↑
顶点其中，点A，B，C 叫作△ABC的_______;
∠A，∠B，∠C叫作△ABC的________（简称△ABC的_____）；
线段AB，BC，CA叫作△ABC的________;△△ABC顶点内角角边角角角边边（1）∠A的对边是____，用小写字母___表示，
∠B的对边是____，用小写字母___表示，
∠C的对边是____，用小写字母___表示.a3.三角形的角的对边及边的对角（2）BC边的对角是________，
AC边的对角是________，
AB边的对角是________.BCaACbbABcc∠A∠B∠C例1 如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来.解： 有五个三角形.它们分别是
△ABC、△ABO、△BCD、△BCO、△DCO. 在△DBC 中，写出∠D 的对边，BD 边的对角. ∠D的对边是BC，
BD边的对角是∠BCD.典例精析底边底角底角1.______________的三角形叫作等腰三角形.有两条边相等如图△ABC中，AB =AC，则△ABC是______三角形.等腰2.___________的三角形叫作等边(正)三角形.三边都相等如图△ABC中，AB =AC=BC，则△ABC是______三角形.等边思考交流：
等腰三角形与
等边三角形有何关系？等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.三边都不相等的三角形等腰三角形 于是我们可以把三角形按照三边情况进行分类腰和底不相等的等腰三角形 等边三角形
（腰和底相等的等腰三角形）我要到学校可以怎么走呀？哪一条路最近呀？邮局学校商店小影家小影ABC路线1：从A到C再到B路线走；
路线2：沿线段AB走.请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出你的根据吗？解：路线2较短. 根据“两点之间线段最短”.由此，你能得出什么结论？三角形的任意两边之和大于第三边.ABC还能得出其他的三边关系吗？于是我们得出结论只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形.总结归纳例2 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小.解：在△BDC 中，有 BD+DC >BC（三角形的
任意两边之和大于第三边）.又因为 AD = BD，则BD+DC = AD+DC = AC，所以 AC >BC.典例精析例3 已知等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长.解 若底边长为4cm，设腰长为x cm，
则 2x+4=18，解得x=7.
若腰长为4cm，设底边长为x cm，
则 2×4+x=18，解得x=10.
因为4+4<10，所以4cm为腰不能构成三角形.
所以三角形另外两个边长都是7cm底边？腰？方法归纳：已知等腰三角形一边长时，通常要分两种情况讨论：已知边是腰或已知边为底.当堂练习1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1） 3，4，8 （ ）
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，5，8 （ ）不能能能不能4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________.3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成________个三角形.322cm18cm或21cm三角形的有关概念及三边关系三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形.三角形按边分类不等边三角形等腰三角形（包括等边三角形）三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边.课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。2.1 三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第2课时 三角形的高、中线和角平分线1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具
准确画出三角形的高、角平分线与中线;（重点）
2. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主
探究意识，并培养学生的动手实践能力.（难点）学习目标导入新课观察与思考 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？ 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是△ABC的BC边上的高.讲授新课还有其他的高吗？如图，试画出图中△ABC的BC边上的高.D做一做 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.角平分线也有三条！ 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线. 任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？EFD做一做EFD 三角形的三条中线相交于一点. 我们把这个交点叫作三角形的重心. 如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的重心.G通过作图，还可以发现三角形的高、角平分线也分别交于一点.例1 如图，AD是△ABC的中线， AE是△ABC的高.
（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来;解: （1）图中有6个三角形，它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC;典例精析（2）其中哪些三角形的面积相等？解: 因为AD是△ABC的中线，所以 BD=DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD = S△ADC .又S△ABD = BD?AE，S△ADC = DC?AE， 总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分线( )②BE是△ABD边AD上的中线( )③BE是△ABC边AC上的中线( )④CH是△ACD边AD上的高( )×××√ 例2 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长.ACDB解: 因为AD是△ABC的中线，
所以CD=BD.
因为△ABC的周长为35cm，BC=11cm，所以AC+AB=35-11=24（cm）.
又因为△ABD与△ACD的周长差为3cm,
所以AB-AC=3cm，
所以AB=13.5cm,AC=10.5cm.当堂练习D2.如图，AD为△ABC的角平分线，
DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝58°，
则∠ADE＝______.29°3. 如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，
BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：ADC90AEABEBFDBE三角形中几条重要线段角平分线：平分内角且与三角形对边相交的线段.中线：三角形的顶点与对边中点的连线.高：三角形的顶点向对边所作的垂线段.课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件19张PPT。2.1 三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第3课时 三角形内角和与外角1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°;
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;（重点、
难点）
3.了解三角形的外角及性质.学习目标 将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？ 导入新课 折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角. 可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处拼接成一个角. 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观察与思考因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 如图，将△ABC的边BC所在的直线
平移，使其经过点A，得到直线B'C' .所以 B'C'∥BC.则 ，所以∠B+∠BAC+∠C=180°.又讲授新课 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.由此得到： 三角形的内角和等于180°.你还能想出其它的方法推出这个结论吗？多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.解得 x ＝ 33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.典例精析例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.解: 由∠BAC=40 °，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD= ∠BAC=20 °.在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°. 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角. 三角形中， 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形， 有一个角是直角的三角形叫直角三角形， 有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形，如图.锐角三角形直角三角形钝角三角形 直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中，夹直角的两边
叫作直角边，直角的对边叫作斜边. 两条直角边相等的直角三角形叫
作等腰直角三角形.ABC如图，AB、BC为直角边，AC为斜边， 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角. 对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角. 在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？ 我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.因为∠ACD+∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，所以∠ACD -∠A -∠B = 0（等量减等量，差相等）于是∠ACD =∠A +∠B. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.由此得到：如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.解：因为∠B+∠C=∠CAD，
所以∠C=∠CAD-∠B，
所以∠C=100°-30°=70°. 例3 如图在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解： ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°.∵ ∠DAC+∠C=∠ADB，∴ ∠DAC=90°－∠C =90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.ABCDE∴∠CAE= ∠BAC=41°，典例精析1.已知△ABC中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝______.
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
4.如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分
类应为______________.80°20°50°直角三角形当堂练习5.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°，
∠C= 76°，则∠DAC的度数为________.34°课堂小结三角形三角形内角和定理三角形外角的性质锐角三角形直角三角形钝角三角形见《学练优》本课时练习课后作业课件18张PPT。2.2 命题与证明第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第1课时 定义与命题1.了解定义与命题的概念；
2.掌握命题的条件及结论，会用“如果……，那么……”的形
式表示命题；（重点）
3.理解命题与逆命题的关系．（重点、难点）学习目标前面我们学习了许多的概念，例如： 一元一次方程，代数式，因式分解，轴对称图形等.三角形 三角形的外角D还有很多，大家回顾一下这些概念.导入新课 不在同一直线上的三条线段首尾相接构成的图形. 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角.回顾与思考讲授新课 对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义. 例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义. “同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.说出下列概念的定义：
(1)方程； (2)代数式; (3)三角形角平分线在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.注意：
定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征.我们把含有未知数的等式叫做方程.把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式. 在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断. 数学中同样有许多问题需要我们作出判断.问题1 下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？（1）三角形的内角和等于180°；
（2）如果|a| = 3，那么a = 3；
（3）1月份有31天；
（4）作一条线段等于已知线段；
（5）一个锐角与一个钝角互补吗？
（6）请把手机交出来！问题引导 例如，上述语句(1)(2)(3)都是命题；语句(4)(5)(6)没有对事情作出判断，就不是命题. 一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题. 命题是一个陈述句，就是判断一件事情的句子.
而祈使句、疑问句，感叹句均不是命题.
如：今天会下雨吗？
而定义仅对事物的特征属性进行描述，是什么叫什么.命题与定义有什么区别？总结归纳（1）如果a = b且b = c，那么a = c；（3）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.它们的表述形式都是
“如果……，那么……”.（2）如果两个数互为相反数，那么它们的和是0.问题2 下列命题的表述形式有什么共同点？有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果” “那么”. 如：“对顶角相等”； “同角的余角相等”. 命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论. 例如，对于上述命题（3），“两个角的和等于90°”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？（1）如果x=3，求 的值；不是命题是命题不是命题是命题 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：那么这个数是偶数如果一个数能被2整除那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等如果两条直线平行那么这两条直线平行如果两个同位角相等 上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行. 命题③与④的条件与结论互换了位置. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题. 例如，上述命题③与④就是互逆命题. 从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.你还能举出其它的例子吗？ 写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形.绝对值相等的两个数相等；如果m是有理数，那么它也是整数；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的两边相等.当堂练习1.在下列空格上填写适当的概念：(1) 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 .
(2) 在数轴上，表示一个实数的点与原点的距离叫作这个实
数的 .垂直平分线绝对值2.指出下列语句中，哪些是命题？哪些不是？
(1)直线a⊥b;
(2)同位角都相等吗？
(3)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；
(4)“0”不能做分母；
(5)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.×√×√√3. 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点；（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除；（3）互为相反数的两个数之和等于0；如果两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0；（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角.课堂小结命题命题的形式如果……，那么……→结论条件↑↑原命题→表示：如果A，那么B逆命题→↑↓表示：如果B，那么A定义(含“是”“就是”“叫作”“称为”等概括性词)→见《学练优》本课时练习课后作业课件19张PPT。2.2 命题与证明第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第2课时 真命题、假命题与定理1.会判断一个命题的真假;（重点）
2.理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念；（重点、难点）
3.会用基本事实取判定其他命题的真假.（难点）学习目标导入新课问题1 下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；（3）正方形的四条边都相等.解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角；（2）条件：a＞b，b＞c，结论：a=c；（3）条件：若一个四边形是正方形，结论：它的四条
边都相等.问题2 上述命题哪些是正确的，哪些是不正确的？你是怎么
知道它是不是正确的？与同伴交流.回顾与思考 下列命题中，哪些正确，哪些错误？（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数;（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误错误错误正确讲授新课你能说说你是怎么判断的吗？ 我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题. 命题①：同位角相等是在两直线平行的前提下才有，所以它是错的；命题②：相等的角并不一定是对顶角；命题③和命题④均正确.1.下列四个命题中是真命题的有（ ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形有一个角等于90°；④三个内角相等的三角形是等边三角形.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个C2.判断下列命题为真命题的依据是什么？（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形. 分别是根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出 的判断. 要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.那么怎样判断一个命题是假命题呢？命题有真有假正确的命题叫做真命题错误的命题叫做假命题命题的类型 要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题. 例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题. 我们通常把这种方法称为“举反例”.例 举反例说明下列命题是假命题.典例精析（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若ab=0，则a+b=0.解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件，但
不满足结论.解：（1）如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是
对顶角,但它们相等；（2）如：当a=5，b=0时，ab=0，但a+b≠0. 古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年）对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.本书中，我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等. 人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假. 例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明了一些有关平行线的结论.基本事实
同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫作定理. 例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”. 定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论. 例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”. 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命题. 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理. 我们前面学过的定理中就有互逆的定理. 例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你
的理由.（1）绝对值最小的数是0；真命题（2）相等的角是同位角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.假命题假命题真命题当堂练习（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.两条相交的直线a、b被第三条直线l所截（如图），它们的同位角不相等.-1和-3的积是-1×(-3)>0，-1和-3不是正数；2. 举反例说明下列命题是假命题：（1）两个锐角的和是钝角；（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；直角三角形的两个锐角和不是钝角；abl3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都
是真命题.解：两直线平行，内错角相等.
内错角相等，两直线平行.课堂小结定理逆定理举反例基本事实少数假命题真命题推论证明↓→命题见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。2.2 命题与证明第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第3课时 命题的证明1.了解证明的基本步骤和书写格式;（重点）
2.掌握反证法证明的基本步骤和格式；（难点）
3.掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的运用.学习目标导入新课观察与思考问题：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？123实质就是求这个三角形的外角和.讲授新课 从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得到360°. 另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°. 此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题. 要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明. 数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立. 证明的每一步都必须要有根据. 证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题. 在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行： 已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明：如图，∵ ∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程总结归纳例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA
的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）典例精析例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 解析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个” “有两个” “有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°. 像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法. 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.总结归纳当堂练习1. 在括号内填上理由.已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥BC（ ）.
∴ ∠C+∠D= 180°
（ ）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明： ∵ ∠1=∠2，∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
（三角形内角和等于180°），课堂小结命题的证明直接证明反证法反设结论推理导出矛盾（画图）写出已知、求证写出证明过程证得结论见《学练优》本课时练习课后作业课件20张PPT。2.3 等腰三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第1课时 等腰（边）三角形的性质1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质；（重点）
2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明和计算.
（重点、难点）学习目标导入新课观察与思考观察下列图片，它们有什么共同的特征？等腰三角形 任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图. 作△ABC 关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12讲授新课活动探究
射线AB的像是射线AC，
射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC，
线段AC的像是线段 ；
点B的像是点C，
点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰△ABC关于直线 对称.ABABBAD由于点D的像是点D，
因此线段DB的像是线段 ，
从而AD是底边BC上的 .
由于射线DB的像是射线DC，
射线DA的像是射线 ，
因此∠BDA ∠CDA= °，
从而AD是底边BC上的 .
由于射线BA的像是射线CA，
射线BC的像是射线 ，
因此∠B ∠C.DC中线DA=90高CB=由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对等角”). 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).总结归纳 根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.
在△ABC中， 当AB=AC时， (1) ∵AD是高，
∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.122BDCDADBCBD1BCADCD 如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC
上，且AD=AE.求证：BD=CE.证明 ： 作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴ BF=CF，∴ BF-DF=CF-EF，DF=EF，即 BD=CE.典例精析例2 已知：如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°，
点D,E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.
求∠DAE的度数.CED BA解 ： ∵AB=AC,（已知）
∴∠B=∠C，（等边对等角）
∴∠B=∠C= ×（180°－120°）=30°.
又∵BD=AD,（已知）
∴∠BAD=∠B=30°.（等边对等角）
同理，∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
=120°-30°-30°
=60°.因为△ABC是等边三角形，
所以AB=BC=AC，
从而∠C=∠A=∠B.
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C=60°. 如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C 的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.总结归纳 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.思考：等边三角形有几条对称轴，你能画出来吗？ 如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.121.填空：
（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是_____；
（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的
顶角的度数是_________ ；
（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这
个三角形的最小内角等于____________ .当堂练习20°或50°100°45°结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度数及DC的长.解：∵AB=AC,AD为BC边上的高，
∴∠B=∠C,BD=CD,∠BAD=∠CAD.
∵∠BAC=49°，BC=4，
∴∠BAD=24.5°，
DC=2.3. 如图，点P为等边△ABC的边BC上一点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数.解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°.
∵AD=AP,
∴∠APD=∠ADP=80°，
∴∠DPC =∠ADP-∠C=20°.等边对等角轴对称性质等腰三角形的性质定理底边上的高、中线、顶角平分线合为一条课堂小结三线合一等边三角形的性质见《学练优》本课时练习课后作业课件18张PPT。2.3 等腰三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第2课时 等腰（边）三角形的判定1.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；（重点）
2.进一步理解、体会推理论证的方法；
3.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用.（重点、
难点）学习目标 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA导入新课观察与思考讲授新课 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得
∠ADB=∠ADC.活动探究 沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 于是我们得到等腰三角形的判定定理：应用格式： ∴AB=AC(等角对等边) ACB总结归纳例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是
AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.证明 ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C.又∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴ ∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形.典例精析三个角都是60°的三角形是等边三角形. 根据“等角对等边”可以得出这个三角形的三边相等. 如果一个三角形的三个角都是60°，那么它会是怎样的三角形？于是我们得到：问题 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
为什么？如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得
∠A+∠B+∠C= 180°.如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C= 180°-60°=120°.又 AB=AC，∴ ∠B=∠C.∴ ∠B=∠C=∠A=60°.∴ △ABC是等边三角形.问题引入由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.总结归纳应用格式： ∴AB=AC=BC.ABC例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E
分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.证明: ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.∵∠EAD=∠BAC= 60°，又 AD =AE，∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.典例精析当堂练习72°36°③如果AD=4cm，则1.已知:如图,∠A=36°,∠DBC=36°，∠C=72°,①∠1= , ∠2= ；②图中有 个等腰三角形；BC= cm；72°36°3452. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.∴ ∠ABD =∠DBC= ，
∠ACE =∠ECB= .∴ ∠DBC =∠ECB，∴ △OBC是等腰三角形.又∵ △ABC是等腰三角形，∴ ∠ABC =∠ACB，3. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE
交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°.
求证：△ACE是等边三角形.∴ 在△ACE中，∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 °,又∵∠ACE=60°，∴ ∠BCD=∠E=60°，∴ ∠ACD =∠DCB.∴ ∠ACD=∠DCB=60°，又 ∵ AE∥DC，∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60°, ∴ △ACE 是等边三角形.4. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴ ∠FDC=∠ABC=60°，∴ △ABC是等腰三角形，∴ ∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，等腰三角形两边相等三边相等两角相等等边三角形三个角都等于60°(选择其中一种可判定)(选择其中一种可判定)课堂小结一个角等于60°见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。2.4 线段的垂直平分线第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第1课时 线段垂直平分线的性质和判定1.理解线段垂直平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）学习目标导入新课 如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA′有什么关系？我发现观察与思考 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图. 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.●●lAA′D21(A)讲授新课 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.总结归纳 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB. 如图，在线段AB的垂直平分线l 上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？活动探究 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：总结归纳解 ： ∵DE是△ABC边AB的垂直平分线,
∴EB=EA,
∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
=AC+CE+EB
=AC+BC
=4+5
=9.例1 如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长.典例精析问题 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？问题引入记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论（1）当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即 PC⊥AB，且AC=BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.总结归纳例2 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相
交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴ OA=OB.同理OB=OC.∴ OA=OC.∴ 点O在AC的垂直平分线上.当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 种.A无数3.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA
＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.① ② ③4.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC，
AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.证明： ∵ AC =BC，AD=BD，∴ CD为线段AB的垂直平分线.又 ∵AB与CD相交于点O，课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性质内容：到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上判定内容：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等作用：见垂直平分线，得线段相等作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上见《学练优》本课时练习课后作业课件15张PPT。2.4 线段的垂直平分线第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第2课时 作线段的垂直平分线1.学会作线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线；（重点）
2.通过作线段的垂直平分线去解决实际问题.（难点）学习目标导入新课 市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等?ABC观察与思考讲授新课问题 怎样作出线段的垂直平分线？做一做：
在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕L就是线段AB的垂直平分线.
想一想：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？ABA(B)ABLOLCO如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线. 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.下面介绍用尺规作图，作出线段的垂直平分线:作法：①分别以点A，B 为圆心， 以大于 AB 的长为半径画
弧， 两弧相交于点C 和点D；②过点C,D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平
分线.为什么？··ABCDE想一想：如何找线段AB的中点？ 因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点E就是线段AB 的中点， 所以可以用这种方法作出线段的中点.CDE 例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.典例精析问题 如何过一点P作已知直线l的垂线呢？ 由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.问题引导①在直线l 上点P 的两旁分别截
取线段PA， PB，使PA= PB；(1)当点P在直线l上.②分别以A，B 为圆心 以大于 AB
的长为半径画弧， 两弧相交于点C；③过点C， P作直线CP，
则直线CP为所求作的直线.·PABCl这一步的目的是什么？(2) 当点P在直线l外.①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径
画弧， 交直线l于点A，B；②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画
弧， 两弧相交于点C；③过点C,P作直线CP，则直线CP为所
求作的直线.·PABCl第一步的目的是什么？
画弧的半径为什么要
大于P到l的距离？用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.
1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.当堂练习ABP2. 如图，作出△ABC的BC边上的高.ABC方法与步骤线段垂直平分线的作法课堂小结点在直线上过一点作直线的垂线点在直线外应用作图见《学练优》本课时练习课后作业课件19张PPT。2.5 全等三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第1课时 全等三角形及其性质1.了解全等形的概念；
2.理解全等三角形的概念，会确定全等三角形中的对应素；
（重点）
3.掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题.
（难点）学习目标导入新课 如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？（1）（2）观察与思考（1）（2）我发现它们可以完全重合讲授新课 一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一定与原图形全等. 下列同一类的两个图形是怎样由一个图形得到另一个图形的？它们一定全等吗？我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.ABCDEF 如图，将下列三角形分别通过平移、旋转、轴反射后得到的图形能完全重合吗？ 根据平移、旋转和轴反射的性质，可知分别通过上述三个变换后得到的图形都可以完全重合，因此它们是全等图形.能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.总结归纳 把两个全等的三角形重合到一起，互相重合的顶点叫作对应顶点， 互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角. 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.例如，下图中的△ABC和△A'B'C' 全等，其中点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′是对应顶点；记作： △ABC≌△A'B'C' .AB与 A′B′，BC与B′C′，CA与 C′A′是对应边；∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′是对应角.例1 如图，△ABC≌△ CED， ∠B和∠ DEC是对应角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边.ABCED解： ∠ A和∠ DCE是对应角, ∠ D和∠ ACB是对应角;
AC和CD是对应边，AB和CE是对应边.典例精析 请你利用自制的一对全等三角形拼出有公共顶点或公共边或公共角的图形.试用全等符号表示它们，分析每个图形，找准对应边、对应角.1.有公共边寻找对应边、对应角有什么规律?探究归纳1. 有公共边，则公共边为对应边；2. 有公共角（对顶角），则公共角(对顶角)为对应角；3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；
最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.2.有公共点总结归纳 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：应用格式：如图，∵△ABC≌△A'B'C'例2 如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，
DB=4，∠A=60°.（1）写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
（2）求AC，DC的长及∠D的度数.典例精析解：（1）AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角；∴ AC = DB = 4，
DC = AB = 3.（2）∵ △ABC≌△DCB，∠D =∠A = 60°.当堂练习1.能够 的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时，
互相 的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，
通常把表示 顶点的字母写在 的位置上.重合重合重合相对应2.如图△ABC≌△ADE,若∠D=∠B， ∠C= ∠AED，
则∠DAE= ； ∠DAB= .
∠BAC∠EAC 3.如图，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，AF=6，
∠A=20°，∠B=120°.（1）找出它们的所有对应边和对应角；
（2）求△ADF的周长及∠BEC的度数.解：（1）AF与CE，AD与CB，DF与BE是对应边；∠A与∠C，∠AFD与∠CEB，∠D与∠B是对应角. （2）∵△ADF≌△CBE,∴DF=BE=3，∠C=∠A=20°,∴△ADF的周长为4+3+6=13，∠BEC=180°-∠C-∠B=40°.全等三角形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.课堂小结全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等见《学练优》本课时练习课后作业课件21张PPT。2.5 全等三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第2课时 全等三角形的判定(SAS)1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生识图、分析
图形的能力；
2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.（重点、难点）学习目标导入新课 在人工湖的岸边有A、B两点，难以直接量出A、B两点间的距离.你能设计一种量出A、B两点之间距离的方案吗？ 你有想法吗？相信通过这节课的学习，你就会知道啦！观察与思考AB 每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？讲授新课 下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真. 设在△ABC 和 中， ， 我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.ABC（1）△ABC 和 的位置关系如图. 将△ABC作平移，使BC的像 与 重合，△ABC在平移下的像为 . 由于平移不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌ABC所以 与 重合， 因为 ，所以线段A″B″与 重合，因此点 与点 重合， 那么 与 重合， 因此 ， 从而ABC（2）△ABC和 的位置关系如图（顶点B 与顶点
重合）.因为 ，将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等于 ，所以线段BC的像与线段 重合. 因为 ，所以由于旋转不改变图形的形状和大小，又因为 ，所以在上述旋转下，BA的像与 重合，从而AC的像就与 重合，于是△ABC的像就是 因此 △ABC ≌（3）△ABC和 的位置关系如图.根据情形（1），（2）的结论得将△ABC作平移，使顶点B的像 和顶点 重合，因此（4）△ABC 和 的位置关系如图.将△ABC作关于直线BC的轴反射，△ABC在轴反射下的像为 由于轴反射不改变图形的形状和大小，因此 △ABC≌根据情形（3）的结论得 ，因此由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边角边”或“SAS”.在△ABC 和△ A′B′C′中，∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（SAS）． 应用格式：总结归纳例1 如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO. 那么
△ ACO 和△ BDO 全等吗？分析:△ ACO ≌△ BDO.AO=BO(已知)，∠AOC= ∠BOD(对顶角)，CO=DO(已知).？典例精析∴ △ACO≌△BDO（SAS）.方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐藏的条件.如对顶角相等、
公共角（边）相等等.现在，你会解决“情境导入”中的问题吗？我们可以把“人工湖”简化成如下模型.利用△ABC≌△DEC, 可以得到AB=DE. 测得D、E两点间的距离，就是A、B两点间的距离. BACED例2 小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？ 解：能.在△EDH和△FDH中 ，
ED=FD，（已知）
∠EDH=∠FDH，（已知）
DH＝DH，（公共边）∴△EDH≌△FDH（SAS），
∴EH=FH.(全等三角形对应边相等）
1. 如图，将两根钢条AA′和BB′的中点O连在一起，
使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内
槽宽度的工具（卡钳）.只要量出 的长，就得
出工件内槽的宽AB. 这是根据什么道理呢？解:∵AO=A′O,
∠AOB=∠A′OB′，
BO=B′O
∴△ABO≌△A′B′O，∴AB= A′B′.当堂练习2. 如图，AD∥BC，AD=BC. 问：△ADC和△CBA
是全等三角形吗？为什么？ ∵ AD∥BC∴ △ADC≌△CBA. ∴∠DAC=∠BCA. 又 AD=BC， AC=CA，(AC为公共边) 解： 全等.3. 已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点.
求证：BE=CF.证明: ∵AB=AC，且 E，F分别是
AC，AB中点，∴ △ABE≌△ACF， ∴AF=AE. 又 ∵∠A是公共角，∴ BE=CF.课堂小结 边角边
（SAS)内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”；
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 见《学练优》本课时练习课后作业课件16张PPT。2.5 全等三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第3课时 全等三角形的判定(ASA)1.能利用“角边角”判定两个三角形全等；（重点）
2.通过证三角形全等来证明线段相等或角相等.（难点）学习目标导入新课观察与思考 如图，小明不慎把一块三角形的玻璃打碎成两块.试问：小明应该带哪一块碎片到商店去才能配一块与原来一样的三角形玻璃呢？观察上面图形变换，你认为应该带哪块去，猜想下这是为什么？ 如图，在△ABC和 中，如果BC = ，∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与 重合吗？那么△ABC与
全等吗？讲授新课 类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与 重合，因此△ABC ≌总结归纳由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形等.通常可简写成“角边角”或“ASA”. ∠A=∠A′ ，
∵ AB=A′ B′ ，
∠B=∠B′ ，在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.应用格式：例1 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，
AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.证明 ∵ AB∥DC，∴ ∠A=∠C.在△ABE和△CDF中，∴ △ABE≌△CDF （ASA）.典例精析例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE.ABCDE分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.证明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角 ），
AC=AB（已知），
∠C=∠B （已知 ），∴ △ACD≌△ABE（ASA)，∴AD=AE. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由. 不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.议一议易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，
对应角相等，否则不能判定.例3 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和
AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一
根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D
点，使D，E，B恰好在一条直线上. 于是小军
说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？BECD∠A =∠C = 90°，AE = CE，∠AEB =∠CED (对顶角相等)，∴ △AEB≌△CED（ASA）.∴ AB=CD (全等三角形的对应边相等).因此，CD的长就是河的宽度.ABCDEF1.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ，
才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）.∠B=∠E当堂练习2. 已知：如图，△ABC≌ ，CF，
分别是∠ACB和 的平分线.
求证：证明：∵
△ABC≌△A′B′C′， ∠A =∠A′ ,
∠ACB =∠A′C′B′.∴AC=A′C′，∴ CF=C′F′. 又∵CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，∴ ∠ACF=∠A′C′F′.∴ △ACF≌△A′C′F′两角及其夹边分别相等的两个三角形应用：证明角相等，边相等课堂小结三角形全等的“ASA”判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.见《学练优》本课时练习课后作业课件15张PPT。2.5 全等三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第4课时 全等三角形的判定(AAS)1.会用“角角边”判定定理去证明三角形全等；（重点、难点）
2.培养学生在学习的过程中寻找已知条件，并准确运用相关
定理去解决实际问题的能力.学习目标 通过上节课的学习我们知道，在△ABC和 中，如果
∠B= ∠B′ ， ， ，
那么 △ABC和 全等.导入新课思考：如果条件把“∠C= ∠C′”改“∠A=∠A′”，
△ABC还和△A'B'C'全等吗？∠C= ∠C′回顾与思考 △ABC≌△A'B'C'.根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足“ASA”的条件.讲授新课在△ABC和 中，∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，∴ ∠C =∠C′.又∵ ，∠B=∠B′，∴ (ASA).由此得到判定两个三角形全等的定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.即“角角边”或“AAS” ∠A=∠A′ ，
∵ ∠B=∠B′ ，
BC= B′C′ ，在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.应用格式：总结归纳例1 已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，
求证：△ABC≌△ADC.证明 ∵∠1 =∠2，∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）.在△ABC和△ADC中，∴ △ABC≌△ADC （AAS）.典例精析例2 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，
AC∥FD，∠A=∠D，BF=EC.
求证：△ABC≌△DEF.证明： ∵ AC∥FD，∴∠ACB =∠DFE.∵ BF= EC，∴ BF+FC=EC+FC，即 BC=EF .在△ABC 和△DEF中，∴ △ABC≌△DEF（AAS）.例3 如图,点B、F、C、D在同一条直线上，AB=ED，AB∥ED，AC∥EF.求证：△ABC≌△EDF;BF=CD.证明:∵ AB∥ED，AC∥EF(已知)，
∴∠B=∠D,∠ACB＝∠EFD．
(两直线平行，内错角相等)
在△ABC和△EDF中，
∠B＝∠D（已证）,
∠ACB＝∠EFD（已证）,∵ AB＝ED（已知），
∴ △ABC≌△EDF（AAS），∴BC=DF,∴BF=CD. 如图，已知△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.A′B′C′D′知识拓展解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'，∠ABD=∠A'B'D'.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=A'B'（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.A′B′C′D′全等三角形对应边上的高也相等.1. 已知：如图，∠1=∠2，AD=AE.
求证：△ADC≌△AEB.∴ △ADC≌△AEB（AAS）.当堂练习2. 已知：在△ABC中，∠ABC =∠ACB，
BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.
求证：BD=CE.证明： ∵BD⊥AC，CE⊥AB，∵ 在△CDB和△BEC中，∠ACB=∠ABC，BC = BC ，∴ △CDB≌△BEC（AAS）.∠CDB=∠BEC =90°，∴ BD = CE. ∴ ∠CDB=∠BEC =90°.全等三角形的判定（AAS)三角形全等的“AAS”判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等课堂小结应用：证边、角相等三角形全等判定ASA三角形全等的判定AAS证角相等课堂小结证边相等应用三角形内角和定理→见《学练优》本课时练习课后作业课件16张PPT。2.5 全等三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第5课时 全等三角形的判定(SSS)1.掌握判定三角形全等的“边边边”的条件，并会运用；（重
点、难点）
2.全面掌握三角形的稳定性，并会运用三角形的稳定性去解
决实际问题.学习目标导入新课 用一根长13cm的细铁丝，折成一个边长分别是3cm，4cm，6cm的三角形.把你做的三角形和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？观察与思考 如图，在△ABC和 中，如果 ，
， ，那么△ABC与 全等吗？ 如果能够说明∠A=∠A′，那么就可以由“边角边”得出△ABC≌讲授新课 由上述变换性质可知△ABC ≌ ，则 ，连接 将△ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像 与 重合，并使点A的像 与点 在 的两旁，△ABC在上述变换下的像为∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.从而∠1+∠3=∠2+∠4，∵ ， ，即在 和 中，∴ ≌ （SAS）.∴ △ABC ≌结论: 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）在△ABC和△ DEF中，∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.用符号语言表达为：总结归纳例1 已知：如图，AB=CD ，BC=DA.
求证： ∠B=∠D.∴ △ABC≌△CDA(SSS). ∴ ∠B =∠D.典例精析例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
在BC上，且AD=AE，BE=CD.
求证：△ABD≌△ACE.证明 ∵ BE = CD，∴ BE-DE = CD-DE.即 BD = CE.在△ABD和△ACE中，∴ △ABD≌△ACE （SSS）.(1)将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，你能发现什么？实验探究(2)将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，你能发现什么？(3)在四边形木架上再钉上一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，看看有什么变化？ 四边形木架会变形，但三角形的木架能固定住. 三角形这个性质的叫作三角形的稳定性.你能说出它的原理吗？SSS 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.1. 如图，已知AD=BC，AC=BD. 那么∠1与∠2相等吗？解：相等.
因为 AD=BC，
AC=BD，
AB是公共边，
所以△ABD≌△BAC (SSS)，
所以∠1 =∠2 (全等三角形对应角相等).当堂练习2. 如图，点A，C，B，D在同一条直线上，AC=BD，
AE=CF，BE=DF.求证：AE∥CF，BE∥DF.证明： ∵ AC=BD，∴ AC+BC=BD+BC ，即 AB=CD .∴ AE∥CF，BE∥DF.又∵ AE=CF，BE=DF，∴ △ABE≌△CDF (SSS)，
∴ ∠EAB =∠FCD, ∠EBA =∠FDC (全等三角形
对应角相等)，三边分别相等的两个三角形三角形全等的“SSS”判定：三边分别相等的两个三角形全等.课堂小结三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.见《学练优》本课时练习课后作业课件18张PPT。2.5 全等三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第6课时 全等三角形的性质和判定的应用1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，能正确
地利用判定条件判定三角形全等；（重点、难点）
2.运用全等三角形的判定定理解决线段相等与角相等的相关
实际性问题.学习目标导入新课回顾与思考 问题 判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习
了哪些方法？（1）“SAS”:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（2）“ASA”:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（4）“SSS”:三边对应相等的两个三角形全等；（3）“AAS”:两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等；思考 你能利用一些简易工具，根据全等三角形的有关
知识，测量出如图所示的操场上旗杆的高吗？根据下列条件，分别画△ABC和（1） ， ，
∠B=∠B′= 45°；讲授新课 满足上述条件画出的△ABC和 一定全等吗？由此你能得出什么结论？ 满足上述条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等. 满足上述条件画出的△ABC和 一定全等吗？由此你能得出什么结论？ 满足上述条件的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等.（2） ∠A=∠A′= 80°，∠B=∠B′= 30°，
∠C=∠C′=70°. 判定三角形的全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS． 结合前面所学的知识，你能总结出判定两个三角形全等所需要的条件吗？但“SSA”“AAA”不能判定两个三角形全等．总结归纳 如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.AB=DE∠B=∠E∠ACB=∠DCEBC=EC例1 已知：如图，AC与BD相交于点O，
且AB= DC，AC = DB.
求证：∠A =∠D.证明： 连接BC.在△ABC和△DCB中，∴ △ABC≌△DCB （SSS）.∴ ∠A =∠D.解： 选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO与BO的长度. 这样就构造出两个三角形.连接AO并延长至A′，使 ；连接BO并延长至B′，使 ，连接 ，OA′B′例2 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.
为估测这条隧道的长度（如图），需测出这
座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给
出什么好方法吗？在△AOB和 中，∴ △AOB≌ (SAS).∴ AB = 因此只要测出 的长度就能得到这座山A，B间的距离.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．解：相等．
证明如下：
在△ABC和△ADC中，
AB=AD，AC=AC，BC=DC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAE=∠BAE.
在△ADE和△ABE中，
AD=AB，∠DAE=∠BAE，AE=AE，
∴△ADE≌△ABE（SAS），∴BE=DE． 1.如图，在△ABC与△DEF中，已知条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）.
A.∠B=∠E，BC=EF B. BC=EF，AC=DF
C. ∠A=∠D，∠B=∠E D. ∠A=∠D，BC=EF解析：AB=DE,∠A=∠D,BC=EF但△ABC与△DEF不一定全等.D当堂练习2. 已知：如图，AB=AD，BC=DC. 求证：∠B =∠D.证明： 如图，连接AC.所以 △ACB≌△ ACD (SSS).所以 ∠B =∠D.在△ACB和△ACD中，判定三角形全等的思路已知两边课堂小结已知一边一角已知两角找夹角（SAS)找另一边（SSS)找任一角（AAS)边为角的对边边为角的一边找夹角的另一边（SAS)找边的对角（AAS)找夹角的另一角（ASA)找夹边（ASA)找除夹边外的任意一边（AAS)见《学练优》本课时练习课后作业课件14张PPT。2.6 用尺规作三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第1课时 已知三边作三角形1.经历操作实践活动，会用尺规作已知三边的三角形；（重点）
2.会用作角平分线的方法与原理去解决有关三角形方面的问题.（难点）学习目标导入新课问题1 如何画一条线段等于已知线段？问题2 自己画一条线段，利用几何作图的原理，作出
这条线段的垂直平分线. 思考：我们前面所学的几何图形中除了线段之外，还有
角、三角形等，那么你是否也能通过尺规来按要
求作出相应的图形或全等的图形呢？回顾与思考讲授新课 根据三角形全等的判定条件，已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边，都可以确定唯一的一个三角形，从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形.已知:线段a，b，c.①已知哪些量？所作的三角形满足什么条件？求作:△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c.②根据已知条件可先作出△ABC的哪部分？③作好一边后，怎样作出三角形的另外两边？思考： AC(1)作线段BC＝a； (2)以C为圆心, b为半径画弧；(3)以B为圆心, c为半径画弧，(4)连接AB，AC，两弧相交于点A； 则△ABC为所求作的三角形.作法：如图，已知线段a，h.
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.思考：①所作的图形是什么？满足哪些条件？②根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？③如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？④本题应用了哪几种基本作图法？底边BC=a底边的垂直平分线(1)作线段BC＝a； (2)作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；(3)在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA=h；(4)连接AB，AC， 则△ABC为所求作的三角形作法：ADC BNM例1 已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m，作法合理的顺序依次为 ( )?延长CD到点B，使BD=CD；?连接AB；?作△ADC，使DC= ，AC=b，AD=m.解析：根据已知条件，能够确定的三角形是△ADC，故先作△ADC，使 DC= ，AC=b，AD=m；再延长CD到点B，使BD=CD；连接AB，即可得△ABC，故选A.A.??? B.??? C.??? D.???A典例精析已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.(1)在OA、OB上分别截取OD、OE，
使OD=OE；(2)分别以D、E为圆心，以大于 DE的长
为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；(3)作射线OC，DEC作法： 运用所学知识，请说一说：为什么OC是∠AOB的平分线？则OC为所求的∠AOB的平分线.分析： 以角的顶点为三角形的一个顶点，
在角的内部构造两个全等三角形. 如图，已知∠AOB. 求作：∠AOB的补角的平分线(保留作图痕迹，不写作法).OABDC解：如图，∠AOB的补角为∠AOC，其平分线为射线OD.1. 如图，一个机器零件上的两个孔的中心A，B已定好，又知第三个孔的中心C距A点1.5m，距B点1.8m. 如何找出C点的位置呢？解：以点A为圆心，1.5cm为半径画弧，再以点B为圆心，1.8cm为半径画弧，两弧的交点即为第三个孔的中心C.当堂练习C2.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两
个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC
全等，这样的三角形最多可以画 个. ABCDE4课堂小结三角形作图作角平分线根据条件作三角形已知三边作三角形已知底边及底边上的高作等腰三角形作线段垂直平分线↑(应用)见《学练优》本课时练习课后作业课件13张PPT。2.6 用尺规作三角形第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）
教学课件第2课时 已知角和边作三角形1.能按作图语言来完成作图，会用尺规作一个角等于已知角；
2.在给出两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，能够利用尺
规作三角形.（重点、难点）学习目标导入新课 利用不同的工具，你能将一个角从一个位置移到另一个位置吗？你有什么办法？方法：平移法、折叠法等.观察与思考能用尺规作图得到吗？讲授新课如图，已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB.OD'C'BACDB'O'A'(1)作射线O'A'； (2)以O为圆心, 任意长为半径画
弧，交OA于点C，交OB于点D；(3)以O'为圆心, OC(或OD)的长为半径画弧，交O'A'于点C'；(4)以C'为圆心, CD长为半径画弧，交前弧于点D'； 则∠A'O'B'为所求作的角.作法：(5)过D'作射线O'B'， 运用所学知识，请说一说：为什么
就是所求作的角？解：由作图过程可知：根据“SSS”可得△D'O'C'≌△DOC，所以∠D'O'C'=∠DOC，即
∠A'O'B'=∠AOB.O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=DC，
如图，已知 和线段a， c.
求作△ABC，使 ，BC=a，BA=c.(2)在射线BM，BN上分别截取
BC=a，BA=c；(3)连接AC，则△ABC为所求作的三角形.作法：(1)作∠MBN= ； BNMCA 例1 如图所示，已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使BC=a，AC=b，∠C= ∠α (不写作法，保留作图痕迹).分析：首先要完成 ∠α的作图问题，然后作出三角形.解：如图所示，△ABC即为所求.αabEDBAC典例精析A如图，已知 ， 和线段a .
求作△ABC，使 ，
，BC = a.作法：(1)作线段BC = a；(2)在BC的同旁，作 ，
，BD与CE相交于点A，
EDCB问题：这里用了那些作图方法?则△ABC为所求作的三角形.用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.1. 用尺规作一个角等于90°.课堂小结解：如图所示，
①在直线l上截取线段PA、PB，
使PA=PB;
②分别以点A、B为圆心，大于
PA的任意长度为半径画弧，
两弧相交于点C.
③连接CP，则∠CPA= ∠CPB= 90°.·PABCl2. 如图，已知线段a，b，求作一个直角三角形，
使它的两直角边分别为a和b.解：如图所示，
①作∠MCN=90°.
②在射线CM上截取CA=b，
在射线CN上截取CB=a.
③连接AB，则△ABC就是所求作的三角形.abbaCMABN·3. 如图，已知线段a和锐角∠α，求作一个Rt△ABC，使∠ACB=90°，∠B=∠α，BC=a.解：如图所示，
①作∠MCN=90°.
②在射线CM上截取CB=a.
③以B为顶点，BC为一边，
在CM的上侧作∠CBA=∠α，
交CN于A，
则△ABC就是所求作的三角形.MNCBA·课堂小结三角形作图作一个角等于已知角根据条件作三角形已知两边及夹角作三角形已知两角及夹边作三角形←ASA←SAS见《学练优》本课时练习课后作业课件23张PPT。第2章 三角形 学练优八年级数学上（XJ）
教学课件小结与复习要点梳理考点讲练 课堂小结课后作业要点梳理1. 三角形的三边关系3. 三角形的内角和与外角2. 三角形的分类三角形的任意两边之和大于第三边(1)三角形的内角和等于180°(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
并且大于和它不相邻的任何一个内角.不等边三角形等腰三角形腰和底不等的等腰三角形等边三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形一、三角形1. 命题2.逆命题 (1)定义：对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题. 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题. (2)结构形式：命题都可以写成“如果……，那么……” 的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.二、命题与证明(3)表达形式：命题都是由条件和结论两部分组成4. 证明与图形有关命题的步骤：(1)画出图形；(2)写出已知、求证；(3)写出证明过程.正确的命题为真命题，错误的命题为假命题3. 真命题和假命题5. 反证法的步骤(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.1. 等腰（边）三角形的性质2. 等腰（边）三角形的判定方法 轴对称图形 三线合一 两底角相等(等边对等角)60°60°60° 有两个角相等(等角对等边) 三边相等 三个角都是60° 有一个角是60°的等腰三角形等腰三角形等边三角形 有两条边相等三、等腰三角形等边三角形等腰三角形1. 线段垂直平分线的性质定理2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定)3. 线段垂直平分线的作法线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.四、线段的垂直平分线1.全等三角形的性质2.全等三角形的判定3.三角形的稳定性对应角相等，对应边相等ASASSSSASAAS依据：SSS五、全等三角形2.作一个角等于已知角1.作一个角的平分线3.作三角形(1)根据SAS、ASA、SSS作三角形(2)已知底边及底边上的高作等腰三角形六、用尺规作三角形考点讲练例1 写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假：
(1)全等三角形的对应角相等；
(2)线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 【解析】先分清命题的条件和结论，然后将命题的条件和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题，再判断逆命题的真假.解：(1)该命题的逆命题是对应角相等的两个三角形全等.是假命题. (2)该命题的逆命题是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.是真命题.1.下列命题的逆命题不正确的是（ ）
A.1和-1的倒数是其本身
B.两直线平行，内错角相等
C.等腰三角形的两底角相等
D.对顶角相等 2.下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是
假命题的反例是（ ）
A.a=-2 B.a=-1 C.a=1 D.a=2AD例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A.1cm,2cm,4cm B.4cm,6cm,8cm
C.5cm,6cm,12cm D.2cm,3cm,5cm B【解析】根据三角形的三边关系进行判断即可.A.1+2<4,不能组成三角形；B.4+6>8,能组成三角形；C.5+6<12,不能组成三角形；D.2+3=5,不能组成三角形.故选B. 判断能否构成三角形的简便方法是看较小的两边的长度的和是否大于第三边.3.已知三角形两边长分别为3和8,则该三角形的第三边长可能是（ ）
A.5 B.10 C.11 D.12B4.有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4C例3 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边
长为 . 5,5或6,4【解析】由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，∴分两种情况讨论.?当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5；?当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.故填5,5或6,4. 当已知等腰三角形的周长和一边时，要分两种情况讨论：已知边是底边和已知边是腰.还要注意三边是否构成三角形.6.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周
长为 . 55.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.16 B.20或16 C.20 D.12 C例4 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.【解析】利用三角形的内角和等于180°，列方程求解.解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,
又知∠A－∠B＝16°②,
由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°; (2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，
则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°
∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.7.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-
∠B，则∠B= . 90°8.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，
若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数
是 ，∠FBC的度数是 . 9.如图，在△ABC中，两条角平分线
BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，
那么∠A的度数是 .20°40°84°例5 如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,
那么添加下列一个条件后,仍无法
判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BCB【解析】由AE=CF 可得 AE+EF=CF+EF,即AF=CE.再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可. A.∠A=∠C,可利用“ASA”判定△ADF≌△CBE；C.BE=DF,可利用“SAS”判定△ADF≌△CBE；D.由AD∥BC得∠A=∠C,同选项A；B.AD=CB不能判定△ADF≌△CBE. 故选B.注意：“SSA”“AAA”不能判定两个三角形全等10.如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB的平分线上,且∠PAM＝∠PBN,求证:AO ＝ BO证明：∵∠PAM＝∠PBN
∴∠PAO＝∠PBO
∵点P在∠AOB的平分线上
∴∠MOP＝∠NOP在△AOP和△BOP中
∠PAO＝∠PBO
∠MOP＝∠NOP
OP＝OP
∴△AOP≌△BOP(AAS)
∴AO ＝ BO在证明三角形全等中，几种常见的隐含条件：公共边相等公共角(对顶角)相等例6 如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.证明：
∵△ACM和△BCN都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2
即∠ACN＝∠MCB
∵CA＝CM，CB＝CN
∴△CAN≌△CMB(SAS)
∴AN＝BM11.已知:△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.BE、AC相交于点F，AD、CE相交于点G.
求证:(1)△CAD≌△CBE.(2)△CFG是等边三角形.证明：(1)证明略.(2)由(1)知∠CDA=∠CEB∵∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°,
∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠DCE=60°.又∵CE=CD∴△CEF≌△CDG(ASA)∴CF=CG. ∴△CFG是等腰三角形又∵∠DCE=60°∴△CFG是等边三角形三
角
形课堂小结命题与证明见《学练优》本章小结与复习课后作业
