3.1列代数表示数量关系（预习衔接.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）

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新课预习衔接 列代数表示数量关系
一．选择题（共5小题）
1．（2024 沙河口区开学）李伯家有山羊m只，绵羊的数量比山羊的2倍多18只，绵羊的数量为（　　）
A．m+18 B．m﹣18 C．2m﹣18 D．2m+18
2．（2024 诸城市校级开学）下面每组中的两个量成正比例的是（　　）
A．正方形的周长和边长
B．圆柱体积一定，它的底面积和高
C．圆的面积和半径
D．长方形的面积一定，它的长和宽
3．（2024 东方校级开学）三角形的底一定，那么三角形的面积与它的高（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不确定
4．（2024 凉州区期末）某品牌电脑降价40%以后，每台售价为a元，则该品牌电脑每台原价为（　　）
A．0.6a元 B．0.4a元 C．元 D．元
5．（2024春 瑞安市月考）某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共n件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件．已知甲品牌衬衣的单价为120元，乙品牌衬衣的单价为90元，则买这n件衬衣共需付款（　　）
A．120n+450 B．90n+600 C．210n﹣150 D．105n+75
二．填空题（共5小题）
6．（2024 双城区校级开学）购买篮球的数量一定，购买篮球的总价和单价成 　 　比例．用式子表示他们的数量关系就是：　 　．
7．（2024 洛江区校级开学）王强从家到学校每分钟走a米，走了10分钟还剩b米，则王强家到学校有 　 　米．
8．（2024 任城区期末）用代数式表示：“a的倍与2的差”：　 　．
9．（2024 临江市期末）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式　 　．
10．（2024 兴庆区校级三模）有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 　 　cm（用含n的式子表示）．
三．解答题（共5小题）
11．某花圃基地计划将如图所示的一块长50m，宽30m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是3百元、4百元、5百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　 　m2，花卉B的种植面积是 　 　m2，花卉C的种植面积是 　 　m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过1100m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
12．（2024 青秀区校级开学）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为40℃，流速为20m/s；开水的温度为100℃，流速为15m/s．整个接水的过程不计热量损失．
（1）①甲同学用空杯先接了9s温水，温水的体积是　 　ml；再接了4s开水，若混合后的水温为t℃，则温水温度升高了　 　℃（用含有t的式子表示）．
②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t．
（2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯180ml温度为60℃的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间．
13．（2024春 碑林区校级月考）近年来，每年5月，西安灞桥万亩樱桃成熟上市，某超市预购进A，B两种品种的樱桃共400斤，已知樱桃的有关信息如表所示．
品牌 进价（元/斤） 售价（元/斤）
A 48 66
B 38 50
（1）设购进A种樱桃x斤，且所购进的两种樱桃能全部卖出、获得的总利润为w元，求w关于x的关系式；
（2）如果购进两种樱桃的总费用恰好为18200元，那么超市将所购进的两种樱桃全部卖出后，获得的总利润为多少元？
14．（2024春 永寿县月考）为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材（x+3）套需要2万元，如果购买B种健身器材（x2﹣9）套需要12万元．
（1）请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价；
（2）一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？
15．（2024 子洲县校级开学）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 12 15 20 30
需要的天数/天 25 20 15 10
（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
（2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
新课预习衔接 列代数表示数量关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 沙河口区开学）李伯家有山羊m只，绵羊的数量比山羊的2倍多18只，绵羊的数量为（　　）
A．m+18 B．m﹣18 C．2m﹣18 D．2m+18
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据李伯家有山羊m只，绵羊的数量比山羊的2倍多18只，可以用含m的代数式表示出绵羊的数量．
【解答】解：由题意可得，
绵羊的数量为（2m+18）只，
故选：D．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
2．（2024 诸城市校级开学）下面每组中的两个量成正比例的是（　　）
A．正方形的周长和边长
B．圆柱体积一定，它的底面积和高
C．圆的面积和半径
D．长方形的面积一定，它的长和宽
【考点】正比例．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正比例的定义判断即可．
【解答】解：A、因为正方形的周长÷边长＝4，所以正方形的周长和边长成正比例，故符合题意；
B、因为圆柱体积一定，圆柱底面积×高＝圆柱体积，所以底面积和高成反比例，故不符合题意；
C、圆的面积÷半径的商不是定值，故圆的面积和半径不成正比例，故不符合题意；
D、因为长方形的面积一定，它的长×宽＝长方形的面积，所以它的长和宽成反比例，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了正比例的定义，正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系．
3．（2024 东方校级开学）三角形的底一定，那么三角形的面积与它的高（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不确定
【考点】反比例；正比例．
【专题】函数及其图象；数感．
【答案】A
【分析】由三角形的面积公式即可判断．
【解答】解：三角形的面积＝底×高÷2，
当底一定的时候，面积主要与高存在正比例关系，
所以三角形的底一定，那么三角形的面积与它的高成正比例，
故选：A．
【点评】本题主要考查正比例、反比例的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2024 凉州区期末）某品牌电脑降价40%以后，每台售价为a元，则该品牌电脑每台原价为（　　）
A．0.6a元 B．0.4a元 C．元 D．元
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，根据“售价＝原价×（1﹣降价率）”列出方程并求解即可．
【解答】解：设该品牌电脑每台原价为x元，
根据题意，可得x（1﹣40%）＝a，
解得元，
即该品牌电脑每台原价为元．
故选：D．
【点评】本题考查列代数式，正确找到数量关系是解题关键．
5．（2024春 瑞安市月考）某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共n件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件．已知甲品牌衬衣的单价为120元，乙品牌衬衣的单价为90元，则买这n件衬衣共需付款（　　）
A．120n+450 B．90n+600 C．210n﹣150 D．105n+75
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据甲、乙两个品牌的衬衣共n件，甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件列出两种衬衫件数的代数式，然后求出付款代数式即可解答．
【解答】解：∵甲、乙两个品牌的衬衣共n件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件，
∴甲品牌的衬衣共件，乙品牌的衬衣共件；
∴买这n件衬衣共需付款元，
故选：D．
【点评】本题主要考查了列代数式，理解题意、列出代数式成为解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 双城区校级开学）购买篮球的数量一定，购买篮球的总价和单价成 　正　比例．用式子表示他们的数量关系就是：　篮球的总价÷单价＝篮球的数量　．
【考点】列代数式；反比例．
【专题】代数综合题；推理能力．
【答案】正，篮球的总价÷单价＝篮球的数量．
【分析】找到题中篮球的数量一定，再根据篮球的总价和单价的数量关系进行判断比例关系；最后用式子表示出来即可．
【解答】解：∵篮球的总价÷单价＝篮球的数量，
又∵篮球的数量的一定，
∴篮球的总价和单价成正比例，
篮球的总价÷单价＝篮球的数量．
故答案为：正，篮球的总价÷单价＝篮球的数量．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系式来进行判断．
7．（2024 洛江区校级开学）王强从家到学校每分钟走a米，走了10分钟还剩b米，则王强家到学校有 　（10a+b）　米．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（10a+b）．
【分析】根据题意，可先用速度×时间＝路程，算出王强走了10分钟的路程，再用走了的路程加上还剩的路程，就是总路程．
【解答】解：a×10+b＝（10a+b）米，
故答案为：（10a+b）．
【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是根据路程、速度和时间之间的关系来列代数式．
8．（2024 任城区期末）用代数式表示：“a的倍与2的差”：　a﹣2　．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a﹣2．
【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出a的倍与2的差．
【解答】解：a的倍与2的差可以表示为a﹣2，
故答案为：a﹣2．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
9．（2024 临江市期末）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式　（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2　．
【考点】列代数式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】大长方形的长为（2a+b），宽为（a+b），可得面积为（a+b）（2a+b），图中6个小长方形的面积和为2a2+3ab+b2，因此即可求解．
【解答】解：大长方形的长为（2a+b），宽为（a+b），则面积为（a+b）（2a+b），
图中6个小长方形的面积和为2a2+3ab+b2，
可得等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2．
故答案为：（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2．
【点评】本题考查列代数式，用不同的方法表示图形的面积是得出等式的前提．
10．（2024 兴庆区校级三模）有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 　2n+8　cm（用含n的式子表示）．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加2cm，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度．
【解答】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加2cm，
则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+2（n﹣1）＝（2n+8）（cm）．
故答案为：2n+8．
【点评】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式．
三．解答题（共5小题）
11．某花圃基地计划将如图所示的一块长50m，宽30m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是3百元、4百元、5百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　（x2﹣80x+1500）　m2，花卉B的种植面积是 　（﹣x2+40x）　m2，花卉C的种植面积是 　（﹣x2+30x）　m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过1100m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【考点】列代数式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）（x2﹣80x+1500），（﹣x2+40x），（﹣x2+30x）；（2）当育苗区的边长为10m时，A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍；（3）A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值460000元．
【分析】（1）当育苗区的边长为x m时，花卉A的种植区是长（50﹣x）m、宽（30﹣x）m的矩形，花卉B的种植区是长（50﹣10﹣x）m、宽x m的矩形，花卉C的种植区是长（30﹣x）m、宽x m的矩形，利用矩形面积的计算公式，即可用含x的代数式表示出花卉A，B，C的种植面积；
（2）根据A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）由花卉A与B的种植面积之和不超过1100m2，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，设A，B，C三种花卉的总产值之和是y元，将A，B，C三种花卉的总产值相加，可得出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）当育苗区的边长为x m时，花卉A的种植区是长（50﹣x）m、宽（30﹣x）m的矩形，花卉B的种植区是长（50﹣10﹣x）m、宽x m的矩形，花卉C的种植区是长（30﹣x）m、宽x m的矩形，
∴花卉A的种植面积是（50﹣x）（30﹣x）＝（x2﹣80x+1500）m2，花卉B的种植面积是（50﹣10﹣x）x＝（﹣x2+40x）m2，花卉C的种植面积是（30﹣x）x＝（﹣x2+30x）m2．
故答案为：（x2﹣80x+1500），（﹣x2+40x），（﹣x2+30x）；
（2）根据题意得：300（x2﹣80x+1500）＝400（﹣x2+40x）×2，
整理得：11x2﹣560x+4500＝0，
解得：x1＝10，x2（不符合题意，舍去）．
答：当育苗区的边长为10m时，A种花卉的总产值是B种花卉的总产值的2倍．
（3）∵花卉A与B的种植面积之和不超过1100m2，
∴x2﹣80x+1500+（﹣x2+40x）≤1100，
解得：x≥10．
设A，B，C三种花卉的总产值之和是y元，则y＝300（x2﹣80x+1500）+400（﹣x2+40x）+500（﹣x2+30x），
∴y＝﹣600x2+7000x+450000，
∵﹣400＜0，且抛物线的对称轴为直线x，
∴当x≥10时，y随x的增加而减小，
∴当x＝10时，y取得最大值，最大值为﹣600×102+7000×10+450000＝460000（元）．
答：A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值460000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出花卉A，B，C的种植面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式．
12．（2024 青秀区校级开学）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为40℃，流速为20m/s；开水的温度为100℃，流速为15m/s．整个接水的过程不计热量损失．
（1）①甲同学用空杯先接了9s温水，温水的体积是　180　ml；再接了4s开水，若混合后的水温为t℃，则温水温度升高了　（t﹣40）　℃（用含有t的式子表示）．
②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t．
（2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯180ml温度为60℃的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）①180；（t﹣40）；②此时杯子里水的温度为55℃；（2）乙同学接温水的时间为6s，接开水的时间为4s．
【分析】（1）①根据时间乘以流速可求解，用t﹣40表示即可．
②根据题意列出关于t的一元一次方程求解即可．
（2）设乙同学接温水的时间为xs，接开水的时间为ys．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
【解答】解：（1）据时间乘以流速得：①9×20＝180ml，（t﹣40）℃，
②由题意得，9×20×（t﹣40）＝4×15×（100﹣t），
解得：t＝55，
∴此时杯子里水的温度为55℃．
（2）设乙同学接温水的时间为xs，接开水的时间为ys．
，
解得：．
答：乙同学接温水的时间为6s，接开水的时间为4s．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及用代数式表示式等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2024春 碑林区校级月考）近年来，每年5月，西安灞桥万亩樱桃成熟上市，某超市预购进A，B两种品种的樱桃共400斤，已知樱桃的有关信息如表所示．
品牌 进价（元/斤） 售价（元/斤）
A 48 66
B 38 50
（1）设购进A种樱桃x斤，且所购进的两种樱桃能全部卖出、获得的总利润为w元，求w关于x的关系式；
（2）如果购进两种樱桃的总费用恰好为18200元，那么超市将所购进的两种樱桃全部卖出后，获得的总利润为多少元？
【考点】列代数式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）w＝6x+4800；
（2）获得的总利润为6600元．
【分析】（1）分别表示出购买A，B两种品种樱桃的数量，根据总利润＝A种樱桃每斤的利润×数量+B种樱桃每斤的利润×数量，就可以表示出w与x之间的关系式；
（2）根据购进两种樱桃的总费用恰好为18200元，建立方程求解，再利用w关于x的关系式计算，即可解题．
【解答】解：（1）由题知，购进A种樱桃x斤，购进B种樱桃（400﹣x）斤，
可得w＝（66﹣48）x+（50﹣38）（400﹣x），
整理得：w＝6x+4800；
（2）购进两种樱桃的总费用恰好为18200元，
可得：48x+38（400﹣x）＝18200，
即10x＝3000，
解得：x＝300，
当x＝300时，总利润为6×300+4800＝6600（元），
答：获得的总利润为6600元．
【点评】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
14．（2024春 永寿县月考）为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材（x+3）套需要2万元，如果购买B种健身器材（x2﹣9）套需要12万元．
（1）请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价；
（2）一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？
【考点】列代数式．
【专题】运算能力．
【答案】（1）A种健身器材的单价为：万元/套；B种健身器材的单价为：万元/套；
（2）元．
【分析】（1）根据，列式即可．
（2）用A种健身器材的单价+B种健身器材的单价，列式计算即可．
【解答】解：（1）A种健身器材的单价为：万元/套；
B种健身器材的单价为：万元/套．
（2）
（万元）
（元），
答：一套A种健身器材和一套B种健身器材一共元．
【点评】本题考查列代数式的应用，分式加法的应用，掌握，分式加法法则是解题的关键．
15．（2024 子洲县校级开学）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 12 15 20 30
需要的天数/天 25 20 15 10
（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
（2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
【考点】反比例．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系；
（2）平均每天要看50页．
【分析】（1）根据成反比例关系的两个量的关系判断即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系，
理由：∵12×25＝15×20＝300，
∴每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系；
（2）300÷6＝50（天），
答：平均每天要看50页．
【点评】本题考查了成反比例，熟练掌握反比例的定义是解题的关键．
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